2021-2023年高考數(shù)學(xué)真題分類匯編專題06立體幾何解答題文

專題06立體幾何（解答題）（文）近三年高考真題知識點1：線面角及其正弦值1．（2023?甲卷（理））在三棱柱中，，底面，，到平面的距離為1．（1）求證：；（2）若直線與距離為2，求與平面所成角的正弦值．【解析】（1）證明：取的中點，連接，底面，底面，，，，底面，底面，，，，，平面，平面，平面平面，到平面的距離為1，到的距離為1，，；（2）過作交的延長線與，連接，取的中點，連接，四邊形為平行四邊形，平面，，平面，平面，，，為直線與距離，，，由（1）可知平面，為與平面所成角的角，易求得，，，，．與平面所成角的正弦值為．2．（2021?上海）如圖，在長方體中，已知，．（1）若是棱上的動點，求三棱錐的體積；（2）求直線與平面的夾角大?。窘馕觥浚?）如圖，在長方體中，；（2）連接，，四邊形為正方形，則，又，，平面，直線與平面所成的角為，．直線與平面所成的角為．知識點2：體積問題3．（2023?乙卷（文））如圖，在三棱錐中，，，，，，，的中點分別為，，，點在上，．（1）求證：平面；（2）若，求三棱錐的體積．【解析】（1）證明：在中，作，垂足為，設(shè)，則，因為，所以，所以，即，解得，又因為，所以，且，所以，所以，即，解得，即，所以是的中點，是的中點，又因為是的中點，所以，同理，，所以，又因為平面，平面，所以平面；（2）過作垂直的延長線交于點，因為，是中點，所以，在中，，，所以，因為，，所以，又，，平面，所以平面，又平面，所以，又，，平面，所以平面，即三棱錐的高為，因為，所以，所以，的面積為，所以三棱錐的體積為．4．（2022?乙卷（文））如圖，四面體中，，，，為的中點．（1）證明：平面平面；（2）設(shè)，，點在上，當(dāng)?shù)拿娣e最小時，求三棱錐的體積．【解析】證明：（1），，，，，又為的中點．，，為的中點．，又，平面，又平面，平面平面；（2）由（1）可知，，，是等邊三角形，邊長為2，，，，，，，又，，平面，由（1）知，，連接，則，，當(dāng)時，最短，此時的面積最小，過點作于點，則，平面，，，，三棱錐的體積．5．（2021?甲卷（文））已知直三棱柱中，側(cè)面為正方形，，，分別為和的中點，．（1）求三棱錐的體積；（2）已知為棱上的點，證明：．【解析】（1）在直三棱柱中，，又，，，平面，平面，，平面，，又，故，，而側(cè)面為正方形，，，即三棱錐的體積為；（2）證明：如圖，取中點，連接，，設(shè)，點是的中點，點時的中點，，，、、、四點共面，由（1）可得平面，平面，，，且這兩個角都是銳角，，，，又，，平面，平面，又平面，．6．（2021?乙卷（文））如圖，四棱錐的底面是矩形，底面，為的中點，且．（1）證明：平面平面；（2）若，求四棱錐的體積．【解析】（1）證明：底面，平面，，又，，，平面．平面．平面，平面平面；（2）由底面，即為四棱錐的高，是直角三角形；底面是矩形，，為的中點，且．設(shè)，取的中點為．作交于，連接，，，可得，，那么．且．，，．是直角三角形，根據(jù)勾股定理：，則；由是直角三角形，可得，解得．底面的面積，則四棱錐的體積．7．（2021?上海）四棱錐，底面為正方形，邊長為4，為中點，平面．（1）若為等邊三角形，求四棱錐的體積；（2）若的中點為，與平面所成角為，求與所成角的大小．【解析】（1）為等邊三角形，且為中點，，，又平面，四棱錐的體積．（2）平面，為與平面所成角為，即，為等腰直角三角形，，分別為，的中點，，，，或其補角即為與所成角，平面，，又，，、平面，平面，，在中，，故與所成角的大小為．8．（2021?新高考Ⅰ）如圖，在三棱錐中，平面平面，，為的中點．（1）證明：；（2）若是邊長為1的等邊三角形，點在棱上，，且二面角的大小為，求三棱錐的體積．【解析】（1）證明：因為，為的中點，所以，又平面平面，平面平面，平面，所以平面，又平面，所以；（2）過作，交于點，過作于點，連結(jié)，由題意可知，，又平面所以平面，又平面，所以，又，所以平面，又平面，所以，則為二面角的平面角，即，又，所以，則，故，所以，因為，則，所以，則，所以，則，所以．9．（2022?甲卷（文））小明同學(xué)參加綜合實踐活動，設(shè)計了一個封閉的包裝盒．包裝盒如圖所示：底面是邊長為8（單位：的正方形，，，，均為正三角形，且它們所在的平面都與平面垂直．（1）證明：平面；（2）求該包裝盒的容積（不計包裝盒材料的厚度）．【解析】（1）證明：如圖所示，將幾何體補形為長方體，做于點，做于點，由于底面為正方形，，均為等邊三角形，故等邊三角形的高相等，即，由面面垂直的性質(zhì)可知，均與底面垂直，則，四邊形為平行四邊形，則，由于不在平面內(nèi)，在平面內(nèi)，由線面平行的判斷定理可得平面．（2）易知包裝盒的容積為長方體的體積減去四個三棱錐的體積，其中長方體的高，長方體的體積，一個三棱錐的體積，則包裝盒的容積為．知識點3：線面距離10．（2023?上海）已知三棱錐中，平面，，，，為中點，過點分別作平行于平面的直線交、于點，．（1）求直線與平面所成角的大??；（2）求直線到平面的距離．【解析】（1）連接，，平面，為直線與平面所成的角，在中，，，為中點，，，即直線與平面所成角為；（2）由平面，平面，，平面平面，平面，平面，平面，平面，，，，，平面，平面，為直線到平面的距離，平面，平面，平面平面，，為中點，為中點，，直線到平面的距離為2．知識點4：幾何中高的求法11．（2023?甲卷（文））如圖，在三棱柱