任意角課件高一上學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版2

第五章

三角函數(shù)5.1.1任意角高一數(shù)學(xué)同步精品教學(xué)課件（2019人教A版）溫故知新1前面學(xué)習(xí)的內(nèi)容前面我們學(xué)習(xí)了函數(shù)的一般概念，并研究了指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)等，知道了函數(shù)的研究內(nèi)容、過程和方法，以及如何用某類函數(shù)刻畫相應(yīng)現(xiàn)實問題的變化規(guī)律.數(shù)學(xué)抽象核心素養(yǎng)數(shù)學(xué)運算邏輯推理直觀想象本章我們將利用這些經(jīng)驗，學(xué)習(xí)刻畫周期性變化規(guī)律的三角函數(shù).

接下來我們先學(xué)習(xí)任意角

課標(biāo)要求1重點1.掌握用“旋轉(zhuǎn)”定義角的概念，理解任意角的概念.2.學(xué)會在平面內(nèi)建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系來討論角；并進而理解“正角”“負角”“象限角”“終邊相同的角”的含義.難點3.掌握終邊相同角的表示方法，會用角的集合表示一些實際問題中的角．情景引入2情景一以前學(xué)習(xí)的角情景引入2情景二在跳水比賽中，運動員會做出“轉(zhuǎn)體兩周”“向前翻轉(zhuǎn)兩周半”等動作，做上述動作時，運動員轉(zhuǎn)體多少度？轉(zhuǎn)過的度數(shù)還能用0°到360°的角度表示嗎？提示順時針旋轉(zhuǎn)720°或逆時針旋轉(zhuǎn)720°.“向前翻轉(zhuǎn)兩周半”指順時針或逆時針旋轉(zhuǎn)900°，轉(zhuǎn)的角度不能用0°到360°的角表示.情景引入2問題1：任意角的概念是什么？問題2：象限角的概念是什么？問題3：終邊相同的角怎么表示？132思考問題12初中學(xué)習(xí)的角3任意角的概念任意角的理解問題1任意角的概念是什么？講解新課3講解新課3初中學(xué)習(xí)的角1由初中知識可知，射線OA繞端點O按逆時針方向旋轉(zhuǎn)一周回到起始位置，在這個過程中可以得到0°~360°范圍內(nèi)的角.如果繼續(xù)旋轉(zhuǎn)，那么所得到的角就超出這個范圍了，所以，為了借助角的大小變化刻畫圓周運動，需要先擴大角的范圍.講解新課3任意角的概念2現(xiàn)實生活中隨處可見超出0°~360°范圍的角，例如，體操中有“前空翻轉(zhuǎn)體540度”"后空翻轉(zhuǎn)體720度"這樣的動作名稱，這里不僅有超出0°~360°范圍的角，而且旋轉(zhuǎn)的方向也不相同；又如，圖5.1-2是兩個齒輪旋轉(zhuǎn)的示意圖，被動輪隨著主動輪的旋轉(zhuǎn)而旋轉(zhuǎn)，而且被動輪與主動輪有相反的旋轉(zhuǎn)方向，這樣，OA繞點O旋轉(zhuǎn)所成的角與O'B繞點O'旋轉(zhuǎn)所成的角就會有不同的方向.因此，要準(zhǔn)確地描述這些現(xiàn)象，不僅要知道旋轉(zhuǎn)的度數(shù)，還要知道旋轉(zhuǎn)的方向，這就需要對角的概念進行推廣.

被動輪

主動輪講解新課3任意角的概念2我們規(guī)定，一條射線繞其端點按逆時針方向旋轉(zhuǎn)形成的角叫做正角，按順時針方向旋轉(zhuǎn)形成的角叫做負角。如果一條射線沒有做任何旋轉(zhuǎn)，就稱它形成了一個零角.這樣，零角的始邊與終邊重合.如果α是零角，那么α=0°.始邊終邊頂點ABO旋轉(zhuǎn)方向講解新課3任意角的概念2圖(1)中的角是一個正角，它等于750°;圖(2)中，正角α=210°,負角β=-150°,y=-660°,正常情況下，如果以零時為起始位置，那么鐘表的時針或分針在旋轉(zhuǎn)時所形成的角總是負角.

(1)

(2)講解新課3任意角的概念2這樣，我們就把角的概念推廣到了任意角.正角：按逆時針方向旋轉(zhuǎn)形成的角負角：按順時針方向旋轉(zhuǎn)形成的角零角：一條射線沒有作任何旋轉(zhuǎn)形成的角任意角規(guī)定：講解新課3任意角的概念2設(shè)角α由射線OA繞端點O旋轉(zhuǎn)而成，角β由射線O'A'繞端點O'旋轉(zhuǎn)而成.如果它們的旋轉(zhuǎn)方向相同且旋轉(zhuǎn)量相等，那么就稱α=β.設(shè)α,β是任意兩個角。我們規(guī)定，把角α的終邊旋轉(zhuǎn)角β,這時終邊所對應(yīng)的角是α+β.類似于實數(shù)a的相反數(shù)是-a,我們引入任意角α的相反角的概念.如圖,我們把射線OA繞端點O按不同方向旋轉(zhuǎn)相同的量所成的兩個角叫做互為相反角。角α的相反角記為-α.于是，像實數(shù)減法的“減去一個數(shù)等于加上這個數(shù)的相反數(shù)”一樣，我們有α-β=α+(一β).這樣，角的減法可以轉(zhuǎn)化為角的加法.講解新課3任意角的理解31.任意角包括正角、負角和零角，角的范圍不再限于0°～360°.2.角的概念包含的三要素有：頂點、始邊和終邊.1象限角的概念2象限角的理解問題2象限角的概念是什么？講解新課3講解新課3象限角的概念1我們通常在直角坐標(biāo)系內(nèi)討論角。為了方便，使角的頂點與原點重合，角的始邊與x軸的非負半軸重合.那么，角的終邊在第幾象限，就說這個角是第幾象限角.例如，圖中的30°角、-120°角分別是第一象限角和第三象限角.oyx講解新課3象限角的理解2如果角的終邊在坐標(biāo)軸上，那么就認為這個角不屬于任何一個象限.銳角一定是第一象限角，第一象限角不一定是銳角.鈍角一定是第二象限角，第二象限角不一定是鈍角.oyx12終邊相同角的含義3終邊相同角的表示終邊相同角的理解問題3終邊相同的角怎么表示？講解新課3講解新課3終邊相同角的含義1探究：將角按照上述方法放在直角坐標(biāo)系中后，給定一個角，就有唯一的一條終邊與之對應(yīng).反之，對于直角坐標(biāo)系內(nèi)任意一條射線OB(如圖),以它為終邊的角是否唯一?如果不唯一，那么終邊相同的角有什么關(guān)系?－32°-392°xyo328°講解新課3終邊相同角的含義1不難發(fā)現(xiàn)，在圖中，如果-32°角的終邊是OB,那么328°,-392°,…角的終邊都是OB,并且與-32°角終邊相同的這些角都可以表示成-32°的角與k個(k∈Z)周角的和，如328°=-32°+360°(這里k=1),-392°=-32°-360°(這里k=-1).設(shè)S={β|β=-32°+k·360°,k∈Z},則328°,-392°角都是S的元素，-32°角也是S的元素(此時k=1).因此，所有與-32°角終邊相同的角，連同-32°角在內(nèi)，都是集合S的元素；反過來，集合S的任一元素顯然與-32°角的終邊相同.講解新課3終邊相同角的表示2一般地，我們有：所有與角α終邊相同的角，連同角α在內(nèi)，可構(gòu)成一個集合S={β|β=α+k·360°,k∈Z),即任一與角α終邊相同的角，都可以表示成角α與整數(shù)個周角的和.講解新課3終邊相同角的理解31.終邊相同的角不一定相等，但相等的角終邊一定相同，終邊相同的角有無數(shù)多個，它們相差360°的整數(shù)倍.2.利用終邊相同的角的一般形式可以求出符合某些條件的終邊相同的角，注意“k∈Z”這一條件.例題講解4

例1在0°~360°范圍內(nèi)，找出與-950°12'角終邊相同的角，并判定它是第幾象限角.核心素養(yǎng)：數(shù)學(xué)運算解析—950°12'=129°48'-3×360°,所以在0°~360°范圍內(nèi)，與-950°12'角終邊相同的角是129°48',它是第二象限角.例題講解4

例2寫出終邊在y軸上的角的集合.核心素養(yǎng)：直觀想象解析在0°~360°范圍內(nèi)，終邊在y軸上的角有兩個，即90°,270°角(如圖),因此，所有與90°角終邊相同的角構(gòu)成集合S?={β|β=90°+k·360°,k∈Z},而所有與270°角終邊相同的角構(gòu)成集合S?={β|β=270°+k·360°,k∈Z},于是，終邊在y軸上的角的集合S=S?US?={β|β=90°+2k·180°,k∈Z}U{β|β=90°+180°+2k·180°,k∈Z}={β|β=90°+2k·180°,k∈Z}U{β|β=90°+(2k+1)180°,k∈Z}={β|β=90°+n·180°,n∈Z}.例題講解4

例3寫出終邊在直線y=x上的角的集合S.S中滿足不等式-360°≤β<720°的元素β有哪些?核心素養(yǎng)：數(shù)學(xué)運算解析如圖,在直角坐標(biāo)系中畫出直線y=x,可以發(fā)現(xiàn)它與x軸的夾角是45°,在0°~360°范圍內(nèi)，終邊在直線y=x上的角有兩個：45°,225°。因此，終邊在直線y=x上的角的集合S={β|β=45°+k·360°,k∈Z}U{β|β=225°+k·360°,k∈Z}={β|β=45°+n·180°,n∈Z}.S中適合不等式-360°≤β<720°的元素β有45°-2×180°=—315°,45°-1×180°=—135°,45°+0×180°=45°,45°+1×180°=225°,45°+2×180°=405°,45°+3×180°=585°.課堂練習(xí)5【解析】終邊落在第一象限的角不一定是銳角，如400°的角是第一象限角，但不是銳角，故①的說法是錯誤的；同理第二象限角也不一定是鈍角，故③的說法也是錯誤的.下列說法中，正確的是______(填序號).①終邊落在第一象限的角為銳角；

②銳角是第一象限角；③第二象限角為鈍角；

④角α與－α的終邊關(guān)于x軸對稱.【訓(xùn)練1】課堂練習(xí)5【解析】因為－1845°＝－45°＋(－5)×360°，所以－1845°角與－45°角的終邊相同.所以與角α終邊相同的角的集合是{β|β＝－45°＋k·360°，k∈Z}.(1)最小的正角為315°.(2)最大的負角為－45°.(3)－360°～720°之間的角分別是－45°，315°，675°.已知α＝－1845°，在與α終邊相同的角中，求滿足下列條件的角.(1)最小的正角；(2)最大的負角；(3)－360°～720°之間的角.【訓(xùn)練2】課堂練習(xí)5【解析】直角不屬于任何一個象限，故A不正確；120°是第二象限角，故B正確；由于120°是第二象限角，390°是第一象限角，120°<390°，故C不正確；270°的終邊在y軸上，它不屬于任何一個象限，故D正確.故選BD.(多選)下列敘述正確的是()A.三角形的內(nèi)角是第一象限角或第二象限角

B.120°是第二象限角C.第二象限角比第一象限角大

D.270°不屬于任何一個象限【訓(xùn)練3】課堂小結(jié)61.總結(jié)一下本節(jié)課我們做了什么？你獲得了哪些知識？2.本節(jié)課的知識點總結(jié).3.你對本節(jié)課知識的理解是什么？

任意角核心知識方法總結(jié)易錯提醒核心素養(yǎng)角的概念、表示及分類象限角終邊相同的角象限角的兩種判斷方法：（1）化成終邊相同角的表示形式；（2）在坐標(biāo)系中畫出相應(yīng)的角，觀察終邊的位置求在給定范圍內(nèi)終邊相同角的方法：寫出終邊相同的角的表示，根據(jù)給定范圍建立關(guān)于k的不等式