【解析】廣東省東莞四中2019-2020學(xué)年高一下學(xué)期6月段考數(shù)學(xué)試題

東莞四中20192020學(xué)年第二學(xué)期高一年級(jí)6月段考數(shù)學(xué)試題一?單選題1.下列函數(shù)中，周期為的奇函數(shù)是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】通過(guò)判斷四個(gè)函數(shù)的周期性、奇偶性，可選出答案.【詳解】函數(shù)的周期為，不符合題意；函數(shù)是偶函數(shù)，不符合題意；函數(shù)的周期為，不符合題意；是周期為的奇函數(shù)，符合題意.故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)的周期性與奇偶性，屬于基礎(chǔ)題.2.圓心為，且與x軸相切的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】由于圓心為，圓與x軸相切，所以可得圓的半徑為2，從而可得圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.【詳解】解：因?yàn)閳A心為，圓與x軸相切，所以圓的半徑為2，所以圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，故選：B【點(diǎn)睛】此題考查由圓心和半徑寫(xiě)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，屬于基礎(chǔ)題.3.（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用兩角和差正弦公式化簡(jiǎn)求得結(jié)果.【詳解】.故選：.【點(diǎn)睛】本題考查利用兩角和差正弦公式求值的問(wèn)題，屬于基礎(chǔ)題.4.已知向量，不共線，設(shè)，，若，則實(shí)數(shù)k的值為（）A. B.1 C. D.1【答案】A【解析】【分析】由，可知存在實(shí)數(shù)，使得，進(jìn)而列出式子，可求出實(shí)數(shù)k的值.【詳解】由題意，可知，因?yàn)椋源嬖趯?shí)數(shù)，使得，即，整理得，即.故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查共線向量定理的應(yīng)用，考查學(xué)生的計(jì)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.5.某高中學(xué)校三個(gè)年級(jí)共有學(xué)生2800名，需要用分層抽樣的方法抽取一個(gè)容量為40的樣本，已知高一年級(jí)有學(xué)生910名，高二年級(jí)抽出的樣本人數(shù)占樣本總數(shù)的，則抽出的樣本中有高三年級(jí)學(xué)生人數(shù)為（）A.14 B.15 C.16 D.17【答案】B【解析】【分析】根據(jù)分層抽樣的定義建立比例關(guān)系即可得出結(jié)論.【詳解】解：高二年級(jí)人數(shù)為人，則高三人數(shù)人，則高三抽取的人數(shù)為人.故選：B.【點(diǎn)睛】本題主要考查分層抽樣的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.6.有五條線段長(zhǎng)度分別為，從這5條線段中任取3條，則所取3條線段能構(gòu)成一三角形的概率A. B. C. D.【答案】B【解析】【詳解】從五條線段中任取三條共有種可能，其中能構(gòu)成三角形的有，，三種可能，故所取三條線段能構(gòu)成一個(gè)三角形的概率為,故選B由題意知本題是一個(gè)古典概型.7.若則的值為（）A.1 B.2 C.1 D.2【答案】B【解析】【分析】化簡(jiǎn)可知,利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式,求得,即可得出結(jié)果.【詳解】又，故選:B.【點(diǎn)睛】本小題主要考查利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式進(jìn)行化簡(jiǎn)求值,考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法,屬于基礎(chǔ)題.8.在中，P是AB上的一點(diǎn)，若，且，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由平面向量加減法法則對(duì)化簡(jiǎn)，再與對(duì)比可求出的值.【詳解】解：由，得，所以，所以，所以，故選：A【點(diǎn)睛】此題考查平面向量加減法法則，屬于基礎(chǔ)題.9.已知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】時(shí)，，可知，從而可列出式子，求出的取值范圍.【詳解】由題意，時(shí)，，因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，所以，則，解得，所以，解得，因?yàn)椋裕?故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查正弦函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用，考查學(xué)生的計(jì)算求解能力，屬于中檔題.10.已知圓，圓，分別為圓上的點(diǎn)，為軸上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為()A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】求出圓關(guān)于軸的對(duì)稱圓的圓心坐標(biāo)A，以及半徑，然后求解圓A與圓的圓心距減去兩個(gè)圓的半徑和，即可求得的最小值，得到答案．【詳解】如圖所示，圓關(guān)于軸的對(duì)稱圓的圓心坐標(biāo)，半徑為1，圓的圓心坐標(biāo)為,，半徑為3，由圖象可知，當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，取得最小值，且的最小值為圓與圓的圓心距減去兩個(gè)圓的半徑之和，即，故選D．【點(diǎn)睛】本題主要考查了圓的對(duì)稱圓的方程的求解，以及兩個(gè)圓的位置關(guān)系的應(yīng)用，其中解答中合理利用兩個(gè)圓的位置關(guān)系是解答本題的關(guān)鍵，著重考查了數(shù)形結(jié)合法，以及推理與運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．二?多選題11.下列命題中，結(jié)論正確的有（）A.B.若，則C若，則A?B?C?D四點(diǎn)共線；D.在四邊形中，若，，則四邊形為菱形.【答案】BD【解析】【分析】根據(jù)平面向量的數(shù)量積及平行向量共線定理判斷可得；【詳解】解：對(duì)于A，，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，若，則，所以，，故，即B正確；對(duì)于C，，則或與共線，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，在四邊形中，若，即，所以四邊形是平行四邊形，又，所以，所以四邊形是菱形，故D正確；故選：BD【點(diǎn)睛】本題考查平行向量的數(shù)量積及共線定理的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.12.已知函數(shù)，下列結(jié)論正確的有（）A.函數(shù)是奇函數(shù)；B.函數(shù)是周期函數(shù)，且周期為2；C.函數(shù)的最小值為2；D.函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱.【答案】BCD【解析】【分析】根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)對(duì)選項(xiàng)逐一判斷即可.【詳解】解：對(duì)于，因?yàn)?，所以不是奇函?shù)，故選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于，，故是周期函數(shù)，2為的一個(gè)周期，故選項(xiàng)正確；對(duì)于，，故，故選項(xiàng)正確；對(duì)于，因?yàn)樗?，所以函?shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱.故選項(xiàng)正確.故選：BCD.【點(diǎn)睛】本題主要考查三角函數(shù)的周期、最值、對(duì)稱軸、奇偶性，屬于中檔題.三?填空題13.已知，，若，則實(shí)數(shù)________．【答案】1【解析】【分析】根據(jù)向量垂直的坐標(biāo)表示求解即可.【詳解】即故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查了由向量垂直求參數(shù)，屬于基礎(chǔ)題.14.空間兩點(diǎn)，之間的距離為，則實(shí)數(shù)____________.【答案】【解析】【分析】利用空間中兩點(diǎn)間距離公式可直接構(gòu)造方程求得結(jié)果.【詳解】，，解得：.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查空間中兩點(diǎn)間距離公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.15.____________.【答案】【解析】【分析】直接根據(jù)兩角和的正切公式計(jì)算可得；【詳解】解：故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查兩角和的正切公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.16.把函數(shù)的圖象向右平移，再把所得圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的，則所得圖象的函數(shù)解析式為_(kāi)___________，其對(duì)稱軸方程為_(kāi)___________.【答案】(1).(2).【解析】【分析】根據(jù)三角函數(shù)左右平移和伸縮變換原則可得到所求函數(shù)解析式；令，求得即為所求對(duì)稱軸方程.【詳解】將向右平移得：，將橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的，得到所求函數(shù)解析式為；令，解得：，所求對(duì)稱軸方程為.故答案為：；.【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)的平移和伸縮變換、正弦型函數(shù)對(duì)稱軸方程的求解問(wèn)題；求解正弦型函數(shù)對(duì)稱軸的常用方法是整體對(duì)應(yīng)的方式，結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì)來(lái)進(jìn)行求解.四?解答題17.已知x是第四象限角，且.（1）求，的值；（2）求的值.【答案】（1），；（2）【解析】【分析】（1）由，并結(jié)合，可求出和，再根據(jù)x是第四象限角，可求出，的值；（2）結(jié)合三角函數(shù)誘導(dǎo)公式，對(duì)原式進(jìn)行化簡(jiǎn)，可求出答案.【詳解】（1）由，得，又，，解得，又x是第四象限角，，；（2），，，原式.【點(diǎn)睛】本題考查同角三角函數(shù)的基本關(guān)系、三角函數(shù)誘導(dǎo)公式的應(yīng)用，考查學(xué)生的計(jì)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.18.已知單位向量，，且，求：（1）向量，的夾角；（2）；（3）若向量與向量垂直，求實(shí)數(shù)k的值.【答案】（1）；（2）；（3）.【解析】【分析】（1）給兩邊平方化簡(jiǎn)，求出，然后利用向量的夾角公式求解即可；（2）給平方化簡(jiǎn)，再開(kāi)方可得結(jié)果；（3）由向量與向量垂直，得，化簡(jiǎn)后可求出k的值.【詳解】解：（1）設(shè)向量的夾角為；由已知得，；；；；；.（2）；（3）向量與向量垂直，.，解得.【點(diǎn)睛】此題考查向量的夾角、向量的模、兩向量垂直的關(guān)系等知識(shí)，考查了計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.19.某研究機(jī)構(gòu)對(duì)高三學(xué)生的記憶力x和判斷力y進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析，所得數(shù)據(jù)如下表所示：x681012y2356（1）在給定的坐標(biāo)系中畫(huà)出表中數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖；（2）試根據(jù)最小二乘法原理，求出y關(guān)于x的線性回歸方程，并在給定的坐標(biāo)系中畫(huà)出回歸直線；（3）試根據(jù)（2）求出的線性回歸方程，預(yù)測(cè)記憶力為9的學(xué)生的判斷力.參考公式：用最小二乘法求線性回歸方程系數(shù)公式：，.【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）線性回歸方程：，圖形見(jiàn)解析；（3）【解析】【分析】（1）根據(jù)表中數(shù)據(jù)可畫(huà)出散點(diǎn)圖；（2）根據(jù)表中數(shù)據(jù)，分別求出，，，，代入公式中，可求出，再由，可求出，從而可得到線性回歸方程；（3）根據(jù)回歸方程，將代入，可求出答案.【詳解】（1）散點(diǎn)圖如下圖所示：（2），，，，，，故線性回歸方程為，圖形見(jiàn)上圖.（3）由題意，該同學(xué)的記憶力為9，則預(yù)測(cè)他的判斷力為：，預(yù)測(cè)這位同學(xué)的判斷力大約為4.【點(diǎn)睛】本題考查散點(diǎn)圖，考查回歸直線方程，考查利用回歸方程對(duì)總體進(jìn)行估計(jì)，考查學(xué)生的計(jì)算求解能力，屬于中檔題.20.某校從參加高一年級(jí)期中考試的學(xué)生中抽出60名學(xué)生，將其數(shù)學(xué)成績(jī)（均為整數(shù)）分成六段，…，，，然后畫(huà)出如下部分頻率分布直方圖.觀察圖形信息，回答下列問(wèn)題：（1）求第四小組的頻率，并補(bǔ)全這個(gè)頻率分布直方圖；（2）估計(jì)這次考試的及格率（60分及60分以上為及格）和平均分；（3）把從分?jǐn)?shù)段選取的最高分的兩人組成B組，分?jǐn)?shù)段的學(xué)生組成C組，現(xiàn)從B，C兩組中選兩人參加科普知識(shí)競(jìng)賽，求這兩個(gè)學(xué)生都來(lái)自C組的概率.【答案】（1）0.3；（2）71；（3）【解析】【詳解】試題分析：（1）頻率分布直方圖中每個(gè)小長(zhǎng)方形的面積等于該組的頻率，且各組的頻率之和等于1，所以設(shè)第四組頻率為x，（0.01+0.015×2+0.025+0.005）×10+x=1，解得：x=0.3.所以第四組頻率為0.3.于是可以補(bǔ)全頻率分布直方圖；（2）60分及60分以上為及格，所以為頻率分布直方圖中的后四組，即第三、四、五、六組，這四組頻率和為0.15+0.3+0.25+0.05=0.75，所以及格率為75%，平均分為各組數(shù)據(jù)的中點(diǎn)值乘以該組的頻率之和，即平均分為45×0.1+55×0.15+65×0.15+75×0.3+85×0.25+95×0.05=71；（3）本問(wèn)考查古典概型，設(shè)B組兩人為、，分?jǐn)?shù)段的學(xué)生人數(shù)為：人，即C組只有3人，設(shè)這3人為、、，則從B、C兩組的5人中抽選2人去參加競(jìng)賽的基本事件有：（b1,b2）（b1,c1）,（b1,c2）,（b1,c3）,（b2,c1）,（b2,c2）,（b2,c3）,（c1,c2）,（c1,c3）,（c2,c3,則包含的基本事件有（c1,c2）,（c1,c3）,（c2,c3）共3種.因此.故選中的2人都來(lái)自C組的概率為.試題解析：（1）設(shè)第四組的頻率為x，則根據(jù)頻率分布直方圖可有：，解得：x=0.3.所以第四組頻率為0.3.頻率分布直方圖如下：所以及格率為75%平均分為：45×0.1+55×0.15+65×0.15+75×0.3+85×0.25+95×0.05=71（3）分?jǐn)?shù)段的學(xué)生人數(shù)為：人，即C組只有3人；把從B組抽取的2人記為、；組的3人記為、、，則從B、C兩組的5人中抽選2人去參加競(jìng)賽的基本事件有：（b1,b2）（b1,c1）,（b1,c2）,（b1,c3）,（b2,c1）,（b2,c2）,（b2,c3）,（c1,c2）,（c1,c3）,（c2,c3,則包含的基本事件有（c1,c2）,（c1,c3）,（c2,c3）共3種.因此.故選中的2人都來(lái)自C組的概率為.考點(diǎn)：1.頻率分布直方圖；2.古典概型．21.已知函數(shù).（1）求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；（2）若，求的值.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）首先由輔助角公式可得，再根據(jù)余弦函數(shù)的性質(zhì)計(jì)算可得；（2）由可得，再根據(jù)同角三角函數(shù)的基本關(guān)系可得，而根據(jù)兩角和的余弦公式計(jì)算可得；【詳解】解：（1），令，解得，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為.（2），，，，又，，，.【點(diǎn)睛】本題考查三角恒等變換及三角函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用，屬于中檔題.22.已知點(diǎn)P(2,2),圓，過(guò)點(diǎn)P的動(dòng)直線l與圓C交于A,B兩點(diǎn),線段AB的中點(diǎn)為M,O為坐標(biāo)原點(diǎn).(1)求點(diǎn)M的軌跡方程;(2)當(dāng)|OP|=|OM|時(shí),求l的方程及△POM的面積.【答案】(1)；(2)直線的方程為，的面積為.【解析】【分析】求得圓的圓心和半徑.（1）當(dāng)三點(diǎn)均不重合時(shí)，根據(jù)圓的幾何性質(zhì)可知，是定點(diǎn)，所以的軌跡是以為直徑的圓（除兩點(diǎn)），根據(jù)圓的圓心和半徑求得三點(diǎn)有重合的情形時(shí)，的坐標(biāo)滿足上述求得的的軌跡方程.（2）根據(jù)圓的幾何性質(zhì)（垂徑定理），求得直線的斜率，進(jìn)而求得直線的面積.【詳解】圓，故圓心為，半徑為.(1)當(dāng)C,M,P三點(diǎn)均不重合時(shí),∠CMP=90°,所以點(diǎn)M的軌跡是以線段PC為直徑的圓(除去點(diǎn)P,C),線段中點(diǎn)為，，故的軌跡方程為(x1)2+(y3)2=2(x≠2,且y≠2或x≠