山東省青島市2022屆高三下學(xué)期5月二?？荚嚁?shù)學(xué)試題

試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁山東省青島市2022屆高三下學(xué)期5月二模考試數(shù)學(xué)試題第I卷（選擇題）請點擊修改第I卷的文字說明評卷人得分一、單選題1．已知集合，，，則（

）A． B． C． D．2．復(fù)數(shù)（是虛數(shù)單位）的虛部是（

）A．1 B． C．2 D．3．函數(shù)的圖象大致為（

）A． B．C． D．4．二十四節(jié)氣歌是為了方便記憶我國古時立法中的二十四個節(jié)氣而編成的小詩歌，體現(xiàn)著我國古代勞動人民的智慧.四句詩歌“春雨驚春清谷天，夏滿芒夏暑相連；秋處露秋寒霜降，冬雪雪冬小大寒”中，每一句詩歌的開頭一字代表著季節(jié)，每一句詩歌包含了這個季節(jié)中的6個節(jié)氣.若從24個節(jié)氣中任選2個節(jié)氣，這2個節(jié)氣恰好在一個季節(jié)的概率為（

）A． B． C． D．5．若，則（

）A． B． C． D．6．下列函數(shù)中，以為周期且在區(qū)間上單調(diào)遞增的是（

）A． B． C． D．7．《九章算術(shù)》中記錄的“羨除”是算學(xué)和建筑學(xué)術(shù)語，指的是一段類似隧道形狀的幾何體，如圖，羨除ABCDEF中，底面ABCD是正方形，平面ABCD，，其余棱長都為1，則這個幾何體的外接球的體積為（

）A． B． C． D．8．設(shè)O為坐標原點，拋物線與雙曲線有共同的焦點F，過F與x軸垂直的直線交于A，B兩點，與在第一象限內(nèi)的交點為M，若，，則雙曲線的離心率為（

）A． B． C． D．評卷人得分二、多選題9．已知，則下述正確的是（

）A．圓C的半徑 B．點在圓C的內(nèi)部C．直線與圓C相切 D．圓與圓C相交10．已知正方體，動點P在線段BD上，則下述正確的是（

）A． B．C．平面 D．平面11．已知函數(shù)的定義域為，，則下述正確的是（

）A．為奇函數(shù) B．為偶函數(shù)C．的圖象關(guān)于直線對稱 D．的圖象關(guān)于點對稱12．已知，若，，則下述正確的是（

）A． B．C． D．第II卷（非選擇題）請點擊修改第II卷的文字說明評卷人得分三、填空題13．某校高二年級共有學(xué)生1000人，其中男生480人，按性別進行分層，用分層隨機抽樣的方法從高二全體學(xué)生中抽出一個容量為100的樣本，若樣本按比例分配，則女生應(yīng)抽取的人數(shù)為___________.14．若是邊長為2的等邊三角形，AD為BC邊上的中線，M為AD的中點，則的值為___________.15．將等差數(shù)列中的項排成如下數(shù)陣，已知該數(shù)陣第n行共有個數(shù)，若，且該數(shù)陣中第5行第6列的數(shù)為42，則___________.評卷人得分四、雙空題16．如圖所示，A，B，C為三個村莊，，，，則___________；若村莊D在線段BC中點處，要在線段AC.上選取一點E建一個加油站，使得該加油站到村莊A，B，C，D的距離之和最小，則該最小值為___________.評卷人得分五、解答題17．從①；②條件中任選一個，補充到下面橫線處，并解答：在中，a，b，c分別為內(nèi)角A，B，C的對邊，.(1)求角A；(2)若外接圓的圓心為O，，求BC的長.注：如果選擇多個條件分別解答；按第一個解答計分.18．已知等比數(shù)列為遞增數(shù)列，，是與的等差中項.(1)求數(shù)列的通項公式；(2)若項數(shù)為n的數(shù)列滿足：（，2，3，…，n）我們稱其為n項的“對稱數(shù)列”.例如：數(shù)列1，2，2，1為4項的“對稱數(shù)列”；數(shù)列1，2，3，2，1為5項的“對稱數(shù)列”.設(shè)數(shù)列為項的“對稱數(shù)列”，其中，，，…，是公差為2的等差數(shù)列，數(shù)列的最大項等于.記數(shù)列的前項和為，若，求k.19．如圖，P為圓錐的頂點，O為圓錐底面的圓心，圓錐的底面直徑，母線，M是PB的中點，四邊形OBCH為正方形.(1)設(shè)平面平面，證明：；(2)設(shè)D為OH的中點，N是線段CD上的一個點，當MN與平面PAB所成角最大時，求MN的長.20．已知函數(shù)．(1)討論的單調(diào)性；(2)若有兩個不同的零點，為其極值點，證明：.21．已知點在橢圓上，橢圓C的左右焦點分別為，，的面積為.(1)求橢圓C的方程；(2)設(shè)點A，B在橢圓C上，直線PA，PB均與圓相切，記直線PA，PB的斜率分別為，.（i）證明：；（ii）證明：直線AB過定點.22．為調(diào)查禽類某種病菌感染情況，某養(yǎng)殖場每周都定期抽樣檢測禽類血液中指標的值.養(yǎng)殖場將某周的5000只家禽血液樣本中指標的檢測數(shù)據(jù)進行整理，繪成如下頻率分布直方圖(1)根據(jù)頻率分布直方圖，估計這5000只家禽血液樣本中指標值的中位數(shù)（結(jié)果保留兩位小數(shù)）；(2)通過長期調(diào)查分析可知，該養(yǎng)殖場家禽血液中指標的值服從正態(tài)分布（i）若其中一個養(yǎng)殖棚有1000只家禽，估計其中血液指標的值不超過的家禽數(shù)量（結(jié)果保留整數(shù)）；（ii）在統(tǒng)計學(xué)中，把發(fā)生概率小于的事件稱為小概率事件，通常認為小概率事件的發(fā)生是不正常的.該養(yǎng)殖場除定期抽檢外，每天還會隨機抽檢20只，若某天發(fā)現(xiàn)抽檢的20只家禽中恰有3只血液中指標的值大于，判斷這一天該養(yǎng)殖場的家禽健康狀況是否正常，并分析說明理由.參考數(shù)據(jù)：①；②若，則答案第=page11頁，共=sectionpages22頁答案第=page11頁，共=sectionpages22頁參考答案：1．C【解析】【分析】由題意和補集、交集的運算依次求出和．【詳解】解：因為全集，2，3，4，5，6，，，3，5，，所以，4，，又，2，4，，則，2，4，5，，故選：C．2．A【解析】【分析】利用復(fù)數(shù)的除法法則及復(fù)數(shù)的概念即可求解.【詳解】由題意可知，，所以復(fù)數(shù)的虛部為.故選：A.3．A【解析】【分析】判斷函數(shù)的奇偶性排除兩個選項，再結(jié)合特殊的函數(shù)值排除一個選項后得正確結(jié)論．【詳解】由題可得函數(shù)定義域為，且，故函數(shù)為奇函數(shù)，故排除BD，由，，故C錯誤，故選：A.4．C【解析】【分析】直接由組合結(jié)合古典概型求解即可.【詳解】由題意知：從24個節(jié)氣中任選2個節(jié)氣，這2個節(jié)氣恰好在一個季節(jié)的概率為.故選：C.5．D【解析】【分析】取特殊值即可排除A、B選項；即可排除C選項；由單調(diào)性知D正確.【詳解】取，顯然，A錯誤；，B錯誤；若，無意義，C錯誤；若，則，D正確.故選：D.6．B【解析】【分析】根據(jù)正弦型函數(shù)、余弦型函數(shù)的周期性及單調(diào)性可判斷AB，由正切函數(shù)的周期判斷C，由正切型函數(shù)的性質(zhì)判斷D.【詳解】對于A，的周期為，時，當時，函數(shù)不單調(diào)，故錯誤；對于B，的周期為，時，當時，函數(shù)單調(diào)遞增，故正確；對于C，的周期為，故錯誤；對于D，的周期為，時，當時，函數(shù)單調(diào)遞增，故單調(diào)遞減，故錯誤.故選：B7．B【解析】【分析】根據(jù)已知條件找出外接球的球心，求出半徑，再利用球的體積公式即可求解.【詳解】連接,交于點,取的中點，則平面,,取的中點,連接,作,垂足為，如圖所示由題意可知，，所以,所以,,所以,又,所以，即這個幾何體的外接球的球心為，半徑為，所以這個幾何體的外接球的體積為.故選：B.8．C【解析】【分析】利用向量的運算建立方程，轉(zhuǎn)化為離心率e的方程求解.【詳解】因為拋物線的焦點，由題可知，，即拋物線方程為，令代入拋物線方程，可得，代入雙曲線方程，可得，可設(shè)，，，由有兩邊平方相減可得，，由有：，又即，由有：由，解得.故A，B，D錯誤.故選：C.9．ACD【解析】【分析】先將圓方程化為標準方程，求出圓心和半徑，然后逐個分析判斷即可【詳解】由，得，則圓心，半徑，所以A正確，對于B，因為點到圓心的距離為，所以點在圓C的外部，所以B錯誤，對于C，因為圓心到直線的距離為，所以直線與圓C相切，所以C正確，對于D，圓的圓心為，半徑，因為，，所以圓與圓C相交，所以D正確，故選：ACD10．BD【解析】【分析】對A，根據(jù)判斷即可；對B，根據(jù)平面判斷即可；對C，舉反例判斷即可；對D，同B中，證明平面判斷即可；【詳解】對A，如圖，根據(jù)正方體的性質(zhì)有且，故平行四邊形，故，故當且僅當在點時才有，故A錯誤；對B，如圖，由正方體的性質(zhì)可得，平面，故，又，平面，故平面，故，同理，故平面，故，故B正確；對C，當在時，，故平面不成立，故C錯誤；對D，同B有平面，故平面平面，故平面成立，故D正確；故選：BD11．AC【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性及對稱性即可求解.【詳解】因為，所以，所以為奇函數(shù)，故A正確；B錯誤；因為，所以，所以的圖象關(guān)于直線對稱，故C正確；所以，所以的圖象不關(guān)于點對稱，故D不正確.故選：AC.12．ACD【解析】【分析】根據(jù)對數(shù)的運算性質(zhì)以及分段函數(shù)的處理策略求解.【詳解】因為，且，所以，故A正確；當時，，，，所以，故B錯誤；對于C選項，當，，由對數(shù)的性質(zhì)和運算法則有，當，時，，當中有1個大于等于1，不妨設(shè)，，則，則，故C正確；當時，，所以，當時，，由對數(shù)的運算法則有：，故D正確.故選：ACD13．52【解析】【分析】利用分層抽樣的性質(zhì)直接求解．【詳解】解：由分層抽樣的性質(zhì)得：女生應(yīng)該抽?。海蚀鸢笧椋?2．14．##-1.5【解析】【分析】已知是邊長為2的等邊三角形，為邊上的中線，為的中點，則，，又，然后結(jié)合平面向量數(shù)量積的運算求解即可．【詳解】解：已知是邊長為2的等邊三角形，為邊上的中線，為的中點，則，，又，則，故答案為：．15．【解析】【分析】利用等比數(shù)列前項和公式確定42為數(shù)列中的第幾項，可以求出公差，從而確定等差數(shù)列的通項公式.【詳解】解：設(shè)公差為，因為該數(shù)陣第n行共有個數(shù)，則前4行共有個數(shù)，所以第5行第6列數(shù)為，則，所以．故答案為：．16．

60°##

##【解析】【分析】利用余弦定理以及點關(guān)于線的對稱點進行處理.【詳解】在中，由余弦定理有：又，所以.如圖，作D關(guān)于AC的對稱點F，則DE=FE，DC=FC=4，，所以，當且僅當B，E，F(xiàn)三點共線時，BE+EF最小..所以，所以AE+CE+BE+DE=AC+BE+EF，當且僅當B，E，F(xiàn)三點共線時，等號成立.故答案為：，.17．(1)(2)【解析】【分析】（1）選擇條件①可以用正弦定理進行角化邊即可求解，選擇條件②利用輔助角公式進行三角恒等變換即可.（2）利用圓的角度關(guān)系和正弦定理即可求解.(1)解：選擇條件①：因為，由正弦定理，可得，即，所以.因為，所以.選擇條件②：因為所以，即.因為所以所以，.(2)由題意，O是外接圓的圓心，所以，所以故此.在中，由正弦定理，，即，解得.18．(1)(2)或【解析】【分析】（1）設(shè)數(shù)列的公比為q，根據(jù)等差中項的性質(zhì)，結(jié)合等比數(shù)列的基本量列式求解即可；（2）先確定，進而根據(jù)等差數(shù)列的通項公式得出，再根據(jù)等差數(shù)列前項和的公式結(jié)合求解即可(1)設(shè)數(shù)列的公比為q，由題意知：，所以，解得或（舍），所以.(2)由題知：，，，，…，是以8為末項，2為公差的等差數(shù)列，所以，解得，所以，所以所以，即，解得或.19．(1)證明見解析(2)【解析】【分析】（1）根據(jù)線面平行的性質(zhì)，先證明平面POH即可；（2）以O(shè)為原點，OP所在的直線為z軸，建立空間直角坐標系，設(shè)，設(shè)MN與平面PAB所成的角為，再根據(jù)線面角的向量方法求得，根據(jù)二次函數(shù)的最值求解即可(1)因為四邊形OBCH為正方形，∴，∵平面POH，平面POH，∴平面POH.∵平面PBC，平面平面，∴.(2)∵圓錐的母線長為，，∴，，以O(shè)為原點，OP所在的直線為z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，則，，，，設(shè)，，，為平面PAB的一個法向量，設(shè)MN與平面PAB所成的角為，則，令，則所以當時，即時，最大，亦最大，此時，所以.20．(1)答案見解析(2)證明見解析【解析】【分析】（1）對函數(shù)求導(dǎo)后，分和兩情況討論導(dǎo)數(shù)的正負，從而可求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，（2）由（1）可知函數(shù)的極值點為，從而得，再由是函數(shù)的兩個不同的零點，可得，設(shè)，將問題轉(zhuǎn)化為證，設(shè)，只需證明:，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求出其最小值大于零即可(1)，，當時，在上為減函數(shù)；當時，由得:在上為增函數(shù)；由得:在上為減函數(shù)(2)由（1）可知:且當時，取極大值為從而的最大值為為滿足題意，必有，即，設(shè)，則，當時，，所以在上單調(diào)遞増；當時，，所以在上單調(diào)遞減，所以，從而，，是函數(shù)的兩個不同的零點，，兩式相減得:.設(shè)，所以要證明:，只需要證明:.即證明:，也就是證明:，設(shè)，下面就只需證明:，設(shè)，則，在上為增函數(shù)，從而，成立，從而【點睛】關(guān)鍵點點睛：此題考查導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，考查利用導(dǎo)數(shù)證明不等式，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意將問題轉(zhuǎn)化為證明成立，令，再次將問題轉(zhuǎn)化為，然后構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求出其最小值大于零即可，考查數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想和計算能力，屬于難題21．(1)(2)（i）證明見解析；（ii）證明見解析【解析】【分析】（1）利用，結(jié)合三角形的面積公式，求出，即可求橢圓的方程.(2)（i）設(shè)直線的方程為，直線的方程為，由題意可知，可得是方程的兩根，利用韋達定理即可證明.（ii）設(shè)直線的方程為，代入橢圓方程，利用韋達定理，結(jié)合，可得與的關(guān)系式，即可證明直線過定點.(1)解：由題知，，的面積等于，所以，解得，，所以，橢圓C的方程為.(2)（i）設(shè)直線PA的方程為，直線PB的方程為，由題知，所以，所以，同理，，所以，是方程的兩根，所以.（ii）設(shè)，，設(shè)直線AB的方程為，將代入得，所以，①，②所以，③，④又因為，⑤將①②③④代入⑤，化簡得，所以，所以，若，則直線，此時AB過點P，舍去.若，