2022-2023學年廣東省陽江市同心中學高三數(shù)學文期末試題含解析

2022-2023學年廣東省陽江市同心中學高三數(shù)學文期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.已知等比數(shù)列公比為，其前項和為，若、、成等差數(shù)列，則等于（

）A．1

B．

C．或1

D．參考答案：B2.甲、乙兩名同學在5次體能測試中的成績的莖葉圖如圖所示，設(shè)，分別表示甲、乙兩名同學測試成績的平均數(shù)，s1，s2分別表示甲、乙兩名同學測試成績的標準差，則有(

) A．，s1＜s2 B．，s1＞s2 C．，s1＞s2 D．，s1=s2參考答案：B考點：莖葉圖．專題：概率與統(tǒng)計．分析：根據(jù)莖葉圖中的數(shù)據(jù)，計算出甲、乙同學測試成績的平均數(shù)與方差、標準差，即可得出結(jié)論．解答： 解：根據(jù)莖葉圖中的數(shù)據(jù)，得；甲同學測試成績的平均數(shù)是=（76+76+82+88+88）=82，乙同學測試成績的平均數(shù)是=（76+78+83+86+87）=82；甲同學測試成績的方差是：=[（76﹣82）2+（76﹣82）2+（82﹣82）2+（88﹣82）2+（88﹣82）2]=，標準差是s1=，乙同學測試成績的方差是=[（﹣6）2+（﹣4）2+12+（4）2+52]=，標準差是s2=．∴=，s1＞s2．故選：B．點評：本題考查了莖葉圖的應(yīng)用問題，也考查了平均數(shù)、方差、標準差的計算問題，是基礎(chǔ)題．3.已知F1（﹣c，0），F(xiàn)2（c，0）為橢圓的兩個焦點，P為橢圓上一點且，則此橢圓離心率的取值范圍是（）A．B．C．D．參考答案：C考點：橢圓的簡單性質(zhì)；向量在幾何中的應(yīng)用．專題：計算題；壓軸題．分析：設(shè)P（m，n），由得到n2=2c2﹣m2

①．把P（m，n）代入橢圓得到b2m2+a2n2=a2b2

②，把①代入②得到m2的解析式，由m2≥0及m2≤a2求得的范圍．解答：解：設(shè)P（m，n），=（﹣c﹣m，﹣n）?（c﹣m，﹣n）=m2﹣c2+n2，∴m2+n2=2c2，n2=2c2﹣m2

①．把P（m，n）代入橢圓得

b2m2+a2n2=a2b2

②，把①代入②得m2=≥0，∴a2b2≤2a2c2，b2≤2c2，a2﹣c2≤2c2，∴≥．又

m2≤a2，∴≤a2，∴≤0，a2﹣2c2≥0，∴≤．綜上，≤≤，故選C．點評：本題考查兩個向量的數(shù)量積公式，以及橢圓的簡單性質(zhì)的應(yīng)用．4.在矩形ABCD中，，，點E為BC的中點，點F在CD，若，則的值（）A. B.2 C.0 D.1參考答案：A【分析】以為原點建立直角坐標系，可以得到各點的坐標，然后表示出相應(yīng)向量的坐標，再對向量進行坐標運算，得到結(jié)果.【詳解】建立如圖所示的坐標系，可得，，，，，，解得，，，.故選A項．【點睛】本題考查通過建立直角坐標系，將向量問題坐標化后解決，考查了向量坐標的線性運算和數(shù)量積，屬于中檔題.5.已知點，，若直線：與線段AB沒有交點，則的取值范圍是（）A.

B.

C.或

D.參考答案：C6.如圖，平面四邊形ABCD中，，，點E在對角線AC上，AC=4，AE=1，則的值為A．17 B．13C．5 D．1參考答案：D7.三棱錐S﹣ABC的所有頂點都在球O的表面上，SA⊥平面ABC，AB⊥BC，又SA=AB=BC=1，則球O的表面積為（）A． B． C．3π D．12π參考答案：C【考點】球的體積和表面積．【分析】根據(jù)題意，三棱錐S﹣ABC擴展為正方體，正方體的外接球的球心就是正方體體對角線的中點，求出正方體的對角線的長度，即可求解球的半徑，從而可求三棱錐S﹣ABC的外接球的表面積．【解答】解：三棱錐S﹣ABC的所有頂點都在球O的表面上，SA⊥平面ABC，AB⊥BC，又SA=AB=BC=1，三棱錐擴展為正方體的外接球，外接球的直徑就是正方體的對角線的長度，∴球的半徑R==．球的表面積為：4πR2=4=3π．故選：C．8.設(shè)的值是（

）A． B． C． D．參考答案：C略9.若的三個內(nèi)角A,B,C滿足,則()

A.一定是銳角三角形

B.一定是直角三角形

C.一定是鈍角三角形

D.可能是銳角三角形,也可能是鈍角三角形參考答案：C略10.已知平面向量，，且，則的值為（

）

A.－3

B.-1

C.1

D.3參考答案：C二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知向量，，且滿足，則實數(shù)_______．參考答案：略12.函數(shù)的最小正周期為＿＿＿＿＿＿＿.參考答案：13.已知是圓的切線，切點為，直線交圓于兩點，,，則圓的面積為____________．參考答案：略14.從編號為0,1,2，…，79的80件產(chǎn)品中，采用系統(tǒng)抽樣的方法抽取容量是10的樣本，若編號為58的產(chǎn)品在樣本中，則該樣本中產(chǎn)品的最大編號為________．參考答案：74【知識點】系統(tǒng)抽樣方法I2

解析：樣本間隔為80÷10=8，設(shè)第一個號碼為x，∵編號為58的產(chǎn)品在樣本中，則58=8×7+2，則第一個號碼為2，則最大的編號2+8×9=74，故答案為：74.【思路點撥】根據(jù)系統(tǒng)抽樣的定義求出樣本間隔即可得到結(jié)論．15.已知O為坐標原點，點A（2，0），動點P與兩點O、A的距離之比為1：，則P點軌跡方程是．參考答案：（x+1）2+y2=3考點：軌跡方程．專題：計算題；直線與圓．分析：設(shè)P（x，y），由已知條件利用兩點間距離公式得（x﹣2）2+y2=3（x2+y2），由此能求出P點的軌跡方程．解答：解：設(shè)P（x，y），∵動點P到兩點O、A的距離之比為1：，∴|PA|=|PO|，∴（x﹣2）2+y2=3（x2+y2），化簡得（x+1）2+y2=3，故答案為：（x+1）2+y2=3．點評：本題考查點的軌跡方程的求法，考查學生的計算能力，比較基礎(chǔ)．16.已知向量滿足的夾角為，則參考答案：

17.校團委組織“中國夢，我的夢”知識演講比賽活動，現(xiàn)有4名選手參加決賽，若每位選手都可以從4個備選題目中任選出一個進行演講，則恰有一個題目沒有被這4位選手選中的情況有

種．參考答案：144三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.春節(jié)期間，某微信群主發(fā)60個隨機紅包（即每個人搶到的紅包中的錢數(shù)是隨機的，且每人只能搶一個），紅包被一搶而空，后據(jù)統(tǒng)計，60個紅包中錢數(shù)（單位：元）分配如下頻率分布直方圖所示（其分組區(qū)間為[0，1），[1，2），[2，3），[3，4），[4，5））．（1）試估計該群中某成員搶到錢數(shù)不小于3元的概率；（2）若該群中成員甲、乙兩人都搶到4.5元紅包，現(xiàn)系統(tǒng)將從搶到4元及以上紅包的人中隨機抽取2人給群中每個人拜年，求甲、乙兩人至少有一人被選中的概率．參考答案：【考點】頻率分布直方圖．【專題】概率與統(tǒng)計．【分析】（1）根據(jù)頻率分布直方圖，求出不小于3的頻率是多少即可；（2）利用列舉法計算基本事件數(shù)以及對應(yīng)的概率是多少．【解答】解：（1）根據(jù)頻率分布直方圖，得；該群中搶到紅包的錢數(shù)不小于3元的頻率是1﹣0.05﹣0.20﹣0.40=0.35，∴估計該群中某成員搶到錢數(shù)不小于3元的概率是0.35；（2）該群中搶到錢數(shù)不小于4元的頻率為0.10，對應(yīng)的人數(shù)是60×0.10=6，記為1、2、3、4、甲、乙；現(xiàn)從這6人中隨機抽取2人，基本事件數(shù)是12，13，14，1甲，1乙，23，24，2甲，2乙，34，3甲，3乙，4甲，4乙，甲乙共15種；其中甲乙兩人至少有一人被選中的基本事件為1甲，1乙，2甲，2乙，3甲，3乙，4甲，4乙，甲乙共9種；∴對應(yīng)的概率為P==．【點評】本題考查了頻率分布直方圖的應(yīng)用問題，也考查了用列舉法求古典概型的概率問題，是基礎(chǔ)題目．19.（滿分１５分）動圓過定點且與直線相切，圓心的軌跡為曲線，過作曲線兩條互相垂直的弦，設(shè)的中點分別為、.（1）求曲線的方程；（2）求證：直線必過定點.Ks5u參考答案：解：（1）設(shè)，則有，化簡得……………6分（2）設(shè)，代入得，，,故………………10分因為，所以將點坐標中的換成，即得。則

，整理得,故不論為何值，直線必過定點.………………15分略20.已知函數(shù)f（x）=x（x﹣a）2，g（x）=﹣x2+（a﹣1）x（其中a為常數(shù)）（1）如果函數(shù)y=f（x）和y=g（x）有相同的極值點，求a的值，并寫出函數(shù)y=f（x）的單調(diào)區(qū)間；（2）求方程f（x）﹣g（x）=0在區(qū)間上實數(shù)解的個數(shù)．參考答案：考點：利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；利用導數(shù)研究函數(shù)的極值．專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；導數(shù)的綜合應(yīng)用．分析：（1）求出函數(shù)y=f（x）的導數(shù)，求出極值點，通過與y=g（x）有相同的極值點相同，求a的值，利用導數(shù)值的符號直接寫出函數(shù)y=f（x）的單調(diào)區(qū)間；（2）化簡方程f（x）﹣g（x）=0，構(gòu)造函數(shù)，通過a的討論，利用判別式是否為0，即可求解在區(qū)間上實數(shù)解的個數(shù)．解答： （本小題滿分13分）解：（1）f（x）=x（x﹣a）2=x3﹣2ax2+a2x，則f'（x）=3x2﹣4ax+a2=（3x﹣a）（x﹣a），…令f'（x）=0，得x=a或，而二次函數(shù)g（x）在處有極大值，∴或；綜上：a=3或a=﹣1．…當a=3時，y=f（x）的單調(diào)增區(qū)間是（﹣∞，1]，，滿足題意，即原方程有一解，x=a∈；

…2°當a=3時，△=0，h（x）=0的解為x=1，故原方程有兩解，x=1，3；3°當a=﹣1時，△=0，h（x）=0的解為x=﹣1，故原方程有一解，x=﹣1；4°當a＞3時，△＞0，由于h（﹣1）=a+1＞4，h（0）=1，h（3）=13﹣3a若時，h（x）=0在上有一解，故原方程有一解；若，h（x）=0在上有兩解，故原方程有兩解若時，h（x）=0在上兩解，故原方程有兩解；5°當a＜﹣1時，△＞0，由于h（﹣1）=a+1＜0，h（0）=1，h（3）=13﹣3a＞0，h（x）=0在上有一解，故原方程有一解；

…綜上可得：當時，原方程在上兩解；當a＜3或時，原方程在上有一解…．點評：本題考查函數(shù)與導數(shù)的應(yīng)用，函數(shù)的極值以及函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，函數(shù)的零點的判斷，考查分類討論思想的應(yīng)用，轉(zhuǎn)化思想以及計算能力．21.設(shè)f（x）=|x﹣1|+|x+1|． （1）求f（x）≤x+2的解集； 參考答案：【考點】函數(shù)恒成立問題；絕對值不等式的解法． 【分析】（1）運用絕對值的含義，對x討論，分x≥1，﹣1＜x＜1，x≤﹣1，去掉絕對值，得到不等式組，解出它們，再求并集即可得到解集； （2）運用絕對值不等式的性質(zhì)，可得不等式右邊的最大值為3，再由不等式恒成立思想可得f（x）≥3，再由去絕對值的方法，即可解得x的范圍． 【解答】解：（1）由f（x）≤x+2得： 或或， 即有1≤x≤2或0≤x＜1或x∈?， 解得0≤x≤2， 所以f（x）≤x+2的解集為[0，2]；

（2）=|1+|﹣|2﹣|≤|1++2﹣|=3， 當且僅當（1+）（2﹣）≤0時，取等號． 由不等式f（x）≥對任意實數(shù)a≠0恒成立， 可得|x﹣1|+|x+1|≥3，即或或， 解得x≤﹣或x≥， 故實數(shù)x的取值范圍是（﹣∞，﹣]∪[，+∞）． 【點評】本題考查絕對值不等式的解法，同時考查不等式恒成立問題的求法，運用分類討論的思想方法和絕對值不等式的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵． 22.設(shè)函數(shù)f（x）=（x+1）lnx﹣a（x﹣1）．（1）若函數(shù)f（x）的圖象與直線y=x﹣1相切，求a的值；（2）當1＜x＜2時，求證：．參考答案：【考點】6E：利用導數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值；6H：利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程．【分析】（1），設(shè)切點為（x0，y0），則切線為y﹣y0=f'（x0）（x﹣x0），又切線為y=x﹣1，可得，消a，再利用函數(shù)的單調(diào)性即可得出x0，a．（2）令，所以，可得其單調(diào)性．g（x）min=g（x）極小值=g（1）=2﹣a，當a≤2時，即2﹣a≥0時，g（x）≥g（1）≥0，即f'（x）≥0，故a=2時，f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，進而證明結(jié)論．【解答】（1）解：，設(shè)切點為（x0，y0），則切線為y﹣y0=f'（x0）（x﹣x0），即，又切線為y=x﹣1，所以，消a，得，設(shè)，易得g（x）為減函數(shù)，且g（1）=0，所以x0=1，a=1（2）證明：令，所以，當x＞1時，g'（