排列、組合、二項(xiàng)式定理

排列、組合、二項(xiàng)式定理第一節(jié)：排列、組合一、加法原理與乘法原理TOC\o"1-5"\h\z加法原理（分類計數(shù)原理）： ;乘法原理（分步計數(shù)原理）： .點(diǎn)擊：用好乘法原理是解決有關(guān)排列、組合問題的關(guān)鍵乘法原理的關(guān)鍵是理解好什么叫一種完成事件的方法.運(yùn)用與練習(xí)：乘積（a+b+c）（m+n）（x+y）展開后共有 項(xiàng).已知M={1,-2,3},N={-4,5,6,-7},從兩個集合各取一個元素作為點(diǎn)的坐標(biāo)，可得直角坐標(biāo)系中第一、第二象限不同點(diǎn)的個數(shù) .3?有集合M={a,b,c,d},N={g,e,f},那么從M到N的映射有 個.全國足球超級聯(lián)賽共有14支隊(duì)伍，比賽采用主客場雙循環(huán)制，則一個賽季共需 場比賽.4封不同的信，投入3個不同的信箱，共有 種不同的投法.5個隊(duì)爭奪3項(xiàng)冠軍（一個隊(duì)可拿多項(xiàng)冠軍），共有 種不同方式.4620共有 個約數(shù)，其中有 個偶約數(shù)，有 個是3的倍數(shù).TOC\o"1-5"\h\z右圖中，共有 矩形，若從A到B,沿最短路線，共有 種選擇方式.有5張卡片，正反兩面上分別標(biāo)有0和1；2和3；4和5，6和7，8和9將它們并排在一起組成三位數(shù)，不同的三位數(shù)有 個.現(xiàn)要排一份5人、5天的值日表，每人有1人值班，每個人都可值多天班或不值班，但相鄰兩天不能由一人值班，且每天都需要有人值班，則有 種不同的值日方法.11.集合{a,b,c,d,e,f,g}共有 個子集.12?某幢8曾大樓的底層上了8名乘客，各自到某一層下電梯，則不同下法種數(shù)為 .二、排列數(shù)、組合數(shù)的計算點(diǎn)擊：（1）解決排列、組合問題，關(guān)鍵是要分清哪是排列問題，哪是組合問題，即哪些與順序有關(guān)，哪些與順序無關(guān).（2）特別是與特殊位置與特殊元素有關(guān)的排列組合問題，更要引起注意.研究此類問題的策略一般有三種：①特殊元素法；②特殊位置法；③排除法.8人站成一排①共有 種不同站法；②甲乙二人必須相鄰的站法有 種（捆綁法）；TOC\o"1-5"\h\z③其中甲、乙、丙互不相鄰的站法有 種（插空法）；④其中甲不在左端的有 種；⑤甲必須在首位的有 種；⑥甲在首、乙在尾的有 種；⑦甲、乙一個在首，一個在尾有種；⑧甲在首，乙不在尾有 種；⑨甲不在首、乙不在尾有 種；⑩甲、乙中間恰有2人，有 種；（11）4男4女相間而坐有 種；（12）前排4人，后排4人，8人身咼各不相同，后排4人比前排相應(yīng)位置上的人咼，有 種；（13）前排4人，后排4人，甲、乙在前，丙在后，有 種；（⑷甲在乙的左邊（可以不相鄰）的排法有 種.數(shù)字問題常識：最咼次為不能是0；奇數(shù)、偶數(shù)取決于末位數(shù)字是否能被2整除；被5整除取決于末位能否被5整除（即5或0）；被25整除取決于末2為能否被25整除（即00，25，50，75）；被3整除的數(shù)各個位上的數(shù)字之和能被3整除.2．用0~9這10個數(shù)字可組成多少個沒有重復(fù)數(shù)字的4位數(shù)，其中有多少個4位偶數(shù)，有多少個能被5整除的4位數(shù)？有多少個能被25整除的數(shù)？3．用1，2，3，4，5這5個數(shù)字能組成多少個無重復(fù)的能被3整除的3位數(shù)？4．（1）學(xué)校開設(shè)七門課，每天可排六節(jié)課（每門課每天最多排一節(jié)），若星期三必須有體育課，但不能排在第一節(jié)和第五節(jié)，則星期三有多少種不同的排課法？（2）學(xué)校開設(shè)七門課，若星期六只能排四節(jié)課，但第一節(jié)課和第四節(jié)課不能排體育課，則星期六共有多少種不同的排課法？100件產(chǎn)品中，有98件合格品，2件次品；從中任抽3件，①一共有種不同的抽法；②抽出的3件中恰有1件次品，有 種；③抽出的3件中至少有1件次品，有 種；④抽出的3件中沒有次品，有 種.點(diǎn)擊：至少有1件次品，千萬不要C1C2；從一組物品中連續(xù)取則有順序，這一點(diǎn)務(wù)必引起高度299重視.有6名學(xué)生，其中3名會唱歌，2名會跳舞，1名既會唱歌又會跳舞；現(xiàn)從中選2名會唱歌，1名會跳舞的去參加演出，則共有 種選拔方式.一雜技團(tuán)有8名表演魔術(shù)或口技的演員，其中6人會演口技，5人會表演魔術(shù)，今從這8名演員中選出2人，1人表演口技，1人表演魔術(shù)，則共有選法種數(shù)是（）（A）27種 （B）30種 （C）28種 （D）56種

8．（撲克牌問題）一副撲克牌（52張）去掉大小王，現(xiàn)從中任抽4張，①花色相同的有 種;②花色各不相同的有 種;③數(shù)值相同的有種;④數(shù)值各不相同的有 種;⑤顏色相同的有 種;⑥任抽5張,其中3張數(shù)值相同,另外2張數(shù)值也相同有種.9.20人去游泳，把20雙鞋全部裝入一個袋子里，從中任取4只（1）四只鞋恰好成兩雙的取法有多少種？ （2）四只都不成雙的取法有多少種？（3）四只都是左腳的取法有多少種？ （4）四只恰有一雙的取法有多少種？10．平面內(nèi)有9個點(diǎn)，其中4個點(diǎn)在一條直線上，此外沒有3點(diǎn)在一條直線上，過這9個點(diǎn)①最可作 條直線；②最多可作 個三角形.11．空間有12個點(diǎn)，其中5個點(diǎn)共面，此外無任何4點(diǎn)共面，這12個點(diǎn)最多可確定多少個不同的平面？設(shè)M、N是不重合的兩個平面，在平面M內(nèi)有5個點(diǎn)，在平面N內(nèi)有4個點(diǎn)，由這些點(diǎn)最多可確定多少個不同位置的三棱錐？4個不同的球，放入3個不同的盒子，每個盒子至少有一個，則不同的放法有 種.14?有集合M={a,b,c,d},N={g,e,f},那么從M到N的映射有 個?若從M到N的映射中，滿足集合N中的元素都有原項(xiàng)，則稱該映射為滿射，則從M到N可建立 個滿射.另外，從N到M可建立 個影射?若從N到M的映射中，若滿足集合N中不同的元素，在集合M中有不同的項(xiàng)，則稱該映射為單射，則從N到M可建立 個單射.隔板問題（相同的元素放入不同的盒子用隔板）15.x+x+x+x二10有多少個正整數(shù)解.1234x+x+x+x二10有多少個非負(fù)整數(shù)解.123410臺相同的電腦分給3個不同的班級，每個班級至少一臺，共有 種不同的分發(fā).10臺相同的電腦分給3個不同的班級，1班至少一臺，2班至少2臺，3班至少3臺，每個班級至少一臺，共有 種不同的分發(fā).19.（分房問題）10個人等可能的住到20間房中，求（1） 有多少種不同的居住方法.（2） 其中指定的10間房各住1人，有多少種不同的住法？（3） 其中恰有10間房各住1人，有多少種不同的住法？

20．(染色問題)如圖，有三種顏色可供選用，要求相鄰不染同色，有多少種不同的染法？(注：可以用兩種顏色染)21．3種作物種植在上圖種，要求相鄰兩區(qū)域不能種植同一種作物，工有多少種不同的種植方法？22．要涂染下圖，有4種顏色可供選用，要求相鄰區(qū)域不能同色，求不同的涂染方法？將某城市分為四個區(qū)(如圖)，需要繪制一幅城市分區(qū)地圖，現(xiàn)有5種不同顏色，圖①②③④每區(qū)只涂一色，且相鄰兩區(qū)必須涂不同的顏色(不相鄰兩區(qū)所涂顏色不限)，則不同的涂色方式有()(A)240種 (B)180種 (C)120種 (D)60種(分組問題)6名護(hù)士，被分到3所學(xué)校為學(xué)生查體，每校分配2名，則不同的分配方法有 種.6名護(hù)士，3名醫(yī)生，被分到3所學(xué)校，每校一名醫(yī)生，2名護(hù)士，則不同的分配方法有 種.26．6本不同的書，分給3名同學(xué)每人2本，有 種不同的分法.(2)甲得1本，乙得2本，丙得3本，有種不同的分法.(3)一人1本，一人2本，一人3本，有 種不同的分法.(4)平均分成3堆，每堆兩本，有種不同的分法.27．甲、乙、丙三位老師上6個班的課.每人兩個班，有多少種不同的分法？甲、乙各上1個班，丙上4個班，有多少種不同的分法？有2人各上一個班，1人上4個班，有多少種不同的分法？甲上1個班，乙上2個班，丙上3個班，有多少中不同的分法？甲、乙、丙三位老師上7個班的課。甲、乙上兩個班、丙上三個班有多少種不同的分法？甲上一個班，乙上兩個班，并上四個班，有多少中不同的分法？有兩人上兩個班，一人上3個班，有多少中不同的分法？一人上一個班，一人上2個班，一人上4個班，有多少中不同的分法？座位連排問題：一人射擊8槍，4槍命中，其中3槍相連的方法有 。馬路上有12盞路燈，為了省電，可熄滅其中的3盞，但不能連續(xù)熄滅兩盞，兩頭的燈不能熄滅，則TOC\o"1-5"\h\z熄滅的方法有 種.今有編號為1，2，3，4，5，6的6張電影票分給4名同學(xué)，每人至少1張，至多兩張，且這2張票具有連續(xù)的號碼，那么不同的分法種數(shù)有 種.1, 10的10張電影票分給3名同學(xué)，每人至少3張，至多4張，且每個同學(xué)的票具有連續(xù)的號碼，那么不同的分法種數(shù)有 種.正方體中的問題：正方體的8個頂點(diǎn)為頂點(diǎn)的三棱錐有 個；以正方形的四個頂點(diǎn)、四邊中點(diǎn)，中心共9個點(diǎn)中的3個點(diǎn)可作 個三角形；從四面體的四個頂點(diǎn)、各條棱的中點(diǎn)共10個點(diǎn)中選4個點(diǎn)，可組成多少個不同的三棱錐？四面體的一個頂點(diǎn)為A,從其它頂點(diǎn)與各棱中點(diǎn)中取3個點(diǎn)，使它們和點(diǎn)A在同一平面上，不同的取法有 種；37?正方體有 對異面的棱；棱與對角線異面的有 對；有 對異面的面對角線；38.從1，2,…，20中任取3個數(shù)組成等差數(shù)列，共有多少種不同的取法？第二節(jié)：二項(xiàng)式定理概念：（a+b）”的展開式為 ；其通項(xiàng)為T= ；r+1點(diǎn)擊：①展開式共有n+1項(xiàng)；②C叫二項(xiàng)式系數(shù)，二項(xiàng)式系數(shù)永遠(yuǎn)為正，它與某一項(xiàng)的系數(shù)有區(qū)n別；③通項(xiàng)表示第r+1項(xiàng)，不是第r項(xiàng).n二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)：（1）對稱性；（2）圖象關(guān)于r二2對稱，當(dāng)n為奇數(shù)時，中間兩項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)最大，當(dāng)n為偶數(shù)時，中間一項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大.（3）C0+C1+ +Cn=2nTOC\o"1-5"\h\znn n應(yīng)用與練習(xí)：一、求通項(xiàng)（求通項(xiàng)是歷年高考的必爭之地，幾乎每年高考都有一個題目，務(wù)必熟練掌握）（VX-運(yùn)）10展開式第4項(xiàng)是 ，第4項(xiàng)系數(shù)是 ，第4項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)是 ，x4的系數(shù)是 .（x-y）11展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大項(xiàng)是 ，項(xiàng)的系數(shù)最大項(xiàng) ，項(xiàng)的系數(shù)最小項(xiàng)是 ，二項(xiàng)式系數(shù)和是 ，各項(xiàng)的系數(shù)和是 .3.求(2x2-2L)5展開式中的X2項(xiàng).2x24.求(4.求(2)8展開式中的常數(shù)項(xiàng)求Jx-3x)9展開式中的有理項(xiàng)(為x+V2)100展開式中系數(shù)為有理數(shù)的共有多少項(xiàng)？(、圧+三)n展開式中第三項(xiàng)和第七項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等，則展開式中所有有理項(xiàng) 3xTOC\o"1-5"\h\zaIx 9已知(一- )9的展開式中x3的系數(shù)為丁，常數(shù)a的值為 .x\2 411(05山東)如果(3x- )n的展開式中各項(xiàng)系數(shù)之和為128,則展開式中一；的系數(shù)是()3x2 x3A：7 B：-7 C：21 D：-21(x2+3x+2)5展開式中x項(xiàng)的系數(shù)是 求(1-x3)(1+x)10展開式中的x5項(xiàng)的系數(shù).(05湖南)(彳++晳2)5的展開式中整理后的常數(shù)項(xiàng)為 .2x二、與排列組合聯(lián)系(a+b+c)6展開式中a3b2c的系數(shù)為 ；(a+2b+3c)6展開式中a3b2c的系數(shù)為 ；(x2+3x+2)5展開式中x項(xiàng)的系數(shù)是 ；x2項(xiàng)的系數(shù)為 。三、有關(guān)系數(shù)問題(1—2x)7二a+ax+ax2+ax3+ax4+ax5+ax6+ax70 1 2 3 4 5 6 7(1)求a2)求a+a+a+a+a+a+a+a012345673)求a—a+a—a+a—a+a—a012345674)求Ia|+|a|+|a|+|a|+|a|+|a|+|a|+|a012345675)(a+a+a+a)2—(a+a+a+a)2024613576)求a+a+a；(7)a+a+a+a24613572.求(l+a)3(l+b)2(l+c)3的各項(xiàng)系數(shù)的和.四、二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)TOC\o"1-5"\h\z1.求C0+2C1+22C2+?…+2nCn= ；n n n n2?求C0—2C1+22C2—2C3+?…+(—1)n2nCn= n n n n n3*?求證：C1+2C2+…+nCn=n?2ntn n n4。求值：C1+3C2+5C3…+(2n—1)Cnn n n n5*?求證：(Co)2+(C1)2+(C2)2+…+(Cn)2=Cn n n n 2n五*.有關(guān)整除問題1.今天是星期三，290以后那天是星期幾.345以后那天是星期幾.2.9192除以100的余數(shù) 證明(n+1)n—1能被n2整除.求用7去除5013的余數(shù).六*.近似計算1?計算(1.05)12的近似值至小數(shù)點(diǎn)后