幾何發(fā)展簡史

（3）希波克拉底（前5世紀(jì)下半葉）已研究畫圓為方及立方倍積問題。據(jù)說最早把間接證明引用到數(shù)學(xué)里的是他。他所著的幾何書叫《幾何原本》，已經(jīng)失傳。（4）德謨克利特（約前460—前370年）發(fā)現(xiàn)棱錐和圓錐的體積分別等于同底等高的棱柱和圓柱體積的三分之一（但是證明是由歐道克斯作出的）。他的幾何著作很可能是歐幾里德《幾何原本》問世以前的重要著作。（5）亞里士多德（約前384—前322年）創(chuàng)造了演繹邏輯，雖然他的哲學(xué)對數(shù)學(xué)的直接影響很少，但對古希臘的論證幾何等數(shù)學(xué)的發(fā)展起到明顯的促進(jìn)作用。他給“定義”、“定理”、“公設(shè)”等以明確的解釋。第一頁第二頁，共34頁。（6）歐幾里德（前300年左右生活在亞歷山大城并在該處授徒）著《幾何原本》，確立幾何學(xué)的邏輯體系，成為世界上最早的公理化數(shù)學(xué)著作?！对尽饭彩?，第一篇到第四篇講直邊形和圓的基本性質(zhì)；第五篇講比例論；第六篇講相似形；第七、八、九篇是數(shù)論；第十篇是不可公度量的分類；第十一、十二、十三篇是立體幾何及窮竭法。西方曾有兩本影響最廣的書，一本是《圣經(jīng)》，另一本就是《幾何原本》?！对尽肥鞘褂脮r間最長的數(shù)學(xué)教科書?！对尽穼嶋H上是古希臘古典時期一些個別發(fā)現(xiàn)的整理，是眾多學(xué)者智慧的結(jié)晶，歐幾里德對前人的成果加以整理、歸納、完善和發(fā)展，他依然是個大數(shù)學(xué)家。雖然它的內(nèi)容存在缺陷，而且與現(xiàn)代教學(xué)趨勢日益不相適應(yīng)，但從歷史的角度看，它確實是一部偉大的著作，無愧于“西方數(shù)學(xué)的代表作”的稱號。第二頁第三頁，共34頁。⒉亞歷山大時期(前300年到公元600阿基米德（前287—前212年）利用窮竭法求出球的表面積和體積公式,研究拋物弓形面積,給出π的范圍,它的幾何著作是希臘數(shù)學(xué)的頂峰。大約從公元1世紀(jì)初起,亞歷山大的數(shù)學(xué)工作特別是幾何工作開始衰落.而此時在東方的中國數(shù)學(xué)正蓬勃發(fā)展。第三頁第四頁，共34頁。二、中國古代幾何學(xué)數(shù)學(xué)是中國古代科學(xué)中一門重要的學(xué)科，根據(jù)中國古代數(shù)學(xué)發(fā)展的特點，可以分為五個時期：萌芽；體系的形成；發(fā)展；繁榮和中西方數(shù)學(xué)的融合。中國古代數(shù)學(xué)的萌芽原始公社末期，私有制和貨物交換產(chǎn)生以后，數(shù)與形的概念有了進(jìn)一步的發(fā)展，仰韶文化時期出土的陶器，上面已刻有表示1234的符號。到原始公社末期，已開始用文字符號取代結(jié)繩記事了。西安半坡出土的陶器有用1～8個圓點組成的等邊三角形和分正方形為100個小正方形的圖案，半坡遺址的房屋基址都是圓形和方形。為了畫圓作方，確定平直，人們還創(chuàng)造了規(guī)、矩、準(zhǔn)、繩等作圖與測量工具。據(jù)《史記·夏本紀(jì)》記載，夏禹治水時已使用了這些工具第四頁第五頁，共34頁。商代中期，在甲骨文中已產(chǎn)生一套十進(jìn)制數(shù)字和記數(shù)法，其中最大的數(shù)字為三萬；與此同時，殷人用十個天干和十二個地支組成甲子、乙丑、丙寅、丁卯等60個名稱來記60天的日期；在周代，又把以前用陰、陽符號構(gòu)成的八卦表示八種事物發(fā)展為六十四卦，表示64種事物。第五頁第六頁，共34頁。公元前一世紀(jì)的《周髀算經(jīng)》提到西周初期用矩測量高、深、廣、遠(yuǎn)的方法，并舉出勾股形的勾三、股四、弦五以及環(huán)矩可以為圓等例子?！抖Y記·內(nèi)則》篇提到西周貴族子弟從九歲開始便要學(xué)習(xí)數(shù)目和記數(shù)方法，他們要受禮、樂、射、馭、書、數(shù)的訓(xùn)練，作為“六藝”之一的數(shù)已經(jīng)開始成為專門的課程第六頁第七頁，共34頁。春秋戰(zhàn)國之際，籌算已得到普遍的應(yīng)用，籌算記數(shù)法已使用十進(jìn)位值制，這種記數(shù)法對世界數(shù)學(xué)的發(fā)展是有劃時代意義的。這個時期的測量數(shù)學(xué)在生產(chǎn)上有了廣泛應(yīng)用，在數(shù)學(xué)上亦有相應(yīng)的提高。第七頁第八頁，共34頁。戰(zhàn)國時期的百家爭鳴也促進(jìn)了數(shù)學(xué)的發(fā)展，尤其是對于正名和一些命題的爭論直接與數(shù)學(xué)有關(guān)。名家認(rèn)為經(jīng)過抽象以后的名詞概念與它們原來的實體不同，他們提出“矩不方，規(guī)不可以為圓”，把“大一”(無窮大)定義為“至大無外”，“小一”(無窮小)定義為“至小無內(nèi)”。還提出了“一尺之棰，日取其半，萬世不竭”等命題。第八頁第九頁，共34頁。中國的幾何有悠久的歷史，可靠的記錄從公元前十五世紀(jì)談起，甲骨文內(nèi)已有“規(guī)”和“矩”兩個字,規(guī)是用來畫圓的,矩是用來畫方的.春秋時期，隨著鐵器的出現(xiàn)，生產(chǎn)力的提高，中國開始了由奴隸制向封建制的過渡，新的生產(chǎn)關(guān)系促進(jìn)了科學(xué)技術(shù)的發(fā)展與進(jìn)步。戰(zhàn)國時期人們通過田地及國土面積的測量，城池的修建，水利工程的設(shè)計等生產(chǎn)生活實踐，積累了大量的數(shù)學(xué)知識。第九頁第十頁，共34頁。（1）但是秦朝的焚書坑儒給中國文化事業(yè)造成空前的浩劫，西漢作為數(shù)學(xué)新發(fā)展及先秦典籍的搶救工作的結(jié)晶，便是《九章算術(shù)》的成書。它對于中國和東方數(shù)學(xué)，大體相當(dāng)于《幾何原本》對于希臘和歐洲數(shù)學(xué)。中國古代的幾何一般不討論圖形離開數(shù)量關(guān)系的性質(zhì)，而要計算出長度、面積、體積。在《九章算術(shù)》的方田章中有各種多邊形、圓、弓形等的面積公式；商功章討論了各種立體的體積公式。第十頁第十一頁，共34頁。（2）劉徽和他的《九章算術(shù)注》便是魏晉時代造就的最偉大的數(shù)學(xué)家和最杰出的數(shù)學(xué)著作。該書前九卷全面論證了《九章算術(shù)》的公式、解法，發(fā)展了出入相補(bǔ)原理、截面積原理、齊同原理和率的概念，在圓面積公式和錐體體積公式的證明中引入了無窮小分割和極限思想，首創(chuàng)了求圓周率的正確方法，指出并糾正了《九章》的某些不正確的或錯誤的公式，探索出解決球體積的正確途徑。第十一頁第十二頁，共34頁。（3）《綴術(shù)》包含了祖沖之（429—500年）和兒子祖暅之（一作祖暅，生平不詳）的數(shù)學(xué)貢獻(xiàn)。祖暅沿用劉徽的“牟合方蓋”，證明了球體體積的計算問題，充分顯示了中國古代數(shù)學(xué)家的聰明才智。由于該書內(nèi)容深奧，隋唐算學(xué)館的學(xué)官（相當(dāng)于今天大學(xué)數(shù)學(xué)系的教授）讀不懂，后失傳。劉徽和祖氏父子在極限思想的運用上遠(yuǎn)遠(yuǎn)超過了古希臘的同類思想，達(dá)到了文藝復(fù)興前世界數(shù)學(xué)界的最高峰。第十二頁第十三頁，共34頁。三、埃及古代數(shù)學(xué)埃及是世界上文化發(fā)達(dá)最早的幾個地區(qū)之一，位于尼羅河兩岸，公元前3200年左右，形成一個統(tǒng)一的國家。尼羅河定期泛濫，淹沒全部谷地，水退后，要重新丈量居民的耕地面積。由于這種需要，多年積累起來的測地知識便逐漸發(fā)展成為幾何學(xué)。第十三頁第十四頁，共34頁。公元前2900年以后，埃及人建造了許多金字塔，作為法老的墳?zāi)?。從金字塔的結(jié)構(gòu)，可知當(dāng)時埃及人已懂得不少天文和幾何的知識。例如基底直角的誤差與底面正方形兩邊同正北的偏差都非常小。

現(xiàn)今對古埃及數(shù)學(xué)的認(rèn)識，主要根據(jù)兩卷用僧侶文寫成的紙草書；一卷藏在倫敦，叫做萊因德紙草書，一卷藏在莫斯科第十四頁第十五頁，共34頁。四、歐洲中世紀(jì)數(shù)學(xué)

中世紀(jì)開始于公元476年西羅馬帝國滅亡，約結(jié)束于15世紀(jì)。這一千年的歷史大致可以分為兩段。十一世紀(jì)之前常稱為黑暗時代，這時西歐在基督教神學(xué)和煩瑣哲學(xué)的教條統(tǒng)治下，人們失去了思想自由，生產(chǎn)墨守成規(guī)，技術(shù)進(jìn)步緩慢，數(shù)學(xué)停滯不前。十一世紀(jì)以后情況稍有好轉(zhuǎn)。第十五頁第十六頁，共34頁。

希臘文化通過羅馬人傳到中世紀(jì)的很少，這大部分體現(xiàn)在博伊西斯(約480～524)的著作中。他的《算術(shù)原理》大體上是新畢達(dá)哥拉斯學(xué)派數(shù)學(xué)家尼科馬霍斯《算術(shù)入門》的譯本，但若干精采的命題均被刪去。博伊西斯的《幾何》取材于歐幾里得《幾何原本》，但卻完全沒有證明，因為他認(rèn)為證明是多余的。第十六頁第十七頁，共34頁。

公元529年，東羅馬帝國皇帝查士丁尼勒令關(guān)閉雅典的學(xué)校，嚴(yán)禁研究和傳播數(shù)學(xué)。數(shù)學(xué)發(fā)展再一次受到沉重的打擊。此后數(shù)百年，值得稱道的數(shù)學(xué)家屈指可數(shù)，而且多是神職人員。第十七頁第十八頁，共34頁。五、十六、十七世紀(jì)數(shù)學(xué)16、17世紀(jì)的歐洲，漫長的中世紀(jì)已經(jīng)結(jié)束，文藝復(fù)興帶來了人們的覺醒，束縛人們思想自由發(fā)展的煩瑣哲學(xué)和神學(xué)的教條權(quán)威逐步被摧毀了。封建社會開始解體，代之而起的是資本主義社會，生產(chǎn)力大大解放。資本主義工場手工業(yè)的繁榮和向機(jī)器生產(chǎn)的過渡，促使技術(shù)科學(xué)和數(shù)學(xué)急速發(fā)展第十八頁第十九頁，共34頁。開普勒的《酒桶的新立體幾何》將酒桶看作由無數(shù)的圓薄片累積而成，從而求出其體積。這是積分學(xué)的前驅(qū)工作。

17世紀(jì)數(shù)學(xué)發(fā)展的特點，可以概括如下。產(chǎn)生了幾個影響很大的新領(lǐng)域，如解析幾何、微積分、概率論、射影幾何等第十九頁第二十頁，共34頁。十八世紀(jì)的數(shù)學(xué)

將微積分學(xué)深入發(fā)展，是十八世紀(jì)數(shù)學(xué)的主流。這種發(fā)展是與廣泛的應(yīng)用緊密交織在一起的，并且刺激和推動了許多新分支的產(chǎn)生，使數(shù)學(xué)分析形成了在觀念和方法上都具有鮮明特點的獨立的數(shù)學(xué)領(lǐng)域。在十八世紀(jì)特別是后期，數(shù)學(xué)研究活動和數(shù)學(xué)教育方式也發(fā)生了變革。這一切使十八世紀(jì)成為向現(xiàn)代數(shù)學(xué)過渡的重要時期第二十頁第二十一頁，共34頁。十九世紀(jì)的數(shù)學(xué)

十九世紀(jì)是數(shù)學(xué)史上創(chuàng)造精神和嚴(yán)格精神高度發(fā)揚(yáng)的時代。復(fù)變函數(shù)論的創(chuàng)立和數(shù)學(xué)分析的嚴(yán)格化，非歐幾何的問世和射影幾何的完善，群論和非交換代數(shù)的誕生，是這一世紀(jì)典型的數(shù)學(xué)成就。它們所蘊(yùn)含的新思想，深刻地影響著二十世紀(jì)的數(shù)學(xué)第二十一頁第二十二頁，共34頁。十九世紀(jì)最富革命性的創(chuàng)造當(dāng)屬非歐幾何。自古希臘時代始，歐氏幾何一直被認(rèn)為是客觀物質(zhì)空間惟一正確的理想模型，是嚴(yán)格推理的典范。16世紀(jì)后的數(shù)學(xué)家在論證代數(shù)或分析結(jié)果的合理性時，都試圖歸之為歐氏幾何問題。第二十二頁第二十三頁，共34頁。但歐氏幾何的平行公設(shè)曾引起數(shù)學(xué)家的持久的關(guān)注，以弄清它和其他公理、公設(shè)的關(guān)系。這個煩擾了數(shù)學(xué)家千百年的問題，終于被高斯、羅巴切夫斯基和波爾約各自獨立解決。高斯在1816年已認(rèn)識到平行公設(shè)不可能在歐氏幾何其他公理、公設(shè)的基礎(chǔ)上證明，得到在邏輯上相容的非歐幾何，其中平行公設(shè)不成立，但由于擔(dān)心受人指責(zé)而未發(fā)表。第二十三頁第二十四頁，共34頁。1825年左右，波爾約和羅巴切夫斯基分別得到同樣的結(jié)果，并推演了這種新幾何中的一些定理。羅巴切夫斯基1829年的文章《論幾何基礎(chǔ)》是最早發(fā)表的非歐幾何著作，因此這種幾何也稱為羅巴切夫斯基幾何。這項發(fā)現(xiàn)的技術(shù)細(xì)節(jié)是簡單的，但觀念的變革是深刻的，歐氏幾何不再是神圣的，數(shù)學(xué)家步入了創(chuàng)造新幾何的時代。第二十四頁第二十五頁，共34頁。非歐幾何對人們認(rèn)識物質(zhì)世界的空間形式提供了有力武器，但由于它背叛傳統(tǒng)，創(chuàng)立之初未受到數(shù)學(xué)界的重視。只是當(dāng)高斯有關(guān)非歐幾何的通信和筆記在他1855年去世后出版時，才因高斯的名望而引起數(shù)學(xué)家們的關(guān)注。第二十五頁第二十六頁，共34頁。十九世紀(jì)前半葉最熱門的幾何課題是射影幾何。1822年，彭賽列發(fā)表《論圖形的射影性質(zhì)》，這是他1813～1814年被俘關(guān)在俄國時開始研究的總結(jié)。他探討幾何圖形在任一投影下所有截影所共有的性質(zhì)，他的方法具有象解析幾何那樣的普遍性。1827年左右，普呂克等人引進(jìn)齊次坐標(biāo)，用代數(shù)方法研究射影性質(zhì)，豐富了射影幾何的內(nèi)容。第二十六頁第二十七頁，共34頁。對純幾何問題興趣的增長，并未減弱分析在幾何中的應(yīng)用。高斯從1816年起參與大地測量和地圖繪制工作，引起他對微分幾何的興趣。1827年他發(fā)表的《關(guān)于曲面的一般研究》，為這一數(shù)學(xué)分支注入了全新的思想，開創(chuàng)了微分幾何的現(xiàn)代研究第二十七頁第二十八頁，共34頁。解析幾何的產(chǎn)生

解析幾何的產(chǎn)生，一般以笛卡兒《幾何學(xué)》的出版為標(biāo)志。這本書的內(nèi)容不僅僅是幾何，也有很多代數(shù)的問題。它和現(xiàn)在的解析幾何教科書有很大的差距，其中甚至看不到“笛卡兒坐標(biāo)系”。但可貴的是它引入了革命性的思想，為開辟數(shù)學(xué)的新園地作出了貢獻(xiàn)。第二十八頁第二十九頁，共34頁。法國數(shù)學(xué)家費馬也分享著解析幾何創(chuàng)立的榮譽(yù)，他的發(fā)現(xiàn)在時間上可能早于笛卡兒，不過發(fā)表很晚。他是一個業(yè)余數(shù)學(xué)家，在數(shù)論、概率論、光學(xué)等方面均有重要貢獻(xiàn)。他已得到微積分的要旨，曾提出求函數(shù)極大極小的方法。他建立了很多數(shù)論定理，其中“費馬大定理”最有名，不過只是一個猜想，至今仍未得到證明。第二十九頁第三十頁，共34頁。射影幾何

射影幾何是研究圖形的射影性質(zhì)，即它們經(jīng)過射影變換后，依然保持不變的圖形性質(zhì)的幾何學(xué)分支學(xué)科。一度也叫做投影幾何學(xué)，在經(jīng)典幾何學(xué)中，射影幾何處于一種特殊的地位，通過它可以把其他一些幾何學(xué)聯(lián)系起來。第三十頁第三十一頁，共34頁。微分幾何

微分幾何學(xué)是運用數(shù)學(xué)分析的理論研究曲線或曲面在它一點鄰域的性質(zhì)，換句話說，微分幾何是研究一般的曲線和曲面在“小范圍”上的性質(zhì)的數(shù)學(xué)分支學(xué)科。第三十一頁第三十二頁，共34頁。羅巴切夫斯基與非歐幾何