高級微觀經濟學

高級微觀經濟理論AdvancedMicroeconomicTheoryGeoffreyA.JehlePhilipJ.Reny微觀經濟學基本理論和內容都是一樣的。但是劃分初、中、高級微觀經濟學的關鍵是理論在一般化、形式化程度上有差別。微觀經濟學基本核心三大假定三大原理三大分析方法資源稀缺、經濟理性、保護私有財產供求原理、等價交換原理、福利最大化原理均衡分析方法（動態(tài)與靜態(tài)）、收益成本分析（動態(tài)與靜態(tài)）、帕累托標準分析一個好模型研究可觀察的真實世界的各種現象，而不是虛構各種事實，或者研究虛擬世界。解釋的現象如果太特殊，理論沒有意義，解釋的現象如果太空泛，放之四海的真理容易變成套套邏輯。假設和“前提性假設”。假設為我們的研究設定了一個范圍和條件，使待研究的現象變得更簡單，讓研究者的精力集中在主要方面，而暫時忽略一些次要內容。在滿足這個假設條件下，得到的推論是可靠的。但是，關于假設條件是否必須為真，經濟學家之間通常有嚴重分歧。如弗里德曼認為，假設是否為真不重要，重要的是得到的結論有比較普遍的解釋能力。如理性假設、完全競爭市場模型的四個假設條件、古諾模型的假設條件。在界定范圍后，需要引入的變量。需要注意哪些變量是外生變量，哪些變量是內生變量。在確定變量后，選擇合適的函數形式。函數形式既要考慮經濟含義，又要考慮處理的方便。太復雜的函數通常不容易求解出結果，推導過程也會很復雜。由于資源總是稀缺的，因此，還必須加入約束條件。如何處理好約束條件，是模型構建的難點和重點，也是經濟學家水平的重要分水嶺。一個好模型必須能夠解釋觀察到的各種現象，推測的結果要用真實世界觀察到的現象或者素材來檢驗，一個好模型還必須是有可能被可證偽的。這樣，理論才能不斷創(chuàng)新，不斷發(fā)展。Ch0.導論數學基礎（一）Asetisanycollectionofelements.Wecanbedefinedbyenumeration(列舉）oftheirelementsorbydescriptionoftheirelements.一個集合是所有元素的合并。我們既可以用列舉法來定義集合中的這些元素，也可以用描述法來定義集合中的這些元素。A={1,3,5,7,9}orA={小于10的奇數｝數學基礎（一）Membershiporinclusioninaset,weusethesymbol.otherwise,AsetSisasubsetofanothersetT,wewriteST(SiscontainedinT)orIfTS(TcontainsS),thenxSxT數學基礎（一）Theemptyset（空集）symbolis

.S=Tmeanstwosetsareequal.IfandonlyifSTandTS.Theunion(并集）ofTandSisST{xxSorxT}Theintersection(交集）ofTandSisST{xxSandxT}數學基礎（一）實數集數學基礎（一）ConvexsetsinRn

isaconvexsetifforallwehave

如果一個集合包含了該集合中每對點的所有凸組合，它才是凸的。當且僅當我們可把集合內的兩點用一條直線連接，該連接線又完全處在集合內的情況下，這一集合才是凸的。數學基礎（一）:binaryrelationbetweenSandTAnycollectionoforderedpairss與t存在特定關系或數學基礎（一）Completeness（完備性）ArelationonSiscompleteif,forallelementsx,yinS,Transitivity（傳遞性）ArelationonSistransitiveif,foranythreeelementsx,y,zinS,implies。數學基礎（一）度量與度量空間歐氏空間歐氏度量：數學基礎（一）開鄰域閉鄰域數學基礎（一）例1：在R1上的鄰域

數學基礎（一）

上的鄰域：數學基礎（一）開集如果，都使，那么是上的開集。數學基礎（一）閉集S如果S的補集Sc是開集，那么S是閉集。數學基礎（一）定理：一個集合是一個閉集，當且僅當，對所有的序列，如果對任意的m有，那么，就有。數學基礎（一）BoundedSets（有界集）AsetSinRniscalledboundedifitisentirelycontainedwithinsomeThatis,數學基礎（一）upperandlowerboundofS

inRupperbound:u最小上界：上確界（l.u.b.）lowerbound:l最大下界：下確界（g.l.b.）數學基礎（一）定理1.5：實數子集的上界與下界1、有界開集不包含上、下確界；2、有界閉集包含上、下確界。數學基礎（一）Compactset（緊集）有界閉集Ch1消費者理論Slide251.消費者理論基本概念偏好關系與效用函數消費者問題間接效用函數與支出函數需求函數性質Slide261.1消費集商品i及其數量種類有限性數量無限可分

消費組合（束）Slide271.1消費集消費集：消費者可以想象自己可能消費的各種消費組合的集合。——反映自然的約束以及消費者關于商品的信息Slide281.1消費集消費集基本假設Nonempty：

isclosed凸性(convex)

Slide291.1消費集可行集B在給定環(huán)境約束下，所有消費者實際上可以選擇的消費束。——反映制度、技術、個人能力等因素Slide301.2偏好與效用如何描述消費者的偏好？Betham：效用可度量、可比較Jevons等：邊際效用遞減法則

需求規(guī)律——基數效用論Slide311.2偏好與效用序數效用論Hicks（1939）:ValueandCapitalSlide321.2偏好與效用理性假設theconsumercanchoose能夠判斷自己喜歡什么andchoicesareconsistent自己的偏好具有一致性Slide331.2.1偏好關系二元關系(binaryrelation):如果，有,那么至少與一樣好。讀作：偏好于。Slide341.2.1偏好關系偏好公理1：完備性

偏好公理2：傳遞性

Slide351.2.1偏好關系定義1.1：如果在消費集上的二元關系滿足公理1和2，那么我們稱它為偏好關系。Slide361.2.1偏好關系定義1.2：strictpreferencerelation而且

讀作：嚴格偏好于

定義1.3：indifferencerelation而且

讀作：與無差異Slide371.2.1偏好關系消費集的分劃弱偏好集：嚴格偏好集：無差異集：Slide381.2.1偏好關系

消費集的分劃Slide391.2.1偏好關系公理3：連續(xù)性

,如果都有而且有和，那么就有和

是閉集。連續(xù)定理：Slide401.2.1偏好關系Slide411.2.1偏好關系公理:局部非飽和性

,,使得?！偞嬖诟倪M福利的可能性Slide421.2.1偏好關系X1不滿足公理Slide43局部非飽和性

無差異集合是一條曲線，

不存在無差異區(qū)域。1.2.1偏好關系Slide44X3（好的）商品越多越好??！X2Slide451.2.1偏好關系公理4：嚴格單調性，如果有那么有，如果有，那么有嚴格單調性局部非飽和性Slide46X2X3X11.2.1偏好關系

無差異曲線斜率為負嚴格單調性Slide471.2.1偏好關系公理：凸性如果，那么Slide48X2X1Xt1.2.1偏好關系Slide491.2.1偏好關系公理5：嚴格凸性如果和，那么Slide50

X1Xt嚴格單調、嚴格凸性偏好嚴格凸向原點的無差異曲線1.2.1偏好關系Slide511.2.1偏好關系邊際替代率無差異曲線的斜率凸偏好邊際替代率非遞增嚴格凸偏好邊際替代率遞減Ch1.2.2效用函數Slide53數學基礎：函數連續(xù)性如果定義域的一個“微小運動”并不導致值域的“大跳躍”，那么，函數基本上可以判斷是連續(xù)的。函數Slide54數學基礎：函數連續(xù)性（Cauchy）在此定義中，函數的定義域不再在R中取值，而只是在R的一個子集中取值。Slide55Slide56數學基礎：函數象與原象（inverseimage）

連續(xù)性與原象（定理A1-6）Slide57數學基礎：函數定理A1.7：連續(xù)函數在緊集上的象（image)是緊集Slide58數學基礎：函數極值存在性定理（Weierstrass）Slide59數學基礎：多變量函數的微分梯度(gradient)：一階微分：二階微分：（海賽矩陣）Slide60數學基礎：矩陣定義：

N×N矩陣M，如果都有半負定矩陣的特點是其每個特征值都是0或負數；負定矩陣的特點是其每個特征值都是負數。那么，稱M是半負定矩陣；如果不等號嚴格成立，那么稱M為負定矩陣。Slide61數學基礎：擬凹函數Slide62數學基礎：擬凹函數Slide631.2.2效用函數定義1.5：實值函數u:R??

R是表示偏好關系的效用函數，如果存在性唯一性Slide641.2.2.1效用函數存在性定理1.1：代表偏好關系的實值函數的存在性定義在的偏好關系滿足連續(xù)性和嚴格單調性，那么就存在一個連續(xù)的實值函數表示.。Slide651.2.2.1效用函數存在性定理1.1證明思路先構造一個實值函數然后證明它滿足效用函數的條件Slide66I、效用函數的構造0u(x)e~xSlide67至此我們證明出，對于每個x屬于R，正好存在一個函數u（x），使得u(x)e~x。到此為止,我們構造了一個效用函數,它給X中的每一消費束分配一個數字。以下我們將說明這一效用函數代表偏好關系。Slide68II、是效用函數由式得到（傳遞性）（嚴格單調性）——u(x)是表示偏好關系效用函數Slide69III、是連續(xù)函數效用函數u(x)在開區(qū)間(a,b)上的逆映射(原象)（定義）（單調性）（傳遞性）是開集（因為的補集是閉集）Slide701.2.2.2效用函數的唯一性正單調變化其中在的取值范圍上是嚴格遞增函數。Slide711.2.2.2效用函數的唯一性定理1.2：效用函數對正單調變化的不變性實值函數u(x)能夠表示偏好關系，那么，當且僅當v(x)是u(x)的正單調變換,v(x)也能夠表示該偏好關系。Slide721.2.2.2效用函數的唯一性設表示的是偏好關系的結構。

Ch1.3消費者問題Slide74Ch1.3消費者選擇問題最優(yōu)解的性質最優(yōu)解的充分必要條件Slide75數學基礎約束最優(yōu)化求解：拉格朗日方法受約束于可構造拉格朗日函數，用無拘束三變量函數替代兩變量函數：

Slide76拉格朗日定理（定理A2-16）設f（x）與是一些定義域在上的連續(xù)可微的實值函數。設x*是D的一個內點并且x*是f的一個最優(yōu)值點（最大值或最小值）；f受到的約束，如果梯度向量是線性獨立的，那么總會存在m個不同的數使得Slide77定理A2-19受非負性條件約束的實值函數最優(yōu)化的必要條件：設f(x)是連續(xù)可微的1.如果在的約束下,x*最大化了f(x),那么x*滿足:

Slide78定理A2-19,續(xù)2.如果在的約束下,x*最小化了f(x),那么x*滿足:Slide79Kuhn-Tucker條件（定理A2-20）受不等式條件約束的實值函數最優(yōu)化的（Kuhn-Tucker

）必要條件設f（x）與是一些定義域在上的連續(xù)可微的實值函數。設x*是D的一個內點并且x*受到條件約束的f的最優(yōu)解（最大值或最小值解）。如果與所有束緊約束相關的梯度向量是線性獨立的，那么必存在唯一的向量使得（x*，）滿足Kuhn-Tucker

條件：Slide80Ch1.3消費者選擇問題分析框架偏好關系：消費集：可行集：最優(yōu)化選擇：Slide81Ch1.3消費者選擇問題假設1.2消費者偏好具有完備性、可傳遞性、連續(xù)性和嚴格單調性。消費者的效用可以由一連續(xù)、嚴格遞增的擬凹實值函數表示。形式理性Slide82Ch1.3消費者選擇問題可行集預算行動規(guī)則制度、政府規(guī)制等交易規(guī)則：完全競爭性市場可行集：Slide83Ch1.3消費者選擇問題消費者問題Slide84Ch1.3.1解的性質：存在性如果定義域D是一個緊集，那么連續(xù)實值函數u(x)則存在最大值。是上的連續(xù)函數非空是有界、閉集是緊集存在最大值滿足假設1.2

Slide85Ch1.3.1解的性質：唯一性如果偏好關系滿足嚴格凸性，可行集B是凸集，那么最優(yōu)解唯一證明：是凸集

是嚴格擬凹函數

——與假設矛盾假設不成立解是唯一的Slide86Ch1.3.1解的性質：唯一性非凸偏好x1x2Slide87Ch1.3.1解的性質：唯一性非嚴格凸偏好x1x2Slide88Ch1.3.1解的性質：瓦爾拉斯法則瓦爾拉斯法則偏好的遞增性當且僅當滿足以下條件時效用函數取到最大值：Slide89Ch1.3.1解的性質偏好的理性、連續(xù)性偏好的嚴格凸性偏好的遞增性效用最大化問題的解就是馬歇爾需求函數。存在性唯一性瓦爾拉斯法則——馬歇爾需求函數Slide90Ch1.3.2解的充要條件偏好具有良好性質，可導Slide91解的充要條件I、II、III、根據Kuhn-Tucker條件Slide92Ch1.3.2解的充要條件偏好的嚴格單調性（幾乎處處成立）內點解必要條件Slide93Ch1.3.2解的充要條件定理1.4：內點解必要條件的充分性如果效用函數連續(xù)擬凹，在可導，而且，。那么滿足以下必要條件的解一定是消費者的效用最大化解。Slide94Ch1.3.2解的充要條件擬凹設有：證明Slide95Ch1.3.2解的充要條件假設不是消費者的效用最大化選擇,即連續(xù)性——與u(x)擬凹性矛盾Slide96Ch1.3.2解的充要條件定理1.5：需求函數的可微性設為在下消費者的最優(yōu)選擇。如果有

在點上的加邊海塞矩陣的秩不等于0。是上的二階連續(xù)可微函數在可微。那么Slide97例Slide98角點解如果那么最優(yōu)解位于可行集的角上Slide99角點解擬線性偏好Slide100角點解線性偏好2442x1Slide101角點解（根據定理A2.19)Slide102角點解1、2、Slide103角點解3、Slide104課堂練習1.20、、1.24、1.25、1.26、Ch1.4間接效用與支出Slide106數學基礎值函數（Valuefunction）MP：Slide107最大化定理如果目標函數與約束條件關于參數是連續(xù)的,并且如果定義域是一個緊集,那么,M(a)與x(a)是參數a的連續(xù)函數.進一步,如果目標函數,約束條件與解均對參數可微,則有包絡定理.Slide108包絡定理（定理A2.21）（MP）中，如果f(·),g(·)對a連續(xù)可微，并且對任意a,x(a)>>0是MP的唯一解，而且對a可微。為該問題的拉格朗日函數，是滿足kuhn-Tucker條件的解。那么有

（等式右邊表示拉格朗日函數關于參數aj的偏導數，它在點（x(a)，(a)）處取值）Slide109包絡定理的含義定理說明了如下情況：當參數發(fā)生變化時（并且假設因此變化而使整個最優(yōu)化問題被重新賦值），它對目標函數最優(yōu)化值產生的總效應可用如下方式來推導：給拉格朗日函數求參數的偏導數，并接著可在原問題的一階庫恩-塔克條件的解處給該導數取值。證明：略Slide1101.4.1間接效用函數Slide1111.4.1間接效用函數定義在消費集上的效用函數直接效用函數u(x)定義在(p,y)上的函數間接效用函數v(p,y)——當價格、收入變化時，消費者福利會發(fā)生怎樣的變化？Slide1121.4.1間接效用函數性質1：在上連續(xù)最大化定理約束函數是p,y的連續(xù)函數性質2：是(p,y)的0次齊次函數Slide1131.4.1間接效用函數性質3、4：是y的嚴格遞增函數，p的遞減函數。證明：構建拉格朗日函數令為最大化問題的解，則根據拉格朗日定理得出存在一個使得下式成立：

易得>0Slide114性質3、4根據包絡定理,因此v(p,y)關于y是遞增的.同樣根據包絡定理有:因此v(p,y)關于p是遞減的.Slide1151.4.1間接效用函數性質5：是(p,y)的擬凸函數擬凸令Slide1161.4.1間接效用函數假設不成立，那么即—與矛盾Slide117性質6:Roy恒等式：消費者對物品i的馬歇爾需求只是間接效用函數關于pi的偏導數與其關于y的偏導數的比率的負數。根據包絡定理，根據性質3，有Slide1181.4.1間接效用函數例Slide1191.4.2支出函數在給定價格(p1,p2)下，實現效用水平u，至少需要多少預算（支出）？ux1x2u(x1,x2)=u等支出線Slide1201.4.2支出函數支出最小化問題(EMP)——?？怂剐枨蠛瘮礢lide1211.4.2支出函數希克斯需求函數xh(p,u)在價格p下，實現效用水平u，支出最小的消費束。Slide122x1x2xh補償需求曲線Slide123Hicksiandemandfunction對于不同的無差異曲線，——對于不同的效用水平，有不同的?？怂剐枨笄€，它們中的每一個的形狀與位置將總是由潛在的偏好所決定。在同一條?？怂剐枨笄€上的每一點，其給消費者帶來的效用都相等。顯然，在給定價格體系p和效用水平U(x)之后，相應的?？怂剐枨蟛灰姷么嬖冢词勾嬖?，也不見得唯一，要使其具有存在性和唯一性，還須運用相應的假設。Slide1241.4.2支出函數支出最小化問題解的存在性、唯一性支出函數的性質Slide125存在性定理設消費集合X是向下有界的非空閉集，?是連續(xù)的偏好，則對任何價格向量及任何，都有（即?？怂剐枨蠹戏强眨?。因此理性消費者的?？怂剐枨笫谴嬖诘摹lide126唯一性定理設消費集X是凸集,?是連續(xù)的嚴格凸偏好,則對于符合條件e(p,x)>e*(p)的任何價格體系p和消費向量,?？怂剐枨蠹现凶疃嘀挥幸环N消費方案.因此,理性消費者的希克斯需求是唯一的.Slide127存在性定理的證明是連續(xù)函數是連續(xù)函數是閉集Slide128續(xù)

E有下界是閉集2.1.

存在最小值，即Slide129唯一性定理的證明u(x)是嚴格擬凹函數假設x1,x2都是EMP的最優(yōu)解

u(xt)>up·xt=p·x2=e

存在k<1使得

u(kxt)>u

p·kxt<e如果偏好滿足假設1.2，那么EMP最優(yōu)解唯一證明：u(x)是連續(xù)函數—與假設矛盾Slide130支出函數e(p,u)的性質如果u(.)是連續(xù)且嚴格遞增的,那么由最小值函數定義的e(p,u)則是:性質1：當效用水平取最低值時，支出函數值為0。偏好（嚴格）遞增

性質2：在是連續(xù)函數(最大化定理)Slide1311.4.2.2支出函數性質性質3:對,是u的嚴格遞增函數，而且無上界。證明:假設非嚴格遞增，令u1<u2記x1＝xh(p,u1),x2＝xh(p,u2)——與x1＝xh(p,u1)矛盾Slide1321.4.2.2支出函數性質性質3：證明（微分方法：包絡定理）假設1.而且可微u(·)可微u(·)連續(xù)，嚴格遞增性2.I.Slide1331.4.2.2支出函數性質根據拉格朗日定理，必然存在一個λ*，使得：由于u(x)是遞增的,,所以λ*>0根據包絡定理：性質4：支出函數是價格的遞增函數。Slide1341.4.2.2支出函數性質性質5：價格的一次齊次函數Slide1351.4.2.2支出函數性質性質6：是價格的凹函數證明：Slide1361.4.2.2支出函數性質性質7:Shephardlemma證明見性質4.Slide1371.4.2.2支出函數性質例:求與對應的支出函數解:

求拉格朗日函數的一階條件并消去,得到

,于是可得支出函數Slide1381.4.3間接效用與支出函數的關系定義

定義

（1.17）（1.16）1、2、Slide1391.4.3間接效用與支出函數的關系支出最小化→要達到效用u，最小的支出是e(p,u)效用最大化→支出為y時效用最大取值為u→支出為y時總能實現效用u→y最小支出e(p,u)效用最大化→在支出為y的條件下能達到的最大效用是u支出最小化→實現效用u的最小開支取值為e(p,u)→當開支取值為e時總能實現u→開支取值為e(p,u)時帶來的效用v(p,y)uSlide1401.4.3間接效用與支出函數的關系定理1.8：假設連續(xù)且嚴格遞增，如果和分別是消費者的間接效用函數和支出函數，那么，對有：

Slide1411.4.3間接效用與支出函數的關系

假設e(·)連續(xù)性(1.17)

這是不可能的證明：v(·)是y的嚴格遞增函數Slide1421.4.3間接效用與支出函數的關系

（1.17）:假設證明：v(·)連續(xù)

這是不可能的Slide1431.4.3間接效用與支出函數的關系定理1.9：馬歇爾需求與希克斯需求的對偶性在假設1.2下，對于所有有:

Slide1441.4.3間接效用與支出函數的關系

證明：定理1.8

Slide145對偶性的內涵

從表面上看,效用最大化的馬歇爾需求沒有考慮支出最小化的問題,支出最小化的希克斯需求沒有考慮效用最大化的問題,但事實并非如此.馬歇爾需求與?？怂剐枨笫腔ハ嘁恢碌?或者說,效用最大化蘊涵著支出最小化,支出最小化也蘊涵著效用最大化.因此,消費最優(yōu)選擇不僅可以看做一個選擇與預算線相切的最高無差異曲線的問題,也可以看做是一個選擇與既定的無差異曲線相切的最低預算線的問題.1.5需求函數性質Slide147Relativepricesandrealincome.relativepricepricesthegoodbysomeothergood,notmoney.realincomeisthemaximumnumberofunitstheconsumercanconsumeifhespendsallhismoneyincome.Slide1481.5需求函數的性質定理1.10:0次齊次和預算平衡在假設1.2下

x(p,y)是(p,y)的0次齊次函數x(tp,ty)＝x(p,y)forallt>0滿足預算平衡：p·x(p,y)=ySlide1491.5需求函數的性質相對價格形式令x(p,y)=x(tp,ty)相對價格：實際收入：對n種商品中每一種商品的需求只依存于n-1個相對價格與消費者的實際收入。Slide1501.5.2收入效應與替代效應?？怂狗纸馓娲?SE)：在保持消費者最大化效用不變前提下，相對價格變化所引起的需求量的變化。收入效應(IE)：總效應(TE)與替代效應的差。TE=SE+IESlide151x1x2xhTEIESE1.5.2收入效應與替代效應Slide1521.5.2收入效應與替代效應Slutsky方程收入效應替代效應Slide153Slutsky方程對偶性

記：對偶性

Shepard引理

Slide154Slutsky方程Slide1551.5.2收入效應與替代效應

是p的凹函數(支出函數性質6)定理1-12：負的自替代效應Shepard引理

Slide1561.5.2收入效應與替代效應NormalgoodsinferiorgoodsGiffenGoodsSlide1571.5.2收入效應與替代效應NormalgoodsinferiorgoodsGiffenGoodsSlide158需求規(guī)律定理1-13:正常商品自身價格的下降將導致需求的增加。如果自身價格下降導致需求減少，那么該商品必定是劣質商品。Slide159IncomeandSubstitutioneffects:NormalGoodFood(unitspermonth)OClothing(unitspermonth)RF1SC1AU1Theincomeeffect,EF2,(fromDtoB)keepsrelativepricesconstantbutincreasespurchasingpower.IncomeEffectC2F2TU2BWhenthepriceoffoodfalls,consumptionincreasesbyF1F2

astheconsumermovesfromAtoB.ETotalEffectSubstitutionEffectDThesubstitutioneffect,F1E,(frompointAtoD),changestherelativepricesbutkeepsrealincome(satisfaction)constant.Slide160Food(unitspermonth)ORClothing(unitspermonth)F1SF2TAU1ESubstitutionEffectDTotalEffectSincefoodisaninferiorgood,theincomeeffectisnegative.However,thesubstitutioneffectislargerthantheincomeeffect.BIncomeEffectU2IncomeandSubstitutioneffects:InferiorGoodSlide1611.5.2收入效應與替代效應定理1-14:對稱性替代項e(p,u)二次連續(xù)可微

Shepard引理

Slide1621.5.2收入效應與替代效應定理1.15：負半定替代矩陣Slide1631.5.2收入效應與替代效應是p的凹函數

負半定Slide1641.5.2收入效應與替代效應定理1.16：負半定對稱斯勒茨基矩陣Slide165Application定理1-10和1-16可用于對理論或實證模型進行檢驗.消費者需求滿足齊次性和預算平衡性的要求,以及斯勒茨基矩陣必須是對稱的和負半定的要求,為實際估算馬歇爾需求方程組中參數的設定規(guī)定了一系列嚴格的限制(當然,在這種情況下,消費者必須是理性的價格接受者).Slide1661.5.3彈性分析收入彈性價格彈性收入份額Slide167消費者需求的加總定理1-17:設x(p,y)是消費者的馬歇爾需求,則如下關系必須在收入份額,需求的價格彈性與收入彈性間成立:1.Engelaggregation:它表明收入份額加權的收入彈性之和為1.2.Cournotaggregation:它表明加權的自身需求價格彈性與交叉需求價格彈性總可以某種特殊方式加總.Slide168恩格爾加總Slide169古諾加總Slide170Tosumup定理1.10-1.17共同給出了一個有關效用最大化行為的邏輯含義的說明:齊次性告訴我們需求必將對等比例的價格與收入的同時變動做出反應,預算平衡性則要求需求耗盡消費者的收入.斯勒茨基方程告訴我們,針對一般性的價格變化,需求的變化數量和方向將怎樣(它還考察了那些不可觀測到的需求變化是如何具體影響需求總量,從而使需求量表現為我們最終觀測到的實際變化).最后,加總關系提供了有關需求量如何在整個需求函數方程組中被“放到一起”的技巧.Slide171作業(yè)29、38、45、46、50、54、60、62、63Ch2消費者理論專題Slide173數學基礎超平面（hyperplane）ahyperplaneisanycodimension-1vectorsubspaceofavectorspace.Equivalently,ahyperplaneVinavectorspaceWisanysubspacesuchthatW/Visone-dimensional.Slide174歐拉定理當且僅當如下式子成立時，f(x)是k次齊次性的:Slide175Ch2對偶性可積性顯示偏好不確定性Slide1762.1對偶性－深入分析偏好EMPUMPSlide1772.1.1支出與偏好

它可能是、也可能不是一個支出函數。滿足什么條件時是支出函數？從消費者的支出行為能否還原其偏好關系？在前面一章，我們的支出函數構造思路是：效用函數→EMP→支出函數而在本章我們的思路正相反：支出函數→效用函數Slide178定理1.7：支出函數的性質1.

在連續(xù)2.

對,是u的嚴格遞增函數，而且無上界。3.

是價格的遞增函數。4.

是價格的凹函數5.

是價格的一次齊次函數Slide179命題1：（本節(jié)所要說明的問題）如果E(p,u)滿足定理1.7：1-5性質，那么它就是某一偏好的支出函數。換言之，與此支出函數相對應的效用函數必然存在。等價提法：能夠構造一個效用函數u(·)，使得E(p,u)正好是該效用函數下的支出函數。思路：構造一個函數證明它是效用函數Slide1802.1.1支出與偏好偏好EMPUMP根據支出行為，能夠恢復其偏好關系Slide181

XE(p,u0)u0Xu(x)A(u0)

表示的是這樣的消費組合集合，它在任何價格水平下都能滿足px>E(p,u0)Slide182XE(p,u0)u0Xu(x)A(u0)A(u1)u1A(u2)u2u*Slide183先構造：A(u):E(p,u)的上等值集然后在A(u)基礎上構造u(·)Slide184效用函數的構造給定令超平面：Slide185效用函數的構造—p0·x是x的連續(xù)函數

A(p0,u0)是閉集—p0·x是x的線性函數

所有在價格p0下能夠達到u0的消費束都在A(p0,u0)內，據此我們有：

A(p0,u0)是凸集A(u0)A(p0,u0)Slide186效用函數的構造存在一條未知的無差異曲線～(u0)，在價格p0下，剛好與該預算線相切.問題：如何通過A(p0,u0)

找出無差異曲線

u0？Slide187效用函數的構造我們可以把在不同價格水平下的所有與該無差異曲線相切的預算線劃出來當p=p1時A(u0)A(p1,u0)Slide188效用函數的構造無差異集既在A(p0,u0)又在A(p1,u0)，即在它們的交集中。－－所有能夠至少產生效用水平u0的消費組合記為式2-1A(p,u0)是閉集

A(u0)是閉集Slide189效用函數的構造E(p,u)是u的遞增函數A(u)的遞增性Slide190效用函數的構造給定消費組合x，其效用水平？如果那么x至少能夠達到那么x不可能達到記：Slide191定理2.1如果E(p,u)具有定理1.7的支出函數的性質，A(u)是根據2.1式定義，那么函數是與E(p,u)相對應的效用函數,它是一個遞增、無上界的擬凹函數。Slide192證明：第二步最大值存在

B(x)是有上界非空閉集遞增、無上界、擬凹

——具有效用函數的性質Slide193是u的連續(xù)函數最大值存在性是閉集1.1、B(x)是閉集證明：Slide194E(p,u)無上界，是u的遞增函數

B(x)有上界最大值存在性使得B(x)非空

存在上確界1.2、B(x)是存在上界證明Slide195最大值存在性存在上確界閉集具有良好定義Slide196

遞增性Slide197無上界假設存在上界，則一定有上確界都有即我們需要證明證明Slide198給定是P的一次齊次可微函數歐拉定理

是P的凹函數,根據定理A2.4

無上界證明Slide199設即無上界Slide200擬凹給定記證明Slide201定理2.2如果E(p,u)具有定理1.7的支出函數的性質，u(x)是根據定理2.1構造的效用函數，那么Slide202定理2.2：證明給定設滿足定義

給定Slide203定理2.2：證明是P的一次齊次可微函數歐拉定理

是P的凹函數(根據定理A2-4)

Slide204定理2.2：證明設Slide205結論定理2-1和2-2告訴我們,在任何時刻,我們可寫出滿足定理1-7性質的關于價格與效用的函數,對于滿足一般公理的偏好而言,該函數將是一個合理的支出函數.我們可由一個直接效用函數出發(fā),通過求解適宜的最優(yōu)化問題以求出?？怂剐枨蠡蝰R歇爾需求函數;也可由一個支出函數出發(fā),經由相反的路線及簡單積分的方法來獲得消費者需求方程.而后者在真實世界里實用性更強.Slide2062.1.2凸性與單調性凸性、單調性假設

是對個人偏好很強的假設，如果需求理論需要依賴很強的假設，那么無疑會限制該理論的應用?！墙洕鷮W的一塊心病Slide2072.1.2凸性與單調性只是技術性假設，理論的預測并不會因為引入這兩個假設而改變。即：非凸、非單調性偏好下的最優(yōu)選擇一定也是單調、凸偏好下的最優(yōu)選擇。Slide208構造的凸化和單調化偏好連續(xù)具有良好定義,而且連續(xù)

——遞增、擬凹（定理2.1的證明）根據構造函數:Slide209與關系

Slide210（擬凹）:凸集

與關系

Slide211I、如果是遞增的擬凹函數是閉凸集——無差異曲線上的任意消費束，都存在一個正的價格向量，使其成為成本最小化選擇Slide212I、如果是遞增的擬凹函數支撐超平面定理

（分離超平面定理）是閉凸集使得都有：Slide213I、如果遞增的擬凹函數是u的遞增函數任何大于u的值都不屬于B(x0)Slide214I、如果遞增的擬凹函數Slide215II、如果不是遞增、也不是擬凹函數無差異曲線上，x0~x1,以及x2~x3,上的消費束都存在嚴格為正的價格，使其成為成本最小化的最優(yōu)選擇。x3x0x2x1而且對于x1,x2Slide216II、如果不是遞增、也不是擬凹函數不是擬凹函數即有(e(p,u)遞增性)因為Slide217x2x1II、如果不是遞增、也不是擬凹函數xtx0x3Slide218x2x1II、如果不是遞增、也不是擬凹函數xtx0非遞增性

x3Slide219II、如果不是遞增、也不是擬凹函數2.1.2凸性與單調性Slide2202.1.3間接效用與偏好偏好EMPUMP從間接效用函數能夠恢復其偏好關系Slide221直接效用函數的構造如果有Slide222定理2.3

在上擬凹而且可微，一階偏導嚴格為正，那么間接效用函數在上取得最小值，并且有：（T1）Slide223定理2.3:證明令給定

Slide2242.1.3間接效用與偏好如果函數滿足定理1.6中的性質，那么該函數就是一個間接效用函數，而且根據（T1）所構造的函數就是產生該間接效用函數的直接效用函數。Slide2252.1.3間接效用與偏好0次齊次

其中Slide226例Slide227反需求函數定理2.4設u(x)是消費者的效用函數，那么商品i的反需求函數為Slide228證明包絡定理：Slide229例：求反需求函數Ch2消費者理論專題Lecture2可積性與顯示偏好Slide2312.2可積性如何從可觀察的需求行為恢復產生該需求的效用函數？

Slide2322.2可積性偏好EMPUMPSlide2332.2可積性需求函數應該滿足那些條件？-零次齊次性、預算平衡性、對稱性與負半定性，以及相伴隨的古諾加總和恩格爾加總。-根據定理1-17，加總結論直接來自預算平衡性。-零次齊次性可由預算平衡性與對稱性所蘊涵。Slide234定理2-5定理2-5：如果x(p,y)滿足預算平衡性并且其斯勒斯基矩陣是對稱的,那么它對p與y就是零次齊次的。證明：略Slide235總結如果x(p,y)是需求函數的一個效用最大化的方程組,那么,我們可以對已發(fā)現的可觀察行為含義做如下總結:預算平衡性:p?x(p,y)=y負半定性:相關的斯勒斯基矩陣s(p,y)是負半定的.對稱性:s(p,y)是對稱的.Slide236定理2.6可積性定理定理2.6:一個連續(xù)可微的函數當其滿足預算平衡性、對稱性和負半定性時，它就是由一些遞增、擬凹的效用函數產生的需求函數。該結論并且只在效用是連續(xù)的、嚴格遞增的且嚴格擬凹的條件下成立。證明：略一個有用的引理:對偶性+ShepardlemmaSlide237例題2-3存在三種物品并設消費者的需求行為由如下函數表達，求其支出函數。Slide238首先，檢查x(p,y)滿足預算平衡性、對稱性與負半定性,依據定理2-6，x(p,y)必是由效用函數生成的.根據定理2-6的引理（P.1）我們的任務在于尋找出,它求解出以下偏微分方程組:Slide239注意到上式可被改寫為:于是有:Slide240進一步,于是,由于必須確保e(p,y)關于u是嚴格遞增的,只要我們能保證c(u)嚴格遞增,所得函數就是我們要求的支出函數,可以方便地設c(u)=u.我們的最終解就是Slide2412.3顯示偏好分析的思路對偏好進行公理化假設最大化行為消費者行為觀察和預測(前面各章節(jié)的思路)可觀察的選擇出發(fā)分析消費行為Samuelson（1947）消費者選擇消費束A而非B,說明消費者更偏好于A,消費者的實際選擇行為傳遞著關于消費者偏好的信息.Slide242直接顯示偏好設是消費者在收入為m的條件下根據價格所能購買的任意商品束,是其實際購買的商品束,如果該消費者滿足預算平衡性,顯然有:于是有如果與是不同的消費束,此時我們說是的直接顯示偏好.Slide243顯示偏好原理設是價格在時被選擇的商品束,是使得成立的另一個商品束.在這種情況下,如消費者總是在他能夠購買的商品束中選擇他最偏好的商品束,則我們有Slide244間接顯示偏好與顯示偏好如需求束本身恰好又是另一商品束的顯示偏好,即根據傳遞性假設,我們有,在這種情況下,我們稱是的間接顯示偏好.如果一個商品束既是另一個商品束的直接顯示偏好,又是它的間接顯示偏好,那么我們就說第一個商品束是第二個商品束的顯示偏好.Slide245AmountofExercise(hours)AnexampleOtherRecreationalActivities($)025507520406080100l1Cl2U2BTheratechangesto$1/hr+$30/wkNewbudgetlineI2&combinationBRevealpreferenceofBtoAU1AScenarioRoberta’srecreationbudget=$100/wkPriceofexercise=$4/hr/weekExercises10hrs/wkatAgivenU1&I1Slide246恢復偏好通過觀察消費者所作的選擇,我們可以獲知他的偏好,當我們觀察的選擇越多時,我們就能對消費者的偏好作出越加準確的估計.充分利用顯示偏好的概念及關于偏好的若干前提假設,則我們能準確地畫出無差異曲線.Slide247DRevealedPreferences--TwoBudgetLinesl1l2BAI1:ChoseAoverBAisrevealedpreferredtoBl2:ChooseBoverDBisrevealedpreferredtoDFood(unitspermonth)Clothing(unitspermonth)Slide248AispreferredtoallmarketbasketsinthegreenareaRevealedPreferences--TwoBudgetLinesl2Bl1DAAllmarketbasketsinthepinkshadedareaarepreferredtoA.Food(unitspermonth)Clothing(unitspermonth)Slide249AllmarketbasketsinthepinkareapreferredtoAFood(unitspermonth)RevealedPreferences--fourBudgetLinesClothing(unitspermonth)l1l2l3l4A:preferredtoallmarketbasketsinthegreenareaEBAGI3:ErevealedpreferredtoA

I4:GrevealedpreferredtoASlide250顯示偏好的弱公理（WARP）如果對于每一對不同的消費束與，消費者在價格為時選擇，在價格為時選擇，那么，這個消費者的選擇行為會滿足顯示偏好弱公理：換言之，當是的顯示偏好，且從來不是的顯示偏好，那么，WARP成立。Slide251一種更容易理解的表述WARP：如果是的直接顯示偏好，且和不同，那么，就不可能是的直接顯示偏好。還原到現實世界就是：如果在購買商品束X時有能力購買商品束Y，那么在購買商品束Y時，商品束X就肯定是無力購買的商品束。Slide252顯示偏好弱公理x1x1x0x0Slide253選擇函數選擇函數（choicefunction）假設1：稱x1

直接顯示偏好于x2，如果有記為：Slide2540次齊次設（預算平衡）（WARP）ifSlide255斯勒茨基補償當價格變化后，調整收入，使其剛好買得起原來的消費束。（WARP）（2-5）Slide256如果那么等式成立。如果，那么，在可被支付時被選擇，WARP意味著每當被選擇時都是支付不起的，因此上式不等號是嚴格的。根據預算平衡有：（2-6）（2-6）-（2-5）得（2-7）：

Slide257令Slide258斯勒茨基補償需求Slide259斯勒茨基補償需求Slide260斯勒茨基補償需求都成立負半定Slide261總結至此我們已證明，一旦選擇函數滿足WARP和預算平衡性，那么它必定滿足由效用最大化所蘊涵的兩個特性，即零次齊次性與斯勒斯基矩陣的負半定性。如果我們能進一步證明選擇函數的斯勒司基矩陣是對稱的，那么，依據可積分性結論，選擇函數實際上就是需求函數，由此即可構建產生該需求函數的效用函數。Slide262兩物品情況我們已證，滿足WARP和預算平衡的選擇函數具有：0次齊次負半定替代矩陣兩物品的條件下，0次齊次和負半定性就意味著對稱性，因此，此時選擇函數必定是由效用最大化產生的。Slide263兩物品情況反過來看，從效用最大化得到的需求函數一定滿足WARP。設效用最大化的消費者具備了嚴格單調且嚴格凸的偏好，那么，在每一個價格集上將存在唯一的需求束，該需求束正好用盡消費者的收入。在價格為時令最大化其效用，價格為時最大化其效用，并設。由于是可支付但沒被選擇的消費束，因此必定有。因此，當在價格為時被選擇，此時必定是不可獲得的：因此，，WARP于是得到滿足。Slide264兩物品以上情況超過兩物品的情況，由于WARP與預算平衡性不意味著斯勒斯基矩陣的對稱性，因此，對于兩種物品以上的情形，WARP與預算平衡并不等價于效用最大化假說。Slide265可見從效用最大化得到的需求函數一定滿足WARP但滿足WARP的選擇不一定是效用最大化的選擇這導致這樣一個問題：如何強化WARP，才能使它等價于效用最大化理論。由于斯勒斯基矩陣的對稱性與消費者偏好的可傳遞性之間存在密切關系（定理1-14的證明），我們只要確定消費者偏好是可傳遞的，則對稱性就能得到滿足，進而，效用最大化假說也就能夠實現。這就是我們要尋找的WARP的附加條件。Slide266顯示偏好的強公理（SARP）SARP：如果對于每個不同消費束的序列，是的顯示偏好，是的顯示偏好，……，是的顯示偏好，同時不存在是的顯示偏好，那么我們說SARP被滿足。SARP（一種更簡單的表達）：如果是的顯示偏好（直接或間接），且與不同，則不可能是的直接或間接顯示偏好Slide267SARP如果消費者選擇行為滿足SARP，那么其行為等價于效用最大化行為?；蚩梢詮臐M足SARP的選擇行為恢復消費者的偏好關系。簡單地說，建立在SARP上的需求理論，基本上等價于建立在效用最大化基礎上的需求理論。SARP是使我們觀察到的選擇同消費者選擇的經濟模型相容的充分必要條件。但不能據此聲言構成的偏好實際上產生了觀察到的選擇。如一切科學判斷一樣，我們只能證明觀察到的行為同判斷并非不相容。只在我們窮極一切可能使觀察到的行為達到無限多的時候，上述觀點才能成立。因此，我們不能證明經濟模型是否正確，而只能決定模型的內涵，并判定觀察到的選擇是否同這些內涵相容。Slide268顯示偏好的一般公理（GARP）如上所述，由于真實世界不存在無限多的可觀察行為，因此更切實的工作是當可觀察事物為有限時出現的問題。GARP——Afriat(1976)：當且僅當只存在一個局部非飽和的、連續(xù)的、遞增的與凹的效用函數，那么，可觀察的價格與數量資料的有限集合將滿足GARP。GARP為在有限數據基礎上恢復偏好關系提供了方法。其缺陷是非唯一性。Ch2消費者理論專題Lecture3不確定性Slide270prologue以上各章節(jié)的內容都是假設決策者在一個絕對確定的世界里行動的，他了解所有物品的價格，并知道任何可行的消費束可確定地獲得。然而，在真實世界里經濟個體并不總是會有這樣的好運氣，許多經濟決策包含著或多或少的不確定性因素。在這種情況下，即使決策者可以知道不同結果的概率，決策的最終結果直至其發(fā)生前仍是不能了解的。因此，不確定性因素的引入是經濟模型對真實世界的一大修正。Slide271內容偏好期望效用函數風險厭惡Slide2722.4.1偏好選擇集選擇對象：賭局（gamble、lottery）其結果不確定可描述性：結果集概率分布Slide2732.4.1偏好選擇集簡單賭局：每一個狀態(tài)下都是確定的結果簡單賭局集Slide2742.4.1偏好選擇集復合賭局若干狀態(tài)下的結果仍然是一個賭局Slide2752.4.1偏好賭局集偏好定義在賭局空間上的消費者偏好Slide276不確定下的選擇公理公理1：完備性公理2：傳遞性Slide277不確定下的選擇公理G1＋G2

結果集內所有結果可以根據偏好序進行完整的排序：公理3：連續(xù)性Slide278不確定下的選擇公理公理3：連續(xù)性——是閉集Slide279不確定下的選擇公理公理4:單調性含義：以較高概率獲得最好結果的賭局將更受偏好。反例：死亡的刺激性微小的生命危險反而比絕對安全好，盡管百分之百死亡是絕對厭惡的。Slide280不確定下的選擇公理公理5：替代性含義：如果決策者對兩個賭局中任何給出的結果無差異，并且每個賭局的結果會以同樣的概率出現，則這兩個賭局無差異。如果那么就有Slide281復合賭局的有效概率例：設A={a1,a2}，復合賭局形式：（1）以概率α獲得結果a1；（2）以概率（1-α

）獲得彩票券，彩票券以概率β獲得結果a1，以概率（1-β

）獲得結果a2。實際上結果為a1的有效概率是多少？a1將以兩種互相排斥的方式形成：作為復合賭局的直接結果出現或作為一張彩票券出現。因此結果為a1的有效概率為α+(1-α)

β；a2的有效概率為(1-α)(1-β)。人們在考慮所進行的賭局時只考慮有效概率，因此對復合賭局和由該復合賭局引致的簡單賭局無差異。Slide282不確定下的選擇公理簡單賭局與復合賭局——復合賭局g的簡化賭局形式Slide283不確定下的選擇公理公理6：如果是g的簡化賭局，那么一定有Slide2842.4.2馮·紐依曼－摩根斯坦恩效用效用函數如果偏好關系滿足G1、G2、G3，那么存在效用函數：表示該偏好關系。Slide2852.4.2期望效用定理期望效用性質稱效用函數具有期望效用性質，如果都有其中是g的簡化賭局Slide2862.4.2期望效用定理馮·紐依曼－摩根斯坦恩效用函數如果效用函數具有期望效用性質，那么稱其為VNM效用函數Slide287定理2.7VNM效用函數存在性在上的偏好關系，如果滿足公理G1－G6，那么就存在具有期望效用性質的效用函數表示該偏好。Slide288證明單調性假設不唯一，設存在都滿足（1）式，所以有連續(xù)性給定，使得唯一（1）任意，一定有，令單調性

(2)——與(2)式矛盾假設不成立Slide289證明連續(xù)性

使得單調性唯一假設不唯一，設存在都滿足（1）式，所以有任意，一定有，令單調性

(2)——與(2)式矛盾假設不成立(1)Slide290證明定義：需要證明是能夠表示偏好關系的效用函數具有期望效用性質其中滿足Slide291證明：1、是表示偏好關系