含參數(shù)函數(shù)的單調(diào)性問題破解策略 論文

PAGEPAGE1含參數(shù)函數(shù)的單調(diào)性問題破解策略摘要：含參數(shù)函數(shù)的單調(diào)性問題問題是高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重要內(nèi)容，也是學(xué)生關(guān)鍵詞：參數(shù)；函數(shù)；單調(diào)性；分離參數(shù)，數(shù)形結(jié)合；三因素分析法引言：在高三復(fù)習(xí)調(diào)研測試和近幾年的高考真題中，筆者發(fā)現(xiàn)在函數(shù)導(dǎo)數(shù)壓時也是就題講題給學(xué)生解讀一番，但事后再出現(xiàn)此類問題學(xué)生任然感覺無從進(jìn)的方法呈現(xiàn)在此，以期與君共進(jìn)。一、典例分析下面以具體的案例談?wù)劰P者總結(jié)的三種方法在求解含參數(shù)函數(shù)單調(diào)性問題的解題步驟。1.分離參數(shù)法化為最值問題。例1：若函數(shù)f(x)=kx-lnx在區(qū)間(1,+∞)單調(diào)遞增,則k的范圍是( )A.(-￥,-2]

B.(-￥,-

C.[2,)

D.)f(x)在區(qū)間(1,+∞)上單調(diào)遞增,可得其導(dǎo)函數(shù)f(x)30恒成立,分離參數(shù),求得k的取值范圍.解：因為f(x)在(1,+∞)上遞增,所以f'(x)30恒成立,因為f(x)=kx-lnx,所以f'(x)=k-

130.即k3x

1)恒成立，所以k?x),選D.2.數(shù)形結(jié)合法與直觀想象等核心素養(yǎng)。高考中也是每年必考。例2：已知二次函數(shù)f(x)x2-2ax在13上單調(diào)，求的取值范圍.調(diào)區(qū)間，所以結(jié)合此函數(shù)的圖象易得a的范圍是(-￥,-).例3.設(shè)a為實數(shù),f(x)(x-a2+x-a-aa-).(1)省略(2)討論f(x)的單調(diào)性.(3)省略.2xa解：(1)省略(2)f(x)2(2a1)x2a,xa令u1

x2,對于u

x2,其對稱軸為x2a1a1a,開口向上,1 2 2所以f(x)在(a,)上單調(diào)遞增;令u2

=x2-,對于u

=x2-,其對稱軸為x2a1a1a,開口向上,2 2 2所以f(x)在(-￥,a)上單調(diào)遞減.綜上,f(x)在(a,)上單調(diào)遞增,在(-￥,a)上單調(diào)遞減.物線圖象便可以快速得到結(jié)果。3.三因素分析法00時對應(yīng)的方程若有兩個以上的根在定義域內(nèi)，須討論這些根的大小關(guān)系。下面結(jié)合具體實例來逐一談?wù)勅绾卫么朔ń鉀Q問題。例4. 已知函數(shù)f(x)ae2xa-2ex-x.(1)討論f(x)的單調(diào)性.(2)略.解：(1)由于f(x)ae2xa-2ex-x,故f'(x)2ae2xa-2ex-1aex-2ex),0當(dāng)a￡時，f'(x)aex-2ex)0恒成立..f(x)在R上單調(diào)遞減.20當(dāng)a時，令f'(x)得aex-1,x-na.令f'(x)>0得xln'(x)<0得xlna.綜上,當(dāng)a￡0時,f(x)在R上單調(diào)遞減;當(dāng)a時,f(x)在(-￥,-lna).上單調(diào)遞減,在(-lna,).上單調(diào)遞增.a的正負(fù)確定。故思考討論a的正負(fù)，思路瞬間展開，書寫也清晰。.另如：已知常數(shù)a,函數(shù)f(x)=ln2x .x(1)討論f(x)在區(qū)間(0,)上的單調(diào)性;(2)略.例5：設(shè)函數(shù)f(x)=alnx+x-1，其中a為常數(shù).x（Ⅰ）略；（Ⅱ）討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性.解：(2)

f=a+ 2

(xx (x①當(dāng)a=

2(x

恒大于0.f(x)在定義域上單調(diào)遞增.②當(dāng)a=a+ 2

a(x=f(x)在定義域上單調(diào)遞增.x (x

x(x③當(dāng)a<0時，D=(2a-4a2￡0,即a￡-1.2開口向下，f(x)在定義域上單調(diào)遞減。當(dāng)-1

=-(2a±

8a=-a-1±

2a2 1,2

2a a對稱軸方程為

x2a1-

12a a 1 2\f(x)在

(0,-a-2a單調(diào)遞減，

(-a-2a,-a-1-2a單調(diào)遞增a a a(-a-1-2a)單調(diào)遞減。a綜上所述，a30

時，f(x)是單調(diào)遞增的；a￡-12

時，f(x)是單調(diào)遞減的；-1時，f(x)

在(0,-a-2a

和(-a-1-2a)單調(diào)遞減2 a a在(-a-2a,-a-1-2a單調(diào)遞增。a aa為負(fù)數(shù)時，導(dǎo)函數(shù)等于0有沒有根是本題參數(shù)討論的根源，而且還要判斷根在不在定義域內(nèi)，按著“三因素分析法”逐一檢驗，問題很快得解。2x-1例6.已知f(x)=a(x-x)+ 2x

,a?(1)討論f(x)的單調(diào)性.(2)略.分析：第一步是求導(dǎo)，通分合并同類項后發(fā)現(xiàn)2解：(1)由題意,函數(shù)f(x)的定義域為),f'(x)=(ax2

-2)(x-.x3①a￡0時,x?f'(x)>0,函數(shù)f(x))單調(diào)遞增,在x?)時,f'(x)<0函數(shù)f(x)單調(diào)遞減.- ? ?②a時,f'(x)=a(xx3-

2 2?÷+ ?÷a aè ?2a當(dāng)0時2a,當(dāng)x?(

2,)時,f'(x)>0,函數(shù)f(x)單調(diào)遞a增;? ?時,時,f(x)0,函數(shù)f(x)單調(diào)遞減；當(dāng)x?a÷è ?2a當(dāng)a時2ax?),時,f'(x)30,函數(shù)f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增；2a當(dāng)a時,0< x2a

?è

2?ax?a?)時,f

'(x)>0,函數(shù)f(x)單調(diào)遞增,當(dāng)x?

?2 ?,1時,f'(x)<0,函數(shù)f(x)單調(diào)遞減；a è ?綜上:當(dāng)a￡0時,函數(shù)f(x)在(0,1)內(nèi)單調(diào)遞增,在)內(nèi)函數(shù)f(x)單調(diào)遞減；? ?當(dāng)0時,函數(shù)f(x)在1)和(

2,)內(nèi)單調(diào)遞增,在x?

2a ? a÷è ?f(x)單調(diào)遞減；當(dāng)a時,函數(shù)f(x)在)內(nèi)單調(diào)遞增；當(dāng)a時,函數(shù)2? ? ? ?2f(x)在)單調(diào)遞增,在?

2f(x)單調(diào)遞減.? a÷

?a ÷è ? è ?比較兩根大小，由此打開思路。另如2019·全國丙卷文科第2