數(shù)列型不等式放縮技巧

數(shù)列型不等式放縮技巧證明數(shù)列型不等式，因其思維跨度大、構(gòu)造性強，需要有較高的放縮技巧而充滿思考性和挑戰(zhàn)性，能全面而綜合地考查學生的潛能與后繼學習能力，因而成為高考壓軸題及各級各類競賽試題命題的極好素材。這類問題的求解策略往往是：通過多角度觀察所給數(shù)列通項的結(jié)構(gòu)，深入剖析其特征，抓住其規(guī)律進行恰當?shù)胤趴s；其放縮技巧主要有以下幾種：一利用重要不等式放縮均值不等式法例1設求證解析此數(shù)列的通項為，，即注：=1\*GB3①應注意把握放縮的“度”：上述不等式右邊放縮用的是均值不等式，若放成則得，就放過“度”了！=2\*GB3②根據(jù)所證不等式的結(jié)構(gòu)特征來選取所需要的重要不等式，這里其中，等的各式及其變式公式均可供選用。例2已知函數(shù)，若，且在[0，1]上的最小值為，求證：（02年全國聯(lián)賽山東預賽題）簡析例3已知為正數(shù)，且，試證：對每一個，.（88年全國聯(lián)賽題）簡析由得，又，故，而，令，則=，因為，倒序相加得=，而，則=，所以，即對每一個，.例4求證.簡析不等式左邊=，原結(jié)論成立.2．利用有用結(jié)論例5求證簡析本題可以利用的有用結(jié)論主要有：法1利用假分數(shù)的一個性質(zhì)可得即法2利用貝努利不等式的一個特例(此處)得注：例5是1985年上海高考試題，以此題為主干添“枝”加“葉”而編擬成1998年全國高考文科試題；進行升維處理并加參數(shù)而成理科姊妹題。如理科題的主干是：證明(可考慮用貝努利不等式的特例)例6已知函數(shù)求證：對任意且恒成立。（90年全國卷壓軸題）簡析本題可用數(shù)學歸納法證明，詳參高考評分標準；這里給出運用柯西（）不等式的簡捷證法：而由不等式得(時取等號)（），得證！例7已知用數(shù)學歸納法證明；對對都成立，證明（無理數(shù)）（05年遼寧卷第22題）解析結(jié)合第問結(jié)論及所給題設條件（）的結(jié)構(gòu)特征，可得放縮思路：。于是，即注：題目所給條件（）為一有用結(jié)論，可以起到提醒思路與探索放縮方向的作用；當然，本題還可用結(jié)論來放縮：，即例8已知不等式表示不超過的最大整數(shù)。設正數(shù)數(shù)列滿足：求證（05年湖北卷第（22）題）簡析當時，即于是當時有注：=1\*GB3①本題涉及的和式為調(diào)和級數(shù)，是發(fā)散的，不能求和；但是可以利用所給題設結(jié)論來進行有效地放縮；=2\*GB3②引入有用結(jié)論在解題中即時應用，是近年來高考創(chuàng)新型試題的一個顯著特點，有利于培養(yǎng)學生的學習能力與創(chuàng)新意識。例9設，求證：數(shù)列單調(diào)遞增且解析引入一個結(jié)論：若則（證略）整理上式得（）以代入（）式得即單調(diào)遞增。以代入（）式得此式對一切正整數(shù)都成立，即對一切偶數(shù)有，又因為數(shù)列單調(diào)遞增，所以對一切正整數(shù)有。注：=1\*GB3①上述不等式可加強為簡證如下：利用二項展開式進行部分放縮：只取前兩項有對通項作如下放縮：故有=2\*GB3②上述數(shù)列的極限存在，為無理數(shù)；同時是下述試題的背景：已知是正整數(shù)，且（1）證明；（2）證明（01年全國卷理科第20題）簡析對第（2）問：用代替得數(shù)列是遞減數(shù)列；借鑒此結(jié)論可有如下簡捷證法：數(shù)列遞減，且故即。當然，本題每小題的證明方法都有10多種,如使用上述例5所提供的假分數(shù)性質(zhì)、貝努力不等式、甚至構(gòu)造“分房問題”概率模型、構(gòu)造函數(shù)等都可以給出非常漂亮的解決！詳見文[1]。二部分放縮例10設求證：解析又（只將其中一個變成，進行部分放縮），，于是例11設數(shù)列滿足，當時證明對所有有；（02年全國高考題）解析用數(shù)學歸納法：當時顯然成立，假設當時成立即，則當時，成立。利用上述部分放縮的結(jié)論來放縮通項，可得注：上述證明用到部分放縮，當然根據(jù)不等式的性質(zhì)也可以整體放縮：；證明就直接使用了部分放縮的結(jié)論。三添減項放縮上述例5之法2就是利用二項展開式進行減項放縮的例子。例12設，求證.簡析觀察的結(jié)構(gòu)，注意到，展開得，即，得證.例13設數(shù)列滿足（Ⅰ）證明對一切正整數(shù)成立；（Ⅱ）令，判定與的大小，并說明理由（04年重慶卷理科第（22）題）簡析本題有多種放縮證明方法，這里我們對（Ⅰ）進行減項放縮，有法1用數(shù)學歸納法（只考慮第二步）；法2則四利用單調(diào)性放縮構(gòu)造數(shù)列如對上述例1，令則，遞減，有，故再如例5，令則，即遞增，有，得證！注：由此可得例5的加強命題并可改造成為探索性問題：求對任意使恒成立的正整數(shù)的最大值；同理可得理科姊妹題的加強命題及其探索性結(jié)論，讀者不妨一試！2．構(gòu)造函數(shù)例14已知函數(shù)的最大值不大于，又當時（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）設，證明（04年遼寧卷第21題）解析（Ⅰ）=1；（Ⅱ）由得且用數(shù)學歸納法（只看第二步）：在是增函數(shù)，則得例15數(shù)列由下列條件確定：，．（I）證明：對總有；(II)證明：對總有（02年北京卷第（19）題）解析構(gòu)造函數(shù)易知在是增函數(shù)。當時在遞增故對(II)有，構(gòu)造函數(shù)它在上是增函數(shù)，故有，得證。注：=1\*GB3①本題有著深厚的科學背景：是計算機開平方設計迭代程序的根據(jù)；同時有著高等數(shù)學背景—數(shù)列單調(diào)遞減有下界因而有極限：=2\*GB3②是遞推數(shù)列的母函數(shù)，研究其單調(diào)性對此數(shù)列本質(zhì)屬性的揭示往往具有重要的指導作用。五換元放縮例16求證簡析令，這里則有，從而有注：通過換元化為冪的形式，為成功運用二項展開式進行部分放縮起到了關(guān)鍵性的作用。例17設，，求證.簡析令，則，，應用二項式定理進行部分放縮有，注意到，則（證明從略），因此六遞推放縮遞推放縮的典型例子，可參考上述例11中利用部分放縮所得結(jié)論進行遞推放縮來證明，同理例7中所得和、例8中、例13（Ⅰ）之法2所得都是進行遞推放縮的關(guān)鍵式。七轉(zhuǎn)化為加強命題放縮如上述例11第問所證不等式右邊為常數(shù)，難以直接使用數(shù)學歸納法，我們可以通過從特值入手進行歸納探索、或運用逆向思維探索轉(zhuǎn)化為證明其加強命題：再用數(shù)學歸納法證明此加強命題，就容易多了（略）。例18設，定義，求證：對一切正整數(shù)有解析用數(shù)學歸納法推時的結(jié)論，僅用歸納假設及遞推式是難以證出的，因為出現(xiàn)在分母上！可以逆向考慮：故將原問題轉(zhuǎn)化為證明其加強命題：對一切正整數(shù)有（證明從略）例19數(shù)列滿足證明（01年中國西部數(shù)學奧林匹克試題）簡析將問題一般化：先證明其加強命題用數(shù)學歸納法，只考慮第二步：因此對一切有八分項討論例20已知數(shù)列的前項和滿足（Ⅰ）寫出數(shù)列的前3項；（Ⅱ）求數(shù)列的通項公式；（Ⅲ）證明：對任意的整數(shù)，有（04年全國卷