2023-2024學(xué)年高一數(shù)學(xué)人教A版2019必修第一冊同步備課教案2-2基本不等式

2．2基本不等式（單元教學(xué)設(shè)計(jì)）一、【單元目標(biāo)】【知識與能力目標(biāo)】1、學(xué)會推導(dǎo)并掌握基本不等式，理解這個基本不等式的幾何意義，并掌握定理中的不等號“≥”取等號的條件是：當(dāng)且僅當(dāng)這兩個數(shù)相等；2、掌握基本不等式；會應(yīng)用此不等式求某些函數(shù)的最值；能夠解決一些簡單的實(shí)際問題【過程與方法目標(biāo)】通過實(shí)例探究抽象基本不等式；【情感態(tài)度價值觀目標(biāo)】通過本節(jié)的學(xué)習(xí)，體會數(shù)學(xué)來源于生活，提高學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣．二、【單元知識結(jié)構(gòu)框架】三、【學(xué)情分析】“基本不等式”是必修1的重點(diǎn)內(nèi)容，它是在系統(tǒng)學(xué)習(xí)了不等關(guān)系和不等式性質(zhì)，掌握了不等式性質(zhì)的基礎(chǔ)上對不等式的進(jìn)一步研究，同時也是為了以后學(xué)習(xí)選修教材中關(guān)于不等式及其證明方法等內(nèi)容作鋪墊，起著承上啟下的作用．利用基本不等式求最值在實(shí)際問題中應(yīng)用廣泛．同時本節(jié)知識又滲透了數(shù)形結(jié)合、化歸等重要數(shù)學(xué)思想，有利于培養(yǎng)學(xué)生良好的思維品質(zhì)．四、【教學(xué)設(shè)計(jì)思路/過程】課時安排：約2課時教學(xué)重點(diǎn)：應(yīng)用數(shù)形結(jié)合的思想理解不等式，并從不同角度探索不等式的證明過程；教學(xué)難點(diǎn)：1、基本不等式等號成立條件；2、利用基本不等式求最大值、最小值．教學(xué)方法/過程：五、【教學(xué)問題診斷分析】環(huán)節(jié)一、情景引入，溫故知新情景：我們知道，通過研究特殊的多項(xiàng)式乘法，可以得到乘法公式，而乘法公式在代數(shù)式的運(yùn)算中有重要作用．那么，在研究不等式的性質(zhì)后，是否也有一些特殊的不等式，它們在解決不等式問題時有著與乘法公式類似的作用呢?今天我們就來研究這個問題．問題1：在不等式的學(xué)習(xí)中，我們從趙爽弦圖中抽象出了重要不等式．特別地，我們限制，，并用分別代替，可得，你能證明這一不等式嗎?【破解方法】學(xué)生能從探索過程獲知，基本不等式是重要不等式的特殊情況，建立新舊知識的聯(lián)系，為不等式的學(xué)習(xí)提供可參考的對象．環(huán)節(jié)二、抽象概念，內(nèi)涵辨析1．基本不等式問題2：你能直接利用不等式的性質(zhì)證明這一式子嗎?【破解方法】學(xué)生先獨(dú)立思考，由于不等式的性質(zhì)比較多，到底由哪個性質(zhì)出發(fā)，利用哪些性質(zhì)進(jìn)行證明，學(xué)生會一頭霧水．教師再讓學(xué)生自學(xué)教科書第44頁，然后通過問題引導(dǎo)學(xué)生思考．從不等式的性質(zhì)推導(dǎo)基本不等式用分析法證明：要證（1）只要證（2）要證（2），只要證≥0（3）要證（3），只要證（-）2≥0（4）顯然，（4）是成立的．當(dāng)且僅當(dāng)a=b時，（4）中的等號成立．【歸納新知】對公式的理解．（1）成立的條件是不同的：前者只要求都是實(shí)數(shù)，而后者要求都是正數(shù)；（2）取等號“=”的條件在形式上是相同的，都是“當(dāng)且僅當(dāng)時取等號”．2．基本不等式的幾何意義問題3：的幾何意義是什么？【破解方法】如圖，是圓的直徑，點(diǎn)是上的一點(diǎn)，，，過點(diǎn)作交圓于點(diǎn)D，連接、．易證，那么，即．這個圓的半徑為，它大于或等于，即，其中當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)與圓心重合，即時，等號成立．3．用基本不等式求最大（?。┲祮栴}4：怎樣利用基本不等式求最大（小）值？【破解方法】在用基本不等式求函數(shù)的最值時，應(yīng)具備三個條件：一正二定三取等．①一正：函數(shù)的解析式中，各項(xiàng)均為正數(shù)；②二定：函數(shù)的解析式中，含變數(shù)的各項(xiàng)的和或積必須有一個為定值；③三取等：函數(shù)的解析式中，含變數(shù)的各項(xiàng)均相等，取得最值．環(huán)節(jié)三：例題練習(xí)，鞏固理解題型一：對基本不等式的理解及簡單應(yīng)用【例1】下列不等式中等號可以取到的是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】對于A，因?yàn)椋?，?dāng)且僅當(dāng)，即，故等號不成立，故A不符合；對于B，因?yàn)?，所以，?dāng)且僅當(dāng)，即，故等號不成立，故B不符合；對于C，因?yàn)?，所以，?dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，故C符合；對于D，因?yàn)?，所以，?dāng)且僅當(dāng)，即，故等號不成立，故D不符合．故選：C．【對點(diǎn)訓(xùn)練1】《幾何原本》卷2的幾何代數(shù)法（以幾何方法研究代數(shù)問題）成了后世西方數(shù)學(xué)家處理問題的重要依據(jù)，通過這一原理，很多的代數(shù)的公理或定理都能夠通過圖形實(shí)現(xiàn)證明，也稱之為無字證明．現(xiàn)有如圖所示圖形，點(diǎn)在半圓上，點(diǎn)在直徑上，且，設(shè)，，則該圖形可以完成的無字證明為（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】設(shè)，可得圓的半徑為，又由，在中，可得，因?yàn)?，所以，?dāng)且僅當(dāng)時取等號．故選：D．題型二：利用基本不等式比較大小【例2】若，有下面四個不等式：（1）；（2），（3），（4）．則不正確的不等式的個數(shù)是（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】C【解析】因?yàn)?，所以，成立，所以?）不正確，（4）不正確；因?yàn)椋裕?）正確；都大于0且不等于1，由基本不等式可知（2）正確．故選：C【對點(diǎn)訓(xùn)練2】若，，，則，，2ab，中最大的一個是．【答案】/【解析】，，，則，，，綜上所述：最大的一個是．故答案為：題型三：利用基本不等式證明不等式【例3】已知是實(shí)數(shù)．（1）求證：，并指出等號成立的條件；（2）若，求的最小值．【解析】（1）證明：因?yàn)椋?，?dāng)且僅當(dāng)，時，不等式中等號成立．（2），當(dāng)且僅當(dāng)，即或時，不等式中等號成立．所以的最小值為4．【對點(diǎn)訓(xùn)練3】已知，求證．【解析】∵，①，②，③①+②+③得；．∴（當(dāng)且僅當(dāng)?shù)忍柍闪ⅲ}型四：利用基本不等式求最值【例4】已知、都是正數(shù)，求證：（1）如果積等于定值，那么當(dāng)時，和有最小值；（2）如果和等于定值，那么當(dāng)時，積有最大值．【解析】因?yàn)?、都是正?shù)，所以．（1）當(dāng)積等于定值時，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時，上式等號成立．于是，當(dāng)時，和有最小值；（2）當(dāng)和等于定值時，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時，上式等號成立．于是，當(dāng)時，積有最大值．【對點(diǎn)訓(xùn)練4】某工廠要建造一個長方形無蓋蓄水池，其容積為立方米，深為．如果池底每平方米的造價為元，池壁每平方米的造價為元，那么怎樣設(shè)計(jì)水池能使總造價最低（設(shè)蓄水池池底的相鄰兩邊邊長分別為，）？最低總造價是多少？【解析】要建造一個長方形無蓋蓄水池，其容積為立方米，深為設(shè)蓄水池池底的相鄰兩邊邊長分別為，，由體積為可知：，設(shè)總造價為．又，，，當(dāng)且僅當(dāng)，時，上式成立，此時．將蓄水池的池底設(shè)計(jì)成邊長為40米的正方形時總造價最低，最低總造價是元．環(huán)節(jié)四：小結(jié)提升，形成結(jié)構(gòu)問題5：請你帶著下列問題回顧本節(jié)課學(xué)習(xí)的內(nèi)容：（1）你能歸納一下基本不等式的研究過程嗎?（2）你對基本不等式有哪些認(rèn)識?特別是，其中體現(xiàn)了哪些數(shù)學(xué)思想方法?（3）處理兩類最值問題（積定求和的最小值，和定求積的最大值），需要注意哪些問題?【破解方法】（1）我們遵循“背景一概念一性質(zhì)一應(yīng)用”的研究路徑，將重要不等式變形獲得基本不等式，并對其正確性進(jìn)行推理論證，再對其結(jié)構(gòu)特點(diǎn)和幾何意義進(jìn)行探究，最后在應(yīng)用中獲得基本不等式模型處理問題的方法．（2）從代數(shù)角度看，基本不等式反映了兩個正數(shù)和與積之間的大小關(guān)系，從幾何角度看，基本不等式反映了圓中直徑與弦長的大小關(guān)系．在推導(dǎo)過程中，靈活運(yùn)用分析法和綜合法；在幾何解釋中，通過構(gòu)造與發(fā)現(xiàn)提升直觀想象素養(yǎng)．（3）在處理兩類最值時，要注意是否符合“一正、二定、三相等”這一結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，以模型的意識去看待和應(yīng)用基本不等式．六、【教學(xué)成果自我檢測】環(huán)節(jié)五：目標(biāo)檢測，檢驗(yàn)效果1．（2023·湖北鄂州·高一校聯(lián)考期中）設(shè)，則“”是“”的（

）A．充要條件 B．充分不必要條件C．必要不充分條件 D．既不充分也不必要條件【答案】C【解析】能推出，故必要性成立，當(dāng)時，取，則，不能推出，故充分性不成立，所以“”是“”的必要不充分條件，故選：C．2．（2023·廣西欽州·高一?？奸_學(xué)考試）有一塊橡皮泥的體積為2，起初做成一個長，寬，高依次為，，1的長方體．現(xiàn)要將它的長增加1，寬增加2，做成一個新的長方體，體積保持不變，則新長方體高的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】依題意，設(shè)新長方體高為，則，得到，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，所以的最大值為．故選：C．3．（2023·甘肅武威·高一天祝藏族自治縣第一中學(xué)校考開學(xué)考試）已知，則的最小值為（

）A．6 B．5 C．4 D．3【答案】A【解析】由知，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時，即時，等號成立，所以的最小值為6．故選：A4．（2023·全國·高一專題練習(xí)）如果，那么下列不等式正確的是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】由已知，利用基本不等式得出，因?yàn)?，則，，所以，，∴．故選：B5．（2023·天津武清·高一?？茧A段練習(xí)）已知正實(shí)數(shù)a，b滿足，則的最小值為（

）A． B．9 C． D．【答案】B【解析】因?yàn)椋?dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，所以的最小值為9．故選：B．6．（多選題）（2023·廣東佛山·高一北滘中學(xué)?？茧A段練習(xí)）下列函數(shù)的最小值為的有（

）A． B．C． D．【答案】AD【解析】對于A，，當(dāng)且