專題02充分必要條件與量詞（解析版）

專題02充分必要條件與量詞考點預測：1、全稱量詞與存在量詞（1）全稱量詞短語“所有的”，“任意一個”在邏輯中通常叫做全稱量詞，并用符號“”表示.常見的全稱量詞還有“一切”，“每一個”，“任給”，“所有的”等.含有全稱量詞的命題，叫做全稱量詞命題.全稱量詞命題“對中的任意一個，有成立”可用符號簡記為，，讀作“對任意屬于，有成立”.（2）存在量詞短語“存在一個”，“至少有一個”在邏輯中通常叫做存在量詞，并用符號“”表示.常見的存在量詞還有“有些”，“有一個”，“對某個”，“有的”等.含有存在量詞的命題，叫做存在量詞命題.存在量詞命題“存在中的元素，使成立”可用符號簡記為，，讀作“存在中的元素，使成立”.2、全稱量詞命題和存在量詞命題的否定（1）全稱量詞命題的否定全稱量詞命題：，，它的否定：，.全稱量詞命題的否定是存在量詞命題.（2）存在量詞命題的否定存在量詞命題：，，它的否定：，.存在量詞命題的否定是全稱量詞命題.【典型例題】例1．（2022·寧夏·銀川高一階段練習）設全集，集合，集合，其中．(1)若“”是“”的充分條件，求的取值范圍；(2)若，求的取值范圍．【解析】（1）因為“”是“”的充分條件，故，故，解得故“”是“”的充分條件，a的取值范圍為（2）①當時，即，解得，此時，不合題意；②當時，則，若，則⑴，解得，又因為，則，⑵，解得，與矛盾，故舍去；綜上，若，則a的取值范圍為．例2．（2022·湖北·麻城市博達高一階段練習）已知：集合，(1)若，求，；(2)若是的充分條件，求實數(shù)的取值范圍；(3)若，求實數(shù)的取值范圍．【解析】（1）當時，，，.（2）是的充分條件，，則，解得：，即實數(shù)的取值范圍為.（3）當時，，解得：，滿足；當時，若，則或，解得：或；綜上所述：實數(shù)的取值范圍為.例3．（2022·山東·山大華特臥龍高一階段練習）已知命題：實數(shù)滿足集合，：集合，若是的必要不充分條件，求實數(shù)的取值范圍.【解析】若是的必要不充分條件，則A，而，當時，，符合A；當時，，若A，則，解得，當時，，符合題意，即；當時，，若A，則，解得．綜上所述，實數(shù)的取值范圍為或或．例4．（2022·全國·高一課時練習）（1）是否存在實數(shù)p，使“”是“或”的充分條件？如果存在，求出p的取值范圍；否則，請說明理由．（2）是否存在實數(shù)p，使“”是“或”的必要條件？如果存在，求出p的取值范圍；否則，請說明理由．【解析】（1）令，或，假設存在實數(shù)p，使“”是“或”的充分條件，則，即，解得．故當時，“”是“或”的充分條件．（2）令，或，假設存在實數(shù)p，使“”是“或”的必要條件，則，顯然或不可能成立，故不存在數(shù)p，使“”是“或”的必要條件．過關測試一、單選題1．（2022·全國·高一階段練習）已知下列四組陳述句：①：集合；：集合．②：集合；：集合．③：；：．④：某高一全體學生中的一員；：某全體學生中的一員．其中p是q的必要而不充分條件的有(

)A．①② B．③④ C．②④ D．①③【答案】D【解析】①若，則或，∴，即p：；故且，即p是q的必要而不充分條件，符合題意；②若，則根據子集的性質可得，即p：；故是的充要條件，不符題意；③對于，當時，，故，∴是的必要而不充分條件，符合題意；④易知且，即是的充分而不必要條件，不符合題意；綜上，是的必要而不充分條件的有①③．故選：D．2．（2022·湖北·麻城市博達高一階段練習）設計如圖所示的四個電路圖，“開關閉合”，“燈泡亮”，則是的充分不必要條件的電路圖是（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】對于A，當開關閉合時，燈泡亮，充分性成立；當燈泡亮時，可能是另一個開關閉合，必要性不成立；則是的充分不必要條件，A正確；對于B，當開關閉合時，燈泡亮，充分性成立；當燈泡亮時，開關閉合，必要性成立；則是的充要條件，B錯誤；對于C，僅開關閉合時，燈泡不亮，充分性不成立；當燈泡亮時，開關必須閉合，必要性成立；則是的必要不充分條件，C錯誤；對于D，當開關閉合時，燈泡亮，充分性成立；當燈泡亮時，開關閉合，必要性成立；則是的充要條件，D錯誤.故選：A.3．（2022·河南·沁陽市永威高一階段練習）“”是“”的（

）A．充分條件但不是必要條件 B．必要條件但不是充分條件C．既不是充分條件，也不是必要條件 D．既是充分條件，也是必要條件【答案】B【解析】由，解得或，由推不出，故充分性不成立，由推得出，故必要性成立，故“”是“”的必要條件但不是充分條件；故選：B4．（2022·河南省葉縣高級高一階段練習）設x，y都是實數(shù)，則“且”是“且”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【解析】由且，必有且；當且時，如，不滿足，故不一定有且．所以“且”是“且”的充分不必要條件．故選：A．5．（2022·湖南·株洲高一開學考試）“”是“”的（

）條件.A．充分不必要 B．必要不充分C．充要 D．既不充分也不必要【答案】A【解析】由得或或，所以“”是“”的充分不必要條件.故選：A.6．（2022·全國·高一課時練習）設，則“”的充要條件是（

）A．都為1 B．都不為1C．中至少有一個為1 D．都不為0【答案】C【解析】由，可得，解得或，故“”的充要條件是“a，b中至少有一個為1”．故選：C.7．（2022·全國·高一課時練習）已知區(qū)間，則下列是“對任意的，”的必要不充分條件的是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由“對任意的，”，得，即，則原題等價于探求“”的必要不充分條件，A選項“”為“”的充要條件，故A錯誤；B選項“”為“”的必要不充分條件，故B正確；C選項“”為“”的既不充分也不必要條件，故C錯誤；D選項“”為“”的既不充分也不必要條件，故D錯誤；故選：B.8．（2022·山東·東營市第一高一階段練習）“不等式在R上恒成立”的充要條件是（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】∵不等式在R上恒成立，∴，解得，又∵，∴，則不等式在R上恒成立，∴“”是“不等式在R上恒成立”的充要條件,故選:A.二、多選題9．（2022·全國·高一課時練習）下列說法中正確的有（

）A．“”是“”的充要條件B．“”是“”的充分不必要條件C．“或”是“”的充要條件D．“”是“”的必要不充分條件【答案】BC【解析】對于A，當時，或，所以“”不能推出“”，A錯誤；對于B，“”能推出“”，若，則，但，所以“”不能推出“”，B正確；對于C，的實數(shù)根為，，C正確；對于D，當，時，，但，所以“”不能推出“”，D錯誤．故選：BC10．（2022·山東·東營市第一高一階段練習）若，則下列說法與之等價的是（

）A．“”是“”的充分條件B．“”是“”的必要條件C．D．【答案】ABD【解析】對于A，可得，所以對任意的，都有成立，即，所以A正確；對于B，可得，即，又因為，所以B正確；對于C，可得，所以C錯誤；對于D，，所以D正確.故選：ABD.11．（2022·全國·高一課時練習）已知是的充分條件而不是必要條件，是的充分條件，是的必要條件，是的必要條件.現(xiàn)有下列命題：①是的充要條件；②是的充分條件而不是必要條件；③是的必要條件而不是充分條件；④的必要條件而不是充分條件；則正確命題序號是（

）A．① B．② C．③ D．④【答案】ABD【解析】由題意，，但?，故①②正確，③錯誤；所以，根據等價關系知：且?，故④正確.故選：ABD12．（2022·江蘇·高一單元測試）在整數(shù)集Z中，被5除所得余數(shù)為k的所有整數(shù)組成一個“類”，記為[k]，即，.則下列結論正確的是（

）A．； B．；C．； D．整數(shù)，屬于同一“類”的充要條件是“”.【答案】ABD【解析】A：除以5，所得余數(shù)為，滿足的定義，故正確；B：整數(shù)集就是由除以所得余數(shù)為的整數(shù)構成的，故正確；C：，故，故錯誤；D：設，則；若整數(shù)，屬于同一“類”，則，所以；反之，若，則，即，屬于同一“類”.故整數(shù)，屬于同一“類”的充要條件是“”，正確.故選：.三、填空題13．（2022·江蘇·高一單元測試）已知：或，：或，若是的必要條件，則實數(shù)的取值范圍是__．【答案】【解析】因為是的必要條件，所以，即由或或；時，，此時：，有成立；②時，:且，；③時，有，即，此時無解，；綜上，．故答案為：．14．（2022·江蘇·高一單元測試）已知條件，，p是q的充分條件，則實數(shù)k的取值范圍是_______．【答案】【解析】記，，因為p是q的充分條件，所以.當時，，即，符合題意；當時，，由可得，所以，即.綜上所述，實數(shù)的k的取值范圍是．故答案為：．15．（2022·全國·高一課時練習）若不等式的一個充分條件為，則實數(shù)a的取值范圍是___________.【答案】【解析】由不等式，當時，不等式的解集為空集，顯然不成立；當時，不等式，可得，要使得不等式的一個充分條件為，則滿足，所以，即∴實數(shù)a的取值范圍是.故答案為：.16．（2022·江蘇·高一單元測試）已知表示不超過的最大整數(shù).例如，，，若，，是的充分不必要條件，則的取值范圍是______.【答案】【解析】∵表示不超過的最大整數(shù)，∴，，即，又是的充分不必要條件，，∴AB，故，即的取值范圍是.故答案為：.四、解答題17．（2022·河南·高一階段練習）已知：“實數(shù)滿足”，“都有意義”.(1)已知為假命題，為真命題，求實數(shù)的取值范圍；(2)若是的充分不必要條件，求實數(shù)的取值范圍.【解析】（1）當時，若為真命題，則，即.若為真命題，則當時，滿足題意；當時，，解得，所以.故若為假命題，為真命題，則實數(shù)的取值范圍為.（2）對，且由（1）知，對，則或.因為是的充分不必要條件，所以，解得.故的取值范圍是.18．（2022·江蘇·明達高一階段練習）已知集合，，全集，若是成立的充分不必要條件，求實數(shù)的取值范圍.【解析】由于是的充分不必要條件，所以，①當時，即時，滿足.②當時，要使，則需，解得，綜上所述，的取值范圍是或.19．（2022·全國·高一單元測試）已知全集，集合，非空集合．(1)若，求；(2)若“”是“”的必要而不充分條件，求實數(shù)a的取值范圍．【解析】（1）當時，，則,又，所以；（2）因為“”是“”的必要而不充分條件，所以且，所以，解得，故實數(shù)a的取值范圍是.20．（2022·江蘇省如皋高一開學考試）設為的三邊，求證：方程與有公共根的充要條件是【解析】充分性：因為，所以方程可化為，所以，所以，所以該方程有兩個根，同理，另一方程可化為，所以，所以，所以該方程有兩個根，可以發(fā)現(xiàn)，所以這兩個方程有公共根；必要性：設是兩方程的公共根，所以，由①②得：，若，①式得到即與三角形的邊長矛盾，所以，所以，代入①式得，整理得，所以；綜上所述，方程與有公共根的充要條件是.21．（2022·陜西·榆林市第十高一階段練習）設命題：，：．(1)若，判斷是的充分條件還是必要條件；(2)若是的______，求的取值集合．從①充分不必要條件，②必要不充分條件，這兩個條件中任選一個，補充在第（2）問中的橫線上，并給予解答．注：如果選擇條件①和條件②分別解答，按第一個解答計分．【解析】（1）記集合，．當時，，由于，是的充分條件．（2）選①，若是的充分不必要條件，等價于是的充分不必要條件，則．，①當時，，不成立；②當時，，由，得．（2）選②，若是的必要不充分條件，等價于是的充分不必要條件，則．①當時，，不可能；②當時，，由，得．綜上，的取值集合為．22．（2022·全國·高一