馬爾可夫骨架過(guò)程理論在肥胖癥中的應(yīng)用

馬爾可夫骨架過(guò)程理論在肥胖癥中的應(yīng)用

0控食健康的影響你的體重正常嗎？你可以通過(guò)聯(lián)合國(guó)組織公布的所謂體重指數(shù)（簡(jiǎn)記為bmi）來(lái)測(cè)量。bmi被定義為以體重（單位：kg）為基礎(chǔ)的水平（單位：m）的比例。根據(jù)這一點(diǎn)，bmi通常為18.5-25，大于25，超過(guò)30，呈胖。中國(guó)的相關(guān)機(jī)構(gòu)考慮到了中國(guó)當(dāng)?shù)厝说奶攸c(diǎn)，計(jì)劃將25改為24和30。在國(guó)人逐漸過(guò)上小康生活后,不少自己感覺肥胖的人紛紛奔向減肥藥品、食品的專柜,可是大量事實(shí)說(shuō)明,多數(shù)減肥藥品、食品根本達(dá)不到減肥的目標(biāo),或者即使能減肥一時(shí),也難以維持下去,許多醫(yī)生和專家的意見是只有通過(guò)控制飲食和適當(dāng)?shù)倪\(yùn)動(dòng),才能在不傷害身體的條件下,達(dá)到適當(dāng)減輕體重并維持下去的目的.通常,當(dāng)體內(nèi)能量守恒被破壞時(shí)就會(huì)引起體重的變化,人們通過(guò)飲食吸收熱量,轉(zhuǎn)化為脂肪等,導(dǎo)致體重增加;又由于代謝和運(yùn)動(dòng)消耗熱量,引起體重減少.減肥時(shí)應(yīng)以不傷害身體為前提,即吸收熱量不要過(guò)少,減少體重不要過(guò)快最好.在以前對(duì)減肥模型的討論中,都是對(duì)模型進(jìn)行假設(shè),然后列出一個(gè)差分方程,對(duì)其求解,從而對(duì)以后體重作出估算,但是對(duì)于在任一時(shí)刻t的體重L(t)的瞬時(shí)分布所滿足的方程組,至今還沒有討論過(guò),本文將利用中南大學(xué)侯振挺教授等人提出的馬爾可夫骨架過(guò)程理論來(lái)討論減肥模型,并對(duì)減肥模型進(jìn)行馬爾可夫骨架過(guò)程建模,得出結(jié)論:在任一時(shí)刻t的體重L(t)的瞬時(shí)分布是某一方程的最小非負(fù)解.1nn及n0且n假設(shè)(E,ε)是可測(cè)空間,X={X(t,ω),0≤t<∞}是定義在完備概率空間(Ω,F,P)上取值于(E,ε)的隨機(jī)過(guò)程.定義1稱隨機(jī)過(guò)程X={X(t,ω),0≤t<∞}為馬爾可夫骨架過(guò)程,如果存在一停時(shí)列{τn}n≥0,滿足(C1)τ0=0且τn↑∞,并對(duì)任意的n≥0,τn<∞?τn<τn+1;(C2)對(duì)于一切n=0,1,…,有τn+1=τn+θτnτ1;(C3)對(duì)于每個(gè)τn和任意定義在E[0,∞)上有的界ε[0,∞)—可測(cè)函數(shù)f,有E[f(X(τn+·))|FXτnXτn]=E[f(X(τn+·))|X(τn)],P-a.s.定理1設(shè)X={X(t),t≥0}是以{τn}∞n=0為骨架時(shí)序列的正則馬爾可夫骨架過(guò)程,則對(duì)于任意的x∈E,t≥0,A∈ε,有Ρ(x,t,A)=h(x,t,A)+∫E∫t0(∞∑n=1q?n?(x,ds,dy))h(y,t-s,A)從而{P(x,t,A)}是如下非負(fù)方程組的最小非負(fù)解:P(x,t,A)=h(x,t,A)+∫E∫t0q(x,ds,dy))p(y,t-s,A)更多的馬爾可夫骨架過(guò)程知識(shí)可參看或或.2模型a:吸收熱量法本文將利用馬爾可夫骨架過(guò)程理論來(lái)考慮減肥數(shù)學(xué)模型,根據(jù)引言中的分析,并參考有關(guān)生理數(shù)據(jù),作出如下假設(shè):假定在時(shí)刻0某要減肥人的體重為i個(gè)單位(i>0).由于體重的增加或減少都是連續(xù)的,但這樣在實(shí)際中操作性太差,因此在模型中我們體重的增加與減少作為離散型來(lái)處理,即每次只考慮增加或減少一個(gè)單位的體重,具體如下:①體重的增加正比于吸收熱量,假定每次增加一個(gè)單位的體重,且增加體重的時(shí)間間隔am獨(dú)立同分布.其分布函數(shù)為:A(t)=P(am≤t)②運(yùn)動(dòng)量引起的體重減少正比于體重,且與運(yùn)動(dòng)形式有關(guān),假定每次減少一個(gè)單位的體重,且減少體重的時(shí)間間隔bm獨(dú)立同分布.其分布函數(shù)為:B(t)=P(bm≤t)③正常代謝引起的體重減少正比于體重,假定每次減少一個(gè)單位的體重,且減少體重的時(shí)間間隔dm獨(dú)立同分布.其分布函數(shù)為:D(t)=P(dm≤t)在此模型中,我們只考慮在這三個(gè)因素對(duì)體重的影響,而對(duì)于代謝消耗系數(shù)、個(gè)人特殊的生理?xiàng)l件等因素不予考慮.用L(t)表示時(shí)刻t此人的體重,由假設(shè)可知L(t)一般不是馬爾可夫過(guò)程,現(xiàn)利用中的方法引進(jìn)補(bǔ)充變量:ˉθ(t),?θ(t),?θ(t).ˉθ(t)表示到時(shí)刻t為止已有多長(zhǎng)時(shí)間此人未增加一個(gè)單位的體重;?θ(t)表示到時(shí)刻t為止已有多長(zhǎng)時(shí)間此人沒有因?yàn)檫\(yùn)動(dòng)而減少一個(gè)單位的體重;?θ(t)表示到時(shí)刻t為止已有多長(zhǎng)時(shí)間此人沒有因?yàn)檎４x而減少一個(gè)單位的體重.則{L(t)?ˉθ(t),?θ(t),?θ(t)}為一馬爾可夫過(guò)程.以上假設(shè)中,am,bm,dm均相互獨(dú)立,m∈Z.3下面利用馬爾可夫骨架過(guò)程理論來(lái)討論減肥模型:以B表示IR+=[0,∞)上所有的Borel集的全體,假設(shè)τ0≡0,τ1,τ2,…,τn(n≥1)表示其一系列斷點(diǎn),即在{τn},(n≥1)處此人增加一個(gè)單位的體重;或者此人因?yàn)檫\(yùn)動(dòng)而減少一個(gè)單位的體重;或者此人因?yàn)檎４x而減少一個(gè)單位的體重;或者以上兩個(gè)、三個(gè)事件同時(shí)發(fā)生.則{L(t)?ˉθ(t),?θ(t),?θ(t)}也是以{τn},(n≥1)為其骨架時(shí)序列的馬爾可夫骨架過(guò)程.令A(yù)ˉθ(t)=A(ˉθ+t)-A(ˉθ)1-A(ˉθ)B?θ(t)=B(?θ+t)-B(?θ)1-B(?θ)D?θ(t)=D(?θ+t)-D(?θ)1-D(?θ)顯然以上三式分別表示此人增加一個(gè)單位的體重、此人因?yàn)檫\(yùn)動(dòng)而減少一個(gè)單位的體重、此人因?yàn)檎４x而減少一個(gè)單位的體重的剩余時(shí)間分布.顯然有:τn↑+∞,(n→+∞),對(duì)于i＞0?j＞0?ˉθ,?θ,?θ∈ΙR+?ˉA,?A,?A∈B(ΙR+).令h(i,ˉθ,?θ,?θ,j,ˉA,?A,?A?t)=Ρ{L(t)=j,ˉθ(t)∈ˉA??θ(t)∈?A??θ(t)∈?A?t＜τ1|L(0)=i,ˉθ(0)=ˉθ,?θ(0)=?θ,?θ(0)=?θ}q(i,ˉθ,?θ,?θ,ds,j,ˉA,?A,?A)=Ρ{τ1∈ds?L(τ1)=j,ˉθ(τ1)∈ˉA??θ(τ1)∈?A??θ(τ1)∈?A|L(0)=i,ˉθ(0)=ˉθ,?θ(0)=?θ,?θ(0)=?θ}顯然有引理1h(i,ˉθ,?θ,?θ,j,ˉA,?A,?A?t)={0(1-Aˉθ(t))(1-B?θ(t))(1-D?θ(t))?ΙˉA(ˉθ+t)Ι?A(?θ+t)Ι?A(?θ+t)j≠ij=i從而我們有如下定理:定理2Ρ(i,ˉθ,?θ,?θ,j,ˉA,?A,?A?t)是下列非負(fù)線性方程的最小非負(fù)解,也是其唯一有界解:Ρ(i,ˉθ,?θ,?θ,j,ˉA,?A,?A?t)=h(i,ˉθ,?θ,?θ,j,ˉA,?A,?A?t)+∫t0(1-B?θ(s))((1-D?θ(s))dAˉθ(s)Ρ(i+1,0,?θ+s??θ+s?j,ˉA,?A,?A,t)+∫t0(1-Aˉθ(s))((1-D?θ(s))dB?θ(s)Ρ(i-1,ˉθ+s?0??θ+s?j,ˉA,?A,?A,t)+∫t0(1-Aˉθ(s))((1-B?θ(s))dD?θ(s)Ρ(i-1,ˉθ+s??θ+s?0?j,ˉA,?A,?A,t)+∑s≤t(Αˉθ(s)-Αˉθ(s-))(B?θ(s)-Β?θ(s-))?(1-D?θ(s))Ρ(i,0,0,?θ+s,j,ˉA,?A,?A?t)+∑s≤t(Αˉθ(s)-Αˉθ(s-))(1-B?θ(s))(D?θ(s)-D?θ(s-))Ρ(i,0,?θ+s,0,j,ˉA,?A,?A?t)+∑s≤t(1-Αˉθ(s))(B?θ(s)-Β?θ(s-))(D?θ(s)-D?θ(s-))Ρ(i-2,ˉθ+s?0,0,j,ˉA,?A,?A?t)+∑s≤t(Αˉθ(s)-Αˉθ(s-))(B?θ(s)-B?θ(s-))?(D?θ(s)-D?θ(s-))Ρ(i-1,0,0,0?j,ˉA,?A,?A?t)(以上i＞0?j＞0?ˉθ,?θ,?θ∈ΙR+,ˉA,?A,?A∈B(ΙR+)證明:因?yàn)閧L(t),ˉθ(t),?θ(t),?θ(t)}為一馬爾可夫過(guò)程,也是以{τn}為其骨架時(shí)序列的馬爾可夫骨架過(guò)程,易知{L(t),ˉθ(t),?θ(t),?θ(t)}是正則的,由定理1立得本定理.定理3若A(t),B(t),D(t)皆為連續(xù)函數(shù),則Ρ(i,ˉθ,?θ,?θ,j,ˉA,?A,?A?t)是下列非負(fù)線性方程的最小非負(fù)解,也是其唯一有界解:Ρ(i,ˉθ,?θ,?θ,j,ˉA,?A,?A?t)=h(i,ˉθ,?θ,?θ,j,ˉA,?A,?A?t)+∫t0(1-B?θ(s))(1-D?