構(gòu)造正方形 探究網(wǎng)格圖 論文

2022年安徽省中小學(xué)教育教學(xué)論文評(píng)選構(gòu)造正方形 探究網(wǎng)格圖摘2022年天津中考題第18格中無刻度直尺作圖問題.關(guān)鍵詞：無刻度直尺；網(wǎng)格作圖；構(gòu)造正方形；垂直問題；作圓心引言：近些年來，網(wǎng)格題不再是千篇一律的簡(jiǎn)單平移、翻折與旋轉(zhuǎn)，網(wǎng)格題從一般的無刻度直尺作圖題，逐漸演變出利用無刻度直尺在網(wǎng)格中解題.其創(chuàng)新性的題目在與旋轉(zhuǎn)作圖，轉(zhuǎn)變?yōu)橛梅叟c旋轉(zhuǎn)為工具而生長(zhǎng)出模型，再通過模型解決問題.2022年天津中考中的第18題要求在網(wǎng)格內(nèi)無刻度直尺作圖，并通過巧妙構(gòu)造正方形，利用旋轉(zhuǎn)建立模型，從而達(dá)到解決題目中垂直問題的目的.對(duì)此類問題分析研究后，筆者發(fā)現(xiàn)構(gòu)造正方形，建立模型能夠解決一系列的垂直問題.同時(shí)筆者在探究題目的生長(zhǎng)過程中發(fā)現(xiàn)，如果某個(gè)圓有一點(diǎn)在網(wǎng)格點(diǎn)上，那么在網(wǎng)格圖中就能畫出該圓的圓心.一、題目呈現(xiàn)DABPEFC如圖1，在每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1的網(wǎng)格中，圓上的點(diǎn)A，B，C及∠DPF的一邊上的點(diǎn)DABPEFC（1）線段EF的長(zhǎng)等于 ；分別在射線上，滿足∠MBN=90°且1并簡(jiǎn)要說明點(diǎn)的位置是如何找到的（不要求證明）.圖1二、追根溯源1、正方形相關(guān)的旋轉(zhuǎn)模型60是正方形ABCD中CD邊上任意一點(diǎn)，以點(diǎn)A為中心，把△ADE順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，畫出旋轉(zhuǎn)后的圖形.12022年安徽省中小學(xué)教育教學(xué)論文評(píng)選圖2教材的例題是“旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)”的一些簡(jiǎn)單應(yīng)用.2022年天津中考網(wǎng)格作圖題中，通中的圖形來.2022年天津中考網(wǎng)格題考察了學(xué)生的構(gòu)造能力和遷移能力，除了要正確構(gòu)到問題的源頭.2、“一線三等角”模型在網(wǎng)格中尋找“一線三等角”模型.如圖3，∠D=∠B=∠EAC=90°，則AE=AC.ECAD 圖3 B如圖4，在網(wǎng)格中我們找到格點(diǎn)BA=AD，并且∠E=∠F=90°，通過全等得出∠C=∠D，構(gòu)造出格點(diǎn)正方形.從而利用正方形的性質(zhì)拓展延伸得出相應(yīng)的模型，從而解決相應(yīng)的垂直問題.CBDF A E圖4對(duì)稱圖形，具有很好的幾何直觀，易于辨別.在教學(xué)實(shí)踐中，通過對(duì)正方形的構(gòu)造，大22022年安徽省中小學(xué)教育教學(xué)論文評(píng)選大提高了學(xué)生在網(wǎng)格圖中構(gòu)造垂直的準(zhǔn)確率.同時(shí)也培養(yǎng)了學(xué)生的發(fā)散思維能力，讓學(xué)生在幾何學(xué)習(xí)中有大觀念、大思考.三、解法探究如圖2022年天津中考數(shù)學(xué)第18題第2不妨先動(dòng)手畫出相應(yīng)的草圖，從而縮小探究范圍.通過對(duì)BM=BN的思考，先構(gòu)造一個(gè)B旋轉(zhuǎn)90°得出逆向思考構(gòu)造△BQM≌△BFN得出，BM=BN.具體解法如下：連接AC，與網(wǎng)格線相交于點(diǎn)O；取格點(diǎn)Q，連接EQ、BQ，設(shè)EQ與射線PD相交于點(diǎn)M；連接MB與⊙O相交于點(diǎn)G；連接GO并延長(zhǎng)，與⊙O相交于點(diǎn)H；連接BH并延長(zhǎng)，與射線PF相交于點(diǎn)N，則點(diǎn)M，N即為所求.QDABMGPOEFHN圖5此題運(yùn)用了圓的性質(zhì)、正方形相關(guān)的旋轉(zhuǎn)模型，在PD是動(dòng)線的情況下，通過構(gòu)造正方形及相關(guān)的旋轉(zhuǎn)模型，利用逆向思維證全等，巧妙得出結(jié)論.天津中考題第18題無更具創(chuàng)新性的題目的探究思想.其中構(gòu)建正方形為此題的題眼，同時(shí)直觀地反映了圖形中的全等.對(duì)于構(gòu)造正方形所得出的垂直也是網(wǎng)格中的熱點(diǎn).在用無刻度直尺網(wǎng)格作圖題中，它不僅能通過幾何直觀解決一般的旋轉(zhuǎn)能通過構(gòu)造兩個(gè)過這個(gè)格點(diǎn)的正方形，作出圓的圓心.下面我就從這幾個(gè)方面的研究來展現(xiàn)構(gòu)造正方形的魅力.342022年安徽省中小學(xué)教育教學(xué)論文評(píng)選4四、生長(zhǎng)引申1、解決旋轉(zhuǎn)90°問題(2021年安徽中考)如圖4，在每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1個(gè)單位的網(wǎng)格中，△ABC的頂點(diǎn)均在格點(diǎn)（網(wǎng)格線的交點(diǎn)）上.（1）將△ABC向右平移5個(gè)單位得到△A1B1C1，畫出△A1B1C1；繞點(diǎn)C1逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△A2B2C1，畫出△A2B2C1.A1B1 C1DA2B2圖6 圖790°問題.在能得出兩邊垂直.正方形作為特殊的平行四邊形，是對(duì)稱的，是美的.通過對(duì)正方形的構(gòu)造，同學(xué)們構(gòu)造正方形模型將正方形與一線三等角等模型有機(jī)的聯(lián)系起來，把知識(shí)能力進(jìn)行應(yīng)用和遷移，是對(duì)于正方形的直觀與美的寫照，更是大觀念，即知識(shí)能力、道德價(jià)值和人文價(jià)值的追求.新課標(biāo)理念下，新課標(biāo)的四大關(guān)鍵概念：大觀念、大任務(wù)、真實(shí)性、實(shí)踐性.2、利用網(wǎng)格作垂直平分線（20197×6的頂點(diǎn)均在格點(diǎn)上.2022年安徽省中小學(xué)教育教學(xué)論文評(píng)選試按要求畫出線段EF（E，F(xiàn)均為格點(diǎn)），各畫出一條即可.圖8 EF垂直平分AB 圖9解析：此問有一定難度，圖9中如果我們把AB看作正方形的對(duì)角線構(gòu)造正方形AEBF，那么就可以作出AB的垂直平分線EF.3、利用網(wǎng)格構(gòu)造正方形，利用垂直作等腰三角形（2019年天津二模卷第2問）如圖，在每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1的網(wǎng)格中，點(diǎn)A、點(diǎn)B均為格點(diǎn).C是以ABD在邊ACS△ABD=1S△ABC.請(qǐng)?jiān)谌鐖D6所示的網(wǎng)格中，用無刻度的直尺，畫出線段D2的位置是如何找到的.（不要求證明）圖10 圖1110，以AB為邊作正方形ABEF，連接對(duì)角線AE，BF，則對(duì)角線交點(diǎn)即為點(diǎn)C，則△ABC滿足條件.設(shè)正方形相鄰兩邊分別與網(wǎng)格線有兩個(gè)交點(diǎn)G，H，且為兩邊中點(diǎn)，連接GH與AE交于點(diǎn)D，連接BD，則BD即為所求.第（2）問的難點(diǎn)在于構(gòu)造等腰直角三角形，因?yàn)橹荒苁褂脽o刻度直尺，所以通過△D △構(gòu)造正方形可以解決問題，由題意中S =1S 得出點(diǎn)D是△D △2中容易得出點(diǎn)G、點(diǎn)H分別為AB，AF的中點(diǎn)，則GH是△ABC的中位線，從而我們52022年安徽省中小學(xué)教育教學(xué)論文評(píng)選可以作出點(diǎn) 決問題.由 D M

此可見，建模心中扎根，構(gòu)圖自然而來.EW A4、利用 網(wǎng)格構(gòu)造正方形，利用垂直求最值問題如圖，是由邊長(zhǎng)為1的小正方形組成的網(wǎng)格，點(diǎn)A，B，C均為格點(diǎn).若P為邊BCA的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為點(diǎn)B＇，C＇，P＇.（1）畫出△AB＇C＇；（2）當(dāng)CP＇最小時(shí)，畫出點(diǎn)P＇，并簡(jiǎn)要說明你是怎樣找到點(diǎn)P＇的.H FGB′JEC P′ CI KDA C′ AB B圖12 圖13解析：由題意知，∠ACB=90°，延長(zhǎng)BA交小正方形格點(diǎn)中心點(diǎn)D，構(gòu)造格點(diǎn)正方形HG的中點(diǎn)的中點(diǎn)交于點(diǎn)B＇K并延長(zhǎng)，交AD于點(diǎn)C＇，連接CJ交B＇K與點(diǎn)P＇.本題中構(gòu)造正方形，幫助我們找到了點(diǎn)B＇，同時(shí)通過構(gòu)造垂直，得出點(diǎn)C＇，最后通過構(gòu)造垂直，得出CP＇最短.5、利用網(wǎng)格構(gòu)造正方形，利用垂直逆向找圓心（2022年天津中考第18題改編）如圖1，在每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1的網(wǎng)格中，圓上的點(diǎn)A及∠DPF的一邊上的點(diǎn)均在格點(diǎn)上.若點(diǎn)分別在射線上，滿足∠XAY=90°且1并簡(jiǎn)要說明點(diǎn)X，Y的位置是如何找到的（不要求證明）.H62022年安徽省中小學(xué)教育教學(xué)論文評(píng)選XSP OC TBU YF N G I圖14AEFG和正方形和WU、MN交于點(diǎn)O，點(diǎn)O即為過格點(diǎn)A的圓的圓心.作CD交PH于點(diǎn)X，延長(zhǎng)AX交圓于點(diǎn)S.連接SO并延長(zhǎng)交于點(diǎn)T，連接AT并延長(zhǎng)交PI于點(diǎn)Y，則AX⊥AY，AX=AY.由2022年天津中考題第18作兩個(gè)直角，根據(jù)圓的性質(zhì)直角對(duì)直徑，從而得到兩條直徑的交點(diǎn)為圓心.通過研究發(fā)現(xiàn)，如圖14，經(jīng)過格點(diǎn)A的圓無論如何變化，只要同時(shí)滿足AX⊥AY和點(diǎn)都不發(fā)生變化.即在∠HPI上存在點(diǎn)AX=AY且AX⊥AY，則點(diǎn)X與點(diǎn)Y存在且唯一.通過對(duì)2022年天津中考第18的觀察力、豐富的聯(lián)想力、高超的創(chuàng)造力.寧史中說過：在大多數(shù)情況下，數(shù)學(xué)的結(jié)果是“看”出來，而不是“證”出來的.因此，在教學(xué)中，我們需加強(qiáng)對(duì)無刻度直尺網(wǎng)格學(xué)生創(chuàng)新意識(shí)，提升學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).參考文獻(xiàn)[1]石先兵：重本夯基，追本溯源，固本開新[J].中學(xué)數(shù)學(xué),2022(5):69