2023-2024學年北師大版選擇性必修第一冊 　第三章 §2　第1課時　空間向量的概念及線性運算 學案

第1課時空間向量的概念及線性運算[學習目標]1.經(jīng)歷由平面向量推廣到空間向量的過程，了解空間向量的概念.2.經(jīng)歷由平面向量的運算及其運算律推廣到空間向量的過程.3.掌握空間向量的線性運算．導語國慶節(jié)期間，某游客從上海世博園(O)游覽結(jié)束后乘車到外灘(A)觀賞黃浦江，然后抵達東方明珠(B)游玩，接著還要登上東方明珠頂端(D)俯瞰上海美麗的夜景，如圖，那實際發(fā)生的位移是什么？又該如何表示呢？這就要用到空間向量的內(nèi)容．一、空間向量的有關(guān)概念知識梳理1．在空間中，把具有大小和方向的量叫作空間向量，向量的大小叫作向量的長度或模．空間向量用有向線段表示，表示向量a的有向線段的長度也叫作向量a的長度或模，用|a|表示．有向線段的方向表示向量的方向．2．幾類特殊的空間向量名稱定義及表示相等向量方向相同且模相等的向量稱為相等向量自由向量數(shù)學中所研究的向量，與向量的起點無關(guān)，稱之為自由向量相反向量方向相反且模相等的向量互為相反向量，向量a的相反向量用－a表示零向量規(guī)定模為0的向量叫作零向量，記為0共線向量當表示向量的兩條有向線段所在的直線平行或重合時，稱這兩個向量互為共線向量(或平行向量)．規(guī)定：零向量與任意向量平行共面向量平行于同一平面的向量，叫作共面向量注意點：(1)平面向量是一種特殊的空間向量．(2)兩個空間向量相等的充要條件為長度相等，方向相同．(3)空間向量不能比較大小，?？梢裕?4)空間共線向量不一定具備傳遞性，比如0.(5)空間中任意兩個向量都是共面向量．例1(1)下列關(guān)于空間向量的說法中正確的是()A．單位向量都相等B．若|a|＝|b|，則a，b的長度相等而方向相同或相反C．若向量eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(CD,\s\up6(→))滿足|eq\o(AB,\s\up6(→))|>|eq\o(CD,\s\up6(→))|，則eq\o(AB,\s\up6(→))>eq\o(CD,\s\up6(→))D．相等向量其方向必相同答案D解析A中，單位向量長度相等，方向不確定；B中，|a|＝|b|只能說明a，b的長度相等而方向不確定；C中，向量不能比較大?。?2)(多選)下列命題為真命題的是()A．若空間向量a，b滿足|a|＝|b|，則a＝bB．在正方體ABCD－A1B1C1D1中，必有eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(A1C1,\s\up6(→))C．若空間向量m，n，p滿足m＝n，n＝p，則m＝pD．空間中，a∥b，b∥c，則a∥c答案BC解析A為假命題，根據(jù)向量相等的定義知，兩向量相等，不僅模要相等，而且還要方向相同，而A中向量a與b的方向不一定相同；B為真命題，eq\o(AC,\s\up6(→))與eq\o(A1C1,\s\up6(→))的方向相同，模也相等，故eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(A1C1,\s\up6(→))；C為真命題，向量的相等滿足傳遞性；D為假命題，平行向量不一定具有傳遞性，當b＝0時，a與c不一定平行．反思感悟空間向量的概念與平面向量的概念類似，平面向量的其他相關(guān)概念，如向量的模、相等向量、平行向量、相反向量等都可以拓展為空間向量的相關(guān)概念．跟蹤訓練1如圖所示，以長方體ABCD－A1B1C1D1的八個頂點的兩點為起點和終點的向量中，(1)試寫出與eq\o(AB,\s\up6(→))相等的所有向量；(2)試寫出eq\o(AA1,\s\up6(→))的相反向量；(3)若|AB|＝|AD|＝2，|AA1|＝1，求向量eq\o(AC1,\s\up6(→))的模．解(1)與向量eq\o(AB,\s\up6(→))相等的所有向量(除它自身之外)有eq\o(A1B1,\s\up6(→))，eq\o(DC,\s\up6(→))及eq\o(D1C1,\s\up6(→))共3個．(2)向量eq\o(AA1,\s\up6(→))的相反向量為eq\o(A1A,\s\up6(→))，eq\o(B1B,\s\up6(→))，eq\o(C1C,\s\up6(→))，eq\o(D1D,\s\up6(→)).(3)|eq\o(AC1,\s\up6(→))|＝eq\r(|AC|2＋|CC1|2)＝eq\r(|AB|2＋|BC|2＋|CC1|2)＝3.二、空間向量的加減運算問題空間中的任意兩個向量是否共面？為什么？提示共面，任意兩個向量都可以平移到同一個平面內(nèi)，因此空間中向量的加減運算與平面中一致．知識梳理加法運算三角形法則語言首尾順次相接，首指向尾為和圖形a＋b＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))平行四邊形法則語言共起點的兩邊為鄰邊作平行四邊形，共起點對角線為和圖形a＋b＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＝eq\o(OC,\s\up6(→))減法運算三角形法則語言共起點，連終點，方向指向被減向量圖形a＋(－b)＝a－b＝eq\o(OA,\s\up6(→))－eq\o(OB,\s\up6(→))＝eq\o(BA,\s\up6(→))加法運算律交換律a＋b＝b＋a結(jié)合律(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)注意點：(1)求向量和時，可以首尾相接(若為封閉圖形，則和為0)，也可共起點；求向量差時，可以共起點．(2)三角形法則、平行四邊形法則在空間向量中也適用．例2(1)(多選)如圖，在長方體ABCD－A1B1C1D1中，下列各式運算結(jié)果為eq\o(BD1,\s\up6(→))的是()A.eq\o(A1D1,\s\up6(→))－eq\o(A1A,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))B.eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(BB1,\s\up6(→))－eq\o(D1C1,\s\up6(→))C.eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(DD1,\s\up6(→))D.eq\o(B1D1,\s\up6(→))－eq\o(A1A,\s\up6(→))＋eq\o(DD1,\s\up6(→))答案AB解析A中，eq\o(A1D1,\s\up6(→))－eq\o(A1A,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(AD1,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(BD1,\s\up6(→))；B中，eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(BB1,\s\up6(→))－eq\o(D1C1,\s\up6(→))＝eq\o(BC1,\s\up6(→))＋eq\o(C1D1,\s\up6(→))＝eq\o(BD1,\s\up6(→))；C中，eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(DD1,\s\up6(→))＝eq\o(BD,\s\up6(→))－eq\o(DD1,\s\up6(→))＝eq\o(BD,\s\up6(→))－eq\o(BB1,\s\up6(→))＝eq\o(B1D,\s\up6(→))≠eq\o(BD1,\s\up6(→))；D中，eq\o(B1D1,\s\up6(→))－eq\o(A1A,\s\up6(→))＋eq\o(DD1,\s\up6(→))＝eq\o(BD,\s\up6(→))＋eq\o(AA1,\s\up6(→))＋eq\o(DD1,\s\up6(→))＝eq\o(BD1,\s\up6(→))＋eq\o(AA1,\s\up6(→))≠eq\o(BD1,\s\up6(→)).故選AB.(2)化簡：(eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(CD,\s\up6(→)))－(eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(BD,\s\up6(→)))＝________.答案0解析方法一(轉(zhuǎn)化為加法運算)(eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(CD,\s\up6(→)))－(eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(BD,\s\up6(→)))＝eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(CD,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(DC,\s\up6(→))＋eq\o(CA,\s\up6(→))＋eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BD,\s\up6(→))＋eq\o(DC,\s\up6(→))＋eq\o(CA,\s\up6(→))＝0.方法二(轉(zhuǎn)化為減法運算)(eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(CD,\s\up6(→)))－(eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(BD,\s\up6(→)))＝(eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→)))＋(eq\o(BD,\s\up6(→))－eq\o(CD,\s\up6(→)))＝eq\o(CB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＝0.反思感悟空間向量加法、減法運算的兩個技巧(1)巧用相反向量：靈活運用相反向量可使向量首尾相接．(2)巧用平移：務必注意和向量、差向量的方向，必要時可采用空間向量的自由平移獲得運算結(jié)果．跟蹤訓練2如圖，已知空間四邊形ABCD，連接AC，BD，E，F(xiàn)，G分別是BC，CD，DB的中點，請化簡以下式子，并在圖中標出化簡結(jié)果．(1)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))－eq\o(DC,\s\up6(→))；(2)eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(DG,\s\up6(→))－eq\o(CE,\s\up6(→)).解(1)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))－eq\o(DC,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))，如圖中向量eq\o(AD,\s\up6(→)).(2)eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(DG,\s\up6(→))－eq\o(CE,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BG,\s\up6(→))＋eq\o(EC,\s\up6(→))＝eq\o(AG,\s\up6(→))＋eq\o(GF,\s\up6(→))＝eq\o(AF,\s\up6(→))，如圖中向量eq\o(AF,\s\up6(→)).三、空間向量的數(shù)乘運算知識梳理1．空間向量的數(shù)乘運算定義與平面向量類似，實數(shù)λ與空間向量a的乘積仍然是一個向量，記作λa.求實數(shù)與空間向量的乘積的運算稱為空間向量的數(shù)乘運算幾何意義λ>0向量λa與向量a方向相同|λa|＝|λ||a|，λa的長度是a的長度的|λ|倍λ<0向量λa與向量a方向相反λ＝0λa＝0，其方向是任意的運算律結(jié)合律λ(μa)＝(λμ)a分配律(λ＋μ)a＝λa＋μa，λ(a＋b)＝λa＋λb，其中λ∈R，μ∈R.2.定理：空間兩個向量a，b(b≠0)共線的充要條件是存在唯一的實數(shù)λ，使得a＝λb.通常把這個定理稱為共線向量基本定理．(也稱“一維向量基本定理”)注意點：(1)當λ＝0或a＝0時，λa＝0.(2)λ的正負影響著向量λa的方向，λ的絕對值的大小影響著λa的長度．(3)向量λa與向量a一定是共線向量．例3(1)如圖所示，在平行六面體ABCD－A1B1C1D1中，設eq\o(AA1,\s\up6(→))＝a，eq\o(AB,\s\up6(→))＝b，eq\o(AD,\s\up6(→))＝c，M，N，P分別是AA1，BC，C1D1的中點，試用a，b，c表示以下各向量：①eq\o(AP,\s\up6(→))；②eq\o(A1N,\s\up6(→))；③eq\o(MP,\s\up6(→)).解①∵P是C1D1的中點，∴eq\o(AP,\s\up6(→))＝eq\o(AA1,\s\up6(→))＋eq\o(A1D1,\s\up6(→))＋eq\o(D1P,\s\up6(→))＝a＋eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(D1C1,\s\up6(→))＝a＋c＋eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＝a＋eq\f(1,2)b＋c.②∵N是BC的中點，∴eq\o(A1N,\s\up6(→))＝eq\o(A1A,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BN,\s\up6(→))＝－a＋b＋eq\f(1,2)eq\o(BC,\s\up6(→))＝－a＋b＋eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up6(→))＝－a＋b＋eq\f(1,2)c.③∵M是AA1的中點，∴eq\o(MP,\s\up6(→))＝eq\o(MA,\s\up6(→))＋eq\o(AP,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(A1A,\s\up6(→))＋eq\o(AP,\s\up6(→))＝－eq\f(1,2)a＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a＋c＋\f(1,2)b))＝eq\f(1,2)a＋eq\f(1,2)b＋c.延伸探究1．例3(1)的條件不變，試用a，b，c表示向量eq\o(PN,\s\up6(→)).解因為P，N分別是D1C1，BC的中點，所以eq\o(PN,\s\up6(→))＝eq\o(PC1,\s\up6(→))＋eq\o(C1C,\s\up6(→))＋eq\o(CN,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＋(－eq\o(AA1,\s\up6(→)))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)\o(AD,\s\up6(→))))＝－a＋eq\f(1,2)b－eq\f(1,2)c.2．若把例3(1)中“P是C1D1的中點”改為“P在線段C1D1上，且eq\f(C1P,PD1)＝eq\f(1,2)”，其他條件不變，如何表示eq\o(AP,\s\up6(→))？解eq\o(AP,\s\up6(→))＝eq\o(AD1,\s\up6(→))＋eq\o(D1P,\s\up6(→))＝eq\o(AA1,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＝a＋c＋eq\f(2,3)b.(2)設a，b是空間中兩個不共線的向量，已知eq\o(AB,\s\up6(→))＝9a＋mb，eq\o(BC,\s\up6(→))＝－2a－b，eq\o(DC,\s\up6(→))＝a－2b，且A，B，D三點共線，則實數(shù)m＝________.答案－3解析因為eq\o(BC,\s\up6(→))＝－2a－b，eq\o(DC,\s\up6(→))＝a－2b.所以eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))－eq\o(DC,\s\up6(→))＝－2a－b－(a－2b)＝－3a＋b，因為A，B，D三點共線，所以存在實數(shù)λ，使得eq\o(AB,\s\up6(→))＝λeq\o(BD,\s\up6(→))，即9a＋mb＝λ(－3a＋b)．所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(9＝－3λ，,m＝λ，))解得m＝λ＝－3.反思感悟(1)利用數(shù)乘運算進行向量表示的技巧①數(shù)形結(jié)合：利用數(shù)乘運算解題時，要結(jié)合具體圖形，利用三角形法則、平行四邊形法則，將目標向量轉(zhuǎn)化為已知向量．②明確目標：在化簡過程中要有目標意識，巧妙運用中點性質(zhì)．(2)①三點共線可借助向量共線進行轉(zhuǎn)化來證明．②特別注意利用向量共線推導三點共線必須要有公共點．跟蹤訓練3(1)已知四邊形ABCD為正方形，P是四邊形ABCD所在平面外一點，P在平面ABCD上的投影恰好是正方形的中心O，Q是CD的中點，求下列各題中x，y的值．①eq\o(OQ,\s\up6(→))＝eq\o(PQ,\s\up6(→))＋xeq\o(PC,\s\up6(→))＋yeq\o(PA,\s\up6(→))；②eq\o(PA,\s\up6(→))＝xeq\o(PO,\s\up6(→))＋yeq\o(PQ,\s\up6(→))＋eq\o(PD,\s\up6(→)).解①由圖可知，eq\o(OQ,\s\up6(→))＝eq\o(PQ,\s\up6(→))－eq\o(PO,\s\up6(→))＝eq\o(PQ,\s\up6(→))－eq\f(1,2)(eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\o(PC,\s\up6(→)))＝eq\o(PQ,\s\up6(→))－eq\f(1,2)eq\o(PC,\s\up6(→))－eq\f(1,2)eq\o(PA,\s\up6(→))，則x＝y(tǒng)＝－eq\f(1,2).②∵eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\o(PC,\s\up6(→))＝2eq\o(PO,\s\up6(→))，∴eq\o(PA,\s\up6(→))＝2eq\o(PO,\s\up6(→))－eq\o(PC,\s\up6(→)).∵eq\o(PC,\s\up6(→))＋eq\o(PD,\s\up6(→))＝2eq\o(PQ,\s\up6(→))，∴eq\o(PC,\s\up6(→))＝2eq\o(PQ,\s\up6(→))－eq\o(PD,\s\up6(→))，∴eq\o(PA,\s\up6(→))＝2eq\o(PO,\s\up6(→))－(2eq\o(PQ,\s\up6(→))－eq\o(PD,\s\up6(→)))＝2eq\o(PO,\s\up6(→))－2eq\o(PQ,\s\up6(→))＋eq\o(PD,\s\up6(→)).∴x＝2，y＝－2.(2)若P，A，B，C為空間四點，且有eq\o(PA,\s\up6(→))＝αeq\o(PB,\s\up6(→))＋βeq\o(PC,\s\up6(→))，則α＋β＝1是A，B，C三點共線的()A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分又不必要條件答案C解析若α＋β＝1，則eq\o(PA,\s\up6(→))－eq\o(PB,\s\up6(→))＝β(eq\o(PC,\s\up6(→))－eq\o(PB,\s\up6(→)))，即eq\o(BA,\s\up6(→))＝βeq\o(BC,\s\up6(→))，顯然，A，B，C三點共線；若A，B，C三點共線，則有eq\o(AB,\s\up6(→))＝λeq\o(BC,\s\up6(→))，故eq\o(PB,\s\up6(→))－eq\o(PA,\s\up6(→))＝λ(eq\o(PC,\s\up6(→))－eq\o(PB,\s\up6(→)))，整理得eq\o(PA,\s\up6(→))＝(1＋λ)eq\o(PB,\s\up6(→))－λeq\o(PC,\s\up6(→))，令α＝1＋λ，β＝－λ，則α＋β＝1，故選C.1．知識清單：(1)空間向量的相關(guān)概念．(2)空間向量的線性運算(加法、減法和數(shù)乘)．(3)空間向量的線性運算的運算律．(4)共線向量基本定理的理解及應用．2．方法歸納：類比、三角形法則、平行四邊形法則、數(shù)形結(jié)合思想、轉(zhuǎn)化法．3．常見誤區(qū)：(1)應抓住向量的“大小”和“方向”兩個要素，并注意它是一個“量”，而不是一個數(shù)．(2)利用共線向量基本定理解決三點共線問題忽視公共點．1．(多選)下列命題中，真命題是()A．同平面向量一樣，任意兩個空間向量都不能比較大小B．兩個相等的向量，若起點相同，則終點也相同C．只有零向量的模等于0D．共線的單位向量都相等答案ABC解析容易判斷D是假命題，共線的單位向量是相等向量或相反向量．2．化簡eq\o(PM,\s\up6(→))－eq\o(PN,\s\up6(→))＋eq\o(MN,\s\up6(→))所得的結(jié)果是()A.eq\o(PM,\s\up6(→))B.eq\o(NP,\s\up6(→))C．0D.eq\o(MN,\s\up6(→))答案C解析eq\o(PM,\s\up6(→))－eq\o(PN,\s\up6(→))＋eq\o(MN,\s\up6(→))＝eq\o(NM,\s\up6(→))＋eq\o(MN,\s\up6(→))＝eq\o(NM,\s\up6(→))－eq\o(NM,\s\up6(→))＝0.3．設有四邊形ABCD，O為空間任意一點，且eq\o(AO,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＝eq\o(DO,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))，則四邊形ABCD是()A．平行四邊形 B．空間四邊形C．等腰梯形 D．矩形答案A解析∵eq\o(AO,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＝eq\o(DO,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))，∴eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(DC,\s\up6(→)