對稱少自由度并聯(lián)機(jī)構(gòu)動(dòng)力學(xué)分析

對稱少自由度并聯(lián)機(jī)構(gòu)動(dòng)力學(xué)分析

與六個(gè)多樣性聯(lián)合的系統(tǒng)相比，一個(gè)缺乏交叉的系統(tǒng)具有結(jié)構(gòu)簡單、制造成本低、控制簡單等優(yōu)點(diǎn)。少自由度并聯(lián)機(jī)構(gòu)可制成即插即用的功能模塊(并聯(lián)動(dòng)力頭),重構(gòu)能力極強(qiáng),可用以搭建高速數(shù)控加工單元或需優(yōu)勢方向的制造系統(tǒng)。其中,最具代表性的并聯(lián)動(dòng)力頭當(dāng)屬德國DS公司的SprintZ3頭,其拓?fù)錁?gòu)型為3-PRS機(jī)構(gòu),可實(shí)現(xiàn)一平動(dòng)兩轉(zhuǎn)動(dòng),目前已成功應(yīng)用于飛機(jī)機(jī)翼等大型結(jié)構(gòu)件的高速、精密加工。鑒于Z3頭的成功經(jīng)驗(yàn),本文擬對3-RPS機(jī)構(gòu)進(jìn)行研究。該機(jī)構(gòu)最初由Hunt提出,其運(yùn)動(dòng)、動(dòng)力性能均與3-PRS機(jī)構(gòu)類似,目前已受到學(xué)術(shù)界的廣泛關(guān)注。由于自由度數(shù)目小于6,少自由度并聯(lián)機(jī)構(gòu)的支鏈不僅傳遞驅(qū)動(dòng)力/力矩,同時(shí)還需為末端提供約束力/力矩。迄今,國內(nèi)外學(xué)者已對該類機(jī)構(gòu)的逆動(dòng)力學(xué)問題進(jìn)行了初步研究,其建模方法涉及Lagrange方程、虛功(率)原理、凱恩方程、牛頓歐拉法等。然而,上述研究均僅考慮了驅(qū)動(dòng)力/力矩的需求分析,而對于約束力/力矩特性并未給予應(yīng)有的重視。本文采用矢量法建立了3-RPS機(jī)構(gòu)的逆運(yùn)動(dòng)學(xué)模型,并基于牛頓歐拉法推導(dǎo)了機(jī)構(gòu)的剛體動(dòng)力學(xué)方程。給定動(dòng)平臺(tái)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律及外載荷后,可一并求解機(jī)構(gòu)所需的驅(qū)動(dòng)力與約束力矩。計(jì)算實(shí)例表明,與動(dòng)平臺(tái)自由速度方向不一致的外載荷主要需由約束力矩平衡,廣義約束力對少自由度對稱并聯(lián)機(jī)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)設(shè)計(jì)具有重要影響。1ps-u-生長曲線圖1所示3-RPS機(jī)構(gòu),由定平臺(tái)A1A2A3、動(dòng)平臺(tái)B1B2B3及連接兩平臺(tái)的3條支鏈組成。定、動(dòng)平臺(tái)均采用等邊三角形布局,其外接圓半徑分別為a和b。支鏈的結(jié)構(gòu)形式均為RPS,即轉(zhuǎn)動(dòng)副→移動(dòng)副→球副。其中,移動(dòng)副為主驅(qū)動(dòng)關(guān)節(jié),轉(zhuǎn)動(dòng)副的旋轉(zhuǎn)軸均位于定平臺(tái)所在平面,且與定平臺(tái)外接圓相切。分別以定、動(dòng)平臺(tái)的幾何中心O和P為原點(diǎn),建立笛卡兒坐標(biāo)系O-xyz,P-uvw。其中,x軸和y軸分別與向量ˉΟA1和ˉA3A2同向,z軸由右手定則確定;u軸和v軸分別與向量ˉΟB1和ˉB3B2同向,w軸由右手定則確定。在支鏈的連架鉸鏈處建立支鏈坐標(biāo)系A(chǔ)i-xiyizi(i=1～3),zi軸與向量ˉAiBi同向,yi軸與轉(zhuǎn)動(dòng)副旋轉(zhuǎn)軸重合,其正方向?yàn)槔@定平臺(tái)的外接圓逆時(shí)針方向,xi軸由右手定則確定。1.1閉環(huán)約束方程動(dòng)坐標(biāo)系P-uvw相對于定坐標(biāo)系O-xyz的旋轉(zhuǎn)矩陣可表示為ARB=[cosβsinβsinαsinβcosα0cosαsinα-sinβcosβsinαcosβcosα](1)式中:α和β分別為動(dòng)坐標(biāo)系繞x,y軸的歐拉角。動(dòng)平臺(tái)的角速度可表示為ωΡ=[˙α+˙βsinβsinα˙βcosα˙βcosβsinα](2)式中:˙α,˙β分別為歐拉角α,β對時(shí)間的導(dǎo)數(shù)。由圖1可知,定坐標(biāo)系下機(jī)構(gòu)的閉環(huán)約束方程為qi=ai+disi=p+bi(3)式中:ai=ˉΟAi;bi=ˉΡBi;p=ˉΟΡ;di為支鏈i的長度;si為定坐標(biāo)系下zi軸的單位向量。由位置反解可知di=∥p+bi-ai∥(4)式中,‖·‖表示向量的模,故si=(p+bi-ai)/di(5)如圖2所示,支鏈坐標(biāo)系可由定坐標(biāo)系經(jīng)兩次旋轉(zhuǎn)變換得到,即首先繞z軸轉(zhuǎn)動(dòng)?i角,形成坐標(biāo)系A(chǔ)i-x′iy′iz′i;再繞y′i軸轉(zhuǎn)動(dòng)θi角,形成坐標(biāo)系A(chǔ)i-xiyizi。則支鏈坐標(biāo)系相對定坐標(biāo)系的旋轉(zhuǎn)矩陣可表示為ARi=[cos?icosθi-sin?icos?isinθisin?icosθicos?isin?isinθi-sinθi0cosθi](6)運(yùn)動(dòng)過程中,支鏈i只能繞yi軸轉(zhuǎn)動(dòng),故?i為固定角,且?1=0,?2=π/3,?3=2π/3。由式(6)可知,zi軸的單位向量亦可表示為si=[cos?isinθisin?isinθicosθi](7)故cosθi=siz?sinθi=√s2ix+s2iy(0≤θ≤π)式中:six,siy,siz分別為向量si在x,y,z軸方向的分量。支鏈i的結(jié)構(gòu)如圖3所示。圖3中,e1為缸體質(zhì)心至Ai點(diǎn)的距離,e2為活塞質(zhì)心至Bi點(diǎn)距離。在定坐標(biāo)系中,缸體和活塞質(zhì)心的位置向量分別為r1i=ai+e1si(8)r2i=ai+(di-e2)si(9)1.2支鏈坐標(biāo)系中bi的速度式(3)對時(shí)間求導(dǎo),可得定坐標(biāo)系下球副中心Bi的速度為ivBi=vΡ+ωΡ×bi(10)式中:vP和ωP分別為動(dòng)平臺(tái)質(zhì)心線速度和動(dòng)平臺(tái)的角速度。將vBi轉(zhuǎn)換到支鏈坐標(biāo)系下描述,有ivBi=iRAvBi(11)式中:iRA=(ARi)T式(3)對時(shí)間求導(dǎo),并通過坐標(biāo)變換,也可得支鏈坐標(biāo)系下球副中心Bi的速度ivBi=diiωi×isi+˙diisi(12)式中:iωi為支鏈坐標(biāo)系下的支鏈i角速度;isi為支鏈坐標(biāo)系下的zi軸的單位向量;˙di為支鏈i長度伸縮速度。用向量isi對式(12)兩邊做點(diǎn)積,可得˙di=ivBi,z(13)式中:ivBi,z為ivBi在zi軸方向上的分量。用向量isi對式(12)兩邊做叉積,可得iωi=1di(isi×ivBi)=1di[-ivBi,yivBi,x0](14)式中:ivBi,x,ivBi,y分別為ivBi在xi,yi軸方向上的分量。注意到支鏈i只能繞yi軸轉(zhuǎn)動(dòng),則ivBi,y=0。式(8)和式(9)分別對時(shí)間求導(dǎo),并通過坐標(biāo)轉(zhuǎn)換,可得支鏈坐標(biāo)系下缸體和活塞的質(zhì)心速度為iv1i=e1iωi×isi=e1di[ivBi,x00](15)iv2i=(di-e2)iωi×isi+˙diisi=1di[(di-e2)ivBi,x0diivBi,z](16)1.3支鏈biiiisiisiisiiisi+2iisiiiisiiiiisii式(10)對時(shí)間求導(dǎo),可得定坐標(biāo)系下Bi點(diǎn)的加速度˙vBi=˙vΡ+˙ωΡ×bi+ωΡ×(ωΡ×bi)(17)轉(zhuǎn)換到支鏈坐標(biāo)系下,則i˙v˙Bi=iRA˙vBi(18)式(12)對時(shí)間求導(dǎo),并通過坐標(biāo)變換,也可得支鏈坐標(biāo)系下球副中心Bi的加速度i˙vBi=¨diisi+dii˙ωi×isi+diiωi×(iωi×isi)+2˙diiωi×isi(19)式中:¨di為支鏈i長度伸縮加速度;i˙ωi為支鏈坐標(biāo)系下的支鏈i角加速度。式(19)兩邊用向量isi做點(diǎn)積,可得¨di=i˙vBi,z+di∥iωi∥2=i˙vBi,z+i˙vBi,x/di(20)式(19)兩邊用向量isi做叉積,可得i˙ωi=1diisi×i˙vBi-2˙didiiωi=1d2i[0dii˙vBi,x-2ivBi,zivBi,x0](21)式(15)和式(16)對時(shí)間求導(dǎo),即可獲得缸體和活塞的質(zhì)心加速度i˙v1i=e1i˙ωi×isi+e1iωi×(iωi×isi)=e1d2i[di˙vBi,x-2ivBi,zivBi,x-(iv2Bi,x+iv2Bi,y)](22)i˙v2i=¨diisi+(di-e2)iωi×isi+(di-e2)?iωi×(iωi×isi)+2˙dii˙ωi×isi=1d2i[di(di-e2)i˙vBi,x+2e2ivBi,zivBi,xd2ii˙vBi,z+e2iv2Bi,x](23)2動(dòng)力學(xué)方程2.1主慣性矩的計(jì)算根據(jù)歐拉方程,有inAi=ddt(ihAi)(24)式中:inAi為作用于Ai點(diǎn)的合外力矩;ihAi為支鏈i關(guān)于Ai點(diǎn)的合角動(dòng)量,且ihAi=m1e1(isi×iv1i)+m2(di-e2)?(isi×iv2i)+ihC1i+ihC2i(25)式中:ih1iC=iI1iiωi,ih2iC=iI2iiωi分別為缸體和活塞關(guān)于各自質(zhì)心的角動(dòng)量;iI1i,iI2i分別為缸體和活塞關(guān)于各自質(zhì)心的慣性矩陣;m1和m2分別為缸體和活塞的質(zhì)量。式(25)對時(shí)間求導(dǎo),可得ddt(ihAi)=m1e1(isi×iv1i)+m2(di-e2)?(isi×iv˙2i)+iΙ1iiω˙i+iωi×(iΙ1iiωi)+iΙ2iiω˙i+iωi×(iΙ2iiωi)(26)如圖3所示,設(shè)ifBi=[ifBi,xifBi,yifBi,z]T為動(dòng)平臺(tái)對支鏈的作用力,Ag=[00-gc]T為定坐標(biāo)系下的重力加速度向量,iMAi為支鏈坐標(biāo)系下機(jī)架作用于支鏈i的約束力矩。則inAi=diisi×(-ifBi)+[m1e1+m2(di-e2)]?(isi×iRAAg)+iΜAi=[iΜAi,x+diifBi,y-diifBi,x+m1e1gcsinθi+m2(di-e2)gcsinθi0](27)式中:iMAi,x為iMAi在xi軸方向的分量。將式(26)和式(27)代入式(24),可得ifBi,x=1di[m1e1gcsinθi+m2(di-e2)gc?sinθi-m1e1iv˙1ix-m2(di-e2)iv˙2ix-Ι1iyiω˙iy-Ι2iyiω˙iy](28)式中:I1iy和I2iy分別為缸體和活塞關(guān)于各自質(zhì)心的主慣性矩在yi軸方向的分量;iv˙1ix和iv˙2ix分別為iv˙1i和iv˙2i在xi軸方向的分量;iω˙i為iω˙i在yi軸方向的分量。2.2動(dòng)平臺(tái)內(nèi)部分質(zhì)心參數(shù)利用牛頓方程,可得動(dòng)平臺(tái)的力平衡方程∑i=13AfBi+mΡAg+AF=mΡAv˙Ρ(29)式中:AfBi=-ARiifBi為定坐標(biāo)系下支鏈i作用于動(dòng)平臺(tái)上的力;AF為動(dòng)平臺(tái)所受外力;mP為動(dòng)平臺(tái)的質(zhì)量。式(6)與式(29)聯(lián)立,可得∑i=13(ifBi,xcos?icosθi-ifBi,ysin?i+ifBi,zcos?isinθi)+AFx=0∑i=13(ifBi,xsin?icosθi+ifBi,ycos?i+ifBi,zsin?isinθi)+AFy=0∑i=13(-ifBi,xsinθi+ifBi,zcosθi)+AFz=mΡv˙Ρz+mΡgc}(30)動(dòng)平臺(tái)上的力關(guān)于質(zhì)心的合力矩為BnΡ=∑i=13Bbi×BfBi+BΝ(31)式中:BfBi=BRAAfBi=BRiifBi為動(dòng)坐標(biāo)系下支鏈i對動(dòng)平臺(tái)的作用力;BN=[BNPuBNPvBNPw]T為動(dòng)平臺(tái)所受的載荷力矩;Bbi=[biubiv0]T為球鉸中心Bi在動(dòng)坐標(biāo)系下的位置向量。將式(31)代入式(24),并注意到動(dòng)平臺(tái)關(guān)于其質(zhì)心的慣性積為零,且IPu=IPv,可得∑i=13[biv(a31ifBi,x+a32ifBi,y+a33ifBi,z)]+BΝΡu=ΙΡuω˙Ρu-ωΡvωΡw(ΙΡv-ΙΡw)(32)∑i=13[-biu(a31ifBi,x+a32ifBi,y+a33ifBi,z)]+BΝΡv=ΙΡvω˙Ρv-ωΡwωΡu(ΙΡw-ΙΡu)(33)∑i=13[biv(a21ifBi,x+a22ifBi,y+a23ifBi,z)-biv(a11ifBi,x+a12ifBi,y+a13ifBi,z)]+BΝΡw=ΙΡwω˙Ρw(34)式中:BωP=[ωPuωPvωPw]T為動(dòng)坐標(biāo)系下的動(dòng)平臺(tái)角速度向量;aij為BRi的第i行第j列元素;IPu,IPv和IPw分別為動(dòng)平臺(tái)關(guān)于質(zhì)心的主慣性矩在u,v,w軸上的分量。式(30)與式(32)～式(34)聯(lián)立,則可求ifBi,y,ifBi,z。故3-RPS機(jī)構(gòu)所需的驅(qū)動(dòng)力和約束力矩分別為τi=ifBi,z+m2gccosθi+m2iv˙2iz(35)Μi=iΜAi,x=diifBi,y(36)33運(yùn)動(dòng)規(guī)律設(shè)3-RPS機(jī)構(gòu)的幾何和物理參數(shù)如下:a=0.5m;b=1.0m;mΡ=1.0kg;m1=0.1kg;m2=0.1kg;e1=e2=0.5m;BΙΡ=[0.80000.80000.8]kg?m2iΙ1i=iΙ2i=[00000.006250000]kg?m2不失一般性,設(shè)動(dòng)平臺(tái)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律為p=[001.2+0.2sinωt]Τα=π/18+(π/36)sinωtβ=π/18+(π/36)sinωt式中:ω=2rad/s,0≤t≤3.5s。設(shè)機(jī)構(gòu)的外載荷為g=[00-9.807]Τm/s2AF=ΤΝ,BΝ=ΤΝ?m經(jīng)Matlab編程計(jì)算,可得機(jī)構(gòu)所需的驅(qū)動(dòng)力和約束力矩,分別如圖4和圖5所示。若令機(jī)構(gòu)的外載荷向量為{AF=ΤΝBΝ=[0010sinωt]ΤΝ?m則機(jī)構(gòu)所需的驅(qū)動(dòng)力和約束力矩分別如圖6和圖7所示。由圖4～圖7可知,施加外力矩后,3-RPS機(jī)構(gòu)的驅(qū)動(dòng)力變化并不大,但約束力矩的變化卻極為顯著。這說明,對于對稱少自由度并聯(lián)機(jī)構(gòu)而言,與動(dòng)平臺(tái)自由速度方向不一致的廣義載荷力主要由廣義約束力來平衡。因此,對該類機(jī)構(gòu)的尺度、截面參數(shù)進(jìn)行動(dòng)力學(xué)優(yōu)化設(shè)計(jì)時(shí),僅考慮廣義驅(qū)動(dòng)力顯然是不夠的,必須同時(shí)計(jì)入廣義約束力的影響。4逆