【解析】福建省建甌市芝華中學2019-2020學年高二下學期第一次階段考試數(shù)學試題

20192020學年下學期第一次階段考高二年級數(shù)學科目試卷考試時間：120分鐘分值：150分一、選擇題，共12題，每題5分每題只有一個正確答案，共60分.1.已知集合，則=A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】本題考查集合的交集和一元二次不等式的解法，滲透了數(shù)學運算素養(yǎng)．采取數(shù)軸法，利用數(shù)形結(jié)合的思想解題．【詳解】由題意得，，則．故選C．【點睛】不能領會交集的含義易致誤，區(qū)分交集與并集的不同，交集取公共部分，并集包括二者部分．2..函數(shù)的定義域是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)根號下非負、二次不等式的求解即可.【詳解】易得，即，解得.故選：C【點睛】本題主要考查了函數(shù)定義域的求解，屬于基礎題.3.某產(chǎn)品的廣告費用x與銷售額y的統(tǒng)計數(shù)據(jù)如下表：廣告費用（萬元）

4

2

3

5

銷售額（萬元）

49

26

39

54

根據(jù)上表可得回歸方程中的為9.4，據(jù)此模型預報廣告費用為6萬元時銷售額為【答案】B【解析】【詳解】試題分析：，∵數(shù)據(jù)的樣本中心點在線性回歸直線上，回歸方程中的為9.4，∴42=9．4×3．5+a，∴=9．1，∴線性回歸方程是y=9．4x+9．1，∴廣告費用為6萬元時銷售額為9．4×6+9．1=65．5考點：線性回歸方程4.已知，則A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】運用中間量比較，運用中間量比較【詳解】則．故選B．【點睛】本題考查指數(shù)和對數(shù)大小的比較，滲透了直觀想象和數(shù)學運算素養(yǎng)．采取中間變量法，利用轉(zhuǎn)化與化歸思想解題．5.函數(shù)在的圖像大致為A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由分子、分母的奇偶性，易于確定函數(shù)為奇函數(shù)，由的近似值即可得出結(jié)果．【詳解】設，則，所以是奇函數(shù)，圖象關(guān)于原點成中心對稱，排除選項C．又排除選項D；，排除選項A，故選B．【點睛】本題通過判斷函數(shù)的奇偶性，縮小考察范圍，通過計算特殊函數(shù)值，最后做出選擇．本題較易，注重了基礎知識、基本計算能力的考查．6.設函數(shù)f（x）=cosx+bsinx（b為常數(shù)），則“b=0”是“f（x）為偶函數(shù)”的A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】C【解析】【分析】根據(jù)定義域為R的函數(shù)為偶函數(shù)等價于進行判斷.【詳解】時，,為偶函數(shù)；為偶函數(shù)時，對任意的恒成立，，得對任意的恒成立，從而.從而“”是“為偶函數(shù)”的充分必要條件，故選C.【點睛】本題較易，注重重要知識、基礎知識、邏輯推理能力考查.7.已知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減則的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)二次函數(shù)對稱軸與區(qū)間端點的位置關(guān)系列式求解即可.【詳解】函數(shù)對稱軸為，又函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減則.故選：C【點睛】本題主要考查了二次函數(shù)根據(jù)單調(diào)性，定區(qū)間動軸求解參數(shù)范圍的問題，屬于基礎題.8.從3名男同學和2名女同學中任選2名同學參加志愿者服務，則選出的2名同學中至少有1名女同學的概率是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先求事件“選出的2名同學中至少有1名女同學”的對立事件概率，求解“選出的2名同學中至少有1名女同學”的概率即可.【詳解】事件“選出的2名同學中至少有1名女同學”的對立事件為“選出的2名同學均為男同學”，其概率為，故“選出的2名同學中至少有1名女同學”的概率為.故選：A【點睛】本題主要考查了根據(jù)組合、對立事件求解事件概率的問題，屬于基礎題.9.已知曲線在點處的切線方程為，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】通過求導數(shù)，確定得到切線斜率的表達式，求得，將點的坐標代入直線方程，求得．【詳解】詳解：，將代入得，故選D．【點睛】本題關(guān)鍵得到含有a，b的等式，利用導數(shù)幾何意義和點在曲線上得到方程關(guān)系．10.設是定義域為偶函數(shù)，且在單調(diào)遞減，則（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】由已知函數(shù)為偶函數(shù)，把，轉(zhuǎn)化為同一個單調(diào)區(qū)間上，再比較大?。驹斀狻渴荝的偶函數(shù)，．，又在(0，+∞)單調(diào)遞減，∴，，故選C．【點睛】本題主要考查函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性，解題關(guān)鍵在于利用中間量大小比較同一區(qū)間的取值．，其中星等為mk的星的亮度為Ek（k=1,2）.已知太陽的星等是–26.7，天狼星的星等是–1.45，則太陽與天狼星的亮度的比值為()A.10 B.10.1 C.lg10.1 D.【答案】A【解析】【分析】由題意得到關(guān)于的等式，結(jié)合對數(shù)的運算法則可得亮度的比值.【詳解】兩顆星的星等與亮度滿足,令,.故選A.【點睛】本題以天文學問題為背景,考查考生的數(shù)學應用意識?信息處理能力?閱讀理解能力以及指數(shù)對數(shù)運算.12.已知，設函數(shù)若關(guān)于的不等式在上恒成立，則的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先判斷時，在上恒成立；若在上恒成立，轉(zhuǎn)化為在上恒成立．【詳解】∵，即，（1）當時，，當時，，故當時，在上恒成立；若在上恒成立，即在上恒成立，令，則，當函數(shù)單增，當函數(shù)單減，故，所以．當時，在上恒成立；綜上可知，的取值范圍是，故選C．【點睛】本題考查分段函數(shù)的最值問題，關(guān)鍵利用求導的方法研究函數(shù)的單調(diào)性，進行綜合分析．二、填空題，共4題，每題5分，共20分.13.已知一組數(shù)據(jù)6，7，8，8，9，10，則該組數(shù)據(jù)的方差是____.【答案】.【解析】【分析】由題意首先求得平均數(shù)，然后求解方差即可.【詳解】由題意，該組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，所以該組數(shù)據(jù)的方差是.【點睛】本題主要考查方差的計算公式，屬于基礎題.14.展開式中的常數(shù)項為________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)二項展開式的通項公式得出通項，根據(jù)方程思想得出的值，再求出其常數(shù)項．【詳解】，由，得，所以的常數(shù)項為.【點睛】本題考查二項式定理的應用，牢記常數(shù)項是由指數(shù)冪為0求得的．15.已知是奇函數(shù)，且當時，.若，則__________.【答案】3【解析】【分析】當時，代入條件即可得解.【詳解】因為是奇函數(shù)，且當時，．又因為，，所以，兩邊取以為底的對數(shù)得，所以，即．【點睛】本題主要考查函數(shù)奇偶性，對數(shù)的計算．滲透了數(shù)學運算、直觀想象素養(yǎng)．使用轉(zhuǎn)化思想得出答案．16.設函數(shù)（為常數(shù)）．若是上的增函數(shù)，則的取值范圍是___________．【答案】【解析】【分析】求導，由是上的增函數(shù)，得到在上恒成立，解此不等式，即可得解.【詳解】由，得，是上的增函數(shù)，，即在上恒成立，，解得，，，的取值范圍是.故答案為：.【點睛】本題考查利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，考查轉(zhuǎn)化與化歸能力，屬于基礎題.三、解答題，第17題10分，第1822每題12分，共70分.17.某種商品價格與該商品日需求量之間幾組對照數(shù)據(jù)如下表：（1）求關(guān)于的線性回歸方程；（2）利用（1）中的回歸方程，當價格元/時，日需求量的預測值為多少？參考公式：線性回歸方程，其中【答案】（1）；（2）.【解析】試題分析：（1）將數(shù)據(jù)代入回歸直線方程的計算公式，計算的鬼鬼直線方程為；（2）將代入回歸直線方程，可求得預測值為.試題解析：（1）由所給數(shù)據(jù)計算得，，，，.所求線性回歸方程為.（2）由（1）知當時，，故當價格元/時，日需求量的預測值為.點睛：本題主要考查回歸直線方程的求解，考查利用回歸直線方程來預測的案例.在計算回歸直線方程的過程中，一般采用分步計算的方法，即先計算出，兩個均值計算出來后計算和，由此計算出的分子和分母，計算出之后再代入公式求的值，最后回歸直線方程是，的位置不能弄反了.18.高鐵、網(wǎng)購、移動支付和共享單車被譽為中國的“新四大發(fā)明”，彰顯出中國式創(chuàng)新的強勁活力．某移動支付公司從某市移動支付用戶中隨機抽取100人進行調(diào)查，得到如下數(shù)據(jù)：每周移動支付次數(shù)1次2次3次4次5次6次及以上男10873215女5464630總計1512137845（1）把每周使用移動支付6次及以上的用戶稱為“移動支付達人”，按分層抽樣的方法，從參與調(diào)查的“移動支付達人”中，隨機抽取6人，求抽取的6人中，男、女用戶各多少人；（2）把每周使用移動支付超過3次的用戶稱為“移動支付活躍用戶”，根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)完成下列列聯(lián)表，問：能否有的把握認為“移動支付活躍用戶”與性別有關(guān)？非移動支付活躍用戶移動支付活躍用戶總計男女總計附參照表：2706參考公式：，其中【答案】（1）男用戶2人，女用戶4人；（2）有的把握認為“移動支付活躍用戶”與性別有關(guān).【解析】【分析】（1）根據(jù)分層抽樣各層按比例分配，即可得解；（2）填寫列聯(lián)表，計算值，再與臨界值表進行比較，即可得出結(jié)論.【詳解】（1）因為參與調(diào)查的“移動支付達人”共有人，其中男用戶人，女用戶人，所以抽取的6人中，男用戶人，女用戶人，所以抽取的6人中，男用戶2人，女用戶4人．（2）由表格中數(shù)據(jù)可得列聯(lián)表如下：非移動支付活躍用戶移動支付活躍用戶總計男252045女154055總計4060100所以的觀測值，所以有的把握認為“移動支付活躍用戶”與性別有關(guān).【點睛】本題考查獨立性檢驗和分層抽樣中樣本的抽取個數(shù)問題，考查學生對這些知識的掌握能力，準確計算是本題的解題關(guān)鍵，屬于基礎題.19.設甲、乙兩位同學上學期間，每天7：30之前到校的概率均為.假定甲、乙兩位同學到校情況互不影響，且任一同學每天到校情況相互獨立.（Ⅰ）用表示甲同學上學期間的三天中7：30之前到校的天數(shù)，求隨機變量的分布列和數(shù)學期望；（Ⅱ）設為事件“上學期間的三天中，甲同學在7：30之前到校的天數(shù)比乙同學在7：30之前到校的天數(shù)恰好多2”，求事件發(fā)生的概率.【答案】（Ⅰ）見解析；（Ⅱ）【解析】【分析】(Ⅰ)由題意可知分布列為二項分布，結(jié)合二項分布的公式求得概率可得分布列，然后利用二項分布的期望公式求解數(shù)學期望即可；(Ⅱ)由題意結(jié)合獨立事件概率公式計算可得滿足題意的概率值.【詳解】(Ⅰ)因為甲同學上學期間的三天中到校情況相互獨立，且每天7:30之前到校的概率均為，故，從面.所以，隨機變量的分布列為：0123隨機變量的數(shù)學期望.(Ⅱ)設乙同學上學期間的三天中7:30之前到校的天數(shù)為，則.且.由題意知事件與互斥，且事件與，事件與均相互獨立，從而由(Ⅰ)知：.【點睛】本題主要考查離散型隨機變量的分布列與數(shù)學期望，互斥事件和相互獨立事件的概率計算公式等基礎知識.考查運用概率知識解決簡單實際問題的能力.20.已知函數(shù)（1）若a=b=1，求函數(shù)的極值；（2）討論的單調(diào)性【答案】（1）極大值為1，極小值為；（2）見解析.【解析】【分析】(1)求導分析函數(shù)的極值點，再代入求解極值即可.(2)求導可得，再分、與三種情況分別求解導函數(shù)的正負區(qū)間，進而得出函數(shù)的單調(diào)性即可.【詳解】（1），令有或.故極大值點為，極小值點為，所以，；（2）當時，，此時在單調(diào)遞增.當時，令，解得或，令，解得.此時在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減.當時，令，解得或，令，解得.此時在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減.綜上可得，當時，在單調(diào)遞增.當時，在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減.當時，在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減.【點睛】本題主要考查了利用導數(shù)求解函數(shù)的極值、分情況討論函數(shù)的單調(diào)性問題.需要根據(jù)題意確定極值點間的大小關(guān)系、導函數(shù)的正負區(qū)間，進而得到原函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.屬于中檔題.21.改革開放以來，人們的支付方式發(fā)生了巨大轉(zhuǎn)變．近年來，移動支付已成為主要支付方式之一．為了解某校學生上個月A，B兩種移動支付方式的使用情況，從全校學生中隨機抽取了100人，發(fā)現(xiàn)樣本中A，B兩種支付方式都不使用的有5人，樣本中僅使用A和僅使用B的學生的支付金額分布情況如下：交付金額（元）支付方式（0,1000]（1000,2000]大于2000僅使用A18人9人3人僅使用B10人14人1人（Ⅰ）從全校學生中隨機抽取1人，估計該學生上個月A，B兩種支付方式都使用的概率；（Ⅱ）從樣本僅使用A和僅使用B的學生中各隨機抽取1人，以X表示這2人中上個月支付金額大于1000元的人數(shù)，求X的分布列和數(shù)學期望；（Ⅲ）已知上個月樣本學生的支付方式在本月沒有變化．現(xiàn)從樣本僅使用A的學生中，隨機抽查3人，發(fā)現(xiàn)他們本月的支付金額都大于2000元．根據(jù)抽查結(jié)果，能否認為樣本僅使用A的學生中本月支付金額大于2000元的人數(shù)有變化？說明理由．【答案】(Ⅰ)；(Ⅱ)見解析；(Ⅲ)見解析.【解析】【分析】(Ⅰ)由題意利用古典概型計算公式可得滿足題意的概率值；(Ⅱ)首先確定X可能的取值，然后求得相應的概率值可得分布列，最后求解數(shù)學期望即可.(Ⅲ)由題意結(jié)合概率的定義給出結(jié)論即可.【詳解】(Ⅰ)由題意可知，兩種支付方式都是用的人數(shù)為：人，則：該學生上個月A，B兩種支付方式都使用的概率.(Ⅱ)由題意可知，僅使用A支付方法的學生中，金額不大于1000的人數(shù)占，金額大于1000的人數(shù)占，僅使用B支付方法的學生中，金額不大于1000的人數(shù)占，金額大于1000的人數(shù)占，且X可能的取值為0,1,2.，，，X的分布列為：X012其數(shù)學期望：.(Ⅲ)我們不認為樣本僅使用A的學生中本月支付金額大于2000元的人數(shù)有變化.理由如下：隨機事件在一次隨機實驗中是否發(fā)生是隨機的，是不能預知的，隨著試驗次數(shù)的增多，頻率越來越穩(wěn)定于概率．學校是一個相對消費穩(wěn)定的地方，每個學生根據(jù)自己的實際情況每個月的消費應該相對固定，出現(xiàn)題中這種現(xiàn)象可能是發(fā)生了“小概率事件”.【點睛】本題以支付方式相關(guān)調(diào)查來設置問題，考查概率統(tǒng)計在生活中的應用，考查概率的定義和分布列的應用，使學生體會到數(shù)學