2024屆一輪復(fù)習(xí)人教A版 第10章計(jì)數(shù)原理概率隨機(jī)變量及其分布第6節(jié)離散型隨機(jī)變量的分布列及數(shù)字特征 課件（42張）

第六節(jié)離散型隨機(jī)變量的分布列及數(shù)字特征第十章計(jì)數(shù)原理、概率、隨機(jī)變量及其分布考試要求：1．掌握離散型隨機(jī)變量分布列的性質(zhì)．2．會(huì)利用隨機(jī)變量的期望方差解決實(shí)際問題．必備知識(shí)·回顧教材重“四基”01一、教材概念·結(jié)論·性質(zhì)重現(xiàn)1．隨機(jī)變量的有關(guān)概念(1)隨機(jī)變量：對(duì)于隨機(jī)試驗(yàn)樣本空間Ω中的每個(gè)樣本點(diǎn)ω，都有唯一的實(shí)數(shù)X(ω)與之對(duì)應(yīng)，我們稱X為隨機(jī)變量．(2)離散型隨機(jī)變量：可能取值為有限個(gè)或可以_________的隨機(jī)變量．一一列出(1)離散型隨機(jī)變量X的每一個(gè)可能取值為實(shí)數(shù)，其實(shí)質(zhì)代表的是“事件”，即事件是用一個(gè)反映結(jié)果的實(shí)數(shù)表示的．(2)若X是隨機(jī)變量，則Y＝aX＋b(a，b為常數(shù))也是隨機(jī)變量．2．離散型隨機(jī)變量的分布列及性質(zhì)(1)一般地，設(shè)離散型隨機(jī)變量X的可能取值為x1，x2，…，xn，我們稱X取每一個(gè)值xi的概率P(X＝xi)＝pi，i＝1，2，…，n為離散型隨機(jī)變量X的____________，簡稱分布列．(2)離散型隨機(jī)變量的分布列的性質(zhì)①pi≥0，i＝1，2，…，n；②________________＝1．概率分布列p1＋p2＋…＋pn判斷所求離散型隨機(jī)變量的分布列是否正確，可用pi≥0，i＝1，2，…，n及p1＋p2＋…＋pn＝1檢驗(yàn)．3．離散型隨機(jī)變量的均值與方差離散型隨機(jī)變量X的分布列為Xx1x2…xnPp1p2…pn(1)均值稱E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xnpn＝

為隨機(jī)變量X的____或__________，數(shù)學(xué)期望簡稱期望．它反映了隨機(jī)變量取值的_________．

均值數(shù)學(xué)期望平均水平

標(biāo)準(zhǔn)差偏離程度(1)期望是算術(shù)平均值概念的推廣，是概率意義下的平均．(2)E(X)是一個(gè)實(shí)數(shù)，由X的分布列唯一確定，即作為隨機(jī)變量，X是可變的，可取不同值，而E(X)是不變的，它描述X取值的平均狀態(tài)．(3)E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xnpn直接給出了E(X)的求法，即隨機(jī)變量取值與相應(yīng)概率分別相乘后相加．4．均值與方差的性質(zhì)(1)E(aX＋b)＝_________．(a，b為常數(shù))(2)D(aX＋b)＝_______．(a，b為常數(shù))5．兩點(diǎn)分布與二項(xiàng)分布的均值、方差(1)若隨機(jī)變量X服從兩點(diǎn)分布，那么E(X)＝p，D(X)＝________．(2)若X～B(n，p)，則E(X)＝___，D(X)＝________．a(chǎn)E(X)＋ba2D(X)p(1－p)npnp(1－p)

二、基本技能·思想·活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)1．判斷下列說法的正誤，對(duì)的畫“√”，錯(cuò)的畫“×”．(1)離散型隨機(jī)變量的概率分布列中，各個(gè)概率之和可以小于1． (

)(2)對(duì)于某個(gè)試驗(yàn)，離散型隨機(jī)變量的取值可能有明確的意義，也可能不具有實(shí)際意義． (

)34512××(3)如果隨機(jī)變量X的分布列由下表給出，則它服從兩點(diǎn)分布． (

)(4)隨機(jī)變量的方差和標(biāo)準(zhǔn)差都反映了隨機(jī)變量取值偏離均值的平均程度，方差或標(biāo)準(zhǔn)差越小，則偏離變量平均程度越?。?(

)(5)均值與方差都是從整體上刻畫離散型隨機(jī)變量的情況，因此它們是一回事． (

)34512X25P0.30.7√××2．隨機(jī)變量X的分布列如表所示：則P(X≤2)＝(

)A．0.1

B．0.2C．0.3

D．0.4C

解析：由分布列的性質(zhì)可得，0.1＋m＋0.3＋2m＝1，可得m＝0.2，所以P(X≤2)＝P(X＝1)＋P(X＝2)＝0.1＋0.2＝0.3．34512X1234P0.1m0.32m

34512

345124．隨機(jī)變量X的分布列如表，則E(5X＋4)等于(

)A．16

B．11

C．2.2

D．2.3A

解析：由表格可得E(X)＝0×0.3＋2×0.2＋4×0.5＝2.4，故E(5X＋4)＝5E(X)＋4＝5×2.4＋4＝16．34512X024P0.30.20.5

34512X01Pa2a關(guān)鍵能力·研析考點(diǎn)強(qiáng)“四翼”考點(diǎn)1離散型隨機(jī)變量的分布列及性質(zhì)——基礎(chǔ)性02考點(diǎn)2離散型隨機(jī)變量的均值與方差——基礎(chǔ)性考點(diǎn)3均值與方差在實(shí)際問題中的應(yīng)用——綜合性例1

已知隨機(jī)變量X的分布列如下：若隨機(jī)變量η＝3X－1，則E(η)為(

)A．4.2B．18.9C．5.3D．隨m變化而變化C

解析：因?yàn)?.2＋0.5＋m＝1，所以m＝0.3，所以E(X)＝1×0.2＋2×0.5＋3×0.3＝2.1．又η＝3X－1，所以E(η)＝3E(X)－1＝3×2.1－1＝5.3．故選C．考點(diǎn)1離散型隨機(jī)變量的分布列及性質(zhì)——基礎(chǔ)性X123P0.20.5m離散型隨機(jī)變量的分布列的性質(zhì)的應(yīng)用(1)利用“總概率之和為1”可以求相關(guān)參數(shù)的取值范圍或值．(2)利用“離散型隨機(jī)變量在一范圍內(nèi)的概率等于它取這個(gè)范圍內(nèi)各個(gè)值的概率之和”求某些特定事件的概率．(3)可以根據(jù)性質(zhì)判斷所得分布列結(jié)果是否正確．

ξ－10aP

ξ78910Px0.10.3y例2

某學(xué)校組織“一帶一路”知識(shí)競賽，有A，B兩類問題．每位參加比賽的同學(xué)先在兩類問題中選擇一類并從中隨機(jī)抽取一個(gè)問題回答，若回答錯(cuò)誤則該同學(xué)比賽結(jié)束；若回答正確則從另一類問題中再隨機(jī)抽取一個(gè)問題回答，無論回答正確與否，該同學(xué)比賽結(jié)束．A類問題中的每個(gè)問題回答正確得20分，否則得0分；B類問題中的每個(gè)問題回答正確得80分，否則得0分．考點(diǎn)2離散型隨機(jī)變量的均值與方差——基礎(chǔ)性已知小明能正確回答A類問題的概率為0.8，能正確回答B(yǎng)類問題的概率為0.6，且能正確回答問題的概率與回答次序無關(guān)．(1)若小明先回答A類問題，記X為小明的累計(jì)得分，求X的分布列；解：由已知可得，X的所有可能取值為0，20，100，則P(X＝0)＝1－0.8＝0.2，P(X＝20)＝0.8×(1－0.6)＝0.32，P(X＝100)＝0.8×0.6＝0.48，所以X的分布列為X020100P0.20.320.48(2)為使累計(jì)得分的期望最大，小明應(yīng)選擇先回答哪類問題？并說明理由．解：小明應(yīng)選擇先回答B(yǎng)類問題．理由如下：由(1)可知小明先回答A類問題累計(jì)得分的期望為E(X)＝0×0.2＋20×0.32＋100×0.48＝54.4，若小明先回答B(yǎng)類問題，記Y為小明的累計(jì)得分，則Y的所有可能取值為0，80，100，P(Y＝0)＝1－0.6＝0.4，P(Y＝80)＝0.6×(1－0.8)＝0.12，P(Y＝100)＝0.6×0.8＝0.48，則Y的期望為E(Y)＝0×0.4＋80×0.12＋100×0.48＝57.6．因?yàn)镋(Y)＞E(X)，所以為使累計(jì)得分的期望最大，小明應(yīng)選擇先回答B(yǎng)類問題．求離散型隨機(jī)變量的均值、方差的步驟(1)理解隨機(jī)變量X的意義，寫出X可能取得的全部值．(2)求X的每個(gè)值的概率．(3)寫出X的分布列．(4)由均值定義求出E(X)，D(X)．注意E(aX＋b)＝aE(X)＋b，D(aX＋b)＝a2·D(X)的應(yīng)用．

ξ04080120160P例3

為加快新冠肺炎檢測效率，某檢測機(jī)構(gòu)采取“k合1檢測法”，即將k個(gè)人的拭子樣本合并檢測，若為陰性，則可確定所有樣本都是陰性的，若為陽性，則還需要對(duì)本組的每個(gè)人再做檢測．現(xiàn)有100人，已知其中2人感染病毒．考點(diǎn)3均值與方差在實(shí)際問題中的應(yīng)用——綜合性

X2030P

Y2530P利用期望與方差進(jìn)行決策的方法(1)若我們比較兩個(gè)隨機(jī)變量的差別時(shí)，可先求隨機(jī)變量ξ1，ξ2的期望，當(dāng)E(ξ1)＝E(ξ2)時(shí)，需要用D(ξ1)，D(ξ2)來進(jìn)一步比較這兩個(gè)隨機(jī)變量的偏離程度，從平均水平和離散程度兩個(gè)方面進(jìn)行比較．(2)若我們希望比較穩(wěn)定時(shí)，應(yīng)先考慮方差，再考慮均值是否相等或者接近．