2015秋九年級數學上冊 21.3 實際問題與一元二次方程-解決代數問題導學案 （新版）新人教版

2015秋九年級數學上冊21.3實際問題與一元二次方程-解決代數問題導學案（新版）新人教版一、知識準備1.象形法解決實際問題在初中數學學習中，我們常常需要使用到一元一次方程來解決一些實際問題，比如：某人年齡的一半比他大的1歲，那么這個人的年齡是多少？我們可以設這個人的年齡為x歲，那么根據題目條件可得：x/2+1=x解方程得到：x=2因此，這個人的年齡是2歲。但實際生活中，很多問題并不能簡單地使用一元一次方程來解決，比如：某人現(xiàn)在的年齡是另一個人5年前的3倍，而且兩人年齡差為10歲，問兩人現(xiàn)在的年齡分別是多少？對于這樣的問題，我們就需要使用到“象形法”來解決。具體來說，就是我們需要選擇一個變量（通常用x、y等字母表示），來代表我們所要求出的未知量，然后根據題目中的其他條件，將這些條件轉化為方程，最終解出未知變量的值。2.一元二次方程的定義一元二次方程是指形式為：ax^2+bx+c=0其中a、b、c為常數，且a≠0。其中，稱為一元二次方程的“標準形式”。在求解一元二次方程時，我們需要使用到一些常見的公式和規(guī)律，如求根公式、二次函數的性質等等。二、梳理思路考慮到這個文檔的主題是“實際問題與一元二次方程”，我們可以將這部分內容分為以下三個部分：實際問題的轉化和建模一元二次方程的求解方法實際問題與一元二次方程的結合接下來，我們將分別對這三個部分進行講解。三、實際問題的轉化和建模對于一些實際問題，我們需要將其轉化為一元二次方程的形式，這就需要我們了解一些常見的問題建模方法。下面給出一些例子。1.小汽車追及問題題目描述：甲、乙兩車在同一地點出發(fā)，乙車較甲車晚2小時出發(fā)。兩車相遇后，甲車行駛4小時，乙車行駛3小時。若甲車的行駛速度為50千米/小時，問乙車的行駛速度是多少千米/小時？解法：首先，我們需要選擇一個變量來代表我們所要求出的未知量，這里我們可以選擇乙車的行駛速度，用x千米/小時表示。然后，我們可以根據題目中的條件，列出如下的方程：(4+2)×50+3x=x×(4+3)化簡得到：200+150=7x解方程得到：x=50因此，乙車的行駛速度是50千米/小時。2.拋物線問題題目描述：有一剪刀，其雙臂長度為AB=AC=h（h>0），并且滿足AB=2AC=2h。假設從原點O開始發(fā)射一個物體，初速度大小為v0，豎直方向上的初速度分量為v0sinθ，水平方向上的初速度分量為v0cosθ。當物體射出后，其受到了重力的影響，在豎直方向上受到a=9.8m/s2的加速度，而在水平方向上保持勻速運動。問：當物體落地時，其離原點的水平距離為多少？解法：我們可以根據物理學的相關知識，得出物體的豎直方向運動方程和水平方向運動方程：豎直方向運動方程：y=v0sinθt-1/2at^2水平方向運動方程：x=v0cosθt我們需要求解的是物體落地時的水平坐標x，因此，我們需要將豎直方向運動方程中的時間t表示為水平方向運動方程中的未知量。具體來說，我們可以根據兩個方程中的時間關系，得到：t=x/(v0cosθ)將t帶入豎直方向運動方程中，得到：y=v0sinθ(x/(v0cosθ))-1/2a(x/(v0cosθ))^2化簡得到：y=xtanθ-1/2ax2/(v02cos^2θ)于是，我們就得到了所需的一元二次方程：1/2ax2/(v02cos^2θ)-xtanθ+y=0可以使用求根公式解出x的值。四、一元二次方程的求解方法一元二次方程的解法有很多，這里主要介紹兩種常用的方法：配方法和求根公式。1.配方法當一元二次方程的形式為：ax^2+bx+c=0時，我們可以使用配方法來求解。具體來說，我們需要根據方程的標準形式，將方程左右兩邊同乘以a，得到：ax^2+bx+c=a×0然后，我們可以將方程左右兩邊分別加上(b/2a)^2，得到：ax^2+bx+(b/2a)^2=(b/2a)^2-c接著，我們需要將方程兩邊開方，得到：x=(-b±√(b^2-4ac))/2a這就是一元二次方程的求根公式。2.求根公式求根公式是指用根式表示方程ax^2+bx+c=0的實數解的公式。一般寫成：x=(-b±√(b^2-4ac))/2a使用這個公式，我們可以快速求解一元二次方程。五、實際問題與一元二次方程的結合實際問題與一元二次方程的結合，在初中數學中比較常見。在解決這類問題時，我們需要將實際問題轉化為一元二次方程，然后使用我們已經學習的知識來求解。下面，我們來看一個例子：某物體被拋出后，它的遠點高度是1米，達到最高點時速度為10米/秒，求出該物體的拋出速度。解法：我們可以設該物體的拋出速度為v米/秒，其重力加速度為g=9.8米/秒2。另外，我們可以利用物理學相關知識，得出該物體的高度和速度分別為：物體高度相關公式：y=v0t-1/2gt^2物體速度相關公式：v=v0-gt其中，t表示時間，v0表示拋出速度。我們注意到題目中的一些條件可以轉化為式子，比如“遠點高度是1米”可以表示為y(0)=1，而“達到最高點時速度為10米/秒”可以表示為v(t)=10。因此，我們可以將高度公式和速度公式聯(lián)立起來，列出一元二次方程：y=v0t-1/2gt^2v=v0-gt代入題目中的條件和公式，得到：1=v0t-1/2gt^210=v0-gt化簡得到：t=1/3v0v0=20/3