第1章 隨機(jī)事件與概率

概率論與數(shù)理統(tǒng)計發(fā)展史16世紀(jì)14世紀(jì)17世紀(jì)萌芽形成精細(xì)19世紀(jì)成熟突破16世紀(jì)18世紀(jì)概率是一個事件發(fā)生、一種情況出現(xiàn)的可能性大小的數(shù)理指標(biāo)隨機(jī)事件與概率《概率論與數(shù)理統(tǒng)計》同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系01目錄/Contents1.11.21.31.41.5隨機(jī)事件及其運算概率的定義及其性質(zhì)等可能概型條件概率與事件的相互獨立性全概率公式與貝葉斯公式目錄/Contents1.1隨機(jī)事件及其運算一、隨機(jī)試驗二、樣本空間三、隨機(jī)事件四、隨機(jī)事件間的關(guān)系和運算一、隨機(jī)試驗隨機(jī)現(xiàn)象——在個別試驗中呈現(xiàn)不確定的結(jié)果,而在大量重復(fù)試驗中結(jié)果呈現(xiàn)某種規(guī)律性的現(xiàn)象.這種規(guī)律性稱為統(tǒng)計規(guī)律性.概率論是一門研究隨機(jī)現(xiàn)象及其統(tǒng)計規(guī)律的學(xué)科.為了研究隨機(jī)現(xiàn)象的統(tǒng)計規(guī)律性,就要對客觀事物進(jìn)行觀察,這個過程叫做試驗.概率論所討論的試驗稱為隨機(jī)試驗,它具有以下三個特點:在相同的條件下試驗可以重復(fù)進(jìn)行;01OPTION02OPTION03OPTION每次試驗的結(jié)果不止一個,但是試驗之前可以明確;每次試驗將要發(fā)生什么樣的結(jié)果是事先無法預(yù)知的.一、隨機(jī)試驗例1拋擲一枚均勻的硬幣，有可能正面朝上，也有可能反面朝上；隨機(jī)試驗的例子42拋擲一枚均勻的骰子，出現(xiàn)的點數(shù)；某快餐店一天內(nèi)接到的訂單量；航班起飛延誤的時間；一支正常交易的A股股票每天的漲跌幅。二、樣本空間全體樣本點的集合稱為樣本空間,記為,也即樣本空間是隨機(jī)試驗的一切可能結(jié)果組成的集合,集合中的元素就是樣本點.樣本空間可以是有限集,可數(shù)集,一個區(qū)間（或若干區(qū)間的并集）.一個隨機(jī)試驗，每一個可能出現(xiàn)的結(jié)果稱為一個樣本點，記為二、樣本空間在前面的例子中:拋擲一枚均勻硬幣的樣本空間某快餐店一天內(nèi)接到的訂單量的樣本空間航班起飛延誤時間的樣本空間01OPTION02OPTION03OPTION｛正、反｝這些在一次試驗中可能出現(xiàn)，也可能不出現(xiàn)的一類結(jié)果稱為隨機(jī)事件，簡稱為事件.從集合的角度:一個隨機(jī)試驗所對應(yīng)的樣本空間的子集稱為一個隨機(jī)事件.用大寫字母等來表示隨機(jī)事件.三、隨機(jī)事件同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系僅含一個樣本點的隨機(jī)事件稱為基本事件.三、隨機(jī)事件在事件的定義中，注意以下幾個概念：每次試驗中一定發(fā)生的事件稱為必然事件.包含所有的樣本點,因此每次試驗中必有中的一個樣本點出現(xiàn),故是必然事件.每次試驗中一定不發(fā)生的事件稱為不可能事件.空集中不包含任何樣本點,因此是不可能事件.01OPTION任一隨機(jī)事件A是樣本空間的一個子集。02OPTION03OPTION當(dāng)試驗的結(jié)果屬于該子集時，就說事件A發(fā)生了。相反地，如果試驗結(jié)果不屬于該子集，就說事件A沒有發(fā)生。04OPTION05OPTION同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系三、隨機(jī)事件例

2拋擲一枚均勻的骰子的樣本空間為同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系（1）事件的包含1、隨機(jī)事件之間的關(guān)系四、隨機(jī)事件之間的關(guān)系與運算若事件

的發(fā)生必然導(dǎo)致事件的發(fā)生,則稱事件包含在事件中.記作

.同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系記作.1、隨機(jī)事件之間的關(guān)系（2）事件的相等若事件的發(fā)生必然導(dǎo)致事件的發(fā)生,且事件的發(fā)生必然導(dǎo)致事件的發(fā)生,則稱事件與事件相等。如果事件與不可能同時發(fā)生，即沒有相同的樣本點，則稱事件與互不相容（互斥）.（3）互不相容事件同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系2、隨機(jī)事件之間的運算（1）事件的并事件或至少有一個發(fā)生時,稱事件與事件的并事件發(fā)生,記為.（2）事件的交（積）事件及事件同時發(fā)生時,稱事件與事件的交事件發(fā)生,記為.事件的并事件的交同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系2、隨機(jī)事件之間的運算（3）事件的差（4）對立事件事件發(fā)生且事件不發(fā)生,稱事件與事件的差事件發(fā)生,記為.事件稱為事件的對立事件（逆、余）,記為.同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系2、隨機(jī)事件之間的運算123同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系3、事件的運算性質(zhì)①交換律②結(jié)合律③分配律④對偶律同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系3、事件的運算性質(zhì)例3用事件的運算關(guān)系式表示下列事件，則：1234567同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系目錄/Contents1.11.21.31.41.5隨機(jī)事件及其運算概率的定義及其性質(zhì)等可能概型條件概率與事件的相互獨立性全概率公式與貝葉斯公式公理1非負(fù)性

公理2規(guī)范性1.2概率的定義及其性質(zhì)

給定一個隨機(jī)試驗,為相應(yīng)的樣本空間,對每一個事件,規(guī)定一個實數(shù)與之對應(yīng),且滿足如下公理：有公理3可列可加性即對任意一列兩兩互不相容事件則稱為事件的概率.同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系由概率的三條公理，可以推導(dǎo)出概率的一些性質(zhì).性質(zhì)1性質(zhì)2有限可加性1.2概率的定義及其性質(zhì)設(shè)為兩兩互不相容事件,則有性質(zhì)4若則性質(zhì)3對任意事件有同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系性質(zhì)5設(shè)為任意兩個事件,則性質(zhì)6設(shè)為任意兩個事件,則1.2概率的定義及其性質(zhì)性質(zhì)7稱為加法公式,該公式可以推廣到多個事件上.三個事件的加法公式為:同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系則，至少發(fā)生一個的概率是多少？1.2概率的定義及其性質(zhì)例4已知三個隨機(jī)事件滿足同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系目錄/Contents1.11.21.31.41.5隨機(jī)事件及其運算概率的定義及其性質(zhì)等可能概型條件概率與事件的相互獨立性全概率公式與貝葉斯公式目錄/Contents1.3等可能概型一、古典概型二、幾何概型隨機(jī)事件發(fā)生的可能性的大小常用區(qū)間中的數(shù)值加以刻劃.這個數(shù)值稱為概率,記為規(guī)定:一、古典概型古典概型的基本思路:隨機(jī)試驗的樣本空間只有有限個樣本點；每次試驗中各個樣本點發(fā)生的可能性相等.AB記為樣本點總數(shù),為事件所包含的樣本點個數(shù)，則事件的概率為解而總?cè)》〝?shù)（即樣本點總數(shù)）為一、古典概型例4（抽獎問題）某公司年會抽獎,共有

張獎券,其中只有一張有獎.每位員工可抽取一張.求第位員工中獎的概率（）.不放回情形中，第

個員工抽到有獎券意味著前個員工均沒有抽到,相應(yīng)的取法個數(shù)為同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系這個結(jié)果和次序無關(guān).因此,所求概率為一、古典概型同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系二、幾何概型是古典概型的推廣,保留每個樣本點發(fā)生的等可能性，樣本空間放寬為無窮不可列個樣本點，一般地，設(shè)樣本空間是某個區(qū)域（直線、平面或空間）.則事件的概率為這里分別表示長度、面積或體積.同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系二、幾何概型例5碰面問題甲、乙兩人約定在中午的12時到13時在學(xué)?？Х任菖雒?，并約定先到者等候另一人10分鐘，過時即可離去.求兩人能碰面的概率.解設(shè)甲到達(dá)咖啡屋的時間為,乙到達(dá)時間為，則,兩人能碰面的事件所對應(yīng)的區(qū)域為右圖中帶形區(qū)域所求概率為同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系目錄/Contents1.11.21.31.41.5隨機(jī)事件及其運算概率的定義及其性質(zhì)等可能概型條件概率與事件的相互獨立性全概率公式與貝葉斯公式目錄/Contents1.4條件概率與事件的相互獨立性一、條件概率二、事件的相互獨立性一、條件概率定義1給定一個隨機(jī)試驗,是它的樣本空間,

任意兩個事件,其中,稱為已知事件發(fā)生的條件下事件發(fā)生的條件概率.同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系條件概率也滿足概率的公理化定義的三條基本性質(zhì),即:（1）公理1非負(fù)性（2）公理2規(guī)范性（3）公理3對可列無限個兩兩不相容事件可列可加性一、條件概率同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系相仿可以得到如下性質(zhì):以及等類似七條性質(zhì).一、條件概率同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系變形后有由條件概率公式:當(dāng)（或）時,有或或上式稱為概率的乘法公式.一、條件概率乘法公式可推廣到多個事件上去,例如,三個事件的乘法公式為同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系注意：相互獨立與互不相容有何區(qū)別?二、事件的相互獨立性稱兩個事件是相互獨立的,如果上式等價于獨立性的直觀意義是一個事件的發(fā)生不影響另一個事件發(fā)生的概率.獨立性往往蘊含在事物的內(nèi)部.

當(dāng)時.同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系不難計算可見二、事件的相互獨立性例6拋擲兩枚均勻硬幣2次,則:事件與是獨立的.解即事件與是獨立的.同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系也相互獨立.即有相應(yīng)可列出其它等式.定義2若事件獨立，則二、事件的相互獨立性同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系三個等式都成立.定義3稱事件組是兩兩獨立的,如果有二、事件的相互獨立性同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系四個等式都成立.二、事件的相互獨立性定義4稱事件組是相互獨立的,如果有同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系二、事件的相互獨立性獨立性的定義可推廣到個事件上去.特別地,當(dāng)事件相互獨立時,有同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系一個產(chǎn)品或一個元件、一個系統(tǒng)的可靠性可以用可靠度來刻劃.所謂可靠度指的是產(chǎn)品能正常工作的概率.以下討論中,假定一個系統(tǒng)中的各個元件能否正常工作是相互獨立的.二、事件的相互獨立性例7系統(tǒng)可靠性問題同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系兩個基本模型:（1）串聯(lián)系統(tǒng)二、事件的相互獨立性元件的可靠度為,則系統(tǒng)的可靠度為設(shè)一個系統(tǒng)由個元件串聯(lián)而成,第個（2）并聯(lián)系統(tǒng)設(shè)一個系統(tǒng)由個元件并聯(lián)而成,第個元件的可靠度為,則系統(tǒng)的可靠度為同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系目錄/Contents1.11.21.31.41.5隨機(jī)事件及其運算概率的定義及其性質(zhì)等可能概型條件概率與事件的相互獨立性全概率公式與貝葉斯公式全概率公式與貝葉斯公式

設(shè)為隨機(jī)試驗,為相應(yīng)的樣本空間,為事件組,若滿足（1）（2）則稱該事件組為完備事件組.完備事件組同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系定理1全概率公式全概率公式與貝葉斯公式同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系定理2貝葉斯公式全概率公式與貝葉斯公式當(dāng)時,貝葉斯公式是已知“結(jié)果”，推斷該“結(jié)果”由某“原因”發(fā)生的概率。原因A1原因A2原因An結(jié)果B…

…同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系求（1）取到白球的概率；（2）已知取到的