dsp3.8 離散系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)和頻率響應(yīng)

3.8離散系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)、系統(tǒng)頻率響應(yīng)LSI系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)H(z)：單位抽樣響應(yīng)h(n)的z變換其中：y(n)=x(n)*h(n)Y(z)=X(z)H(z)系統(tǒng)的頻率響應(yīng)：單位圓上的系統(tǒng)函數(shù)單位抽樣響應(yīng)h(n)的傅立葉變換1、因果穩(wěn)定系統(tǒng)－LSI即要求系統(tǒng)單位抽樣響應(yīng)為因果序列，而因果序列z變換的收斂域滿足：（1）因果系統(tǒng)：系統(tǒng)輸出只取決于當(dāng)前和之前時刻輸入。一個LSI系統(tǒng)是因果系統(tǒng)的充要條件為：h(n)=0,n<0（2）穩(wěn)定系統(tǒng)：有界輸入產(chǎn)生有界輸出。一個LSI系統(tǒng)是穩(wěn)定系統(tǒng)的充要條件為：對比其z變換的收斂域定義：結(jié)論2：穩(wěn)定(LSI)系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)H(z)的Roc須包含單位圓，即頻率響應(yīng)存在且連續(xù)。結(jié)論1：因果(LSI)系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)H(z)的Roc必須在某半徑的圓外，且包含無窮大處。（3）因果穩(wěn)定系統(tǒng)：綜合上述兩條件：一個LSI系統(tǒng)是因果穩(wěn)定系統(tǒng)至少應(yīng)滿足：結(jié)論3：一個因果穩(wěn)定系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)H(z)必須(至少)在從單位圓到∞內(nèi)收斂；也就是說系統(tǒng)的全部極點必須在單位圓內(nèi)。Roc：2、系統(tǒng)函數(shù)與差分方程的關(guān)系LSI系統(tǒng)可用常系數(shù)線性差分方程描述，其一般形式為：將上述方程兩邊同時取z變換，由線性性和移位性有：得到系統(tǒng)函數(shù)為：其有理分式表達(dá)中，分子分母系數(shù)分別對應(yīng)差分方程系數(shù)；其因式分解表達(dá)中，分子分母系數(shù)分別為系統(tǒng)的零極點－由差分方程系數(shù)決定；可由看出除常數(shù)因子K外，系統(tǒng)完全由其零極點確定，因此可用零極點分別描述系統(tǒng)特性－下面內(nèi)容：由零極點分別通過幾何法確定系統(tǒng)頻響。①消去z的負(fù)冪，便于求解：②對H(z)進(jìn)行部分分式分解，假定部分分式系數(shù)為Ak

：③由留數(shù)定理求Ak：④將求得的Ak代入，整理得X(z)的部分分式表達(dá)：⑤根據(jù)收斂域，查表求得部分分式的z反變換后再相加：3、系統(tǒng)頻率響應(yīng)的意義系統(tǒng)頻率響應(yīng)：系統(tǒng)對輸入信號頻譜的處理作用（幅度、相位）－即系統(tǒng)的頻域表示法。（1）LSI系統(tǒng)對復(fù)指數(shù)序列的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)：輸入：輸出：即：系統(tǒng)的頻率響應(yīng)完全描述了復(fù)指數(shù)序列通過LSI系統(tǒng)后復(fù)振幅（包括幅度、相位）的變化。（2）LSI系統(tǒng)對正弦序列的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)：輸入為正弦序列，輸出同頻正弦序列；幅度受頻率響應(yīng)幅度加權(quán)；相位為輸入相位與系統(tǒng)相位響應(yīng)之和。輸入：輸出：因為h(n)是實序列，所以共軛對稱：幅度偶對稱：相角奇對稱：（3）LSI系統(tǒng)對任意輸入序列的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)：其中：，可看出序列x(n)可表示成復(fù)指數(shù)微分分量：的疊加。時域卷積：頻域相乘：取IDTFT得到輸出：又系統(tǒng)對復(fù)指數(shù)微分分量的響應(yīng)為：總的輸出等于系統(tǒng)對x(n)每個復(fù)指數(shù)分量的響應(yīng)的疊加。LSI系統(tǒng)輸出序列的傅立葉變換等于輸入序列的傅立葉變換與系統(tǒng)函數(shù)的乘積。3.8.3頻率響應(yīng)的幾何確定法將系統(tǒng)函數(shù)H(z)表示成因式分解形式－即用零極點表示H(z)

：將代入上式即可得到系統(tǒng)的頻率響應(yīng)：表示成模和相角形式則頻率響應(yīng)的定義矢量如下并用極坐標(biāo)表示為：相角：幅度：零點位置影響凹谷點的位置與深度零點在單位圓上，谷點為零零點趨向于單位圓，谷點趨向于零極點位置影響凸峰的位置和深度極點趨向于單位圓，峰值趨向于無窮極點在單位圓外，系統(tǒng)不穩(wěn)定3.8.4IIR系統(tǒng)和FIR系統(tǒng)無限長單位抽樣響應(yīng)（IIR）系統(tǒng)：單位抽樣響應(yīng)h(n)是無限長序列有限長單位抽樣響應(yīng)（FIR）系統(tǒng)：單位抽樣響應(yīng)h(n)是有限長序列IIR系統(tǒng)：至少有一個FIR系統(tǒng)：全部全極點系統(tǒng)：分子只有常數(shù)