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文檔簡介
一類5維3-李代數(shù)的結(jié)構(gòu)
近年來,n-李代的研究非常活躍,尤其是對(duì)于研究3-李代。這是因?yàn)樵谙覙防碚撝校?m-布雷納的重要模型是基于測量3-李代。因此,3-李代結(jié)構(gòu)研究非常重要。在這項(xiàng)工作中,我們進(jìn)一步研究了5-李代結(jié)構(gòu)的結(jié)構(gòu)。首先,本文給出了基本概念和基本結(jié)論,并參考了文獻(xiàn)。設(shè)A是一個(gè)n-李代數(shù),對(duì)任意x∈A,xi∈A,i=1,2,…,n-1,線性變換ad(x1,…,xn-1)∶A→A,ad(x1,…xn-1)(x)=[x1,…,xn-1,x],稱為由元素x1,x2,…,xn-1∈A所決定的A的左乘算子.n-李代數(shù)A的導(dǎo)子D是A到自身的線性變換,滿足條件D([x1,?,xn])=n∑i=1[x1,?,D(xi),?,xn].AD([x1,?,xn])=∑i=1n[x1,?,D(xi),?,xn].A的所有導(dǎo)子生成的gl(A)的子代數(shù)稱為A的導(dǎo)子代數(shù),記為Der(A),記L(A)為所有左乘算子及其線性組合生成的子代數(shù)即內(nèi)導(dǎo)子李代數(shù).文獻(xiàn)分別給出了特征為2的域上5維3-李代數(shù)的分類,并研究了其內(nèi)導(dǎo)子代數(shù)的結(jié)構(gòu).本文將研究導(dǎo)代數(shù)的維數(shù)等于4時(shí)的5維3-李代數(shù)的可解性,冪零性及其導(dǎo)子代數(shù)的結(jié)構(gòu).文中假設(shè)F是二元域Z2.首先給出下列引理.引理1設(shè)A是F上的5維3-李代數(shù),e1,…,e5是它的一組基.假設(shè)dimA1=4,A1=Fe1+Fe2+Fe3+Fe4,在同構(gòu)的意義下A的結(jié)構(gòu)僅有如下幾類:(e1){[e1,e2,e3]=e4?[e1,e2,e4]=e3?[e1,e3,e4]=e2?[e2,e3,e4]=e1;(e2){[e1,e2,e3]=e3?[e1,e2,e4]=e4?[e1,e3,e4]=e2?[e2,e3,e4]=e1;(e3){[e1,e2,e3]=e1?[e1,e2,e4]=e2?[e1,e3,e4]=e3?[e2,e3,e4]=e4;(e4){[e2,e3,e4]=e1?[e2,e3,e5]=e4?[e2,e4,e5]=e3?[e3,e4,e5]=e2.定理1設(shè)A是F上的5維3-李代數(shù),dimA1=4,有下列結(jié)論:1)若A是(e1),(e2)和(e3)類,則A是約化的3-李代數(shù),A=A4.+Ζ(A)(是理想的直和),其中Z(A)=Fe5,單的4維3-李代數(shù)A4是A的單理想.2)若A是(e4)類,則A不可分解,且A是3-可解但非2-可解的3-李代數(shù),A的2-可解根基R2(A)=Z(A)=Fe1.證明:若A是(e1),(e2)和(e3)類,由乘法表可知Ζ(A)=Fe5?A=A1.+Fe5?A1=Fe1+Fe2+Fe3+Fe4是單的4維3-李代數(shù)A4,A4是A的理想.所以A是約化的3-李代數(shù).若A是(e4)類,由乘法表易見A是不可分解的3-李代數(shù),Z(A)=Fe1?A1.因?yàn)锳1=[A,A,A]=Fe1+Fe2+Fe3+Fe4,A(s,2)=[A(s-1,2),A(s-1,2),A]=A1≠0,s≥1.所以,A非2-可解.又對(duì)A的任意異于Z(A)的非零理想I,設(shè)非零向量x=a1e1+a2e2+a3e3+a4e4+a5e5∈I,則存在i>1使得ai≠0.若i=5,由乘法表可知[x,e3,e4]=a5e2+a2e1∈I,所以e2∈I.同理可知e3,e4∈I.得到A1?I.若i<5,不妨設(shè)i=2,則[x,e3,e5]=a2e4+a4e2∈I,[a2e4+a4e2,e5,e3]=a2e2∈I,得到e2∈I.再由乘法表可知e3,e4∈I,因此,e1∈I.證得A1?I,所以A1是A的最小理想.但A1是非可解理想,所以R2(A)=Z(A)=Fe1.再由A(2,3)=[A1,A1,A1]=Fe1,A(3,3)=[A(2,3),A(2,3),A(2,3)]=0,A是3-可解的3-李代數(shù).證畢.現(xiàn)在假設(shè)e1,e2,e3,e4,e5為A的一組基,其乘法表分別為引理1中的各種情形.對(duì)A的任意導(dǎo)子D,即?D∈DerA,令Dei=5∑j=1ajiej,則D在基e1,e2,e3,e4,e5下的矩陣形式為D=5∑i,j=1aijEij,其中aij∈F.則有如下結(jié)論.定理2設(shè)A是F上的5維3-李代數(shù),e1,…,e5是一組基.假設(shè)dimA1=4,則1)當(dāng)A是(e1)類時(shí),A的導(dǎo)子代數(shù)如下Der(A)=F(E12+E21)+F(E13+E31)+F(E14+E41)+F(E23+E32)+F(E24+E42)+F(E34+E43)+F(E11+E22)+F(E11+E33)+F(E11+E44)+FE55=L(A)+F(E11+E22)+F(E11+E33)+F(E11+E44)+FE55.2)當(dāng)A是(e2)類時(shí),Der(A)=F(E12+E21)+F(E13+E41)+F(E14+E31)+F(E23+E42)+F(E24+E32)+F(E33+E44)+FE34+FE43+F(E11+E22)+FE55=L(A)+FE34+FE43+F(E11+E22)+FE55.3)當(dāng)A是(e3)類時(shí),Der(A)=F(E11+E44)+F(E22+E33)+F(E12+E34)+F(E13+E24)+F(E21+E43)+F(E31+E42)+FE14+FE23+FE41+FE32+FE55=L(A)+FE14+FE23+FE41+FE32+FE55.4)當(dāng)A是(e4)類時(shí),Der(A)=F(E12+E25)+F(E13+E35)+F(E14+E45)+F(E23+E32)+F(E24+E42)+F(E34+E43)+F(E22+E44)+F(E33+E44)+FE15+F(E11+E44+E55)=L(A)+F(E22+E44)+F(E33+E44)+FE51+F(E11+E44+E55).證明:首先證明1)設(shè)D是A的任意一個(gè)導(dǎo)子,由乘法表可知D([e1,e2,e3])=a11e4+a41e1+a22e4+a42e2+a33e4+a43e3=D(e4)=5∑j=1aj4ej=a14e1+a24e2+a34e3+a44e4+a54e5?D([e1,e2,e4])=a11e3+a31e1+a22e3+a32e2+a44e3+a34e4=D(e3)=5∑j=1aj3ej=a13e1+a23e2+a33e3+a43e4+a53e5?D([e1,e2,e5])=a35e4+a45e3=0,D([e3,e4,e5])=a15e2+a25e1=0?D([e1,e3,e4])=a11e2+a21e1+a23e3+a33e2+a24e4+a44e2=D(e2)=5∑j=1aj2ej=a12e1+a22e2+a32e3+a42e4+a52e5?D([e1,e3,e5])=a25e4+a45e2=0,D([e1,e4,e5])=a25e3+a35e2=0?D([e2,e3,e5])=a15e4+a45e1=0,D([e2,e4,e5])=a15e3+a35e1=0?D([e2,e3,e4])=a22e1+a12e2+a13e3+a33e1+a14e4+a44e1=D(e1)=5∑j=1aj1ej=a11e1+a21e2+a31e3+a41e4+a51e5?得a12=a21,a13=a31,a14=a41,a11+a22+a33=a44,a23=a32,a24=a42,a34=a43,a22+a33+a44=a11,ai5=a5i=0,i=1,2,3,4.所以導(dǎo)子代數(shù)為Der(A)=F(E12+E21)+F(E13+E31)+F(E14+E41)+F(E23+E32)+F(E24+E42)+F(E34+E43)+F(E11+E22)+F(E11+E33)+F(E11+E44)+FE55=L(A)+F(E11+E22)+F(E11+E33)+F(E11+E44)+FE55,其中ad(3,4)=E12+E21,ad(2,4)=E13+E31,ad(2,3)=E14+E41,ad(1,4)=E23+E32,ad(1,3)=E24+E42,ad(1,2)=E34+E43.2)當(dāng)A是(e2)類時(shí),設(shè)D是A的任意一個(gè)導(dǎo)子,由乘法表可知D([e1,e2,e3])=a11e3+a41e1+a22e3+a42e2+a33e3+a43e4=D(e3)=5∑j=1aj3ej=a13e1+a23e2+a33e3+a43e4+a53e5?D([e1,e2,e4])=a11e4+a31e1+a22e4+a32e2+a44e4+a34e3=D(e4)=5∑j=1aj4ej=a14e1+a24e2+a34e3+a44e4+a54e5?D([e1,e2,e5])=a35e3+a45e4=0?D([e1,e3,e4])=a11e2+a21e1+a23e4+a33e2+a24e3+a44e2=D(e2)=5∑j=1aj2ej=a12e1+a22e2+a32e3+a42e4+a52e5?D([e1,e3,e5])=a25e3+a45e2=0,D([e1,e4,e5])=a25e4+a35e2=0?D([e2,e3,e4])=a12e2+a22e1+a13e4+a33e1+a14e3+a44e1=D(e1)=5∑j=1aj1ej=a11e1+a21e2+a31e3+a41e4+a51e5?D([e2,e3,e5])=a15e3+a45e1=0?D([e2,e4,e5])=a15e4+a35e1=0?D([e3,e4,e5])=a15e2+a25e1=0?得到a12=a21,a13=a41,a14=a31,a23=a42,a24=a32,a11+a22+a33=a33,a22+a33
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