機(jī)器人學(xué)第五章(機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)特性)

第五章機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)特性5.1機(jī)器人的雅可比（jacobians）矩陣5.1.1雅可比雅可比是一個(gè)導(dǎo)數(shù)的多維形式。例如，假定我們有6個(gè)函數(shù)，每一個(gè)是6個(gè)獨(dú)立變量的函數(shù)（5-1）我們也可以用矢量符號(hào)把這些方程寫為：（5-2）現(xiàn)在如果要計(jì)算的作為的函數(shù)的微分，我們簡單的應(yīng)用復(fù)合微分定律來計(jì)算（5-3）它同樣可以用矢量符號(hào)寫得更簡單些（5-4）（5-4）中的偏導(dǎo)數(shù)矩陣就是我們稱為雅可比的J。注意如果方程式是非線性的，則偏導(dǎo)數(shù)為的函數(shù)。所以用下面的符號(hào)（5-5）把兩邊除以時(shí)間元素的微分，我們可以把雅可比看作為把X中的速度映射到Y(jié)中（5-6）在任一特定的瞬時(shí)，X具有一定的值，而為一線性變換，在每一個(gè)新的瞬時(shí)，X變了，因此這個(gè)線性變換也變了，雅可比是隨時(shí)間變化而變化的線性變換。在機(jī)器人學(xué)的領(lǐng)域內(nèi)，我們一般談的是關(guān)于關(guān)節(jié)速度機(jī)械手端部速度間關(guān)系的雅可比。例如（5-7）其中，為操作機(jī)的關(guān)節(jié)角矢量，而為直角坐標(biāo)速度矢量。在（5-7）中我們對雅可比加上了一個(gè)前上標(biāo)，指明這個(gè)結(jié)果的直角坐標(biāo)速度是表示在那個(gè)標(biāo)架中。有時(shí)當(dāng)這個(gè)標(biāo)架是很明顯的或者它并不重要，這個(gè)標(biāo)注可以去掉。注意對于任何給定的操作機(jī)的構(gòu)形，關(guān)節(jié)速度和端部速度之間的關(guān)系為線性的樣子，這僅是一種瞬時(shí)關(guān)系，因?yàn)樵谙乱凰矔r(shí)，雅可比要稍微變化一點(diǎn)。對于普通的情況，雅可比為，為，這個(gè)直角坐標(biāo)速度矢量是把線速度矢量和回轉(zhuǎn)速度矢量放在一起。（5-8）對于2桿機(jī)械手的情況，我們可以寫出一個(gè)雅可比，它表明關(guān)節(jié)速度對終端效應(yīng)器速度的關(guān)系。從例5-1的結(jié)果我們可以很容易地確定2桿機(jī)械手的雅可比。這個(gè)雅可比寫在標(biāo)架{3}中為：（5-9）而這個(gè)雅可比寫在標(biāo)架{0}中為：（5-10）注意在兩種情況中，我們都選擇寫一個(gè)方矩陣，它給出關(guān)節(jié)速度對終端效應(yīng)器速度的關(guān)系。我們也可以考慮雅可比，它將把終端效應(yīng)器的角速度也包括進(jìn)去?？紤]定義雅可比的（5-1）式到（5-5）式，我們看出雅可比也可以由直接對機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)學(xué)方程求導(dǎo)來求得。但是，盡管對于線速度這個(gè)是簡單的，沒有一個(gè)導(dǎo)數(shù)的的方位矢量。5.1.2奇異點(diǎn)已知我們有一個(gè)有關(guān)關(guān)節(jié)速度的直角坐標(biāo)速度的線性變換，很合理的要問一個(gè)問題：這個(gè)矩陣是否可以求逆？也就是，它是不是非奇異的？如果這個(gè)矩陣不是非奇異的，則可以對它求逆來計(jì)算給定直角坐標(biāo)速度的關(guān)節(jié)速度（5-11）這是一個(gè)重要的關(guān)系。例如，我們打算讓機(jī)器人的手以一定的矢量速度在直角坐標(biāo)空間運(yùn)動(dòng)。用（5-38）我們可以計(jì)算沿著軌跡的每個(gè)瞬時(shí)所需的關(guān)節(jié)速度。真正的可逆性問題是：雅可比是否對所有的值都可以求逆。如果否，在何處它不可以求逆？所有的操作機(jī)都有雅可比成為奇異的值。這些位置被稱為機(jī)構(gòu)的奇異點(diǎn)，或簡稱為奇異點(diǎn)。所有的操作機(jī)在它們的工作空間的邊界處有奇異點(diǎn)，而大多數(shù)在它們的工作空間內(nèi)有奇異點(diǎn)的軌跡。圖5-1圖5-12桿機(jī)械手例5-1何處是圖5-1中的簡單2桿機(jī)械手的奇異點(diǎn)？什么是這些奇異點(diǎn)的物理意義？它們是工作空間邊界奇異點(diǎn)還是內(nèi)奇異點(diǎn)？為了求一個(gè)機(jī)構(gòu)的奇異點(diǎn)，我們必修考察其雅可比的行列式。在行列式等于零的地方，雅可比降秩，是奇異的。（5-12）顯然，當(dāng)為0或時(shí)機(jī)構(gòu)有一個(gè)奇異點(diǎn)。從物理意義上說，當(dāng)機(jī)械手伸直。在這種情況下，終端效應(yīng)器的運(yùn)動(dòng)僅可能沿一個(gè)直角坐標(biāo)方向（垂直與機(jī)械手的方向）。因此此機(jī)構(gòu)失去了一個(gè)自由度。類似地當(dāng)機(jī)械手完全折疊起來，手的運(yùn)動(dòng)也只能在一個(gè)直角坐標(biāo)方向，而不是兩個(gè)方向。這些奇異點(diǎn)都是工作空間邊界奇異點(diǎn)，因?yàn)樗鼈兾挥诓僮鳈C(jī)的工作空間的邊界上。把雅可比寫在標(biāo)架{0}中，或其他任何標(biāo)架中，都將導(dǎo)致相同的結(jié)果。在機(jī)器人控制系統(tǒng)中應(yīng)用（5-11）的危險(xiǎn)在于，在奇異點(diǎn)處雅可比矩陣的逆崩潰了！這導(dǎo)致當(dāng)接近這個(gè)奇異點(diǎn)時(shí)關(guān)節(jié)速度趨向無窮大。例5-2考慮我們的2桿機(jī)器人，如圖5-1所示，它的終端效應(yīng)器沿軸以1.0米/秒的速度運(yùn)動(dòng)。說明當(dāng)遠(yuǎn)離奇異點(diǎn)時(shí)關(guān)節(jié)速度是合理的，但當(dāng)接近一個(gè)奇異點(diǎn)時(shí)，關(guān)節(jié)速度趨向無限大。我們從計(jì)算寫在{0}中的雅可比的逆開始。（5-13）然后對沿方向的1米/秒速度應(yīng)用（5-13），我們可以計(jì)算作為操作機(jī)構(gòu)形的函數(shù)的關(guān)節(jié)速度（5-14）顯然，當(dāng)機(jī)械手朝伸出去時(shí)，兩個(gè)關(guān)節(jié)速度趨向無窮大。5.1.3靜力域中的雅可比矩陣一、力矩和等效關(guān)節(jié)力矩現(xiàn)在我們可以將坐標(biāo)架之間的力和力矩進(jìn)行變換。在這一節(jié)中將解決把作用在坐標(biāo)架上的力和力矩與等效關(guān)節(jié)力矩和力聯(lián)系起來的問題。我們將再次運(yùn)用作用在坐標(biāo)架上的力和力矩所作的虛功與各關(guān)節(jié)上所作的虛功相等的方法。也就是（5-15）式中是廣義關(guān)節(jié)力的列向量，廣義關(guān)節(jié)力對于轉(zhuǎn)動(dòng)關(guān)節(jié)而言是力矩，對于移動(dòng)關(guān)節(jié)而言是力。是關(guān)節(jié)虛位移的列向量，對于轉(zhuǎn)動(dòng)關(guān)節(jié)是轉(zhuǎn)動(dòng)，對于移動(dòng)關(guān)節(jié)則是移動(dòng)。于是對于斯坦福操作手，關(guān)節(jié)虛運(yùn)動(dòng)所作的虛功給出為（5-16）式中是關(guān)節(jié)力矩而是作用在移動(dòng)關(guān)節(jié)3上的力?；氐焦?-15如果操作手處于平衡狀態(tài)，則所作的虛功為零而（5-17）將代入得到（5-18）這一公式與虛位移無關(guān)，于是或（5-19）這是一個(gè)重要的關(guān)系。也就是已知在坐標(biāo)架中的作用力和力矩，公式5-19給出為了保持平衡而必須施加于操作手關(guān)節(jié)上的扭矩和力。如果操作手在作用力和力矩的方向上自由運(yùn)動(dòng)，則在公式5-19所確定的關(guān)節(jié)力矩和力作用下將會(huì)在手部得到設(shè)定的力和力矩的作用。進(jìn)一步注意到，對任何自由度數(shù)的操作手，公式5-19都是成立的。例5-3斯坦福操作手處于如下的位姿它相應(yīng)于在下述表5-1中給出的正弦和余弦的關(guān)節(jié)坐標(biāo)表5-1操作手狀態(tài)坐標(biāo)數(shù)值正弦余弦雅可比矩陣給出為計(jì)算產(chǎn)生力和力矩所需的關(guān)節(jié)力和力矩。解：用公式5-19得到關(guān)節(jié)力矩和力為5.2機(jī)器人的奇異位形１引言奇異位形是串聯(lián)機(jī)器人機(jī)構(gòu)(見圖5-2)的一個(gè)十分重要的運(yùn)動(dòng)學(xué)特性，機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)受力、控制以及精度方面的性能都與此位形密切相關(guān)。對奇異位形的認(rèn)識(shí)來源于６自由度機(jī)器人機(jī)構(gòu)的速度公式：(5-20)其中為雅可比矩陣，為關(guān)節(jié)廣義速度向量，為手部速度向量。對預(yù)定的手部運(yùn)動(dòng)可以求出所需控制的關(guān)節(jié)速度：(5-21)X0Xnd1X0Xnd1a1Z1Z2ZnZ0a2d2andn圖5-2串聯(lián)機(jī)器人的桿件坐標(biāo)系２奇異位形判別式設(shè)為關(guān)節(jié)廣義力，外力系作用于機(jī)器人手部，機(jī)器人靜力平衡時(shí)滿足平衡方程組：(5-22)式中：，奇異位形使機(jī)器人手部自由度減少這一事實(shí)，表明此位形對手部產(chǎn)生了某種約束，由理想約束的性質(zhì)可知，機(jī)器人機(jī)構(gòu)各關(guān)節(jié)的約束反力在手部的虛位移中不做功。由虛位移原理，與該約束力系平衡的外力系對上述位移的虛功之和為零，故有：(5-23)該方程即是：(5-24)將式(5-20)代入式(5-24)，并注意到，于是可得：(5-25)由式(5-22)、(5-25)可得：(5-26)由式(5-26)可見，方程組在奇異位形必有非零解。由式(5-22)、(5-25)、(5-26)可以看出。當(dāng)雅可比矩陣為非奇異時(shí)，對于給定的非零向量，總有確定的關(guān)節(jié)廣義驅(qū)動(dòng)力向量與之對應(yīng)，使機(jī)器人機(jī)構(gòu)處于平衡狀態(tài)，即是穩(wěn)定的。當(dāng)雅可比矩陣為奇異時(shí)，對于給定的非零向量，對應(yīng)的關(guān)節(jié)廣義驅(qū)動(dòng)力向量為零，即機(jī)器人機(jī)構(gòu)的力系平衡條件被破壞了，也就是此時(shí)機(jī)構(gòu)的靜力平衡不是由關(guān)節(jié)的廣義驅(qū)動(dòng)力來實(shí)現(xiàn)的，而是由關(guān)節(jié)的約束反力來實(shí)現(xiàn)的。對于串聯(lián)機(jī)器人機(jī)構(gòu)有如下的靜力遞推公式：(5-27)在此令：(5-28)將式(5-28)代入式(5-27)中，并由式(5-26)可以得到組方程，即個(gè)奇異位形判別條件。在利用靜力遞推公式(5-27)求解廣義驅(qū)動(dòng)力向量時(shí)，將廣義坐標(biāo)、關(guān)節(jié)桿長、關(guān)節(jié)偏距處理為符號(hào)量，將關(guān)節(jié)扭角處理為數(shù)值量。為了便于數(shù)字─符號(hào)處理，引入符號(hào)：(5-29)由數(shù)字—符號(hào)處理方法，通過數(shù)字─符號(hào)運(yùn)算，我們可以的到數(shù)字─符號(hào)表示的奇異位形判別式。基于上述方法我們開發(fā)了機(jī)器人奇異位形判別式自動(dòng)生成軟件SARNS，只需輸入機(jī)器人各構(gòu)件關(guān)節(jié)扭角便可自動(dòng)生成串聯(lián)機(jī)器人機(jī)構(gòu)的奇異位形判別式．圖5-3工業(yè)機(jī)器人３圖5-3工業(yè)機(jī)器人圖5-3為工業(yè)機(jī)器人的機(jī)構(gòu)簡圖，該機(jī)構(gòu)的結(jié)構(gòu)參數(shù)為：以下是奇異位形分析結(jié)果：(1)令，對應(yīng)的奇異位形判別式經(jīng)整理如下：由上式可得對應(yīng)的奇異位形存在條件為：或或或或與該條件對應(yīng)的奇異位形如圖5-4a所示。由運(yùn)動(dòng)分析可得：在此奇異位形下機(jī)器人失去了沿Ｘ6軸方向的移動(dòng)自由度。(2)令，求得的奇異位形結(jié)果與(1)相同．(3)令,對應(yīng)的奇異位形判別式經(jīng)整理如下:由上式可得對應(yīng)的奇異位形存在條件為：或或與該條件對應(yīng)的奇異位形如圖5-4b所示。由運(yùn)動(dòng)分析可得：在此奇異位形下機(jī)器人失去了沿Ｚ6軸方向的移動(dòng)自由度。(4)令，對應(yīng)的奇異位形判別式經(jīng)整理如下：由上式可得對應(yīng)的奇異位形存在條件為：或或或即或(a)(b)(c)圖5-4(a)(b)(c)圖5-4機(jī)器人機(jī)構(gòu)的奇異位形(5)令，求得的奇異位形結(jié)果與(4)相同．(6)令，對應(yīng)的奇異位形判別式無解．以上三種奇異位形存在條件，對應(yīng)的雅可比矩陣的行列式的值都為零，因此上述結(jié)論得以驗(yàn)證。４結(jié)論本文提出了一種新的機(jī)器人奇異位形判別式推導(dǎo)的數(shù)字─符號(hào)方法，該方法不需寫出雅可比矩陣，而且推導(dǎo)過程全部由計(jì)算機(jī)完成。方法可適用于任意自由度帶有移動(dòng)關(guān)節(jié)和轉(zhuǎn)動(dòng)關(guān)節(jié)的機(jī)器人奇異位形分析。與現(xiàn)有方法相比，該方法簡化了奇異位形的判別過程。并且在此基礎(chǔ)上可以進(jìn)一步發(fā)展成為機(jī)器人工作空間分析的數(shù)值—符號(hào)方法,該方法也可應(yīng)用于并聯(lián)機(jī)器人、變幾何桁架機(jī)器人的奇異位形分析中。5.3機(jī)器人的工作空間1、概述機(jī)器人工作空間的研究可分為兩類：(1)運(yùn)動(dòng)副轉(zhuǎn)角或移動(dòng)無限制的理想機(jī)械手(2)運(yùn)動(dòng)副轉(zhuǎn)角或移動(dòng)有限制的實(shí)際機(jī)械手。對于每一類機(jī)械手其工作空間分析的方法有兩種：數(shù)值求解方法和代數(shù)求解方法。兩種方法相比較，代數(shù)方法更精確更有效。在機(jī)器人工作空間的分析研究中，國內(nèi)外學(xué)者做了不少有價(jià)值的研究工作。2、基本概念及定義機(jī)械手的可達(dá)工作空間是指將機(jī)械手手部當(dāng)做一個(gè)點(diǎn)處理時(shí)，機(jī)械手在運(yùn)動(dòng)過程中，該手部參考點(diǎn)在空間中所能達(dá)到的全部點(diǎn)的集合形成的空間幾何體。奇異曲面是指機(jī)械手的工作空間中手部參考點(diǎn)不能實(shí)現(xiàn)沿任意方向的微小移動(dòng)或轉(zhuǎn)動(dòng)的點(diǎn)的集合形成的空間曲面。相應(yīng)的機(jī)械手的每個(gè)位形稱為奇異位形。奇異位形可分為位置奇異和姿態(tài)奇異。當(dāng)機(jī)械手運(yùn)動(dòng)到奇異位置時(shí)，由于可實(shí)現(xiàn)的微小移動(dòng)的方向受限，對于某些要實(shí)現(xiàn)的速度[]，相應(yīng)的[]值中的某個(gè)關(guān)節(jié)或某幾個(gè)關(guān)節(jié)的角速度值為無窮大，引起機(jī)械手失控。引起這種現(xiàn)象的原因有兩種：一是矩陣[]的秩小于3。我們稱這時(shí)機(jī)械手處于第一類奇異位置，相應(yīng)的奇異曲面稱為第一類奇異曲面。二是盡管矩陣[]的秩為3，但是由于某個(gè)或某些關(guān)節(jié)運(yùn)動(dòng)到了極限位置，機(jī)械手的空間自由度減少了，我們稱這時(shí)機(jī)械手處于第二類奇異位置，相應(yīng)的奇異曲面稱為第二類奇異曲面。3、理想機(jī)械手的工作空間對于運(yùn)動(dòng)副轉(zhuǎn)角無限制的理想機(jī)械手，其工作空間的邊界曲面即為手部參考點(diǎn)的位置奇異曲面。工作空間的邊界曲面方程為關(guān)節(jié)1和關(guān)節(jié)2關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)角的函數(shù)。其它n-2個(gè)關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)角可由上述的機(jī)械手奇異位置分析求出。5、實(shí)際機(jī)械手的工作空間對于圖5-2所示的n自由度串聯(lián)機(jī)器人，坐標(biāo)系按照D-H原則建立，各參數(shù)如圖5-2所示。令手部參考點(diǎn)P在基礎(chǔ)坐標(biāo)系中的位置向量為則可表示為n個(gè)廣義坐標(biāo)的函數(shù)：（5-30）式中：為n個(gè)運(yùn)動(dòng)副的廣義坐標(biāo)，若運(yùn)動(dòng)副i為轉(zhuǎn)動(dòng)副，則；若運(yùn)動(dòng)副i為移動(dòng)副，則。而和分別為的最小極限值和最大極限值。由于工作空間的邊界曲面即為機(jī)械手手部參考點(diǎn)的位置奇異曲面的最外層和最內(nèi)層曲面，因此在此首先討論實(shí)際機(jī)械手的奇異位置分析問題。實(shí)際機(jī)械手的奇異位置分析問題可分為兩種情況：（１）所有n個(gè)廣義坐標(biāo)均未達(dá)到極限值．在該情況下，手部參考點(diǎn)的位置奇異曲面方程即為：（5-31）（２）n個(gè)廣義坐標(biāo)中有k個(gè)()廣義坐標(biāo)達(dá)到極限值．若有k個(gè)()廣義坐標(biāo)達(dá)到極限值，且當(dāng)手部參考點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)時(shí)，這k個(gè)廣義坐標(biāo)的運(yùn)動(dòng)趨勢為超出轉(zhuǎn)角或移動(dòng)的限制區(qū)間之外的方向，那么這k個(gè)廣義坐標(biāo)在P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)，保持恒定值，而不能再作為變量，此時(shí)機(jī)械手將失去k個(gè)自由度．對該n-k個(gè)自由度的機(jī)械手進(jìn)行奇異位置分析，由前述方法，可以求得n-k-2個(gè)關(guān)節(jié)的關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)角，于是機(jī)械手手部參考點(diǎn)P的位置奇異曲面方程可表示為剩下的兩個(gè)關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)角（假定為i和j）的函數(shù)：（5-32）因?yàn)閗可分別取0，1，2，...，ｎ－2，且每個(gè)廣義坐標(biāo)有兩個(gè)極限值，因此奇異曲面方程的個(gè)數(shù)最多為：（5-33）工作空間的邊界曲面應(yīng)為全部位置奇異曲面的最外層與最內(nèi)層曲面（如果有穴的話）。6、奇異曲面方程的自動(dòng)生成機(jī)械手末端夾持器（參考點(diǎn)為P）相對于基礎(chǔ)坐標(biāo)系的位姿可表示為：（5-34）將構(gòu)件i和j的廣義坐標(biāo)處理為符號(hào)量，將其它關(guān)節(jié)的廣義坐標(biāo)、各構(gòu)件的扭角、各構(gòu)件的桿長及各構(gòu)件的偏距處理為數(shù)值量，為了便于數(shù)字─符號(hào)處理，引入符號(hào)：于是式（5-34）中的每一矩陣元素可表示為：（5-35）由前述的數(shù)值－符號(hào)處理方法，可以得到數(shù)值－符號(hào)表示的機(jī)械手手部參考點(diǎn)P相對于基礎(chǔ)坐標(biāo)系表示的位置，即機(jī)械手奇異曲面及工作空間界限面的曲面方程。基于上述方法我們開發(fā)了機(jī)器人工作空間分析軟件WSARNS。該軟件采用Delphi6.0編程，只需輸入機(jī)器人的結(jié)構(gòu)參數(shù)及關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)角范圍便可自動(dòng)生成機(jī)器人奇異曲面及工作空間邊界曲面的曲面方程。7、數(shù)字實(shí)例Cincinnati_Milaecron6R機(jī)器人結(jié)構(gòu)簡圖如圖5-5所示．其結(jié)構(gòu)參數(shù)如下：圖5-5圖5-5Cincinnati_Milarcron6R機(jī)器人機(jī)構(gòu)圖5-6工作空間邊界曲面的截面曲線圖運(yùn)行我們開發(fā)的WSARNS軟件，自動(dòng)生成了其位置奇異曲面方程．并由此描繪出了其位置奇異曲面的截面曲線圖（如圖5-6所示）．該機(jī)器人工作空間的邊界曲面方程列寫如下：例如令關(guān)節(jié)3、4達(dá)到極限（），通過奇異位置分析得到任意，將處理為符號(hào)量，其它關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)角代入具體數(shù)值即可得到曲面方程6，其截面曲線如圖5-6中6段所示。8、結(jié)論文中提出的根據(jù)位置分析的遞推公式由計(jì)算機(jī)自動(dòng)推導(dǎo)實(shí)際機(jī)器人工作空間邊界曲面及位置奇異曲面曲面方程的方法與數(shù)值求解方法相比具有精度高、效率高的優(yōu)點(diǎn)；與其它代數(shù)求解方法相比更加簡明，而且直接面向計(jì)算機(jī)。5.4機(jī)器人的靈巧性分析前言圖5-7服務(wù)球與服務(wù)區(qū)機(jī)器人機(jī)構(gòu)的靈活性分析相當(dāng)于一個(gè)空間閉鏈機(jī)構(gòu)的可動(dòng)性分析。由于結(jié)構(gòu)尺寸、關(guān)節(jié)運(yùn)動(dòng)范圍和機(jī)構(gòu)的多種構(gòu)形的影響，實(shí)用有限轉(zhuǎn)動(dòng)副操作手的靈活性分析是比較復(fù)雜的。Roth和Gupta，Kumax和Waldron以及Yang和Lai先后研究了操作手的靈活性問題，提出了一系列有用的新概念，討論了具有球鉸鏈?zhǔn)滞蟮睦硐氩僮魇朱`活工作空間的確定，給出了靈活工作空間的確定，給出了靈活工作空間存在的充分條件。朱建敏和許有恒將具有典型意義的常用機(jī)器人機(jī)構(gòu)轉(zhuǎn)化為在主平面（過基座關(guān)節(jié)軸J1與工作點(diǎn)P的平面）內(nèi)的平面四桿機(jī)構(gòu)，通過幾何關(guān)系的分析定量表示了各運(yùn)動(dòng)副運(yùn)動(dòng)限制對工作角可變范圍的影響。但以上方法均不便于機(jī)器人靈活性優(yōu)化綜合。因?yàn)榇蠖鄶?shù)實(shí)用的有限轉(zhuǎn)動(dòng)副工業(yè)機(jī)器人的靈活工作空間不存在或很小。本文給出了靈活性分析的“優(yōu)化邊界搜索法”，可以方便地用于機(jī)器人工作空間靈活性優(yōu)化綜合。圖5-7服務(wù)球與服務(wù)區(qū)如圖5-7所示，點(diǎn)A為機(jī)器人可達(dá)工作空間內(nèi)任一點(diǎn)，J6P=h為手部尺寸。以點(diǎn)A為中心，h為半徑的球面稱為機(jī)器人在點(diǎn)A的服務(wù)球，記作ss(A)[ServiceSphere]。機(jī)器人末桿參考點(diǎn)P到達(dá)工作點(diǎn)A時(shí)，服務(wù)球上關(guān)節(jié)J6所在的點(diǎn)稱為服務(wù)點(diǎn)。服務(wù)球上所有服務(wù)點(diǎn)的集合稱為在點(diǎn)A的服務(wù)區(qū)，記作SR(A)[ServiceRegion]。服務(wù)區(qū)的大小（面積）反映了機(jī)器人在工作點(diǎn)A作業(yè)的靈活度，記為A(SR)。當(dāng)末桿J6P能繞點(diǎn)A全方位轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，A(SR)達(dá)到最大值4πh2,于是可將A(SR)標(biāo)準(zhǔn)化并稱為服務(wù)系數(shù)[ServiceCoefficient]。圖5-8坐標(biāo)系示意圖(5-36)圖5-8坐標(biāo)系示意圖二、靈活性分析的數(shù)學(xué)模型參看圖5-8，在基礎(chǔ)坐標(biāo)系中表示的n自由度操作手的末桿位姿為(5-37)其中為廣義關(guān)節(jié)變量，為的取值范圍。為R副，；為P副，,且。是連桿坐標(biāo)系i和i+1的變換矩陣(5-38)對于大多數(shù)實(shí)用操作手的手部形式，參考點(diǎn)P在末桿軸線上，，如圖5-7所示，即機(jī)器人末桿軸線方位。設(shè)操作手末桿坐標(biāo)系n+1原點(diǎn)為D，手部參考點(diǎn)P到D點(diǎn)距離即手部尺寸h。若給定P點(diǎn)位置，則D點(diǎn)軌跡即服務(wù)球上的服務(wù)區(qū)。由圖5-7知，D點(diǎn)坐標(biāo)為(5-39)其中，已知，末桿軸線方位由式(5-37)知(5-40)它滿足約束條件(5-41)及，(5-42)確定式（5-40）表示的服務(wù)區(qū)邊界，首先須判斷球上任一點(diǎn)是否在邊界線以內(nèi)。建立優(yōu)化搜索模型(5-43)目標(biāo)函數(shù)（5-42）中的（xD,yD,zD）按式（5-39）計(jì)算，約束式（5-42b）即關(guān)節(jié)運(yùn)動(dòng)范圍（5-42），（5-42c）即工作點(diǎn)約束式（5-41）。由于跟蹤點(diǎn)T（xT,yT,zT）可變，令（5-43a）中。選用某種優(yōu)化方法（由于同時(shí)有等式約束和不等式約束，可選混合罰函數(shù)法SUMT調(diào)用DEP）對以上模型進(jìn)行優(yōu)化計(jì)算，若結(jié)果是，點(diǎn)T在服務(wù)區(qū)邊界內(nèi)；若，點(diǎn)T在服務(wù)區(qū)邊界外。三、靈活性分析的計(jì)算步驟對實(shí)用操作手，可假設(shè)服務(wù)區(qū)無內(nèi)邊界（空穴）。參看圖5-9，求服務(wù)區(qū)邊界線的“優(yōu)化邊界搜索法”的計(jì)算步驟如下：1）任取一點(diǎn)位于服務(wù)區(qū)邊界以內(nèi)，它可由一組滿足約束式（5-41）（5-42）的關(guān)節(jié)變量按式（5-40）（5-39）得出，過可行初始目標(biāo)點(diǎn)作截面與服務(wù)球相交所得圓的圓心，半徑，點(diǎn)T的方位角。給定搜索的轉(zhuǎn)角步長，則第1步搜索的目標(biāo)點(diǎn)的坐標(biāo)是（，，）。從出發(fā)以步長沿圓逆時(shí)針方向搜索到邊界線以外。以邊界內(nèi)相鄰兩點(diǎn)和所連圓弧為一維搜索區(qū)間，用兩分法求得第1個(gè)邊界點(diǎn)。置。圖5-9靈活性分析模型2）給定服務(wù)區(qū)截面為一系列平行于yz坐標(biāo)面的平面，相鄰截面間距為。從求出的第i個(gè)邊界點(diǎn)沿x軸負(fù)向跨一步得一新出發(fā)點(diǎn)在過邊界點(diǎn)的xz坐標(biāo)面的平行面與服務(wù)球截交圓上。圓心，半徑，于是點(diǎn)坐標(biāo)為。判斷是否在邊界線內(nèi)。若在邊界線內(nèi)，沿圓逆時(shí)針方向搜索，若在步內(nèi)（一般?。┛绯鲞吔?，轉(zhuǎn)3）；否則轉(zhuǎn)4）。若點(diǎn)在邊界外，沿圓順時(shí)針方向搜索，若在步內(nèi)跨入邊界，轉(zhuǎn)3）；否則轉(zhuǎn)4）。圖5-9靈活性分析模型3）置i=i+1。以邊界曲線內(nèi)外相鄰兩點(diǎn)所連圓弧為一維搜索區(qū)間，用兩分法求得第i個(gè)邊界點(diǎn)。檢驗(yàn)j值。若j=1轉(zhuǎn)5