2022-2023學(xué)年廣東省廣州市新元中學(xué)高三數(shù)學(xué)理月考試題含解析

2022-2023學(xué)年廣東省廣州市新元中學(xué)高三數(shù)學(xué)理月考試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.設(shè)，則a，b，c的大小關(guān)系是(

)A．a(chǎn)＞b＞c B．a(chǎn)＞c＞b C．b＞a＞c D．b＞c＞a參考答案：A【考點(diǎn)】對(duì)數(shù)值大小的比較；不等式比較大?。痉治觥扛鶕?jù)指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性判斷出abc的范圍即可得到答案．【解答】解：∵a=20.1＞20=10=ln1＜b=ln＜lne=1c=＜log31=0∴a＞b＞c故選A．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，即當(dāng)?shù)讛?shù)大于1時(shí)單調(diào)遞增，當(dāng)?shù)讛?shù)大于0小于1時(shí)單調(diào)遞減．2.已知二次函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為，，與軸恰有一個(gè)交點(diǎn)，則的最小值為（

）A．3

B．

C．2

D．參考答案：A略3.設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)镽，且，若則函數(shù)的最小值是（

）A．1

B．3

C．

D．參考答案：B略4.復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在復(fù)平面位于(

)

A.第一象限

B.第二象限

C.第三象限

D.第四象限

參考答案：A略5.設(shè)的最大值為A

2

B

C

1

D參考答案：C解析：因?yàn)椋?..已知x，y滿足約束條件，則的最大值與最小值之和為（

）A.4 B.6 C.8 D.10參考答案：C【分析】首先畫(huà)出可行域，然后求得最大值和最小值，最后求解兩者之和即可.【詳解】繪制不等式組表示的平面區(qū)域如圖所示，目標(biāo)函數(shù)即：，其中z取得最大值時(shí)，其幾何意義表示直線系在y軸上的截距最大，據(jù)此結(jié)合目標(biāo)函數(shù)的幾何意義可知目標(biāo)函數(shù)在點(diǎn)處取得最大值，據(jù)此可知目標(biāo)函數(shù)的最大值為：，其中z取得最小值時(shí)，其幾何意義表示直線系在y軸上的截距最小，據(jù)此結(jié)合目標(biāo)函數(shù)的幾何意義可知目標(biāo)函數(shù)在點(diǎn)A處取得最小值，聯(lián)立直線方程：，可得點(diǎn)的坐標(biāo)為：，據(jù)此可知目標(biāo)函數(shù)的最小值為：.綜上可得：的最大值與最小值之和為8.故選：C.【點(diǎn)睛】求線性目標(biāo)函數(shù)z＝ax＋by(ab≠0)的最值，當(dāng)b＞0時(shí)，直線過(guò)可行域且在y軸上截距最大時(shí)，z值最大，在y軸截距最小時(shí)，z值最??；當(dāng)b＜0時(shí)，直線過(guò)可行域且在y軸上截距最大時(shí)，z值最小，在y軸上截距最小時(shí)，z值最大.7.設(shè)集合A=，B=，則滿足的集合M的個(gè)數(shù)是()高考資源網(wǎng)首發(fā)A.0

B.1

C.2

D.3參考答案：C略8.已知集合，則等于

A．

B．

C．

D．參考答案：答案：D9.在等差數(shù)列{an}中，a1=2，a3+a5=10，則a7=(

)A．5

B．8

C．10

D．14參考答案：B10.已知全集，集合，，那么集合(

)A．B．

C．D．參考答案：B二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.定義是向量和的“向量積”，它的長(zhǎng)度，其中為向量和的夾角，若，，則

.參考答案：12.在長(zhǎng)為10的線段AB上任取一點(diǎn)C，并以線段AC為邊作正方形，這個(gè)正方形的面積介于25與49之間的概率為．參考答案：∵以線段AC為邊的正方形的面積介于25cm2與49cm2之間∴線段AC的長(zhǎng)介于5cm與7cm之間滿足條件的C點(diǎn)對(duì)應(yīng)的線段長(zhǎng)2cm而線段AB總長(zhǎng)為10cm

故正方形的面積介于25cm2與49cm2之間的概率P==13.如圖所示，墻上掛有一邊長(zhǎng)為的正方形木板，它的四個(gè)角的空白部分都是以正方形的頂點(diǎn)為圓心，半徑為的圓弧，某人向此板投鏢，假設(shè)每次都能擊中木板，且擊中木板上每個(gè)點(diǎn)的可能性都一樣，則他擊中陰影部分的概率是__

▲

___．參考答案：答案：14.如圖所示,滿足的點(diǎn)(x,y)圍成的區(qū)域記為A,區(qū)城A內(nèi)的兩條曲線分別為函數(shù),圖象的部分曲線,若向區(qū)域A內(nèi)隨機(jī)投擲一個(gè)質(zhì)點(diǎn),則質(zhì)點(diǎn)落在陰影部分的概率為_(kāi)_______.參考答案：【分析】利用定積分可求解區(qū)域中非陰影部分面積為，利用割補(bǔ)法即得，再利用面積比即得解.【詳解】不妨設(shè)與交點(diǎn)為A，則，與x軸交點(diǎn)為B，則；曲線在與x軸所圍的曲邊梯形面積：故在與y軸所圍的曲邊梯形面積：由于，互為反函數(shù)，圖像關(guān)于y=x對(duì)稱(chēng)，因此圖象中兩塊非陰影部分面積相等，因此故：若向區(qū)域A內(nèi)隨機(jī)投擲一個(gè)質(zhì)點(diǎn),則質(zhì)點(diǎn)落在陰影部分的概率為：故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查了定積分與幾何概型綜合，考查了學(xué)生數(shù)形集合，轉(zhuǎn)化劃歸，數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力，屬于中檔題.15.已知F1，F(xiàn)2分別為橢圓的左、右焦點(diǎn)，且點(diǎn)A是橢圓C上一點(diǎn)，點(diǎn)M的坐標(biāo)為(2,0)，若AM為的角平分線，則___________.參考答案：【分析】由題意可知：A在y軸左側(cè)，3，根據(jù)橢圓的性質(zhì)可知：|AF1|+|AF2|＝2a＝10，即可求得|AF2|的值．【詳解】解：由題意可知：∠F1AM＝∠MAF2，設(shè)A在y軸左側(cè)，∴3，由|AF1|+|AF2|＝2a＝10，A在y軸右側(cè)時(shí)，|AF2|，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查橢圓的幾何性質(zhì)及角平分線的性質(zhì)，屬于基本知識(shí)的考查．16.定義在R上的運(yùn)算：x*y=x（1﹣y），若不等式（x﹣y）*（x+y）＜1對(duì)一切實(shí)數(shù)x恒成立，則實(shí)數(shù)y的取值范圍是

．參考答案：17.已知集合A={}，，則

▲

.參考答案：三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18.已知函數(shù)f（x）的導(dǎo)函數(shù)為f′（x），且對(duì)任意x＞0，都有f′（x）＞．（Ⅰ）判斷函數(shù)F（x）=在（0，+∞）上的單調(diào)性；（Ⅱ）設(shè)x1，x2∈（0，+∞），證明：f（x1）+f（x2）＜f（x1+x2）；（Ⅲ）請(qǐng)將（Ⅱ）中的結(jié)論推廣到一般形式，并證明你所推廣的結(jié)論．參考答案：【考點(diǎn)】6B：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性．【分析】（Ⅰ）求出導(dǎo)數(shù)F'（x），根據(jù)條件判斷導(dǎo)數(shù)在（0，+∞）內(nèi)的符號(hào)，從而說(shuō)明函數(shù)F（x）的單調(diào)性；（Ⅱ）運(yùn)用（Ⅰ）的結(jié)論證明，注意應(yīng)用累加法；（Ⅲ）先寫(xiě)出推廣的結(jié)論，然后運(yùn)用（Ⅰ）的結(jié)論證明，并注意累加．【解答】解：（Ⅰ）對(duì)F（x）求導(dǎo)數(shù)，得F′（x）=，∵f′（x）＞，x＞0，∴xf′（x）＞f（x），即xf′（x）﹣f（x）＞0，∴F′（x）＞0，故F（x）=在（0，+∞）上是增函數(shù)；（Ⅱ）∵x1＞0，x2＞0，∴0＜x1＜x1+x2．由（Ⅰ），知F（x）=在（0，+∞）上是增函數(shù)，∴F（x1）＜F（x1+x2），即＜，∵x1＞0，∴f（x1）＜f（x1+x2），同理可得f（x2）＜f（x1+x2），以上兩式相加，得f（x1）+f（x2）＜f（x1+x2）；（Ⅲ）（Ⅱ）中結(jié)論的推廣形式為：設(shè)x1，x2，…，xn∈（0，+∞），其中n≥2，則f（x1）+f（x2）+…+f（xn）＜f（x1+x2+…+xn）．∵x1＞0，x2＞0，…，xn＞0，∴0＜x1＜x1+x2+…+xn．由（Ⅰ），知F（x）=在（0，+∞）上是增函數(shù)，∴F（x1）＜F（x1+x2+…+xn），即＜．∵x1＞0，∴f（x1）＜f（x1+x2+…+xn）．同理可得f（x2）＜f（x1+x2+…+xn），f（x3）＜f（x1+x2+…+xn），…f（xn）＜f（x1+x2+…+xn），以上n個(gè)不等式相加，得f（x1）+f（x2）+…+f（xn）＜f（x1+x2+…+xn）．19.（本小題滿分12分）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，其中是不為零的常數(shù)．（Ⅰ）證明：數(shù)列是等比數(shù)列；（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，數(shù)列滿足，，求數(shù)列的通項(xiàng)公式．參考答案：（Ⅰ）證明：因?yàn)?則， 所以當(dāng)時(shí)，，整理得．-------------4分由，令，得，解得．所以是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列．

-----------------6分（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，由（Ⅰ）知，則， 由，得，

-----------------8分當(dāng)時(shí)，可得＝，

-----------------10分 當(dāng)時(shí)，上式也成立．

∴數(shù)列的通項(xiàng)公式為．

-----------------12分20.1,3,5

（本小題滿分12分）已知各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列中，是數(shù)列的前項(xiàng)和，對(duì)任意，有.函數(shù)，數(shù)列的首項(xiàng).（Ⅰ）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）令求證：是等比數(shù)列并求通項(xiàng)公式；

（Ⅲ）令，，求數(shù)列的前n項(xiàng)和.參考答案：解:（Ⅰ）由

①

得

②

---------1分

由②—①，得

即：

---------2分

由于數(shù)列各項(xiàng)均為正數(shù)，

------------3分

即

數(shù)列是首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列，數(shù)列的通項(xiàng)公式是

----------4分（Ⅱ）由知，所以，

------------5分有，即，---------6分而，故是以為首項(xiàng)，公比為2的等比數(shù)列。

---------7分所以

---------8分（Ⅲ），

-------9分所以數(shù)列的前n項(xiàng)和

錯(cuò)位相減可得

----------12分略21.某中學(xué)為豐富教職工生活，在元旦期間舉辦趣味投籃比賽，設(shè)置A，B兩個(gè)投籃位置，在A點(diǎn)投中一球得1分，在B點(diǎn)投中一球得2分，規(guī)則是：每人按先A后B的順序各投籃一次（計(jì)為投籃兩次），教師甲在A點(diǎn)和B點(diǎn)投中的概率分別為和，且在A，B兩點(diǎn)投中與否相互獨(dú)立（1）若教師甲投籃兩次，求教師甲投籃得分0分的概率（2）若教師乙與教師甲在A，B投中的概率相同，兩人按規(guī)則投籃兩次，求甲得分比乙高的概率．參考答案：【考點(diǎn)】古典概型及其概率計(jì)算公式．【分析】（1）設(shè)“教師甲投籃得分0分”為事件A，利用對(duì)立事件概率計(jì)算公式和相互獨(dú)立事件概率乘法公式能求出教師甲投籃得分0分的概率．（2）設(shè)“甲得分比乙高”為