基于時滯的古諾競爭模型

基于時滯的古諾競爭模型

寡婦市場由一些制造商控制。這些制造商經(jīng)營相同或相似的產(chǎn)品。所有制造商都在追求最大的利益。雙寡頭市場是一種現(xiàn)實(shí)中普遍存在的經(jīng)濟(jì)市場,在這種市場中,廠商不僅要根據(jù)市場需求、成本函數(shù)還要根據(jù)對手的行為來進(jìn)行產(chǎn)量決策。有著比壟斷市場更為復(fù)雜的經(jīng)濟(jì)行為。近年來,一些學(xué)者對雙寡頭市場進(jìn)行了研究,Bischi等給出了有限理性調(diào)整型壟斷市場的一般形式,并研究了這種特性下系統(tǒng)的全局以及局部穩(wěn)定性。Ahmed等運(yùn)用Jury條件研究了有限理性調(diào)整的Puu模型,并研究了具有有界理性特征的貝葉斯模型。Agiza等研究了當(dāng)成本函數(shù)為非線性時的有限理性調(diào)整的雙寡頭模型,并推廣到了三寡頭模型。FangChen,JunHaiMa,XiaoQiangChen等研究了我國3G市場的三寡頭市場模型。A.A.Elsadany研究了在最優(yōu)反應(yīng)中競爭對手的產(chǎn)量上加入時滯,并給予權(quán)重分配的有限理性調(diào)整型雙寡頭競爭,并數(shù)值仿真得出了在相同參數(shù)下,將混沌推遲在0.332附近時出現(xiàn)的結(jié)論。鞏永華等研究了不同博弈構(gòu)式下的三寡頭競爭模型。另外,在其他的一些文獻(xiàn)中研究了有限理性調(diào)整型廠商參與競爭的寡頭市場模型,但是現(xiàn)實(shí)很多情況中市場是具有記憶性的,做出產(chǎn)量調(diào)整決策時考慮到上一時期甚至上上時期的產(chǎn)出為參考是非常有必要的。本文建立并分析一類在調(diào)整函數(shù)中引入時滯并分配權(quán)重的有限理性調(diào)整型廠商參與競爭的寡頭模型,更為有效延遲混沌出現(xiàn)。第1節(jié)建立需求函數(shù)為線性的帶時滯有限理性調(diào)整型廠商的雙寡頭競爭。第2節(jié)推廣并結(jié)合實(shí)際對我國3G通信市場三寡頭模型作了分析。并進(jìn)行了數(shù)值仿真。第3節(jié)結(jié)論。1有限理性調(diào)整型廠商的產(chǎn)量在一個古諾雙寡頭競爭中,qi(t)表示第i個廠商在t時期的產(chǎn)量,i=1,2。p(qi(t)+qj(t)),i,j=1,2,i≠j表示t時期產(chǎn)品逆需求函數(shù),具有如下形式:p(t)=f(Q)=a-bQ(t)(1)其中,Q(t)=q1(t)+q2(t)為總產(chǎn)量,a,b為非負(fù)的參數(shù),a表示市場上該產(chǎn)品的最高價格。Ci(qi(t))表示第i個廠商的成本。那么第i個廠商的利潤函數(shù)為:Πi(t)=f(Q(t))qi(t)-Ci(qi)(2)廠商i在t+1時期的使利潤最大化的產(chǎn)量是基于對對手j的預(yù)期反應(yīng)采取的,廠商i的最優(yōu)反應(yīng)為:qi(t+1)=ri(qej(t+1))=argmax[p(qi(t)+qej(t+1))qi(t)-Ci(qi(t))](3)qej(t+1)為廠商i對競爭對手j的下一步的預(yù)期產(chǎn)量。在古諾模型中qej(t+1)=qj(t)。假設(shè)廠商為有限理性調(diào)整型廠商,它們根據(jù)邊際利潤?Πi(qi(t),qej(t+1))?qi(t)?i,j=1,2,i≠j來調(diào)整自己的產(chǎn)量,有如下形式:qi(t+1)=qi(t)+αi(qi(t))?Πi(qi(t),qej(t+1))?qi(t),i,j=1,2.i≠j(4)αi(qi)為第i個廠商的調(diào)整參數(shù)函數(shù)。在很多文章的研究中都采取了αi(qi)=αiqi(t)這種形式。若考慮根據(jù)qi(t-1),qi(t-2),…等時期的產(chǎn)量,并分配不同的權(quán)重,則更加符合實(shí)際情況。因此,本文的有限理性調(diào)整型廠商的產(chǎn)量具有如下形式:qi(t+1)=qi(t)+αi(qD)?Πi(qi(t),qej(t+1))?qi(t),i,j=1,2,i≠j(5)qD=Τ∑i=0qi(t-l)ωl,ωl≠0,Τ∑l=0ωl=1,l=0,1,2,?,Τ?ωl為權(quán)重。令T=1,Ci(qi(t))=ciqi(t),ci(i=1,2)為廠商i單位產(chǎn)品的總變動成本。代入(5)中則有{q1(t+1)=q1(t)+α1[ω1q1(t)+(1-ω1)q1(t-1)]?(a-c1-2bq1(t)-bq2(t))q2(t+1)=q2(t)+α2[ω2q2(t)+(1-ω2)q2(t-1)]?(a-c2-2bq2(t)-bq1(t))(6)令mi(t+1)=qi(t)則為如下的四維系統(tǒng):{m1(t+1)=q1(t)m2(t+1)=q2(t)q1(t+1)=q1(t)+α1[ω1q1(t)+(1-ω1)m1(t)]?(a-c1-2bq1(t)-bq2(t))q2(t+1)=q2(t)+α2[ω2q2(t)+(1-ω2)m2(t)]?(a-c2-2bq2(t)-bq1(t))(7)四個均衡點(diǎn)為:E0=(0,0,0,0)E1=(a-c12b,0,a-c12b,0)E2=(0,a-c22b,0,a-c22b)E*=(q*1,q*2,q*1,q*2)(8)其中,q*1=a+c2-2c13b?q*2=a+c1-2c23b.E0,E1,E2為有界均衡,當(dāng){2c1-c2<a2c2-c1<a(9)時E*為Nash均衡點(diǎn)。對于系統(tǒng)中任一點(diǎn)(m1,m2,q1,q2)處的雅可比矩陣有下列形式:J(m1,m2,q1,q2)=[00100001A10B1C10A2B2C2](10)A1=α1(1-ω1)(a-c1-2bq1-bq2)A2=α2(1-ω2)(a-c2-2bq2-bq1)B1=1+α1ω1(a-c1-bq2)-4bα1ω1q1-2bα1(1-ω1)m1(t)B2=1+α2ω2(a-c2-bq1)-4bα2ω2q2-2bα2(1-ω2)m2(t)C1=-α1b[ω1q1+(1-ω1)m1(t)]C2=-α2b[ω2q2+(1-ω2)m2(t)]均衡點(diǎn)處的穩(wěn)定性可通其在過雅可比矩陣處的特征值并利用Jury條件判定可知:E0為不穩(wěn)定點(diǎn),此時各廠商的產(chǎn)量均為0,無經(jīng)濟(jì)學(xué)意義。E1,E2為鞍點(diǎn)。當(dāng)滿足一定的Jury條件時E*是漸近穩(wěn)定的。用類似的方法,可以研究在三寡頭模型中的情況。圖1中文獻(xiàn)研究的模型中廠商1的產(chǎn)量隨α1的變化圖在0.337附近出現(xiàn)分岔,而本文研究的模型中廠商1的產(chǎn)量隨α1的變化是在0.65附近出現(xiàn)的分岔現(xiàn)象,表明系統(tǒng)(7)的時滯作用更為明顯。2市場記憶性加入時滯實(shí)際應(yīng)用及分析2008年開始,3G技術(shù)開始大力發(fā)展。我國的3G通信市場是由中國移動、中國聯(lián)通、中國電信三寡頭壟斷的市場,三家公司取得了不同的3G網(wǎng)絡(luò)通行證,分別為TD-SCDMA、WMCDA、CDMA2000網(wǎng)絡(luò),而3G市場的競爭主導(dǎo)實(shí)質(zhì)上為是產(chǎn)品價格的競爭,且產(chǎn)品之間有一定的替代性。文獻(xiàn)給出聯(lián)通的的生產(chǎn)函數(shù)(即售出函數(shù))為:Q1′其中,a1,b1,c1,d1>0,c1,d1表示廠商之間產(chǎn)品價格的替代程度。Pi(i=1,2,3)為價格。根據(jù)假設(shè)可以得到聯(lián)通公司在t時期的利潤函數(shù)為:Π1(t)=Ρ1(t)Q′1(t)(12)由于市場信息的不完備性,商家會考慮采用有限理性調(diào)整型策略。三家廠商價格競爭是比較透明的,因此考慮三家廠商均采用此策略。將t-1時期的產(chǎn)品銷售量作為參考的依據(jù)加入模型中,使模型更符合實(shí)際。則得到的我國3G市場的競爭模型為:{Μ1(t+1)=Ρ1(t)Μ2(t+1)=Ρ2(t)Μ3(t+1)=Ρ3(t)Ρ1(t+1)=Ρ1(t)+α1(ω1Ρ1(t)+(1-ω1)Μ1(t))?(a1-2b1Ρ1(t)+c1Ρ2(t)+d1Ρ3(t))Ρ2(t+1)=Ρ2(t)+α2(ω2Ρ2(t)+(1-ω2)Μ2(t))?(a2+b2Ρ1(t)-2c2Ρ2(t)+d2Ρ3(t))Ρ3(t+1)=Ρ3(t)+α3(ω3Ρ3(t)+(1-ω3)Μ3(t))?(a3+b3Ρ1(t)+c3Ρ2(t)-2d3Ρ3(t))(13)當(dāng)模型中參數(shù)取值為α2=0.5,α3=0.55,a1=2.1,b1=0.5,c1=0.15,d1=0.1,a2=1.6,b2=0.12,c2=0.4,d2=0.18,a3=2.3,b3=0.1,c3=0.1,d3=0.5,ω1=ω2=ω3=0.6時,圖2為系統(tǒng)(13)與不考慮市場時滯的模型的對比圖。圖2表示的是未加入時滯時聯(lián)通公司隨α1的變化圖與加入時滯以后系統(tǒng)(13)中聯(lián)通公司隨α1的對比變化圖。前者在0.83左右出現(xiàn)分岔,而后者將其推遲到0.92附近?？梢钥闯龌煦绶植淼痊F(xiàn)象延遲了。由于是面對客戶群直接宣傳,處于市場競爭中的三家公司其價格對對手而言都是比較透明的,三家公司在競爭中并不能立即達(dá)到納什均衡點(diǎn),必須要經(jīng)過很多輪的博弈。因此,當(dāng)一個競爭公司加速對價格的調(diào)整速度時,比如聯(lián)通公司不斷推出更新更優(yōu)惠的套餐吸引客戶,引起移動和電信兩家公司降價以對。如此就會使競爭加劇,從而出現(xiàn)分叉混沌等現(xiàn)象。這種現(xiàn)象的出現(xiàn)對三個公司而言都是不利的。短時間來看可能會在一段時間內(nèi)一個公司獲利獲的大批的客戶,客戶會根據(jù)價格來選擇公司,但是一旦出現(xiàn)混沌現(xiàn)象價格的跳動過于頻繁則不利于客戶群的穩(wěn)定,無論是對于廠商還是客戶都是不利的。無法根據(jù)情況制定下一步的策略還容易盲目的陷入價格戰(zhàn)里?，F(xiàn)實(shí)中三家公司往往會采取延長優(yōu)惠周期、維系固定客戶群、定期推出優(yōu)惠活動、提高技術(shù)穩(wěn)定網(wǎng)絡(luò)等手段使市場保持穩(wěn)定。而本文中考慮市場記憶性加入時滯則可以延緩混沌現(xiàn)象的產(chǎn)生,使三寡