第二章多維隨機變量

第三章多維隨機變量及其分布1到現(xiàn)在為止，我們只討論了一維隨機變量及其分布.飛機的重心在空中的位置是由三個隨機變量(三個坐標(biāo)）來確定的等等.但有些隨機現(xiàn)象用一個隨機變量來描述還不夠，而需要用幾個隨機變量來描述.如:在打靶時,命中點的位置是由一對隨機變量(兩個坐標(biāo))來確定的.因而需進(jìn)一步討論由多個隨機變量構(gòu)成的隨機向量.其處理思路及方法與一維情形相同,但形式較一維復(fù)雜;學(xué)習(xí)時應(yīng)注意與一維情形的對照.2

設(shè)S為試驗E的樣本空間,若對S中的任一基本事件e,都有惟一確定的n個實數(shù)X1(e),

…,Xn(e)與之對應(yīng),則叫(X1(e),…,Xn(e))為n維隨機變量,由于從二維推廣到多維一般沒有實質(zhì)性的困難,我們重點討論二維隨機變量.定義:簡記為(X1,…

,Xn).二維隨機變量一般用(X,Y)來表示.3

§1&§2二維隨機變量的聯(lián)合分布與邊緣分布一、X與Y的聯(lián)合分布函數(shù)及邊緣分布函數(shù)

X的分布函數(shù)二維隨機變量

(X,Y)的分布函數(shù)為也叫X與Y的聯(lián)合分布函數(shù).4

幾何表示:

(X,Y)的分布函數(shù)yx0.(x,y).(X,Y)F(x,y)為隨機點(X,Y)落在圖中陰影區(qū)域內(nèi)的概率.(X,Y)的分布函數(shù)具有:等性質(zhì).5在二維隨機變量(X,Y)中:X的分布函數(shù)稱為

(X,Y)關(guān)于X的邊緣分布函數(shù),Y的分布函數(shù)稱為

(X,Y)關(guān)于Y的邊緣分布函數(shù);由聯(lián)合分布函數(shù)可確定邊緣分布函數(shù),對此有:6進(jìn)一步可定義n維隨機變量(X1,…,Xn)的分布函數(shù):及關(guān)于Xi

(i

=1,…,n)

的邊緣分布函數(shù):7

二、二維離散型隨機變量的分布律及邊緣分布律X的分布律對二維離散型隨機變量(X,Y):為(X,Y)的分布律，或X與Y的聯(lián)合分布律.(X,Y)的分布律的性質(zhì):可列表表示:(1)非負(fù)性(2)歸一性

XY

x1

x2

…xi

…

y1yj

┇┇

p11

p21

…pi1

…

p1j

p2j

…pij…

┇┇┇……┇┇┇……8在二維離散型隨機變量(X,Y)中,稱X的分布律為(X,Y)關(guān)于X的邊緣分布律,Y的分布律為(X,Y)關(guān)于Y的邊緣分布律;由聯(lián)合分布律可確定邊緣分布律,對此有:關(guān)于X的邊緣分布律為關(guān)于Y的邊緣分布律為(X,Y)的分布律9由聯(lián)合分布律確定邊緣分布律,也可列表給出:P{X=xi}……1P{Y=yj}┇┇

XY

x1

x2

…xi

…

y1yj

┇┇

p11

p21

…pi1

…

p1j

p2j

…pij…

┇┇┇……┇┇┇……10例:一整數(shù)N等可能地在1,2,…,10十個值中取一個值,D=D(N)是能整除N的正整數(shù)的個數(shù),F=F(N)是能整除N的素數(shù)的個數(shù),試確定D和F的聯(lián)合分布律及邊緣分布律.

解:

先由N的取值確定D和F的取值:12345678910NDF10212131214221413142D的可能取值為1,2,3,4;F的可能取值為0,1,2;再確定取值的概率,如:等等.可得D和F的聯(lián)合分布律及邊緣分布律為:1/107/102/101/104/102/103/101D04/102/101/10F01212341/100000002/1011

三、二維連續(xù)型隨機變量的概率密度與邊緣概率密度

X的概率密度fX(x)：對二維連續(xù)型隨機變量(X,Y)有:

f(x,y)稱為(X,Y)的概率密度,或稱為X與Y的聯(lián)合概率密度.yx0.(x,y).(X,Y)即:隨機點(X,Y)落在圖中陰影區(qū)域內(nèi)的概率為f(x,y)在該區(qū)域上的積分.12

f(x,y)為(X,Y)的概率密度,則(1)非負(fù)性(2)歸一性概率密度的性質(zhì):(3)對xoy面上的任一區(qū)域G,(4)在f(x,y)的連續(xù)點上,13在二維連續(xù)型隨機變量(X,Y)中:X的概率密度稱為(X,Y)關(guān)于X的邊緣概率密度,Y的概率密度稱為(X,Y)關(guān)于Y的邊緣概率密度.由聯(lián)合概率密度可確定邊緣概率密度,對此有:14解:例:設(shè)(X,Y)

的分布函數(shù)為：試求(1)

a、b、c,(2)(X,Y)的概率密度.(1)依據(jù)分布函數(shù)的性質(zhì)可得:(2)

故

15例設(shè)(X,Y)

的概率密度為：試求(1)k

,(2)(3)邊緣概率密度fX(x),fY(y).解:(1)由歸一性可得:(2)故xy01作f(x,y)非零區(qū)域的圖形,結(jié)合圖形進(jìn)行處理非常有用16例設(shè)(X,Y)

的概率密度為：試求(2)解:xy01x+y=1xy01y=x最終的積分區(qū)域為f(x,y)的非零區(qū)域與區(qū)域的公共部分17解:例:設(shè)(X,Y)

的概率密度為：試求(3)邊緣概率密度fX(x),fY(y).xy01xy18四、兩個常見的二維連續(xù)型隨機變量的分布(一)均勻分布設(shè)G是平面上的有界區(qū)域，其面積為A;若二維隨機變量(X,Y)的概率密度為則稱（X,Y）在G上服從均勻分布.例如:向平面上有界區(qū)域G上任投一質(zhì)點,若質(zhì)點落在G內(nèi)任一小區(qū)域B的概率與小區(qū)域的面積成正比,而與B的形狀及位置無關(guān).則質(zhì)點的坐標(biāo)(X,Y)在G上服從均勻分布.19(二)二維正態(tài)分布若二維隨機變量(X,Y)的概率密度為則稱(X,Y)服從參數(shù)為其中均為常數(shù),且的二維正態(tài)分布.記作(X,Y)~20可以證明:二維正態(tài)分布的兩個邊緣分布都是一維正態(tài)分布.則

若(X,Y)~注意:由聯(lián)合分布可以確定邊緣分布;但由邊緣分布一般不能確定聯(lián)合分布.21

§4隨機變量的獨立性P(AB)=P(A)P(B)事件A,B獨立也就是:定義:若對任意的x,y都有則叫隨機變量X與Y相互獨立.X與Y相互獨立對任意的x,y有對二維離散型隨機變量(X,Y):X與Y相互獨立對(X,Y)的所有可能取值(xi,yj),22對二維連續(xù)型隨機變量(X,Y):幾乎處處成立對任意的x,y,

X與Y相互獨立(“幾乎處處成立”的含義是：在平面上除去面積為0的集合外，處處成立)例:

若

則X與Y相互獨立23例:設(shè)(X,Y)的分布律為

而X與Y相互獨立,試確定a和b?

123X

b1/81/16Y013/163/8a解:由歸一性得再由獨立性列出其它式子,為此需確定邊緣分布:取一式,如a+9/16b+3/16b+3/161/2a+1/161123X

b1/81/16Y013/163/8a解得24

例

設(shè)(