組合數(shù)學(xué)題庫答案

./填空題1．將5封信投入3個郵筒,有_____243_種不同的投法．2．5個男孩和4個女孩站成一排。如果沒有兩個女孩相鄰,有43200方法．3．22件產(chǎn)品中有2件次品,任取3件,恰有一件次品方式數(shù)為__380______．4．所有項的系數(shù)和是_64__．答案：645．不定方程的非負(fù)整數(shù)解的個數(shù)為_6___．6．由初始條件及遞推關(guān)系確定的數(shù)列叫做Fibonacci數(shù)列7．〔3x-2y20的展開式中x10y10的系數(shù)是．8．求6的4拆分?jǐn)?shù)2．9．已知在Fibonacci數(shù)列中,已知,試求Fibonacci數(shù)1094610．計算〔DA．5B.8C.10D.6選擇題1．集合的非空真子集的個數(shù)為〔AA.1022B.1023C.1024D.10212．把某英語興趣班分為兩個小組,甲組有2名男同學(xué),5名女同學(xué)；乙組有3名男同學(xué),6名女同學(xué),從甲乙兩組均選出3名同學(xué)來比賽,則選出的6人中恰有1名男同學(xué)的方式數(shù)是〔DA．800B.780C.900D.8503．設(shè)滿足條件,則有序正整數(shù)對的個數(shù)為〔DA.100B.81C.50D.454．求中項的系數(shù)是〔CA.1450B.60C.3240D.34605．多項式中項的系數(shù)是〔CA．78B.104C.96D.486．有4個相同的紅球,5個相同的白球,那么這9個球有〔B種不同的排列方式A.63B.126C.252D.3787．遞推關(guān)系的特種方程有重根2,則〔B是它的一般解A．B.C.D.8．用數(shù)字1,2,3,4〔數(shù)字可重復(fù)使用可組成多少個含奇數(shù)個1、偶數(shù)個2且至少含有一個3的位數(shù)〔運用指數(shù)生產(chǎn)定理A.B.C.D.9．不定方程正整數(shù)的解的個數(shù)為多少？〔A/C不確定A.B.C.D.10．的非負(fù)整數(shù)解個數(shù)為〔AA.120B.100C.85D.5011．從1至1000的整數(shù)中,有多少個整數(shù)能被5整除但不能被6整除？〔AA.167B.200C.166D.3312．期末考試有六科要復(fù)習(xí),若每天至少復(fù)習(xí)完一科〔復(fù)習(xí)完的科目不再復(fù)習(xí),5天里把全部科目復(fù)習(xí)完,則有多少種不同的安排？〔DA.9B.16C.90D.180013．某年級的課外學(xué)科小組分為數(shù)學(xué)、語文二個小組,參加數(shù)學(xué)小組的有23人,參加語文小組的有27人；同時參加數(shù)學(xué)、語文兩個小組的有7人。這個年級參加課外學(xué)科小組人數(shù)〔C。A．50 B．57 C．43 D．1114．將11封信放入8個信箱中,則必有一個信箱中至少有〔B封信。A、1B、2C、3D、415．組合式與下列哪個式子相等？〔BA、B、+C、D、16．在{1,2,3,4,5,6}全排列中,使得只有偶數(shù)在原來位置的排列方式數(shù)為〔A。A、2B、4C、9D、2417．若存在一遞推關(guān)系則<A>.A.B.C.D.18．遞推關(guān)系的特解形式是〔B〔為待定系數(shù)A.B.C.D.19．錯位排列數(shù)<C>答案：CA.B.C.D.20．有100只小鳥飛進(jìn)6個籠子,則必有一個籠子至少有〔C只小鳥A.15B.16C.17D.1821．10個節(jié)目中有6個演唱,4個舞蹈,今編寫節(jié)目單,要求任意兩個舞蹈之間至少有1個演唱,問可編寫出多少種不同的演出節(jié)目單？22．?dāng)?shù)列的生成函數(shù)是〔D。A、B、C、D、23．6個男孩和4個女孩站成一圈,如果沒有兩個女孩相鄰,有〔C種排法。A、B、C、D、24．排A,B,C,D,E,F六個字母,使A,B之間恰有2個字母的方式數(shù)〔D。A、12B、72C、36D、14425．求多重集的8-排列數(shù)是〔CA.700B.140C.1260D.120026．一糕點店生產(chǎn)8種糕點,如果一盒裝有12塊各種糕點,并且可以認(rèn)為每種糕點無限多,那么你能買到多少種不同的盒裝糕點〔假設(shè)裝盒與順序無關(guān)？〔BＡ．50000Ｂ．50388Ｃ．55000Ｄ．5278827．在一次聚會上有15位男士和20位女士,則形成15對男女一共有多少種方式數(shù)〔AA．B.C.D.28．的生成函數(shù)是〔DA．B.C.D.計算題試確定多重集的組合數(shù)。解：把S的r—組合分成兩類：①包含的組合：這種組合數(shù)等于即②不包含的組合：這種組合數(shù)等于組合數(shù)即由加法法則,所求的組合數(shù)為2．求的6-排列數(shù)解：根據(jù)題意有：則的全排列數(shù)3．求展開式中的系數(shù)4．求的展開式中的系數(shù),其中?！步猓?。又因為所以的系數(shù)為〔5．<1>求的生成成函數(shù)?！步猓涸O(shè),則<2>解遞歸關(guān)系：,。答案：解特征方程x2-4x-4=0x1=x2=2.得H<n>=2n{1+n/2}6．求重集的10-組合數(shù)。答案：C<10+3-1,10>7．的展開式在合并同類項后一共有多少項？答案：C<100+4-1,100>.8．解遞推關(guān)系〔解：遞推關(guān)系〔1的特征方程為,特征根為故其通解為因為〔1式無等于1的特征根,所以遞推關(guān)系〔2有特征根,其中A和B是待定常數(shù),代入〔2式得化簡得所以解之得于是其中是待定常數(shù)。由初始條件得解之得所以9.解遞推關(guān)系〔解：遞推關(guān)系〔1的特征方程為,特征根為故其通解為因為〔1式無等于1的特征根,所以遞推關(guān)系〔2有特征根,其中A和B是待定常數(shù),代入〔2式得化簡得所以解之得于是其中是待定常數(shù)。由初始條件得解之得所以答案：10．求1到1000之間不能被5,6,或8整除的自然數(shù)的個數(shù)。解：設(shè)A為1至1000的整數(shù)中能被5整除的數(shù)的個數(shù)；B為1至1000的整數(shù)中能被6整除的數(shù)的個數(shù)；C為1至1000的整數(shù)中能被8整除的數(shù)的個數(shù).則所以即所求為：.11．在所有的位數(shù)中,包含數(shù)字3、8、9但不包含數(shù)字0、4的數(shù)有多少？解：除去0、4,則在1、2、3、5、6、7、8、9這8個數(shù)組成的位數(shù)中:令表示由這8個數(shù)字組成的所有位數(shù)的集合,則；令表示具有性質(zhì)：一個位數(shù)不包含3；令表示具有性質(zhì)：一個位數(shù)不包含8；令表示具有性質(zhì)：一個位數(shù)不包含9；令表示中具有性質(zhì)的元素構(gòu)成的集合則有容斥原理,而,所以12．求的展開式中的系數(shù)。解：原式==所以的系數(shù)=80請確定在的展開式中項的系數(shù)。試確定多重集的組合數(shù)。解：構(gòu)造多重集S’={∞*b1,∞*b2,∞*b3,∞*b4},令S’的所有10?組合構(gòu)成的集合為S,有|S|=C<4+10-1,10>。令B為至少出現(xiàn)4個b2的組合構(gòu)成的集合,C為至少出現(xiàn)6個b3的組合構(gòu)成的集合,D為至少出現(xiàn)8個b4的組合構(gòu)成的集合。由于B中的每一個10?組合至少含有4個b2,故這樣的一個組合相當(dāng)于S’的一個6?組合,反之,S’的一個6?組合加上4個b2就得到了B的一個10?組合。這兩種選法是一一對應(yīng)的。故|B|=C<4+6-1,6>,同理有|C|=C<4+4-1,4>,|D|=C<4+2-1,2>。類似的分析可得|B∩C|=C<4+0-1,0>,|B∩D|=0,|C∩D|=0,|B∩C∩D|=0。根據(jù)容斥原理,S的10?組合數(shù)為286-<84+35+10>+<1+0+0>-0=15814．解遞推關(guān)系：解：特征方程為,特征根為所以對應(yīng)的齊次遞推關(guān)系式有的通解原遞推式有特解為,代入原遞推式得A=1,D=2,因此原遞推式有通解,再將代入通解得,所以14.有紅球4個,黃球3個,白球3個,把它們排成一條直線,有多少種排法？解：由定理得：15．求的5-可重排列數(shù)。解法1：所以的系數(shù)為：則的系數(shù)為：〔=25的5-排列數(shù)有,,三種情況。15．求的正整數(shù)解的個數(shù)解：證明題1．證明：邊長為4的正三角形任意5個點必有兩點其距離不超過2。答案：取個邊中點將三角形等分為四個邊長為2的三角形。則5個點中必然有兩個落在同一個三角形。設(shè)是個正整數(shù),證明其中存在著連續(xù)的若干數(shù),其和為的倍數(shù)。3.設(shè)是元集,則的子集數(shù)是。4．某學(xué)生在37天里共做了60道數(shù)學(xué)題。已知他每天至少做1道題,求證：必存在連續(xù)的若干天,在這些天里該學(xué)生恰做了13道數(shù)學(xué)題。證明：設(shè)該同學(xué)從第1天至第天共做了道數(shù)學(xué)題,則,則則如果,則這與矛盾,所以,從而存在使得即這表明該學(xué)生從第天到第天共做了13道數(shù)學(xué)題。5．證明：。這里,表示從個對象中取個的方法數(shù)。答案：等式左邊表示從2n個不同的球中取兩個球的方法數(shù)。我們把2n個球平均分成A,B兩組,選球的方法有以下兩類：去自同一組的選法數(shù)為;取自不同組的球的方法數(shù)為6．如n,r∈N且n≥r≥2,則P<n,r>=r×P<n-1,r-1>+P<n-1,r>。證明：當(dāng)r≥2時,把集合A的r?排列分為兩大類：一類包含A中的某個固定元素,不妨設(shè)為a1,另一類不包含a1。第一類排列相當(dāng)于先從A-{a1}中取r-1個元素進(jìn)行排列,有P<n-1,r-1>種取法,再將a1放入每一個上述排列中,對任一排列,a1都有r種放法。由乘法法則,第一類排列共有r×P<n-1,r-1>個。第二類排列實質(zhì)上是A-{a1}的r?排列,共有P<n-1,r>個。再由加法法則有P<n,r>=r×P<n-1,r-1>+P<n-1,r>證畢。7．用非降路徑法證明：這里,表示從個對象中取個元素的方法數(shù)。答案：〔0,0到〔m,n的路徑數(shù)為C<m+n,n>;又,<0,0>到<m,n>的任一路徑必過<m-1,n>或<m.n-1>。故,等式成立；證明：。解：證明：法1,設(shè)A={am},B={bn},且A∩B=Φ,則A∪B=C有m+n個元素。C的r?組合個數(shù)為C<m+n,r>,而C的每個r?組合無非是先從A中取k個元素,再從B中取出r-k個元素組成<k=0,1,…,r>。由乘法法則共有C<m,k>C<n,r-k>種取法,再由加法法則即可得證。應(yīng)用題1．一次宴會,5位來賓寄存他們的帽子,在取帽子的時候有多少種可能使得沒有一位來賓取回的是他自己的帽子？44種可能使得沒有一位來賓取回的是他自己的帽子。解：屬于重排問題,所求為?！?分2.對夫妻圍圓桌就座,要求每對夫妻不相鄰,問有多少種入座方式？2．用17100元錢買3支股票,不要求每支股票都買,但要求買A股錢數(shù)必須是200的倍數(shù),買B股錢數(shù)是400的倍數(shù),求有多少種買法？25種買法。解：此題等同于求方程的非負(fù)整數(shù)解的個數(shù)。方程通過換元可變?yōu)椋?其中為非負(fù)整數(shù),為非負(fù)偶數(shù),為非負(fù)的4的倍數(shù)的整數(shù)。由此構(gòu)造常生函數(shù)：所求為常生成函數(shù)的的系數(shù),化簡生成函數(shù)為：,可求得公式得的系數(shù)為25。3．方程有多少滿足,,,的整數(shù)解？解進(jìn)行變量代換：,,,則方程變?yōu)樵匠虧M足條件的解的個數(shù)等于新方程的非負(fù)整數(shù)解的個數(shù)。新方程的非負(fù)整數(shù)解的個數(shù)為用四種顏色〔紅、藍(lán)、綠、黃涂染四臺儀器和。規(guī)定每臺儀器只能用一種顏色并任意兩臺儀器都不能相同。如果不允許用藍(lán)色和紅色,不允許用藍(lán)色和綠色,不允許用綠色和黃色,問有多上種染色方案？5．一個學(xué)生有37天用來準(zhǔn)備考試。根據(jù)過去的經(jīng)驗,她知道她需要不超過60小時的學(xué)習(xí)時間。她還希望每天至少學(xué)習(xí)1小時。證明,無論她如何安排她的學(xué)習(xí)時間〔不過,每天都是整數(shù)個小時,都存在連續(xù)的若干天,在此期間她恰好學(xué)習(xí)了13小時。證明設(shè)從第一天到第i天她共學(xué)習(xí)了小時。因為她每天至少學(xué)習(xí)1小時,所