多變量時(shí)間序列模型

#第7章多變量時(shí)間序列模型§Granger因果檢驗(yàn)判斷一個(gè)變量的變化是否是另一個(gè)變量變化的原因，是經(jīng)濟(jì)計(jì)量學(xué)中的常見(jiàn)問(wèn)題。Granger提出一個(gè)判斷因果關(guān)系的一個(gè)檢驗(yàn)，這就是 Granger因果檢驗(yàn)。Granger因果檢驗(yàn)的思想如果x影響y,或者x是y的原因，此時(shí)x的變化必然先于y的變化，此時(shí)就須滿(mǎn)足兩個(gè)條件：1）x可以預(yù)測(cè)y,即根據(jù)y的過(guò)去值對(duì)y進(jìn)行回歸時(shí)，如果加上x(chóng)的過(guò)去值，能顯著增強(qiáng)回歸的解釋能力。2） 不能根據(jù)y預(yù)測(cè)x，因?yàn)槿绻鶕?jù)x預(yù)測(cè)y,又能根據(jù)y預(yù)測(cè)x，很可能x和y都是由第三個(gè)或其他變量決定。檢驗(yàn)步驟1）首先檢驗(yàn)零假設(shè)"x不影響y”即x不是y的granger原因。首先根據(jù)x和y的滯后值對(duì)y回歸（無(wú)限制回歸），然后用y的滯后值對(duì)y進(jìn)行回歸（有限制回歸）。即：m m無(wú)限制回歸：yt二：飛亠—二j%」亠二亠％i』 \=1m有限制回歸：yt二＞0亠二’：：iyt」亠5iT用F檢驗(yàn)來(lái)判斷x是否顯著了了無(wú)限制回歸的解釋能力。此時(shí)統(tǒng)計(jì)量RSS*-RSSrF= -Fr,n-k-1RSS；（n-k-1）RSS*是有限制回歸的殘差平方和， RSS使無(wú)限制回歸的殘差平方和。 n是樣本容量，k使無(wú)限制回歸變量的個(gè)數(shù)。 r是限制回歸模型中的變量個(gè)數(shù)。2）檢驗(yàn)y不影響x,即x不是y的granger原因。此時(shí)調(diào)換模型中的變量 x和y的位置，利用F統(tǒng)計(jì)量來(lái)檢驗(yàn)。如果一對(duì)時(shí)間序列是協(xié)整的，則至少在某一方面存在 granger原因?！?偽回歸現(xiàn)在考慮非平穩(wěn)序列回歸出現(xiàn)的問(wèn)題

設(shè) ：xt［是兩個(gè)無(wú)關(guān)的隨機(jī)游走過(guò)程，2% ；t ；t：IID0,c.2Xt=Xt丄Ut Ut:IID0,6且EUsi=0，任意的t,s。此時(shí)xt既不影響yt，也不受y的影響。建立模型yt=c亠.■■■Xt-Qp對(duì)于這種情況，-=0,R2—.0。Banerjee利用蒙特卡羅模擬得出結(jié)論：對(duì)于相互獨(dú)立的單整序列 lyl ，且5=1^.=1,x^=0,y^0，進(jìn)行回歸時(shí)，t統(tǒng)計(jì)量顯示了比正常檢驗(yàn)臨界值水平還高。也就是在相互獨(dú)立的序列進(jìn)行的實(shí)際回歸中,種現(xiàn)象就稱(chēng)為為回歸現(xiàn)象。二.偽回歸的產(chǎn)生原因也就是在相互獨(dú)立的序列進(jìn)行的實(shí)際回歸中,種現(xiàn)象就稱(chēng)為為回歸現(xiàn)象。二.偽回歸的產(chǎn)生原因經(jīng)常伴隨著高的R2，并且1系數(shù)顯著。這偽回歸現(xiàn)象產(chǎn)生的根本原因就是序列的非平穩(wěn)性。 設(shè)f 〈人？是兩個(gè)無(wú)關(guān)的隨機(jī)游走過(guò)程，并假設(shè)模型為yt二：X，e,Vt：IN0,；汀，此時(shí)建立統(tǒng)計(jì)推斷:TOC\o"1-5"\h\z原假設(shè)H0： 2-0XV J d此時(shí)根據(jù)OLS估計(jì)，.t2t。因?yàn)槭莾蓚€(gè)無(wú)關(guān)的隨機(jī)游走，貝U 一？的分二xt子，分母均為一種維納過(guò)程泛函。 （參見(jiàn)hendry和秦朵的《動(dòng)態(tài)經(jīng)濟(jì)計(jì)量學(xué)》第三章） 。2.Wr和Vr表示定義在r■1.0,11上的兩個(gè)相互獨(dú)立的維納過(guò)程，則于是可以證明:5二Vr于是可以證明:5二VrT2〒2T2〒2Tyt=t彳_2WrdrT—2T X2=；0||VrdrT—2T X2=；0||Vrdrt4 -10WrVrdr1于是—"：WrV2rJ

%2fWr)]dr1二；0WrVrdr但在零假設(shè)］=0條件下,t=廠1T“洶ILt4tTt42Xt此時(shí)有兩個(gè)特點(diǎn)：1）發(fā)散。2）分布不是常規(guī)的分布。從而利用 t統(tǒng)計(jì)量不能得到正確的檢驗(yàn)。直觀地看一下:yt=：xtet，如果：=0,則e也是11過(guò)程非平穩(wěn)。從而最小二乘估計(jì)不可用。二.偽回歸檢驗(yàn)我們利用殘差的平穩(wěn)性檢驗(yàn)來(lái)判斷是否存在偽回歸。如果殘差非平穩(wěn)，則是偽回歸。偽回歸的糾正方法：1）在回歸模型中包含自變量和因變量的一階滯后變量，即yt=：片 yt」 xtJL ut此時(shí)能夠消除偽回歸。即當(dāng) y和x不相關(guān)，則?和J?依概率收斂于零。2）對(duì)yt和Xt先做一階差分，從而使得 和變成平穩(wěn)過(guò)程，建立模型yt二：：片ut此時(shí)能夠消除偽回歸。即當(dāng) y和x不相關(guān)，則?依概率收斂于零。3） Cochrane-Orcutt方法（自相關(guān)問(wèn)題）如果yt=「':片ut，這里ut二:?ut4 ；t則根據(jù)廣義差分法，建立模型小一:y^=--1^rXxt 1進(jìn)行迭代估計(jì)，可以證明?依概率收斂于零?？偨Y(jié)1）偽回歸現(xiàn)象：對(duì)于任何兩個(gè)（或兩個(gè)以上）不相關(guān)的單位根過(guò)程，只要樣本量足夠大,檢驗(yàn)他們相關(guān)性的統(tǒng)計(jì)量一定呈顯著性，這就是偽回歸現(xiàn)象。2） 回歸分析將平穩(wěn)過(guò)程當(dāng)作非平穩(wěn)過(guò)程來(lái)處理是十分危險(xiǎn)的。因此回歸中必須分清平穩(wěn)過(guò)程和非平穩(wěn)過(guò)程。3） 偽回歸的本質(zhì)問(wèn)題是變量的非平穩(wěn)性?！?協(xié)整.定義TOC\o"1-5"\h\z□0 Q01?零階整10:對(duì)于n維線(xiàn)性過(guò)程 Xt八.Ci ；t_i，如果7 Ci =0,Ci為系數(shù),i=0 i=02；t：IID0,二，則稱(chēng)Xt為零階整的。2.1階整I1:如果心焉為I（0）過(guò)程，則n維隨機(jī)過(guò)程Xt稱(chēng)為1階整的。1（1）過(guò)程都t ::是非平穩(wěn)的，但非平穩(wěn)性可以通過(guò)差分消除。這里任何形式為 xt二g；t」,7 i=0當(dāng)C=0時(shí)，都是I1過(guò)程，3?協(xié)整：如果Xt為1階整的，但對(duì)于某些線(xiàn)性組合，只要恰當(dāng)?shù)倪x擇 「X。，1=0,:Xt變?yōu)槠椒€(wěn)的，則Xt稱(chēng)為協(xié)整，1稱(chēng)為協(xié)整向量，線(xiàn)性不相關(guān)的協(xié)整向量數(shù)目稱(chēng)為協(xié)整的秩。協(xié)整向量張成的空間稱(chēng)為協(xié)整空間。即表示為 -XtI0。說(shuō)明1） 協(xié)整向量1至少有兩個(gè)非零元素。2） 對(duì)于常數(shù)C,C:都是協(xié)整向量。3） 對(duì)于k個(gè)線(xiàn)性無(wú)關(guān)的Xt, —九…，4滿(mǎn)秩，則-Xt平穩(wěn)。協(xié)整的意義1?協(xié)整可以用來(lái)描述某些經(jīng)濟(jì)變量水平值間存在穩(wěn)定的長(zhǎng)期關(guān)系，也就是某些經(jīng)濟(jì)變量之間不能相互分離太遠(yuǎn)。也就是如果變量不存在協(xié)整性，他們可以任意分離。 協(xié)整向量

可以認(rèn)為是經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)中對(duì)變量長(zhǎng)期行為的限制條件。協(xié)整響亮多好還是少好協(xié)整向量多，經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)就越穩(wěn)定，即在盡可能多的方向上存在穩(wěn)定的關(guān)系。協(xié)整向量少，經(jīng)濟(jì)模型存在唯一的穩(wěn)定狀態(tài)均衡，這樣能夠獲得協(xié)整向量的精確估計(jì)。四?協(xié)整于長(zhǎng)期均衡的聯(lián)系如果yt-以=4,ut：I0,yt,xtI1,則此時(shí)yt和xt協(xié)整。這里ut可以測(cè)量“系統(tǒng)”的失衡程度，可以稱(chēng)為均衡誤差。如果是協(xié)整的,u統(tǒng)”的失衡程度，可以稱(chēng)為均衡誤差。如果是協(xié)整的,ut：I0，均衡誤差具有均值回返特性。如果不是協(xié)整的，則 ut：I1,則均衡誤差將會(huì)出現(xiàn)劇烈波動(dòng)，不具有均值回返特性。五?協(xié)整和偽回歸的關(guān)系2」yt=y」+q§：iid（°甩）對(duì)于 ，2非奇異。當(dāng)Xt班」U Ut:IID0,汛非奇異。當(dāng)yt二：Xtvt,Philips證明偽回歸的長(zhǎng)期協(xié)方差矩陣時(shí)，此時(shí)系統(tǒng)殘差非平穩(wěn)，為偽回歸。而對(duì)于協(xié)整方程，長(zhǎng)期協(xié)方差矩陣2奇異。此時(shí)％ ◎鳥(niǎo)CT” CT2農(nóng) Z-0,從而代名-—J-1。殘差矩陣奇異是系統(tǒng)為協(xié)整過(guò)程的必要條件。六.協(xié)整檢驗(yàn)1?對(duì)于回歸模型yt= +ut我們檢查Ut的生成過(guò)程：U^=;?Ut4 t是否是單位根過(guò)程。此種方法就是 E-G兩步法。2.Machinnon檢驗(yàn)方法：小樣本方法是一種從一般到特殊的檢驗(yàn)方法：對(duì)于k個(gè)I1序列冷旳，兇，k-1,t=1,2,?…,T可以建立三種協(xié)整回歸方程k_（1） X1t八：jXjt」tj丘k（2） Xit?o亠二.'■■jXj^—tj=2k（3）Xit?o?〉it亠二訂Xjt」t27為擾動(dòng)項(xiàng)。協(xié)整檢驗(yàn)的基本方法就是檢驗(yàn)其擾動(dòng)項(xiàng)的平穩(wěn)性，利用ADF檢驗(yàn)：l二u?-『-1u?」、i二1?丄；ti二l△u?Y°+（P-1）島+送％?丄+務(wù)i壬l△U? +§t+（P—1）U?4吃簽垃丄+可i3原假設(shè)：T=1，備則假設(shè)T：：：1o具體檢驗(yàn)步驟參見(jiàn)單位根檢驗(yàn)步驟。§3誤差修正模型ECM（E-G兩步法）作用：模型取決于解釋變量與因變量長(zhǎng)期關(guān)系得偏離以及對(duì)這些因變量的調(diào)整。一?設(shè)兩個(gè)經(jīng)濟(jì)序列yt和Xt是I1過(guò)程，并且是協(xié)整的，協(xié)整向量為 1,-1，則設(shè)yt=fXt=一：x，于是yt=:」:焉?二yt4-7xtvut，則這種模型稱(chēng)為誤差修正模型ECMo這個(gè)模型需要yt對(duì)厶％,yt/,xtj進(jìn)行回歸。因此誤差修正項(xiàng)yt4-：Xt/的系數(shù)可作為前期的y對(duì)lx之間偏離程度的測(cè)定及偏離的短期調(diào)整。從而ECM不再是使用變量的水平值或變量的差分變量來(lái)建模，而是把兩者有機(jī)的結(jié)合起來(lái)。短期看，.勺是由較穩(wěn)定的長(zhǎng)期趨勢(shì)和短期波動(dòng)所決定， 短期內(nèi)系統(tǒng)對(duì)于均衡狀態(tài)的偏離程度的大小直接導(dǎo)致波動(dòng)振幅的大小。長(zhǎng)期看，協(xié)整關(guān)系式起到吸引力的作用，將非均衡狀態(tài)拉回到均衡狀態(tài)。ECM能清楚地顯示出于長(zhǎng)期均衡偏離的程度，所以立刻顯示出關(guān)于這種偏離的調(diào)整信息。二.E-G兩步法的估計(jì)步驟方法1?建立靜態(tài)模型：y^ xtUt，進(jìn)行最小二乘估計(jì)并進(jìn)行協(xié)整檢驗(yàn)。利用誤差修正項(xiàng)C?=yt八--人，建立模型yt二a^Xt71?」?；t。利用ols估計(jì)參數(shù)，得到誤差修正模型。方法2?直接估計(jì)yt=cyt」'QXt-QXt二亠“。§4VAR模型一. 多元?jiǎng)討B(tài)線(xiàn)性回歸模型1?多元線(xiàn)性回歸模型形式為yt=jXti-2Xt2'…；t可以寫(xiě)成、*；t2.動(dòng)態(tài)多元線(xiàn)性回歸模型TOC\o"1-5"\h\zm mytVp ryt_L?7:iXt_Luti』 i=03.如果y=yi,,yni是一組向量，X=Xi,...,Xki,貝Um myt=C、A%丄'BjXt丄Uti=1 i=0這個(gè)模型就稱(chēng)為動(dòng)態(tài)多變量回歸模型或動(dòng)態(tài)結(jié)構(gòu)模型。 這里C為n1向量，A,...,Am是nn系數(shù)矩陣，B1,...,Bk是kn系數(shù)矩陣。ut為n1誤差向量。滿(mǎn)足Eg)=E(wYt*4,X；)=0EWtuSFE^uSY^X；鬥0yt4二％*...,y1*Xt=(Xt,,X1)對(duì)于動(dòng)態(tài)結(jié)構(gòu)模型，如果能夠?qū)懗扇缦滦问?/p>

Xt二'GXt丄 Ut模型稱(chēng)為VAR模型(向量自回歸模型)。向量自回歸模型是用模型中所有當(dāng)期變量對(duì)所有變量的若干滯后變量進(jìn)行回歸。VAR模型的擴(kuò)展VARMA模型p qXt「7Mt」—「帚Uti4 j：4或者寫(xiě)為■-Byt-vBut。對(duì)于k階VAR模型，可以寫(xiě)為VAR(k)kXt CiXt丄Ut二GY」。2丫七…CkYt上Uti呂這里Ut：IID0,"，其中Ci,...,Ck都是nn階系數(shù)矩陣，Ut為n1階隨機(jī)誤差項(xiàng)向量。門(mén)是NN階方差協(xié)方差矩陣。或者寫(xiě)成6.VAR(2)模型為或者寫(xiě)成C111C1122C211C212ryj巾1「—++0」lC121 C122JlC221 C222/lxtd丿yt -C111yt 4'C112Xt1 'C211 yt-2 'C212Xt-2 '4tXt -C121yt 1C122Xt1C221 yt-2C222Xt-2 U2t根據(jù)誤差項(xiàng)的假設(shè)，可以用 OLS進(jìn)行估計(jì)。二.滯后階數(shù)k的確定：k過(guò)大，自由度降低。k過(guò)小，誤差項(xiàng)自相關(guān)較嚴(yán)重。LR統(tǒng)計(jì)量(似然比統(tǒng)計(jì)量)LR=-2logLk-logLk1 ：匚這里k表示模型中滯后變量的最大滯后期， logLk和logLk1分別為VARk和VARk1模型的極大似然估計(jì)值。極大似然估計(jì)的最大值為logL(C1,...,CkX1,...,Xt)=C0—2log良

其中3=丄瓦u其中3=丄瓦u；?rTt丄ctnIcTNCo logi.2：TNlog2二12此時(shí)LR統(tǒng)計(jì)量漸進(jìn)服從n2分布。當(dāng)LRLR臨界值時(shí)，表示統(tǒng)計(jì)量顯著，此時(shí)表示增加滯后值能夠顯著增大極大似然的估計(jì)值。AIC赤池信息準(zhǔn)則AICdog丄、AICdog丄、Tt4I?表示殘差，T表示樣本容量，k表示最大滯后期。3.SC舒瓦茨準(zhǔn)則(BIC)廠‘『1丄\klogTBIC=log U2IT心丿TVAR模型的特點(diǎn):VAR不宜嚴(yán)格的經(jīng)濟(jì)理論為依據(jù)，在建模過(guò)程中僅需要確定兩件事： 1)共有那些變量相互之間有關(guān)系。2)確定滯后期。VAR模型沒(méi)有參數(shù)的零約束。VAR模型中有相當(dāng)多的參數(shù)需要估計(jì)。§5 VAR模型的協(xié)整一.對(duì)于VAR模型Y-TTiY^匸2Y,?…匸kY「Ut (1)這里utIID0/1。如果Y；:I1非平穩(wěn)，則變換參數(shù)厶Y _2代忍—k,Y_匸(2)其中厶為一階差分算子， Y；表示對(duì)向量Y；中全部變量取一階差分后的N1階列向量?！鰅—I二…二,i=1,…，k二二Fk=T?二1?…??二k稱(chēng)為影響矩陣或壓縮矩陣。從（1）到（2）的變換稱(chēng)為協(xié)整變換。因?yàn)?Y：I1，所以Yt:I0于是，如果二Y上非平穩(wěn)，則Yt的分量不存在協(xié)整關(guān)系。 如果二Ytj.平穩(wěn)，則Y的分量存在協(xié)整關(guān)系。二?二Y上的特征兩種極端情形：1）Y所包含的變量不存在任何協(xié)整關(guān)系，如果 二Y上平穩(wěn)，則必然二=O,rk二=0。2）Y所包含的變量不存在任何協(xié)整關(guān)系， rk二二N，如果二Y丄平穩(wěn)，則必然Yt所包含的變量都是平穩(wěn)的。第三種情形：如果Yt非平穩(wěn)，則二平穩(wěn)意味著Yt中的變量一定存在協(xié)整關(guān)系。此時(shí)rk二二r,0:::r::N，則此時(shí)二可以分解為二八「，其中〉「都是Nr矩陣，一：稱(chēng)作協(xié)整參數(shù)矩陣， 1的每一列都是一個(gè)協(xié)整向量，卩：."，…，二共有r個(gè)協(xié)整向量化：I0。結(jié)論：協(xié)整向量的最大可能個(gè)數(shù)是 r二N-1。邙JP2此時(shí)口￥乂=口0 =（円，^2,…，□「）- 具有誤差修正形式。三.協(xié)整參數(shù)矩陣的估計(jì)（JOHANSEN估計(jì)）：要正確的估計(jì)r其估計(jì)是在二二：上?成立條件下，通過(guò)選擇不同的 r值，對(duì)極大似然法對(duì)VAR模型飛-「WJ…「甘Jdu進(jìn)行估計(jì)。估計(jì)過(guò)程如下：1?用樣本數(shù)據(jù)確定協(xié)整參數(shù)矩陣 1的秩r，對(duì)于任何r<N，模型的零假設(shè)是：H°:r二-r,或者說(shuō)二「上I其中:-都是Nr矩陣。2.構(gòu)造LR統(tǒng)計(jì)量，得到極大似然函數(shù)：

logL［「1logL［「1-ki,__丫1，…,齊=Co-§log'?3=丄遲uu其中Tt-c tn, cTNTN, c dCo