加法乘法原理教師

加法原理一、知識概要1.加法原理如果完成一件任務(wù)有幾類方法，在第一類方法中有m1種不同的方法；在第二類中有m2種不同的方法；…在第n類方法中有mn種不同的方法；那么，完成這件任務(wù)總共就有N=m1+m2+…+mn種不同的方法。這就是加法原理。2.意義加法原理是計數(shù)方法中的常用的重要原理之一，也常用于我們的生活實際，我們一定要掌握好這個原理。二、典型題目精講1.一個盒子里裝有5個小球，另一個盒子里裝有9個小球，所有這些小球顏色各不相同。若從兩個盒子里任取一球，有多少種不同的取法？分析：要么從第一個盒子任取一球，有5種取法；要么從第二個盒子任取一球，有9種取法；總共則有9+5種取法。解：5+9=14(種)答：有14種不同的取法。2.將5，6，7，8，9這五個數(shù)字從小到大排成一行，在這五個數(shù)中間任意插入加號(要求最少加一個加法)，可以得到多少種不同的和？分析：因為5_6_7_8_9五個數(shù)之間有4個間隔，所以，要先成“加加號”這個任務(wù)，有四種不同的方法，是加法原理，我們分四步來解決。第一步，加一個加號，有4種方法，第二步，加2個加號，有6種方法；第三步，加3個加號，有4種方法；第四步加4個加號，有1種方法。解：4+6+4+1=15(種)答：可以得到15種不同的和。3.上海去江蘇某地，每天有3班火車、6班汽車和4班輪船。試問：乘坐這些交通工具有多少種不同的走法？分析：坐火車有3種走法，坐汽車有6種走法；坐輪船有4種走法。不論乘坐哪種交通工具，都能完成“去江蘇某地”的任務(wù)，故是加法原理。解：3+6+4=13(種)答：乘坐這些交通工具有13種不同的走法。4.小明有1分、2分、5分硬幣各一枚，用這些硬幣能表示出多少種不同的布值？分析：用1枚表示時，有3種；用2枚表示時，有3種；用3枚表示時，有1種；再求一共有多少種，故運用加法原理。解：3+3+1=7(種)答：能表示出7種不同的布值。5.如圖所示，從A點沿實線走最短的路線到B點，共有多少種不同的走法？分析：如圖(二)從A點到B點去的走法有兩大類，一類是從A點出發(fā)，經(jīng)過C點到達(dá)B點；另一類是從A點出發(fā)，經(jīng)過D點到達(dá)B點。然而，C、D又分別有過E和F，F(xiàn)和G的走法總數(shù)的走法，依次反推到A點，便知圖中每個點的走法總數(shù)。所以，這是加法原理。解：20+15=35(種)答：共有35種不同的走法6.在□處填入適當(dāng)?shù)臄?shù)字，使四位數(shù)23□□是3的倍數(shù)，有()種不同的填法。分析：3的倍數(shù)依次是3、6、9、12、15、18、212+3+□+□=3或6或9或12或18或21(3明顯不符，舍去)。因此，這個任務(wù)分六步來完成，然后求六步之總和，故是加法原理。(1)當(dāng)2+3+□+□=6時，□里填1和0，有2種填法；(2)當(dāng)2+3+□+□=9時，□里可填0，1，2，3，4，有5種填；(3)當(dāng)2+3+□+□=12時，□里可填0～7這個數(shù)字，有8種填法；同理，推知當(dāng)2+3+□+□=15或18或21時，分別有9種、6種、3種不同的填法。解：2+9+5+8+6+3=33(種)三、練習(xí)鞏固與拓展1.星期天，媽媽帶小明去逛街。街上好吃的東西可多啦，小明喜歡吃的水果有6種，喜歡吃的熟食有5種。那個電動小火車他也喜歡玩。媽媽說：由不夠錢？吃的玩的只能買一樣。你說小明有多少種不同的選法？2.學(xué)校羽毛球隊有12名男隊員，10名隊員?，F(xiàn)要推選一名運動員去臺上領(lǐng)獎，有多少種選法？3.一把鑰匙只能開一把鎖，現(xiàn)有9把不同的鑰匙和鎖。如果要找出每把鎖的鑰匙，最多需要試幾次才能把每把鎖和鑰匙配對？4.整個書架分為上、下兩層，第一次擺放圖書30冊，第二層擺放圖書80冊，所有這些圖書的名稱各不相同。若要從兩層書架中任取一本書，有多少種不同的取法？5.小林要登上16級臺階，他每一步只能登1級或2級臺階，他登上16級臺階共有多少種不同的登法？6.有3個工廠共訂300份報紙，每個工廠最少訂99份，最多訂101份，一共有多少種不同的訂法？7.從1寫到100，一共用了多少個“5”這個數(shù)字？8.有兩個相同的正方體，每個正方體的6個面上分別標(biāo)有數(shù)字1，2，3，4，5，6。將兩個正方體放到桌面上，向上的一面數(shù)字之和為偶數(shù)的有多少種情況？9.從1到300的所有自然數(shù)中，不含數(shù)字的自然數(shù)有多少個？10.如圖，小明從家去學(xué)校，要求任何線段和點不得重復(fù)經(jīng)過，小明從家到學(xué)校最多有幾種不同的走法？11.有幾根火柴，每次取走1—3根，把這堆火柴全部取完有多少種不同取法？12.已知一個三位數(shù)，各位上數(shù)字之和是24，這樣的三位數(shù)一共有多少個？13.用數(shù)字0、2、5、8可組成多少個沒有重復(fù)數(shù)字且能被5整除的四位數(shù)？14.王冬要走12級臺階到二樓陽臺去，每步可登1級或2級臺階。共有多少種不同的登法？15.學(xué)校組織讀書活動，要求每個同學(xué)讀一本書，小明到圖書館借書時，圖書館有不同的外語書150本，不同的科技書200本，不同的小說100本。那么小明借1本書有多少種不同的選法？16.從甲地到乙地有4條路可走，從乙地到丙地有2條路可走，從甲地到丙地有3條可走，那么，從甲地到丙地共有多少種走法？第16題圖第17題圖17.如圖，從A走到B，要求每一步都是向右，向上或向斜上方，問有多少種不同的走法？第八講<練習(xí)鞏固與拓展>答案1.6+5+1=12(種)2.10+12=32(種)3.8+7+6+5+4+3+2+1=(8+1)×8÷2=36(次)4.30+80=110(種)5.1+2=32+3=53+5=8…377+610=987987+610=1597(種)6.1+6=7(種)7.∵5在十位上出現(xiàn)的次數(shù)為10次；5在個位上出現(xiàn)10次?！?0+10=20(次)8.提示：從兩個方面考慮：①兩個數(shù)同為奇數(shù)②兩個數(shù)同為偶數(shù)。3×3+3×3=18(種)9.提示：從1到300的所有自然數(shù)分為三大類，即一位數(shù)，二位數(shù)和三位數(shù)。8+8×9+2×9×9+1=243(種)10.提示：小明從家到學(xué)校最終有三條路線，先算出各條路線上的走法，然后相加。3+3+3=9(種)11.提示：取走1根，有1種方法；取走2根，有2種方法，取走3根，有4種方法；取走4根，有7種方法……規(guī)律如下：1，2，4，7，13，24，44，81，148，274，504，927(從第四項起，每項都是前三項之和)因而，共有927種不同取法。12.提示：分為三類：第一類由9、9、6三個數(shù)字組成的三位數(shù)；第二類由9、8、7三個數(shù)字組成的三位數(shù)；第三類由8、8、8組成的三位數(shù)。3+6+1=10(個)13.提示：此題分為兩類：第一類：個位是0，第二類：個位是5。3×2×1+2×2×1=10(種)14.提示：登第三級臺階的方法數(shù)是由前兩個數(shù)相加的和所得運用排列的方法可知1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233，故共有233種不同的登法。15.提示：選法分三類：選外語；選科技書；選小說加法原理，故150+200+100=450(種)選法。16.提示：路線分為兩大類—從甲經(jīng)乙至丙，從甲至丙。4×2+3=11(種)。17.如圖所示，每個頂點上所標(biāo)的數(shù)字就是從A點走到此點的不同路線數(shù)，它等于它下面及左面與它相鄰的頂點上的數(shù)之和。所以，從A到B，不同的路線有22條。乘法原理一、知識概要如果要完成一件任務(wù)需要分成幾個步驟進(jìn)行做，第一步有m1種方法，做第二步有m2種方法……，做第n步有mn種方法，即么，按這樣的步驟完成這件任務(wù)共有N=m1×m2×…×mn種不同的方法。這就是乘法原理。乘法原理和加法原理的區(qū)別是：加法原理是指完成一件工作的方法有幾類，之間不相關(guān)系，每類都能獨立完成一件工作任務(wù)；而乘法原理是指完成一件工作的方法是一類中的幾個不同步驟，互相關(guān)聯(lián)，缺一不可，共同才能完成一件工作任務(wù)。二、典型例題精講1.從甲地到乙地有兩條路可走，從乙地到丙地有三條路可走，試問：從甲地經(jīng)乙地到丙地共有多少種不同的走法？分析：如圖，很明顯，這是個乘法原理的題目。要完成“從甲到丙的行走任務(wù)”必須分兩步完成。第一步：甲分別通過乙的三條路線到達(dá)丙，故有3種走法。第二步：甲從第二條路線出發(fā)又分別通過乙的三條路線到達(dá)丙，故又有3種走法。這兩種走法相類似，共同完成“從甲到丙”的任務(wù)。解：3×2=6(種)答：共有6種不同的走法。2.右圖中共有16個方格，要把A、B、C、D四個不同的棋子放在方格里，并使每行、每列只能出現(xiàn)一個棋子，共有多少種不同的放法？分析：(如圖二)擺放四個棋子分四步來完成。第一步放棋子A，A可任意擺放，有16種擺放；第二步擺B，由于A所在的位置那一行，那一列都不能放，故只有9種放法；第三步擺C子，也由A、B所在的那一行，那一到都不能，只有四格可任意放，故有4種放法；第四步，只剩一格放D子，當(dāng)然只有一種放法。解：16×9×4×1=576(種)答：共有576種不同的放法。3.有五張卡片，分別寫有數(shù)字1，2，4，5，8?，F(xiàn)從中取出3張片排在一起，組成一個三位數(shù)，如eq\o\ac(□,1)eq\o\ac(□,5)eq\o\ac(□,2)，可以組成個不同的偶數(shù)。分析：分三步取出卡片：1.個位，個位只能放2、4、8；故有3種放法；2.百位，因個位用去1張，所以百位上還有四張可選，故有4種放法；3.十位，因個位和百位共放了兩張，所以還有3張可選放，有3種放法。解：3×4×3=36(個)4.興趣小組有7名男生，5名女生，現(xiàn)要從這些同學(xué)選出4名參加數(shù)學(xué)競賽，其中至少要有2名女生，共有種不同的選法。分析：分三類選出(加法原理)：第一類：2名學(xué)生，先從5名女生中選2名，有5×4÷2=10(種)選法，再從7名男生中選2名有7×6÷2=21(種)，共有10×21=210(種)；第二類：3名女生，先從5名女生中選3名，(其實等于選出2名不比賽)有10種選法；再從男生中選1人，有7種選法。共有10×7=70(種)選法。第三類：4名學(xué)生，即從5名選1人不比賽，有5種方法。解：10×21+10×7+5=285(種)5.有4名男生，2名女生，排成一行錄像，要求2名不站在兩邊，且2名女生站在相鄰位置，共有多少種不同的排法？分析：分兩步考慮，第一步，先確定女生排法，2名女生不站兩邊，有6種站法。第二步，確定男生的站法，4名男生4個位置可選擇，故有4×3×2×1=24(種)站法。解：6×24=144(種)答：共有144種不同的排法。6.地圖上a、b、c、d四個國家(如下圖)，現(xiàn)有紅、黃、綠、藍(lán)四種顏色給地圖染色，使相鄰國家的顏色不同。有種不同的染色方法。分析：著色分四步，在圖A中，第一步給a著色，有四種方法；第二步給b著色，因a：b相鄰，故有3種色選著，方法有3種；第三步給c著色，有2種著法；第四步，給d著色，有2種著法。在圖B中，a著色后可將b、d的著色分為相同與不同兩類去考慮，染色的順序為a、b、d、c.解：圖A4×3×2×2=48(種)圖B當(dāng)b、d同色的有4×3×1×3=36(種)；當(dāng)b、d不同色時，有4×3×2×2=48(種)；共有36+48=84(種)三、練習(xí)鞏固與拓展1.某人到食堂買飯，主食有3種，副食有5種，他買主食和副食各1種，共有多少種不同的買法？2.書架上有6本不同的外語書，4本不同的數(shù)學(xué)書，從中任取外語、數(shù)學(xué)書各1本，有多少種不同取法？3.小明、小軍各小勇三人報名參加學(xué)校運動會，每人必報跳高、跳遠(yuǎn)、100m跑、200m跑這四項中的一項，報名會出現(xiàn)多少各不同的情形？4.圖中有七個點和十條線段，一只甲蟲要從A點沿著線段爬到B點去。若要求甲蟲不重復(fù)經(jīng)過點、線段，則甲蟲最多有多少種不同走法？5.由數(shù)字0，1，2，3組成三位數(shù)，向：(1)可組成多少個不相等的三位數(shù)？(2)可組成多少個沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)？6.現(xiàn)有1元的人民幣3張，2角的人民幣2張，1角的人民幣4張，如果從中至少取一張，至多取九張，那么，可組成多少種不同的布值？7.某電影院有六個行，其中A、B、C、D門只供退場時作出口，甲、乙門作為入口也作為出口。共有多少種進(jìn)出路線？8.“WFO”是世界貿(mào)易組織的縮寫，把這三個字母寫成三種不同顏色，現(xiàn)有5種不同色彩的筆，按上述要求能寫多少種不同顏色搭配的“WTO”？9.下圖是一個棋盤，將一個白子和一個黑子放在棋盤線的交點上，但不能在同一條棋盤線上，共有多少各不同的放法？10.0，1，2，3，4，5，6，7，8，9十個數(shù)字，能夠組成多少個沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)？11.有6人參加軍訓(xùn)，在操場上站成一排，其中2名隊長不在起，一共有多少種排法？12一排房有四個房間，四個房間中住著甲、乙、丙三人，現(xiàn)定每個房間只許住1人，且只允許兩個人住的房間挨在一起，第三個人的房間必須和前兩個人隔開，有多少種住法？13.用9顆釘子組成3×3方陣，用橡皮筋勾在3顆釘子上，組成一個三角形，共可組成多少個三角形？14.要在3×n方格中(n是自然數(shù)，將每列中的3個方格分別用紅、白、藍(lán)三種顏色任意染色(每列中三格的顏色各不相同)。最少需要多少列才能保證至少使兩列染色的方式相同？15.七個相同球，放入四個不同的盒子里，每個盒子至少放一個，不同的方法有多少種？16.如圖，從A點出發(fā)，經(jīng)過C點到B點的最短路線，共有多少條？第九講<練習(xí)鞏固與拓展>答案1.3×5=15(種)2.6×4=24(種)3.4×4×4=64(種)4.3×3=9(種)5.(1)3×4×4=48(個)(2)3×3×2=18(個)6.9×4-1=35(種)7.2×6=1