專題04指對(duì)冪函數(shù)(原卷版)

專題04指對(duì)冪函數(shù)目錄一常規(guī)題型方法1題型一指數(shù)、對(duì)數(shù)運(yùn)算1題型二指對(duì)冪函數(shù)的圖像3題型三指對(duì)冪函數(shù)的定義域5題型四指對(duì)冪函數(shù)的值域6題型五指對(duì)冪函數(shù)的單調(diào)性8題型六反函數(shù)9二針對(duì)性鞏固練習(xí)10練習(xí)一指數(shù)、對(duì)數(shù)運(yùn)算10練習(xí)二指對(duì)冪函數(shù)的圖像11練習(xí)三指對(duì)冪函數(shù)的定義域12練習(xí)四指對(duì)冪函數(shù)的值域12練習(xí)五指對(duì)冪函數(shù)的單調(diào)性13練習(xí)六反函數(shù)13常規(guī)題型方法題型一指數(shù)、對(duì)數(shù)運(yùn)算【典例分析】典例1-1．（2022·河南·新密市第二高級(jí)高一階段練習(xí)）計(jì)算(1).(2).典例1-2．（2022·新疆·兵團(tuán)高一期中）計(jì)算：(1)；(2).典例1-3．（2021·江蘇·儀征市第二高一期中）（1）已知，求的值；（2）求的值；（3）求的值.【方法技巧總結(jié)】1.公式：指數(shù)冪運(yùn)算公式、對(duì)數(shù)基本公式、積商冪運(yùn)算公式、換底公式等。2.技巧：運(yùn)算過程中盡量將指對(duì)的底數(shù)統(tǒng)一為相同且較小的質(zhì)數(shù)；運(yùn)算中盡量將小數(shù)化為分?jǐn)?shù)；要注意不同公式的適用環(huán)境。【變式訓(xùn)練】1．（2022·江蘇·宿遷市第一高級(jí)高一期中）計(jì)算：(1)；(2)2．（2022·江蘇宿遷·高一期中）計(jì)算：(1)；(2)．3．（2022·江蘇·南京師大附中高一期中）化簡(jiǎn)求值（需要寫出計(jì)算過程）(1)若，，求的值；(2)．題型二指對(duì)冪函數(shù)的圖像【典例分析】典例2-1．（2022·北京海淀·高三期中）在同一個(gè)坐標(biāo)系中，函數(shù)與且的圖象可能是（

）A．B．C． D．典例2-2．（2022·陜西·西安高一期中）函數(shù)的圖象大致為（

）A．B．C．D．典例2-3．（2022·山東師范大學(xué)附中高三階段練習(xí)）函數(shù)的圖像大致為（

）A． B．C． D．典例2-4．（2022·吉林高二階段練習(xí)）已知函數(shù)（且）的圖像經(jīng)過定點(diǎn)，且點(diǎn)在角的終邊上，則（

）A． B． C．0 D．【方法技巧總結(jié)】1.技巧：圖像自變量或整個(gè)解析式取相反數(shù)，圖像需進(jìn)行左右或上下“翻轉(zhuǎn)”；圖像自變量取絕對(duì)值，圖像需進(jìn)行“打印”，圖像整個(gè)解析式取絕對(duì)值，圖像需進(jìn)行下往上“翻折”；圖像平移需遵循“左加右減，上加下減”；圖像恒過定點(diǎn)問題，可以結(jié)合基本初等函數(shù)圖像和平移來求解。2.注意：復(fù)雜函數(shù)的圖像問題可用排除法，可根據(jù)奇偶性和帶點(diǎn)排除來選出正確圖像。【變式訓(xùn)練】1．（2022·云南師大附中高一期中）在同一平面直角坐標(biāo)系中，函數(shù)，（且）的圖象可能是（

）A．B．C．D．2．（2022·山西·高二學(xué)業(yè)考試）函數(shù)的圖像是（

）A．B．C． D．3．（2022·江西贛州·高三期中（文））函數(shù)的圖象大致為（

）A．B．C．D．4．（2022·福建省永泰縣第二高三階段練習(xí)）已知直線過函數(shù)（，且）的定點(diǎn)T，則的最小值為（

）A．4 B．6 C． D．題型三指對(duì)冪函數(shù)的定義域【典例分析】典例3-1．（2017·山東濰坊·高三期中）函數(shù)的定義域?yàn)锳． B．C．0

，

典例3-2．（浙江省浙南名校聯(lián)盟2022-2023學(xué)年高一上學(xué)期期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試題）函數(shù)的定義域?yàn)椋?/p>

）A． B．C． D．典例3-3．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)的定義域?yàn)?，則函數(shù)的定義域?yàn)椋?/p>

）A． B． C． D．【方法技巧總結(jié)】1.分類：具體函數(shù)定義域、抽象函數(shù)定義域2.技巧：具體函數(shù)定義域要熟練自變量有意義的環(huán)境，且各部分限制求出的自變量范圍需取交集；抽象函數(shù)定義域需注意前后所述定義域都是自變量x的范圍，并非括號(hào)里整體的范圍，而括號(hào)里的整體稱為“元”，前后兩個(gè)“元”的范圍永遠(yuǎn)是相同的?！咀兪接?xùn)練】1．（2020·寧夏·石嘴山市第三高一期中）函數(shù)的定義域?yàn)椋?/p>

）A． B． C． D．2．（2021·全國·高一課時(shí)練習(xí)）函數(shù)的定義域是（

）A． B． C． D．3．（2022·全國·高三專題練習(xí)）函數(shù)的定義域?yàn)?，則的定義域?yàn)椋?/p>

）A． B． C． D．題型四指對(duì)冪函數(shù)的值域【典例分析】典例4-1．（2019·江蘇省新海高級(jí)高一期中）函數(shù)的值域是（

）A． B．C． D．典例4-2．（2022·廣東·廣州四十高一期中）已知．若存在最小值，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（

）A． B． C． D．典例4-3．（2022·湖北·鄂州市鄂城區(qū)教學(xué)研究室高一期末）已知，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．【方法技巧總結(jié)】1.技巧：一般的函數(shù)求值域可利用函數(shù)性質(zhì)或圖像來求解，復(fù)合函數(shù)需利用換元分解為把內(nèi)外函數(shù)來求解，且內(nèi)函數(shù)的值域是外函數(shù)的定義域。2.注意：函數(shù)值域也可用來反求參數(shù)范圍，需注意數(shù)形結(jié)合；函數(shù)值域應(yīng)用在恒成立與能成立問題中時(shí)需注意最值是否可取對(duì)最后不等號(hào)的影響?！咀兪接?xùn)練】1．（2021·江蘇·高一專題練習(xí)）已知函數(shù)，則函數(shù)的最小值為（

）A． B． C． D．2．（2022·湖北·棗陽高三階段練習(xí)）已知的值域?yàn)镽，那么a的取值范圍是(

)A．(﹣∞，﹣1] B．(﹣1，) C．[﹣1，) D．(0，1)3．（2021·江蘇·高一單元測(cè)試）若關(guān)于的不等式在區(qū)間上有解，則實(shí)數(shù)的取值范圍為(

)A． B． C． D．題型五指對(duì)冪函數(shù)的單調(diào)性【典例分析】典例5-1．（2022·廣東·執(zhí)信高一期中）函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是（

）A． B． C． D．典例5-2．（2022·河南信陽·一模（理））已知函數(shù)在上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)的取值范圍（

）A． B． C． D．典例5-3．（2022·廣東·深圳科學(xué)高中高一期中）設(shè)，則a，b，c的大小關(guān)系為（

）A． B． C． D．【方法技巧總結(jié)】1.技巧：?jiǎn)握{(diào)性可以用在解不等式或比較大小以及求參數(shù)等題型上，要注意對(duì)于函數(shù)圖像的研究，復(fù)雜函數(shù)可分解為內(nèi)外函數(shù)，也可以結(jié)合求導(dǎo)來處理。2.注意：?jiǎn)握{(diào)區(qū)間需注意定義域，復(fù)合函數(shù)單調(diào)性需滿足“同增異減”。【變式訓(xùn)練】1．（2022·福建·寧德市民族高三期中）函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是（

）A． B． C． D．2．（2021·山東·青島高一期中）已知在上是減函數(shù)，則實(shí)數(shù)a取值范圍（

）A． B． C． D．3．（2022·河南·模擬預(yù)測(cè)（理））已知，，，則a，b，c的大小關(guān)系是（

）．A． B． C． D．題型六反函數(shù)【典例分析】典例6-1．（2007·安徽·高考真題（文））函數(shù)的反函數(shù)是（

）A． B．C． D．典例6-2．（2007·全國·高考真題（文））函數(shù)與它的反函數(shù)的圖象（

）A．關(guān)于y軸對(duì)稱 B．關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱C．關(guān)于直線對(duì)稱 D．關(guān)于直線對(duì)稱典例6-3．（2022·全國·高三專題練習(xí)）若滿足，滿足，則等于（

）A．2 B．3 C．4 D．5【方法技巧總結(jié)】1.技巧：反函數(shù)只需將原函數(shù)自變量與因變量顛倒，然后整理即可；反函數(shù)的值域與定義域也會(huì)與原來函數(shù)相反。2.注意：原函數(shù)與反函數(shù)圖像關(guān)于直線y=x對(duì)稱?！咀兪接?xùn)練】1．（2007·天津·高考真題（理））函數(shù)的反函數(shù)是（

）A． B．C． D．2．（2007·上?！じ呖颊骖}（文））若函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，則（

）A． B． C． D．3．（2022·河南·封丘高二期末（文））已知是方程的根，是方程的根，則（

）A． B． C． D．針對(duì)性鞏固練習(xí)練習(xí)一指數(shù)、對(duì)數(shù)運(yùn)算1．（2022·江蘇·連云港市海濱高三階段練習(xí)）計(jì)算下列各式的值：(1)；(2)2．（2021·福建·石獅市第八高一期中）求下列各式的值：(1)若，求的值.(2)；3．（2022·河南南陽·高一期中）（1）已知，，試用a，b表示；（2）求值：．練習(xí)二指對(duì)冪函數(shù)的圖像4．（2022·浙江·紹興市教育教學(xué)研究院高二期末）在同一直角坐標(biāo)系中，函數(shù)，且的圖象可能是（

）A．B．C．D．5．（2022·全國·高三專題練習(xí)）如圖所示，函數(shù)的圖像是（

）A．B．C． D．6．（2022·寧夏·銀川高三階段練習(xí)（文））函數(shù)的圖像大致是（

）A．B．C．D．7．（2021·廣東·東莞市石龍高一期中）已知函數(shù)（a＞0且a≠1）的圖象恒過定點(diǎn)A，若點(diǎn)A的坐標(biāo)滿足關(guān)于的方程，則的最小值為（

）A．9 B．24 C．4 D．6練習(xí)三指對(duì)冪函數(shù)的定義域8．（2007·湖南·高考真題（文））函數(shù)的定義域?yàn)椋?/p>

）A． B． C． D．或9．（2022·廣東·高三學(xué)業(yè)考試）函數(shù)的定義域是（

）A．（-∞，2） B．[1，2） C．[1，2] D．[1，+∞）10．（2022·河北·開灤第一高三階段練習(xí)）已知函數(shù)的定義域?yàn)?，則函數(shù)的定義域?yàn)椋?/p>

）A． B． C． D．練習(xí)四指對(duì)冪函數(shù)的值域11．（2022·全國·高三專題練習(xí)）函數(shù)的最小值是（

）．A．10 B．1 C．11 D．12．（2022·陜西省安康高一期末）已知函數(shù)的值域?yàn)镽，則a的取值范圍是（

）A． B． C． D．13．（2021·全國·高一專題練習(xí)）若對(duì)任意的，都有恒成立，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．練習(xí)五指對(duì)冪函數(shù)的單調(diào)性14．（2022·黑龍江·綏化市第二高三階段練習(xí)）函數(shù)的遞增區(qū)間為（

）A． B．C． D．15．（浙江省浙南名校聯(lián)盟2022-2023學(xué)年高一上學(xué)期期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試題）已知冪函數(shù)在上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)a的值為（

）A． B．3 C．或3 D．不存在16