北師大版高中數(shù)學(xué)2-3第三章統(tǒng)計案例.3可線性化的回歸分析導(dǎo)學(xué)案

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精1。3可線性化的回歸分析自主整理1。在具體問題中，我們首先應(yīng)該作出原始數(shù)據(jù)（x,y）的________________,從_____________中看出數(shù)據(jù)的大致規(guī)律,再根據(jù)這個規(guī)律選擇適當(dāng)?shù)膮?shù)進(jìn)行擬合。2。對于非線性回歸模型一般可轉(zhuǎn)化為_________________，從而得到相應(yīng)的回歸方程。高手筆記1。冪函數(shù)曲線y=axb.作變換μ=lny,v=lnxc=lna,得線性函數(shù)μ=c+bv.2。指數(shù)曲線y=aebx.作變換μ=lny,c=lna，得線性函數(shù)μ=c+bx.3.倒指數(shù)曲線y=aebx。作變換μ=lny,c=lna，v=，得線性函數(shù)μ=c+bv。4.對數(shù)函數(shù)y=a+blnx.作變換v=lnx，得線性函數(shù)y=a+bv。名師解惑如何根據(jù)原始數(shù)據(jù)求擬合函數(shù)？剖析:(1）可先由原始數(shù)據(jù)作散點圖.(2）對于一些函數(shù)模型的圖形要熟悉.如：①冪函數(shù)y=axb型的圖象為:②指數(shù)曲線y=aebx（3)倒指數(shù)曲線y=aebx(4）對數(shù)曲線y=a+blnx(3）由散點圖找出擬合函數(shù)的類型.（4）將非線性函數(shù)轉(zhuǎn)化為線性函數(shù).（5）求出回歸方程.講練互動【例1】某地今年上半年患某種傳染病人數(shù)y與月份x之間滿足函數(shù)關(guān)系模型為y=aebx，確定這個函數(shù)解析式.月份x123456人數(shù)y526168747883分析：函數(shù)模型為指數(shù)型函數(shù)，可轉(zhuǎn)化為線性函數(shù)，從而求出。解：設(shè)μ=lny，c=lna，則μ=c+bx。由已知X123456μ=lny3。954。114.224.3044。35674。4188=21，=25。3595，2=91,2=107。334,=90。3413，=3.5，=4。22658,b===0.09，c=-b=4。22658—0.09×3。5=3.91158，∴μ=3.91158+0.09x。∴y=e3。91158·e0.09x。綠色通道:基礎(chǔ)模型為指數(shù)型，可兩邊取對數(shù)轉(zhuǎn)化為線性函數(shù)關(guān)系，求出回歸方程..變式訓(xùn)練1。某工廠今年第一季度生產(chǎn)某種產(chǎn)品的數(shù)量分別是1萬件、1。2萬件、1.3萬件、1.37萬件,為了估測以后每個月的產(chǎn)量，可用函數(shù)y=aebx來模擬該產(chǎn)品的月產(chǎn)量y與月份x的關(guān)系，求模擬函數(shù)。解：設(shè)μ=lny,c=lna，則μ=c+bx。月份x1234產(chǎn)量y11.21。31。37x1234μ00.18230。26240.3148=10,=0。7595，2=30，2=0.2012，μi=2。411，=2.5,=0。1899,b====0。10245，c=-b=0.1899—0。10245×2.5=—0.066，∴μ=—0。066+0.10245x。y=e-0.066·e0.10245x?！纠?】某地區(qū)不同身高的未成年男性的體重平均值如表:身高x/cm60708090100110體重y/kg6.137.909.9912.1515.0217.50身高x/cm120130140150160170體重y/kg20.9226.8631.1138.8547.2555.05(1)畫出散點圖。(2）能否建立恰當(dāng)?shù)暮瘮?shù)模型使它能比較近似地反映這個地區(qū)未成年男性體重ykg與身高xcm的函數(shù)關(guān)系？試寫出這個函數(shù)模型的解析式.（3)若體重超過相同身高男性體重平均值的1.2倍為偏胖，低于0.8倍為偏瘦,那么這個地區(qū)一名身高為175cm，體重為78kg的在校男生的體重是否正常?解：（1)作散點圖。（2)從散點圖可看出函數(shù)模型為y=aebx型.設(shè)μ=lny，c=lna，則μ=c+bx.x60708090100110μ1.8132.0672。30162。4972。70942.862x120130140150160170μ3.0413.29063.43753.65973.85544。0082xi=1380，μi=35.5424，xi2=173000,xiμi=4369.249，=115，=2。9619,b==0。0197，c=-b=2.9619-0。0197×115=0。6964，∴μ=0。6964+0.0197x，y=e0.6964·e0。0197x.當(dāng)x=175時,μ=4。1439，∴y=eμ=e4.1439=63。048.=1。237＞1.2,此男子偏胖。綠色通道:根據(jù)給出的數(shù)據(jù)，畫出散點圖,選擇散點圖所符合的函數(shù)模型再轉(zhuǎn)化為線性關(guān)系解答。變式訓(xùn)練2。一只紅鈴蟲的產(chǎn)卵數(shù)y和溫度x有關(guān)，現(xiàn)收集了7組觀測數(shù)據(jù)如下表:溫度x/℃21232527293235產(chǎn)卵個數(shù)y/個711212466115325求y與x之間的回歸方程.解：（1）畫出散點圖。兩變量符合指數(shù)函數(shù)y=aebx.令μ=lny，c=lna，則μ=c+bx.x21232527293235μ1。9462.3983。0453。1784。1904。7455.784=192，=25.286，=5414，μi=733.741，=27。4286，=3。6123.b==0.272,c=-b=-3。843，∴μ=3。843+0。272x。y=e—3.843·e0.272x.同步測控我夯基，我達(dá)標(biāo)1.設(shè)在海拔xm處的大氣壓強是yPa，y與x之間的關(guān)系為y=cekx，其中c、k為常量,如果某游客從大氣壓為1。01×105Pa的海平面地區(qū),到了海拔為2400m、大氣壓為0。90×105Pa的一個高原地區(qū),則k與c的取值分別是()解析:將和分別代入y=cekx,得答案:A2。我國1990—2000年的國內(nèi)生產(chǎn)總值如下表所示.年份1990199119921993產(chǎn)值/億元18598.421662。526651.934560。5年份1994199519961997產(chǎn)值/億元46670.057494。966850。573142.7年份199819992000產(chǎn)值/億元76967。180422.889404。0則反映這一時期國內(nèi)生產(chǎn)總值發(fā)展變化的函數(shù)模型可能為（）A。y=aekxB。y=a+bxC.y=axbD。y=ae解析:畫出散點圖觀察,可用y=a+bx刻畫國民生產(chǎn)總值發(fā)展變化的趨勢。答案：B3。下列數(shù)據(jù)x，y符合哪一種函數(shù)模型（)x12345678910y22。6933.383.63.844.084。24.3A。y=2+13xB。y=2exC。y=2eD.y=2+lnx解析：取x=1，2，…，10分別代入各解析式判斷.答案：D4.指數(shù)曲線y=aebx的圖象為（）解析:∵y=aebx，∴a＞0時y＞0，排除A、C，且x∈R,排除D,選B.答案：B5。倒指數(shù)曲線y=ae的圖象為()解析:y=a,當(dāng)a＞0，b＞0時，圖象為A.答案：A6。冪函數(shù)曲線y=xb,當(dāng)b＞1時的圖象為(）解析：當(dāng)b＞1時，圖象為A，當(dāng)0＜b＜1時為B,當(dāng)b＜0時為C,當(dāng)b=1時為D。答案:A7。x、y滿足x0。20.61。01。21。41.61。82。02.2y0。040。3611.41。92.53.23.984.82則x、y之間符合函數(shù)模型____________________________.解析：畫出散點圖,形如y=xb，其中b=2。答案：y=x28。x、y滿足x—2—1.5-1-0。500.51y0.260。350。510.711.11.412。05則x、y之間符合函數(shù)模型____________________________.解析：畫出散點圖，形如y=a·ebx，其中a=2,b=1.答案：y=exln2我綜合，我發(fā)展9.若x,y滿足x0。10.20.30。512345y2096420。940.650。510。45則x,y滿足函數(shù)關(guān)系為____________________________。解析:畫出散點圖，形如y=,其中b=2.答案:y=10.若x、y滿足x0.40。512y0.0820.1350。36780.607x5102030y0.81870.90480。9510。9675則x、y滿足函數(shù)關(guān)系是____________________________.解析：畫出散點圖，當(dāng)x無限大時，y逐漸接近于1，符合函數(shù)模型y=aebx。其中a=1，b=-1。答案：y=11。為了研究某種細(xì)菌隨時間x變化繁殖的個數(shù)，收集數(shù)據(jù)如下:天數(shù)x/天123456繁殖個數(shù)y/個612254995190（1）作出y關(guān)于x的散點圖.（2）寫出y關(guān)于x的模擬函數(shù)。解:（1)作散點圖。（2）由散點圖知x、y之間滿足函數(shù)關(guān)系為y=aebx。設(shè)μ=lny，c=lna,則μ=c+bx.x123456μ1。79182.48493.21893。89184。55395.2470=21,=21。1883,2=91,μi=86.237，=3.5，=3.5314，b====0.69,c=-b=3。5314-0.69×3.5=1.1159,∴c=1.1159+0.69x.∴y=e1.1159·e0.69x。12.我國1950—1959年人口數(shù)據(jù)資料如下表：年份19501951195219531954時間t01234人數(shù)y/萬人5519656300574825879660266年份19551956195719581959時間t56789人數(shù)y/萬人6145662828645636599467207若y與t之間滿足y=aebt關(guān)系,求函數(shù)解析式;若按此增長趨勢估計大約在哪一年我國人口達(dá)到14億？解:設(shè)μ=lny，c=lna,則μ=c+bt。t0123μ10。918610。938410。959210。9818t4567μ11.006511。026111.048211.0754t89μ11.097311.1155=45，=110.1670，=285，μi=497。5936，=4.5,=11。0167,b===0。0223,c=-b=11.0167—0.0223×4。5=10。9164，∴μ=10。9164+0.0223t.y=e10。9164+0。0223t。令y=140000萬,則10.9164+0。0223t=ln140000=11。8494,∴t=41.8385。即大約在1950年后的第42年(即1992年）我國人口達(dá)到14億,由此看來,計劃生育是我國的基本國策。我創(chuàng)新，我超越13。在平爐煉鋼中，由于礦石與爐氣中的氧氣作用,鐵水的總含量不斷下降?，F(xiàn)測得含碳量y（百分比)與熔化時間t（小時)的關(guān)系如下表：時間t5.05.25.45.65。86。0含碳量y(百分比)9.737.466。044.352.742。06時間t6.26。46.66.87含碳量y(百分比）1.480.980。570.410。25求回歸方程。分析:畫出散點圖觀察樣本點分布在一條指數(shù)函數(shù)曲線