第8章單方程回歸模型

第8章單方程回歸模型預(yù)測(cè)§8.0有關(guān)預(yù)測(cè)的基本知識(shí)§8.1無(wú)條件預(yù)測(cè)§8.2誤差項(xiàng)序列相關(guān)情形下的預(yù)測(cè)§8.3有條件預(yù)測(cè)第8章單方程回歸模型預(yù)測(cè)§8.0有關(guān)預(yù)測(cè)的基本知識(shí)一、什么是預(yù)測(cè)1、預(yù)測(cè)的概念預(yù)測(cè)是關(guān)于未知事件可能性的數(shù)值估計(jì)。它既可以在時(shí)間序列模型中討論，也可以在截面數(shù)據(jù)模型中應(yīng)用。2、預(yù)測(cè)的類(lèi)型預(yù)測(cè)按數(shù)值的估計(jì)類(lèi)型可以分為兩種：點(diǎn)預(yù)測(cè)和區(qū)間預(yù)測(cè)。點(diǎn)預(yù)測(cè)是對(duì)每一個(gè)時(shí)點(diǎn)(段)給出一個(gè)預(yù)測(cè)值，區(qū)間預(yù)測(cè)是給出實(shí)際值所在的一個(gè)區(qū)間。下面的討論，將首先給出點(diǎn)預(yù)測(cè)，然后再用區(qū)間預(yù)測(cè)表示點(diǎn)預(yù)測(cè)的誤差幅度。第8章單方程回歸模型預(yù)測(cè)3、事后模擬與事前預(yù)測(cè)對(duì)未知事件的預(yù)測(cè)，依賴(lài)于過(guò)去和當(dāng)前的信息。對(duì)于時(shí)間序列模型，事后模擬與事前預(yù)測(cè)都是在模型估計(jì)區(qū)間以外對(duì)因變量的值進(jìn)行預(yù)測(cè)，但有差異(參見(jiàn)圖8.1)。圖8.1事后模擬與事前預(yù)測(cè)的時(shí)間差異T1T2T3目前模型估計(jì)區(qū)間事后模擬區(qū)間事前預(yù)測(cè)區(qū)間第8章單方程回歸模型預(yù)測(cè)事后模擬是指用已知數(shù)據(jù)檢驗(yàn)和評(píng)價(jià)預(yù)測(cè)模型，事前預(yù)測(cè)是在數(shù)據(jù)不完全已知的情況下對(duì)因變量進(jìn)行預(yù)測(cè)。4、條件預(yù)測(cè)和無(wú)條件預(yù)測(cè)條件預(yù)測(cè)是指有些解釋變量的值是未知的，因而如果要對(duì)因變量進(jìn)行預(yù)測(cè)，就必須先處理這些解釋變量的值；無(wú)條件預(yù)測(cè)是指模型中所有解釋變量都是已知的。事后模擬都是無(wú)條件預(yù)測(cè)，條件預(yù)測(cè)的對(duì)象全都是事前預(yù)測(cè)。但事前預(yù)測(cè)也有屬于無(wú)條件預(yù)測(cè)的(所有解釋變量已知)。無(wú)條件預(yù)測(cè)條件預(yù)測(cè)事后模擬事前預(yù)測(cè)第8章單方程回歸模型預(yù)測(cè)如5、關(guān)于最優(yōu)預(yù)測(cè)具有最小方差的預(yù)測(cè)稱(chēng)為最優(yōu)預(yù)測(cè)。在單方程回歸模型中，參數(shù)的LS估計(jì)是線性無(wú)偏估計(jì)量中的最優(yōu)預(yù)測(cè)。在有偏的參數(shù)估計(jì)中，將考慮最小平均誤差平方的預(yù)測(cè)作為最優(yōu)預(yù)測(cè)。6、預(yù)測(cè)誤差的性質(zhì)預(yù)測(cè)誤差主要有以下四種來(lái)源：一是參數(shù)已知，因誤差項(xiàng)的隨機(jī)性使預(yù)測(cè)偏離真值；二是參數(shù)未知，其估計(jì)量(也是隨機(jī)變量)偏離真值；三是在有條件預(yù)測(cè)情況下，解釋變量的處理偏離真值；四是存在模型確認(rèn)失誤。第8章單方程回歸模型預(yù)測(cè)§8.1無(wú)條件預(yù)測(cè)如果解釋變量在整個(gè)預(yù)測(cè)區(qū)間上全部已知，就可以用回歸模型進(jìn)行無(wú)條件預(yù)測(cè)。一、預(yù)測(cè)誤差㈠參數(shù)已知的情形下面從最簡(jiǎn)單的一元線性回歸模型入手。設(shè)模型為α，β，σ已知，對(duì)于給定的XT+1，求Y在第T+1時(shí)點(diǎn)(段)的最優(yōu)預(yù)測(cè)。取YT+1的點(diǎn)預(yù)測(cè)(記)為第8章單方程回歸模型預(yù)測(cè)1、預(yù)測(cè)誤差下面討論該點(diǎn)預(yù)測(cè)的預(yù)測(cè)誤差其具有以下性質(zhì)：⑴點(diǎn)預(yù)測(cè)是無(wú)偏；因?yàn)棰祁A(yù)測(cè)誤差的方差最小(最優(yōu)預(yù)測(cè))：第8章單方程回歸模型預(yù)測(cè)2、預(yù)測(cè)誤差標(biāo)準(zhǔn)化為了對(duì)Y的預(yù)測(cè)值進(jìn)行顯著性檢驗(yàn)，可以對(duì)預(yù)測(cè)誤差標(biāo)準(zhǔn)化：顯然λ~N(0,1)，如果預(yù)測(cè)誤差不超過(guò)相應(yīng)顯著性水平(如5%)的臨界值(1.96)，那么就說(shuō)明點(diǎn)預(yù)測(cè)與真值無(wú)顯著差異。否則就認(rèn)為該點(diǎn)預(yù)測(cè)有問(wèn)題，模型可能需要修正。我們還可以由第8章單方程回歸模型預(yù)測(cè)得到一個(gè)95%的置信區(qū)間(參見(jiàn)圖8.2)：注意，預(yù)測(cè)作為評(píng)價(jià)模型可靠性的方法，與前面所講的古典線性模型中的t,F和R2值作用是不一樣的：一個(gè)單方程回歸模型可以有很顯著的t，F(xiàn)值和很高的R2值，但仍可能無(wú)法進(jìn)行很好的預(yù)測(cè)。這是因?yàn)閮烧叩臅r(shí)間區(qū)域不同，模型在預(yù)測(cè)區(qū)間可能發(fā)生了結(jié)構(gòu)性的變化。相反，如果因變量的方差很小，有些R2值較小、回歸參數(shù)不顯著的模型，雖然對(duì)因變量的解釋不是太好，但對(duì)因變量的預(yù)測(cè)卻比較容易。第8章單方程回歸模型預(yù)測(cè)XtXT+1Yt點(diǎn)預(yù)測(cè)預(yù)測(cè)區(qū)間圖8.2參數(shù)已知時(shí)的點(diǎn)預(yù)測(cè)與預(yù)測(cè)區(qū)間第8章單方程回歸模型預(yù)測(cè)㈡參數(shù)未知的情形通?；貧w模型的參數(shù)都是未知的，需要進(jìn)行估計(jì)。由于參數(shù)估計(jì)量都是樣本的函數(shù)，因而也是隨機(jī)變量。仍考慮一元回歸模型：α，β都是未知的，對(duì)于給定的XT+1，下面考慮Y在第T+1時(shí)點(diǎn)(段)的最優(yōu)預(yù)測(cè)。取YT+1的點(diǎn)預(yù)測(cè)(記)為其中和是對(duì)應(yīng)參數(shù)的LS估計(jì)。由于和分別是α，β的最小方差無(wú)偏估計(jì)，故是YT+1最優(yōu)預(yù)測(cè)。第8章單方程回歸模型預(yù)測(cè)1、預(yù)測(cè)誤差下面討論該點(diǎn)預(yù)測(cè)的預(yù)測(cè)誤差顯然預(yù)測(cè)誤差也服從正態(tài)分布，具有以下性質(zhì)：⑴點(diǎn)預(yù)測(cè)是無(wú)偏的；因?yàn)樗寓祁A(yù)測(cè)誤差的方差滿足：再把式中參數(shù)估計(jì)的方差、協(xié)方差第8章單方程回歸模型預(yù)測(cè)代入，可以得到由此可見(jiàn)預(yù)測(cè)誤差的方差受模型估計(jì)區(qū)間樣本容量、X的樣本方差和XT+1與之間距離的影響。第8章單方程回歸模型預(yù)測(cè)從(8.1)式發(fā)現(xiàn)，由LS估計(jì)構(gòu)造的點(diǎn)預(yù)測(cè)⑴樣本容量、樣本方差越大，則預(yù)測(cè)誤差的方差越??；⑵當(dāng)XT+1恰好等于樣本均值時(shí)，預(yù)測(cè)誤差的方差最小。這說(shuō)明Y的最優(yōu)預(yù)測(cè)是在最具樣本信息的那些X的值附近取得，出了模型的估計(jì)區(qū)間，由此得到的點(diǎn)預(yù)測(cè)就不那么可靠了。一般說(shuō)來(lái)，將模型在估計(jì)范圍以外擴(kuò)展得過(guò)遠(yuǎn)是十分危險(xiǎn)的，因?yàn)檫@時(shí)預(yù)測(cè)誤差的方差會(huì)很大。下面再討論預(yù)測(cè)區(qū)間。如果σ已知，就可以計(jì)算σf。于是通過(guò)預(yù)測(cè)誤差標(biāo)準(zhǔn)化第8章單方程回歸模型預(yù)測(cè)就可以構(gòu)造的95%置信區(qū)間：如果σ不是已知的，我們用s2作為σ2的無(wú)偏和一致估計(jì)量：這樣預(yù)測(cè)誤差的方差估計(jì)為第8章單方程回歸模型預(yù)測(cè)就有

的95%置信區(qū)間為二、預(yù)測(cè)的評(píng)價(jià)前面通過(guò)事前預(yù)測(cè)的誤差分析，對(duì)點(diǎn)預(yù)測(cè)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)，并得到相應(yīng)的預(yù)測(cè)區(qū)間，它們提供了對(duì)預(yù)測(cè)進(jìn)行評(píng)價(jià)的一種方式。另一種評(píng)價(jià)方法是進(jìn)行事后模擬(可以是隨著時(shí)間進(jìn)展的動(dòng)態(tài)模擬)，下面給出這一評(píng)價(jià)方法的若干指標(biāo)。第8章單方程回歸模型預(yù)測(cè)事后模擬是將預(yù)測(cè)數(shù)列與實(shí)際數(shù)列直接進(jìn)行比較，根據(jù)兩者的接近程度進(jìn)行預(yù)測(cè)評(píng)價(jià)。一種度量是平均預(yù)測(cè)誤差平方的算術(shù)根(RMSE)：其中為Yt的模擬(simulate)預(yù)測(cè)值，為Yt的實(shí)際值(actual)，T為時(shí)點(diǎn)(段)數(shù)。該指標(biāo)是對(duì)模擬值與實(shí)際值離差的度量。另一種度量是Theil不相等系數(shù)(記為U)：第8章單方程回歸模型預(yù)測(cè)其中U的分子就是RMSE，分母是因變量模擬值與實(shí)際值的樣本二階原點(diǎn)矩的算術(shù)平方根。這樣的定義，使得U總是介于0，1之間。如果U=0，則對(duì)所有的t，說(shuō)明完全擬合。如果U=1，則模型的預(yù)測(cè)能力最差。即U值越小越好。第8章單方程回歸模型預(yù)測(cè)利用代數(shù)運(yùn)算可以把模擬值與實(shí)際值的平均離差平方分解為其中樣本的均值、方差和相關(guān)系數(shù)采用常規(guī)符號(hào)。我們可以定義以下不相等比例指標(biāo)：第8章單方程回歸模型預(yù)測(cè)均值偏誤比例UM表明了模擬數(shù)列與實(shí)際數(shù)列的系統(tǒng)誤差。如果UM的值過(guò)大(超過(guò)0.1或0.2)意味著存在系統(tǒng)誤差，需要對(duì)模型進(jìn)行修正。方差偏誤比例US表明了模擬值擬合實(shí)際變化程度的能力。如果US的值過(guò)大意味著兩者的波動(dòng)程度存在較大差異(即相對(duì)而言，兩者一大一小)，說(shuō)明需要對(duì)模型進(jìn)行修正。協(xié)方差比例UC度量非系統(tǒng)誤差，反映了兩者的相關(guān)性。第8章單方程回歸模型預(yù)測(cè)例8.1在例1.1中曾用8個(gè)學(xué)生的截面數(shù)據(jù)估計(jì)了學(xué)生平均成績(jī)(Y)與家庭收入(X)之間的線性關(guān)系?，F(xiàn)在要在給定家庭收入的條件下，對(duì)不在樣本中的學(xué)生預(yù)測(cè)出他們的平均成績(jī)，并計(jì)算95%的預(yù)測(cè)區(qū)間。解：估計(jì)的回歸直線為估計(jì)的誤差項(xiàng)方差s2=0.652778/6=0.109,T=8家庭收入成績(jī)預(yù)測(cè)預(yù)測(cè)誤差方差預(yù)測(cè)區(qū)間下限預(yù)測(cè)區(qū)間上限6.52.1550.15531.190673.11933102.5750.130621.690613.4593913.52.9950.12242.138913.85109173.4150.13062