構(gòu)建幾何模型 提升核心素養(yǎng) 論文

構(gòu)建幾何模型 提升核心素養(yǎng)——“多面體外接球”微專題教學(xué)的實(shí)踐與體會(huì)摘 全國(guó)高考試題，圍繞學(xué)生的弱點(diǎn)，分析總結(jié)幾種常見(jiàn)模型，幫助學(xué)生貫通思維，構(gòu)建知識(shí)體系，提升核心素養(yǎng)。關(guān)鍵詞：多面體，外接球，模型引解題能力和數(shù)學(xué)素養(yǎng)?；灸Ｐ?。通過(guò)對(duì)基本模型的分析，總結(jié)出問(wèn)題解決路徑和基本思維方法。一、學(xué)情分析運(yùn)用能力較差。二、教學(xué)目標(biāo)分析學(xué)方法。心素養(yǎng)。三、學(xué)重難點(diǎn)教學(xué)重點(diǎn)：會(huì)找?guī)追N常見(jiàn)模型的球心和截面。教學(xué)難點(diǎn)：能熟練靈活將較復(fù)雜的立體空間幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面幾何問(wèn)題。四、教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì)1.考點(diǎn)分析年份題型名稱幾何載體考查知識(shí)點(diǎn)2022，全國(guó)乙（理）選擇題（9）球，四棱錐高2022，全國(guó)新高考I卷（理）選擇題（8）球，正四棱錐體積的取值范圍II選擇題（7）球，正三棱臺(tái)表面積2021，全國(guó)甲（理）選擇題（11）球，三棱錐體積2020，課標(biāo)全國(guó)卷I（理）選擇題（10）球，三角形表面積2020，課標(biāo)全國(guó)卷II（理）選擇題（10）球，三角形球心到平面的距離2020，天津卷（理）選擇題（5）球，正方體表面積分析：高考中主要以選擇題和填空題為主。主要考查四種情形：（1）球的截面（2）棱柱與球（3）棱錐與球（4）棱臺(tái)與球。解題方法的最主要關(guān)鍵解決思路是通過(guò)找球心和畫截面，將一個(gè)復(fù)雜的立體幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面幾何問(wèn)題，結(jié)合投影知識(shí)和平面幾何的知識(shí)求球的半徑。2.四大模型模型一球的截面問(wèn)題的基本方法，培養(yǎng)學(xué)生的空間想象力。心到截面的距離三者之間存在著如下關(guān)系：R2dR2d2平面幾何問(wèn)題。B,C為球O的球面上的三個(gè)點(diǎn)，圓O為ABC的外接圓，若圓O的面積為41 1ABBCAC解：由正弦定理得AB2rsin23

3,OO123,r2r2OO21模型二柱體與球

S64.推理能力核心素養(yǎng)。題型一：正方體的外接球幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面幾何問(wèn)題。方法：（1）正方體外接球球心的位置是正方體的幾何中心位置。（2）正方體外接球直徑等于正方體的對(duì)角線。（3）若正方體的棱長(zhǎng)為a,則正方體外接球的直徑為。（4）若長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高分別為a，b，h，則長(zhǎng)方體的外接球半徑是a2a2b2h22 。例2：已知一個(gè)正方體的所有頂點(diǎn)在一個(gè)球面上，若這個(gè)正方體的表面積為18，則這個(gè)球的體積為 ．設(shè)正方體的邊長(zhǎng)為a，則6a2T

a=3，其外接球直徑為2R=

3a，V=4πR3=4π′27=9π故這個(gè)球的體積 3

3 8 2 ．題型二：直棱柱的外接球定球心。方法：（1）直棱柱外接球的球心是連接上下面兩個(gè)任意多邊形外心的中點(diǎn)；（2）再構(gòu)造直角三角形，勾股定理求解。例3：在直三棱柱ABCABC120則此三棱柱外接球的表面積為------由正弦定理得r

3,R

r21S16.模型三錐體與球的截面尋找球心的位置。題型一：正四面體的外接球長(zhǎng)方體得問(wèn)題。法1補(bǔ)成正方體方法：（1）正四面體外接球的球心是正方體外接球的球心；（2）正四面體外接球的半徑是正方體外接球的半徑。素養(yǎng)。法2勾股定理法解：由正四面體的對(duì)稱性與球的對(duì)稱性知球心在正四面體的高上。設(shè)外接球半徑為R，正四面體的棱長(zhǎng)為a.如圖AD3a,AM2

3a,PM3

6a;3OM6aR,32,R2（6aR)2aR6.,3 3 4正棱錐的球心一定在它的高上，利用這個(gè)特殊性質(zhì)得到射影定理法。法3 射影定理法APHPH,在RtAPM中，cosPAMAP AP PM,PHAP,即l22R.h(l為正四面體側(cè)棱長(zhǎng)，h為高，R為外接球半徑）AP PM注意：射影定理法適用于側(cè)棱相等即球心落在高線上的的棱錐。例4;2022全國(guó)新高考I卷選擇題8（理科）已知正四棱錐的側(cè)棱長(zhǎng)為，且，則該正四棱錐體積的取值范圍是（ ）B．C．解法一：勾股定理法3.設(shè)正四棱錐的底面邊長(zhǎng)為2a,高為h.2a2(3h)2,且l22a2h2;6hl2,2a2l2h2.l正四棱錐得體積V1sh1l416.l3V'V' 3 2l(24l)54

9 324l2'0,當(dāng)2

6l3'O,當(dāng)l2

6時(shí)，V最大，最大值為64，3又l27，l3481.4所以答案選C.解法二：射影定理法3.設(shè)正四棱錐的底面邊長(zhǎng)為2a,高為h.l22R.h得l222a2h2;2a2l2h2.l正四棱錐得體積V1sh1l416.l3V'V' 3 2l(24l)54

9 324l2'0,當(dāng)2

6l3'O,當(dāng)l2

6時(shí)，V最大，最大值為64，3又l27，l3481.4所以答案選C.題型二：側(cè)棱垂直于底面的三棱錐外接球由前面的引導(dǎo)，補(bǔ)全法還是比較容易想到的。方法：補(bǔ)成直棱柱，外接球的半徑等于直棱柱外接球的半徑。題型三：三條側(cè)棱兩兩垂直方法：補(bǔ)全成長(zhǎng)方體，外接球的半徑就等于長(zhǎng)方體外接球的半徑。題型四：三組對(duì)棱分別相等這個(gè)需要教師引導(dǎo)，提示構(gòu)建模型；借助模型找出邊之間的關(guān)系。設(shè)出長(zhǎng)方體的長(zhǎng)寬高分別為a,b,c,ADBCx,ABCDy,ACBDz,a2x2b2y2 2 2 222ca22

z2

R)2

a2

b2

c2

xyz 2x2x2y2z28題型五:翻折模型的外接球教師直接展示模型，進(jìn)行講解方法：1.可以找兩組線面垂直，垂足為三角形的外心，兩個(gè)垂線交點(diǎn)即為外接球心如圖，R2OH2HC21 1模型四棱臺(tái)的外接球面垂直關(guān)系。R2r2OO2(r為ABC外接圓半徑）1 1 1

111R2r2OO2(r為ABC外接圓半徑）2 2 2

222OO2R2r2OO2(r為ABC外接圓半徑）1 1 1

111R2r2OO2(r為ABC外接圓半徑）2 2 2OO2例5：2022年全國(guó)新高考II卷（理）則該球的表面積為（）

3，其頂點(diǎn)都在同一個(gè)球面上，3.教學(xué)反思題的關(guān)鍵。針對(duì)本節(jié)課，筆者有以下幾點(diǎn)思考：（1）注重圖形的美學(xué)價(jià)值，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣型的意識(shí)。（2）注重由高階向低階的轉(zhuǎn)化，強(qiáng)化學(xué)生問(wèn)題解決的策略意識(shí)如何準(zhǔn)確作出截面圖。（3）注重幾何模型的類型分析，尋找問(wèn)題解決的基本路徑總結(jié)歸納是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的一種重要技能，同時(shí)也是構(gòu)建知識(shí)體系的重要途徑，抓住問(wèn)題的要點(diǎn)，把握主線，層層遞進(jìn)，步步深入，促進(jìn)學(xué)生的深度學(xué)習(xí)。（4）注重知識(shí)的整合，提升知識(shí)的綜合運(yùn)用能力要提高學(xué)生綜合運(yùn)用知識(shí)的意識(shí)。（5）領(lǐng)悟問(wèn)題解決的思想方法，發(fā)展基本的數(shù)學(xué)素養(yǎng)在學(xué)習(xí)分析各種數(shù)學(xué)模型時(shí)，引導(dǎo)幫助學(xué)生自己分析具體問(wèn)題、解決問(wèn)題。在探究解決現(xiàn)實(shí)問(wèn)題能力的養(yǎng)成過(guò)程中要滲透模型思想、化歸轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想，性。參考文獻(xiàn)年第5期（上半月）：5-10.[2]尤新建.巧妙構(gòu)造輔助函數(shù)年1231-3