上海市上海中學(xué)2010高二下數(shù)學(xué)期中試題

上海市上海中學(xué)2010高二下數(shù)學(xué)期中試題班級___________姓名___________學(xué)號___________得分___________一．填空題：（每小題3分）1、已知直線的一個方向向量為，且過點求直線的點方向式方程_____________．2、直線（）的傾斜角的取值范圍是_____________．3、拋物線的準(zhǔn)線方程為_____________．4、已知復(fù)數(shù)滿足（是虛數(shù)單位)，則_____________．5、已知，求_____________．6、在平面直角坐標(biāo)系中，若曲線與直線有且只有一個公共點，則實數(shù)_____________．7、經(jīng)過點且與圓相切的直線方程是_____________．8、若直線（）與雙曲線有一個公共點，求實數(shù)的取值集合_________．9、若為過橢圓中心的一條弦，是橢圓的一個焦點，則△的面積的最大值為_____________．10、在平面直角坐標(biāo)系中，為坐標(biāo)原點，已知兩點、，若點滿足，其中∈R，且，則點C的軌跡方程為_____________．二、選擇題(滿分12分,每小題3分)11、若復(fù)數(shù)(，為虛數(shù)單位)為純虛數(shù)，則[]A、；B、；C、；D、；12、若復(fù)數(shù)(、)，則下列正確的是[]A、；B、；C、；D、；13、若集合，，且，則的取值范圍是[]A、；B、； C、；D、；14、設(shè)為拋物線的焦點，、、為該拋物線上三點，若則[]A、； B、； C、； D、；三．解答題：15、（本題8分）已知是以、為焦點的雙曲線上的動點，求的重心的軌跡方程。16、（本題4+8=12分）已知：點與點的距離比它到直線的距離小，若記點的軌跡為曲線。（1）求曲線的方程。（2）若直線與曲線相交于、兩點，且。求證：直線過定點，并求出該定點的坐標(biāo)。17、（本題4+8=12分）已知拋物線，橢圓經(jīng)過點，它們在軸上有共同焦點，橢圓的對稱軸是坐標(biāo)軸。（1）求橢圓的方程；（2）若是橢圓上的點，設(shè)的坐標(biāo)為（是已知正實數(shù)），求與之間的最短距離。18、（本題4+8=12分）設(shè)復(fù)數(shù)（、）與復(fù)平面上點對應(yīng)。（1）若是關(guān)于的一元二次方程（）的一個虛根，且|，求實數(shù)的值。（2）設(shè)復(fù)數(shù)滿足條件（其中，），當(dāng)為奇數(shù)時，動點的軌跡為；當(dāng)為偶數(shù)時，動點的軌跡為，且兩條曲線都經(jīng)過點，求軌跡與的方程？19、（本題4+4+6=14分）雙曲線：上一點到左，右兩焦點距離的差為．（1）求雙曲線的方程；（2）設(shè)，是雙曲線的左右焦點，是雙曲線上的點，若，求的面積；（3）過作直線交雙曲線于，兩點，若，是否存在這樣的直線，使為矩形？若存在，求出的方程，若不存在，說明理由．參考答案和評分標(biāo)準(zhǔn)一．填空題1、；2、；3、；4、；5、；6、；7、；8、；9、；10、；二．選擇題：11、A；12、B；13、D；14、B；三．解答題15、設(shè)重心，點，因為，，則有，故代入，得所求軌跡方程，（）16、（1）解法（一）：點與點的距離比它到直線的距離小，所以點與點的距離與它到直線的距離相等。由拋物線定義得：點在以為焦點直線＋2＝0為準(zhǔn)線的拋物線上，拋物線方程為。解法（二）：設(shè)動點，則當(dāng)時，，化簡得：，顯然，但，故此時曲線不存在；當(dāng)時，，化簡得：。（2）設(shè)直線：與拋物線的交點為，①若斜率存在，設(shè)斜率為，則，整理后得，且，又，得由，得，即，直線為，所以過定點；②若斜率不存在，則的斜率為，，得，即直線過；綜上：直線恒過定點。17．解：（1）拋物線焦點為（1，0），設(shè)橢圓方程為，（），則，所以橢圓方程為。（2）設(shè)，則。當(dāng)時，，即時，；當(dāng)時，，即時，；綜上，。18解：（1）是方程的一個虛根，則是方程的另一個虛根則，所以（2）方法1：①當(dāng)為奇數(shù)時，，常數(shù)），軌跡為雙曲線，其方程為；②當(dāng)為偶數(shù)時，，常數(shù)），軌跡為橢圓，其方程為；依題意得方程組解得，因為，所以，此時軌跡為與的方程分別是：，.方法2：依題意得軌跡為與都經(jīng)過點，且點對應(yīng)的復(fù)數(shù)，代入上式得