高等數(shù)學-定積分的應用

定積分有著廣泛的用途,

先介紹建立定積分的一種適用的簡便方元素法(微元法).定積分的應用

(幾何,物理)本章介紹它在幾何,物理上的簡單應用,培養(yǎng)用數(shù)學知識來分析和解決實際問題的能力.法---Theapplicationofdefiniteintegral1問題的提出小結思考題第一節(jié)定積分的元素法第六章定積分的應用(微元法)2究竟哪些量可用定積分來計算呢.首先討論這個問題.

結合曲邊梯形面積的計算?定積分的元素法一、問題的提出可知,用定積分計算的量應具有如下及定積分的定義許多部分區(qū)間,(即把[a,b]分成兩個特點:(1)所求量I即與[a,b]有關;(2)I在[a,b]上具有可加性.則I相應地分成許多部分量,而I等于所有部分量之和)3按定義建立積分式有四步曲:“分割、有了N--L公式后,對應用問題來說關鍵就在于如何寫出方法簡化步驟被積表達式.定積分的元素法得到

這個復雜的極限運算問題得到了解決.是所求量I的微分于是,稱為量I的微元或元素.取近似、求和、取極限”,4這種簡化了的建立積分式的方法稱為定積分的元素法元素法或微元法.簡化步驟)1(求出上任取一小區(qū)間在],d,[],[xxxba+也是它的的近似值上所求量(]d,[IxxxD+即的微分,d)()xxf.d)(xxfI?D5這個小區(qū)間上所對應的小曲邊梯形面積面積元素得定積分的元素法

曲邊梯形面積的積分式也可以用元素法

建立如下.地等于長為f(x)、寬為dx的小矩形面積,故有近似上任取一小區(qū)間在],[ba],d,[xxx+6元素法的提出、思想、步驟.（注意元素法的本質）定積分的元素法二、小結7思考題何為定積分的元素法？定積分的元素法元素法使用的條件和程序是怎樣的?8小結思考題作業(yè)平面圖形的面積體積平面曲線的弧長第二節(jié)定積分在幾何學上的應用第六章定積分的應用9一、平面圖形的面積

回憶的幾何意義:曲邊梯形的面積.

啟示

一般曲線圍成區(qū)域的面積也可以用定積分來計算.定積分在幾何學上的應用定積分

下面曲線均假定是連續(xù)曲線.

注10求這兩條曲線及直線所圍成的區(qū)域的面積A.的面積元素dA為它對應(1)即定積分在幾何學上的應用1.直角坐標系中圖形的面積小區(qū)間11(2)

由曲線和直線所圍成的區(qū)域的面積A.的面積元素dA為它對應定積分在幾何學上的應用小區(qū)間12例解畫草圖,求兩曲線交點的坐標以便解方程組:交點面積元素法一選為積分變量,?定積分在幾何學上的應用確定積分限,xxxd)3(2+-=0=-yx)3,3(·xxy22-=13法二選y為積分變量,面積元素法三?將圖形看成:上方的三角形減去在上方的曲邊梯形,再加上下方的曲邊梯形:定積分在幾何學上的應用14分成若干塊上面討論過的那兩種區(qū)域,只要分別(3)一般情況下,由曲線圍成的有界區(qū)域,總可以算出每塊的面積再相加即可.(2)(1)(1)(2)定積分在幾何學上的應用15定積分在幾何學上的應用上連續(xù),與直線所圍成的(4)

則曲線平面圖形面積為?16例解兩曲線交點為由于圖形關于y軸對稱,故定積分在幾何學上的應用17解兩曲線的交點畫草圖,定積分在幾何學上的應用練習18解曲線的參數(shù)方程為由對稱性,作變量代換,例其中總面積等于4倍第一象限部分面積．不易積分.

一般地,當曲線用參數(shù)方程表示時,都可以用類似的變量代換法處理.定積分在幾何學上的應用.12222的面積求橢圓=+byax19解面積練習作變量代換定積分在幾何學上的應用20面積元素曲邊扇形的面積2.極坐標下平面圖形的面積由極坐標方程給出的平面曲線所圍成的面積A.定積分在幾何學上的應用和射線曲邊扇形21解由對稱性知總面積=4倍第一象限部分面積例求雙紐線所圍平面圖形的面積.定積分在幾何學上的應用22解利用對稱性知定積分在幾何學上的應用23解求交點由對稱性2例定積分在幾何學上的應用24解例交點由對稱性定積分在幾何學上的應用25答案(1)定積分在幾何學上的應用所圍成的面積最小.(2)之間圖形面積.答案練習26解之間圖形面積.對稱性所求面積A為在第一象限中由直線x軸及橢圓所圍圖形面積的8倍.將橢圓化為極坐標方程.(2)練習定積分在幾何學上的應用將代入橢圓得27定積分應用習題課28(3)練習解利用對稱性知定積分在幾何學上的應用29圓柱圓錐圓臺二、體積旋轉體這直線叫做旋轉軸．由一個平面圖形繞這平面內一條直線旋轉一周而成的立體．1.旋轉體的體積定積分在幾何學上的應用30旋轉體的體積采用元素法如果旋轉體是由連續(xù)曲線直線及x軸所圍成的曲邊梯形繞x軸旋轉一周而成的立體,體積為多少?取積分變量為x,為底的小曲邊梯形繞x軸旋轉而成的薄片的體積元素(1)定積分在幾何學上的應用31解體積元素例取積分變量為x,oxy定積分在幾何學上的應用32如果旋轉體是由連續(xù)曲線及y軸所圍成的曲邊梯形繞y軸旋轉一周而成的立體,體積為多少?(2)直線體積元素旋轉體的體積定積分在幾何學上的應用33解體積元素定積分在幾何學上的應用求星形線繞y軸旋轉例構成旋轉體的體積.對稱性34利用參數(shù)方程用換元法定積分在幾何學上的應用求星形線繞y軸旋轉構成旋轉體的體積.35解例求擺線的一拱與y=0所圍成的圖形分別繞x軸、y軸旋轉而成的旋轉體的體積.繞x軸旋轉的旋轉體體積變量代換定積分在幾何學上的應用36繞y軸旋轉的旋轉體體積可看作平面圖OABC與OBC分別繞y軸旋轉構成的旋轉體的體積之差.擺線定積分在幾何學上的應用ò--=pp2023dsin)sin(tttta37解取坐標如圖所示.圓的方程為oxy

R

?和下半圓下的曲邊梯形兩個旋轉體的體積之差.例所求圓環(huán)體可看成是上半圓下的曲邊梯形繞x軸旋轉一周.定積分在幾何學上的應用條直線的圓繞同平面內圓外一求半徑為r設圓心到直線的旋轉成的圓環(huán)體的體積.).(rRR3距離為38

對稱性四分之一圓面積定積分在幾何學上的應用39練習解兩曲線的交點為繞y軸旋轉定積分在幾何學上的應用ò-=104d)(yyyp402.平行截面面積為已知的立體的體積上垂直于一定軸的各個截面面積,立體體積如果一個立體不是旋轉體,但卻知道該立體的體積也可用定積分來計算.那么,這個立體表示過點x且垂直于x軸的截面面積,為x的已知連續(xù)函數(shù).采用元素法體積元素定積分在幾何學上的應用41解取坐標系如圖底圓方程例一平面經過半徑為R的圓柱體的底圓中心,并與底面交成角計算這平面截圓柱體所得立體的體積.垂直于x軸的截面為直角三角形.底高截面面積立體體積定積分在幾何學上的應用ò=V42作一下垂直于y軸的截面是截面長為寬為矩形截面面積定積分在幾何學上的應用

可否選擇y作積分變量?此時截面面積函數(shù)是什么?如何用定積分表示體積?思考43解取坐標系如圖底圓方程為截面面積立體體積垂直于x軸的截面為等腰三角形例定積分在幾何學上的應用求以半徑為R的圓為底、平行且等于底圓直徑的線段為頂、高為h的正劈錐體的體積.44定積分在幾何學上的應用練習所圍成的平面區(qū)域;所圍成的平面區(qū)域;其中(1)試求D1繞x軸旋轉而成的旋轉體體積V1;試求D2繞y軸旋轉而成的旋轉體體積V2;(2)問當a為何值時,V1+V2取得最大值?試求此最大值.2002年考研數(shù)學(三)7分直線解(1)(2)(唯一駐點)最大值45三、平面曲線的弧長設A、B是曲線弧上在弧上插入分點并依次連接相鄰分點得一內接折線,當分點的數(shù)目無限增加且每個小弧段都縮向一點時,此折線的長的極限存在,則稱此極限為曲線弧AB的弧長.1.平面曲線弧長的概念定積分在幾何學上的應用的兩個端點,定理光滑曲線弧是可求長.46弧長元素弧長2.直角坐標情形小切線段的長以對應小切線段的長代替小線段的長設曲線弧為其中有一階連續(xù)導數(shù).取積分變量為x,任取小區(qū)間}定積分在幾何學上的應用47解所求弧長為例定積分在幾何學上的應用懸鏈線方程計算介于之間一段弧長度.48解例計算曲線的弧長定積分在幾何學上的應用49曲線弧為弧長3.參數(shù)方程情形其中具有連續(xù)導數(shù).定積分在幾何學上的應用50解星形線的參數(shù)方程為對稱性第一象限部分的弧長定積分在幾何學上的應用例求星形線的全長.51證設正弦線的弧長等于設橢圓的周長為定積分在幾何學上的應用證明正弦線例的弧長等于橢圓的周長.橢圓的對稱性52曲線弧為弧長4.極坐標情形其中具有連續(xù)導數(shù).定積分在幾何學上的應用53解定積分在幾何學上的應用54解定積分在幾何學上的應用)].412ln(412[222pppp++++=a55求在直角坐標系下、極坐標系下平面圖形

（注意恰當?shù)倪x擇積分變量有助于簡化積分分平面圖形的方法有:分豎條,分橫條,分成扇形,分成圓環(huán).定積分在幾何學上的應用的面積.運算）四、小結旋轉體的體積平行截面面積為已知的立體的體積繞x軸旋轉一周繞

y

軸旋轉一周56平面曲線弧長的概念直角坐標系下參數(shù)方程情形下極坐標系下求弧長的公式定積分在幾何學上的應用57定積分在幾何學上的應用思考題1位置無關.設分別表示從點向拋物線引出的兩條切線的切點.在點的切線方程:即又解58定積分在幾何學上的應用于是切線的方程分別為所圍圖形的面積為可見無關,位置無關.59解定積分在幾何學上的應用思考題2yyxx==)(22yxd)2(22--pyyyd])1(1[222---=p60思考題3定積分在幾何學上的應用解答僅僅有曲線連續(xù)還不夠,不一定.必須保證曲線光滑才可求長.閉區(qū)間[a,b]上的連續(xù)曲線y=f(x)是否一定可求長?61作業(yè)習題6-2(279頁)1.2.(1)(4)3.5.(1)(2)6.8.定積分在幾何學上的應用10.11.12.15.(3)16.17.18.19.21.22.24.25.27.30.62變力沿直線所作的功水壓力引力小結思考題作業(yè)第三節(jié)定積分在物理學上的應用第六章定積分的應用63一、變力沿直線所作的功

如果一常力F作用于一物體使其沿直線移動了距離s,那么就說力對這一物體作了功,且所作功積分得到總功的表達式.如果計算功時力或距離是變化的,則需要在某一變量的小區(qū)間上求出功元素,然后求定定積分在物理學上的應用64設物體在變力F(x)作用下沿x軸從移動到力的方向與運動方向平行,求變力所做的功.在上任取小區(qū)間在其上所作的功元素因此變力F(x)在區(qū)間上所作的功為定積分在物理學上的應用65例定積分在物理學上的應用取任一小區(qū)間取r為積分變量,單位正電荷沿直線從距離點電荷

a處移動到

b處

(a<b),求電場力所作的功.解當單位正電荷距離原點時,一個電場力為功元素所求功說明處的電位為

電場在庫侖定律在一個帶+q電荷所產生的電場作用下,66頂部28m解建立坐標系.oxy

功元素例定積分在物理學上的應用總功的均勻鏈條被懸掛于一建筑物頂部(如圖),問需要作多大的功才能把這一鏈條全部拉上建筑物頂部.取任一小區(qū)間67y解建立坐標系.設想水分層抽出,把它提到桶口所作功近似地等于

功元素例定積分在物理學上的應用存滿水,要把桶內的水全部吸出,求所作的功.與之對應總功任取小區(qū)間的水層重68思考如水離桶邊1米處?1y法一到桶口距離法二y4定積分在物理學上的應用69二、水壓力

在很多實際問題要求計算液體作用于一物體表面上的側壓力.如,水壩或閘門的壓力.當壓強為常數(shù)時,壓力=壓強×面積,當物體表面位于液體中時,不同深度所受的壓強是故往往需要用定積分計算液體對表面因而采用“元素法”思想.的側壓力.定積分在物理學上的應用不同的,70解在端面建立坐標系.取x為積分變量,取任一小區(qū)間小矩形片上各處的壓強近似相等小矩形片的面積為定積分在物理學上的應用一個橫放著的圓柱形水桶,桶內盛有半桶水,例設桶的底半徑為R,水的比重為計算桶的一端面上所受的壓力.如圖小矩形片的壓力元素為端面上所受的壓力桶內盛滿水?71解建立坐標系.oxyC(0,3)D(10,1)CD的方程壓力元素例定積分在物理學上的應用設某水渠的閘門與水面垂直,水渠的橫截面是等腰梯形.當水灌滿時,求閘門所受的水壓力.如閘門在水下兩米?思考72質量分別為的質點,二者間的引力:大小方向沿兩質點的連線三、引力定積分在物理學上的應用相距則要用定積分計算.采用“元素法”思想.如果要計算一根細棒對一個質點的引力,那么,由于細棒上各點與該點的距離是變化的,且各點對該點的引力方向也是變化的,故不能用上述公式計算.73解建立坐標系.xom.xx+dx

引力元素是否可建立其它坐標系?想一想例{法一定積分在物理學上的應用74例.{引力元素法二法三.{{引力元素定積分在物理學上的應用75例法四.{引力元素定積分在物理學上的應用76解

建立坐標系.將典型小段近似看成質點小段的質量為取y為積分變量,取任一小區(qū)間有一長度為線密度為的均勻細棒,在其中垂線上距棒a單位處有一質量為m的質點M,計算該棒對質點M的引力.例小段與質點的距離為定積分在物理學上的應用77

細桿對質點引力元素

水平方向的分力元素引力在鉛直方向分力為

對稱性定積分在物理學上的應用78和引力等物理問題．(注意熟悉相關的物理知識)四、小結利用“元素法”的思想求變力沿直線作功、水壓力定積分在物理學上的應用79泥后提出井口,已知井深30m,抓斗自重400N,纜繩

為清除井底污泥,用纜繩將抓斗放入井底,抓起污每米重50N,抓斗抓起的污泥重

2000N,提升速度為3m∕s,在提升過程中,污泥以20N∕s的速度從抓斗縫隙中漏掉,