高三數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)-函數(shù)的周期性

周期性對于函數(shù)f(x)，如果存在一個(gè)非零常數(shù)T，使得當(dāng)x取定義域內(nèi)的每一個(gè)值時(shí)，都有

，那么f(x)就叫做周期函數(shù).

叫做這個(gè)函數(shù)的周期.

也是f(x)的周期，即有

.f(x+kT)=f(x)f(x+T)=f(x)TkT(k∈Z,k≠0)第四課時(shí)函數(shù)的周期性根據(jù)定義，若f(x)為周期函數(shù)，且f(x1)=f(x2)，則它的一個(gè)周期T=|x1-x2|整理pptA定義法整理ppt【變式練習(xí)2】已知函數(shù)f(x)(x∈R)的圖象經(jīng)過原點(diǎn)，且f(x＋2)＝f(x＋6)，求f(2012)的值．

【解析】令u＝x＋2，得x＝u－2，則f(u)＝f(u＋4)，所以函數(shù)f(x)的周期為3.依題意，f(0)＝0，且2012＝503×4，所以f(2012)＝f(0)＝0.換元法定義法整理ppt【學(xué)生展示1】已知定義在R上的奇函數(shù)f(x)滿足f(x+2)=-f(x),求f(2012)的值.【解釋】∵f(x+2)=-f(x),∴f(x+4)=-f(x+2).∴f(x+4)=f(x).∴f(x)是周期函數(shù)，周期為4.∴f(2012)=f(4×503)=f(0).又f(x)是R上的奇函數(shù)，∴f(0)=0.∴f(2012)=0.整理ppt【變式題：】已知定義在R上的奇函數(shù)f(x)滿足,求f(2012)的值.整理ppt【學(xué)生展示2】定義在R上的函數(shù)y=f(x)，滿足f(x+1)+f(x)=0，且在區(qū)間[-1，0]上單調(diào)遞增，設(shè)a=f()，b=f(2)，c=f(3)，則()c＜a＜b

B.

b＜c＜a

C.

c＜b＜a

D.

a＜b＜c【答案】A

f(x)是周期為2的周期函數(shù).∴a=f()=f(-2)，

b=f(2)=f(0),c=f(3)=f(-1).又f(x)在區(qū)間［-1，0］上單調(diào)遞增,∴c＜a＜b.整理ppt注意結(jié)論特征：自變量x前的系數(shù)同號(hào)。否則不成立。整理ppt1.已知定義在R上的奇函數(shù)f（x）滿足f（-x+2）+f(x)=0,則f(x)是()A.常函數(shù)B.偶函數(shù)C.周期為2的周期函數(shù)D.周期為1的周期函數(shù)【解析】∵f(-x+2)=-f(x)=f(-x),∴f(x+2)=f(x),∴選C.【答案】C

整理ppt

1考點(diǎn)函數(shù)周期性的判斷及其應(yīng)用【名師示范1】函數(shù)f（x）的定義域?yàn)镽，且f(x)與f(x+1）都是奇函數(shù)，則f(x)的周期是

.分析求周期即求滿足f（x+T）=f(x)的T值.(定義法)∵f(x)及f(x+1)都是奇函數(shù)，∴f(-x)=-f(x)①f(-x+1)=-f(x+1)②由②得f[-(x-1)]=-f(x-1)=-f(x+1),即f(x-1)=f(x+1)③∴f（x）的周期為2.2

（換元法）∵f(x)及f(x+1)都是奇函數(shù)，∴f(-x)=-f(x)①f(-x+1)=-f(x+1)②設(shè)t=-x+1,則x=1-t由②得f(t)=-f(2-t),即f(-t)=f(2-t)③∴f（x）的周期為2.整理ppt0.3整理ppt【名師示范2】（2009山東）定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(x)=則f(2009)的值為（）A.-1B.0C.1D.2log2(1-x),x≤0,

f(x-1)-f(x-2),x>0由已知得f(-1)=log22=1,f(0)=0,f(1)=f(0)-f(-1)=-1,f(2)=f(1)-f(0)=-1,f(3)=f(2)-f(1)=-1-(-1)=0,f(4)=f(3)-f(2)=0-(-1)=1,f(5)=f(4)-f(3)=1,f(6)=f(5)-f(4)=0,所以函數(shù)f(x)的值以6為周期重復(fù)性出現(xiàn)，所以f(2009)=f(5)=1,故選C.【答案】C

f(2009)=f(2008)-f(2007)=f(2007)-f(2006)-

f(2007)=-f(2006)=-

f(2005)+f(2004)=-

f(2004)+f(2003)+f(2004)=f(2003)所以函數(shù)f(x)的周期為6，所以f(2009)=f(-1)=1,整理ppt-2整理ppt3.已知定義在R上的函數(shù)f(x)是以2為周期的奇函數(shù)，則方程f(x)=0在［-2,2］上至少有

個(gè)實(shí)數(shù)根【答案】5

整理ppt（2010安徽）若f(x)是R上周期為5的奇函數(shù)，且滿足f(1)=1，f(2)=2,則f(3)-f(4