計算機(jī)輔助建筑設(shè)計-方程求解

計算機(jī)輔助建筑設(shè)計--方程求解計算機(jī)輔助建筑設(shè)計--方程求解全文共60頁，當(dāng)前為第1頁。1、通用函數(shù)的程序編寫問題：如何求一個函數(shù)的解，而函數(shù)是可以隨時替換的。例如：F(x)=x3+4x2+5F(x)=ex-5計算機(jī)輔助建筑設(shè)計--方程求解全文共60頁，當(dāng)前為第2頁。實現(xiàn)步驟：1在窗體上加一個Scriptcontrol控件2在工程中添加一個類模塊class1.類模塊中的代碼：PublicK1AsDouble1、通用函數(shù)的程序編寫計算機(jī)輔助建筑設(shè)計--方程求解全文共60頁，當(dāng)前為第3頁。PrivateFunctionHanshu(XAsDouble,Str1AsString)AsDoubleOnErrorResumeNextDimsharAsNewClass1ScriptControl1.AddObject"sh",sharScriptControl1.AddCode"FunctionF(x)"&vbCrLf&"kk="&Str1&vbCrLf&"sh.k1=kk"&vbCrLf&"EndFunction"

ScriptControl1.Run“F",XHanshu=shar.K1ScriptControl1.ResetEndFunction1、通用函數(shù)的程序編寫計算機(jī)輔助建筑設(shè)計--方程求解全文共60頁，當(dāng)前為第4頁。作業(yè)1：試設(shè)計一個工程，可以計算函數(shù)的值。2分別輸出x＝1,2,3……10函數(shù)的值。3測試替換了函數(shù)表達(dá)式后，你編寫的程序是否有效。1、通用函數(shù)的程序編寫計算機(jī)輔助建筑設(shè)計--方程求解全文共60頁，當(dāng)前為第5頁。課題2：高次方程求解：在解決科學(xué)研究和工程領(lǐng)域中的實際問題時，往往涉及到高次方程。高次方程解的個數(shù)和方程的次數(shù)相對應(yīng)，即使只在實數(shù)范圍內(nèi)考慮，大多也有幾個解。但是，對于從解決土木工程問題歸納得到的高次方程，其有意義的解大多僅有一個，并且是正數(shù)解。計算機(jī)輔助建筑設(shè)計--方程求解全文共60頁，當(dāng)前為第6頁。2.1高次方程求解原理計算機(jī)解高次方程的基本過程大致如下:以x2-2=0為例，令y=x2-2其函數(shù)圖像如圖。y=0時的x值(x=土20.5)即為原方程的解。在x=20.5附近y值由負(fù)變正。由于函數(shù)是連續(xù)的，所以必定存在y=0對應(yīng)的點，該點即為原方程的一個解。其他方程也是如此，如果知道了一個解的區(qū)間，就可以通過代人不同的x值觀察y的變化，從而逐次逼近該解。計算機(jī)輔助建筑設(shè)計--方程求解全文共60頁，當(dāng)前為第7頁。高次方程求解常用方法高次方程的常用解法有掃描法、對分法、優(yōu)選法、迭代法、牛頓法等。計算機(jī)輔助建筑設(shè)計--方程求解全文共60頁，當(dāng)前為第8頁。2.2掃描法求解方程的根掃描法的主要過程是:1.尋找方程解所在的區(qū)域[a,b]。由初始點a出發(fā)，根據(jù)步長h逐次迭代找到b點，使f(a)X(b)=0,前一點即為a,f(a)與f(b)的值為一正一負(fù)。由于從實際土木問題中提煉出的函數(shù)f(x)在[a,b]連續(xù)，所以在[a,b]內(nèi)必有一解x0，使f(x0)=0。該過程也可固定a點不變，單純擴(kuò)大區(qū)域找b點.....計算機(jī)輔助建筑設(shè)計--方程求解全文共60頁，當(dāng)前為第9頁。2.2掃描法求解方程的根2.縮小解所在的區(qū)域[a,b]。十等分[a,b]，逐點求f(xi)值，直至相鄰兩點的值符號相反，這兩點即為新的區(qū)域[a,b]。3.重復(fù)上述過程直至收斂，達(dá)到一定精度為止。計算機(jī)輔助建筑設(shè)計--方程求解全文共60頁，當(dāng)前為第10頁。2.2掃描法求解方程的根注意，求實際土木工程問題的解時，起始點a應(yīng)取足夠小(小于解)或干脆取a=0。由于其有意義的解是一個正數(shù)解，搜索方向只要向正向進(jìn)行，甚至根據(jù)實際情況，直接選取適當(dāng)區(qū)域[a,b]，然后從步驟2開始求解。而一般的高次方程則要復(fù)雜些，解不一定比a值大，因此解的區(qū)域也可能在初始點的另一邊，搜索方向需先判別。計算機(jī)輔助建筑設(shè)計--方程求解全文共60頁，當(dāng)前為第11頁。2.2掃描法求解方程的根掃描法程序流程圖見圖2-2，圖中h為步長，e為要求的精度。掃描法程序中，因為要判斷的是兩函數(shù)的符號，而不是它們的大小，利用符號函數(shù)可使計算量減少，即用m＝sgn(f(a)),n=sgn(f(b))替代原來的計算更合理。計算機(jī)輔助建筑設(shè)計--方程求解全文共60頁，當(dāng)前為第12頁。掃描法求方程根的流程圖2.2掃描法求解方程的根計算機(jī)輔助建筑設(shè)計--方程求解全文共60頁，當(dāng)前為第13頁。用掃描法求方程x2-2=0的正數(shù)解，其計算結(jié)果見表2-12.2掃描法求解方程的根計算機(jī)輔助建筑設(shè)計--方程求解全文共60頁，當(dāng)前為第14頁。由計算結(jié)果知，方程x2-2=0的一個解在1.414至1.415之間，只要進(jìn)一步縮小步長.重復(fù)上述過程，可獲得更高精度。2.2掃描法求解方程的根計算機(jī)輔助建筑設(shè)計--方程求解全文共60頁，當(dāng)前為第15頁。DimM%,N%,iAsDoubleDimA#,B#,H#,E#,X#,Str2$DimStr1$i=1Str1=“計算次數(shù)a=b=m×n＝"&vbCrLfA=Val(Text2)’初始值H=Val(Text3)’求解步長E=Val(Text4)’求解精度Str2=Text1.Text’函數(shù)表達(dá)式M=Sgn(Hanshu(A,Str2))2.2掃描法求解方程的根計算機(jī)輔助建筑設(shè)計--方程求解全文共60頁，當(dāng)前為第16頁。DoB=A+HN=Sgn(Hanshu(B,Str2))Str1=Str1&i&Space(3)&A&Space(3)&B&Space(3)&M*N&vbCrLfIfM*N>0ThenA=BM=Ni=i+1ElseIfM=0ThenX=AExitDoElseIfN=0ThenX=BExitDo

ElseIfH<=EThenX=BExitDoElseH=0.1*H

EndIf

Ifi>5000ThenGoToerr1:EndIf

Loop'UntilH<=E2.2掃描法求解方程的根計算機(jī)輔助建筑設(shè)計--方程求解全文共60頁，當(dāng)前為第17頁。Text5=“方程的解為：x="&X&vbCrLf&Str1

ExitSuberr1:MsgBox“找不到方程的根，計算次數(shù)已經(jīng)超過了5000次，請確認(rèn)輸入的函數(shù)是否正確”,vbInformation,“找不到方程的根"2.2掃描法求解方程的根計算機(jī)輔助建筑設(shè)計--方程求解全文共60頁，當(dāng)前為第18頁。2.2作業(yè)2：根據(jù)以上的基本步驟與程序流程圖：(1)編寫掃描法求解高次方程的根(2)程序能夠通用化，即掃描法要用過程或函數(shù)來完成，供VB調(diào)用。(3)高次方程可以任意改變。計算機(jī)輔助建筑設(shè)計--方程求解全文共60頁，當(dāng)前為第19頁。2.3對分法求解對分法掃描法運算量大，為減少工作量可用對分法或優(yōu)選法，其基本思想和掃描法相同，即逐次縮小解的區(qū)域范圍。計算機(jī)輔助建筑設(shè)計--方程求解全文共60頁，當(dāng)前為第20頁。2.3對分法優(yōu)選法求解實際操作時，初始區(qū)域可取足夠大，使解被包含在內(nèi)，這在解與實際化學(xué)問題相關(guān)的方程時很容易確定。在縮小區(qū)域[a,b]時則有所不同:在「a,b]取中點c。(即對分點)，求f(c)值。并與f(a)或f(b))比較，舍棄符號相同的點，保留符號相反的點在新的區(qū)域內(nèi)重復(fù)上述過程，直至達(dá)到要求的精度。用對分法求一元高次方程解的程序流程圖見圖2-32.3.1對分法計算機(jī)輔助建筑設(shè)計--方程求解全文共60頁，當(dāng)前為第21頁。2.3.2對分法流程圖2.3對分法優(yōu)選法求解計算機(jī)輔助建筑設(shè)計--方程求解全文共60頁，當(dāng)前為第22頁。2.3對分法優(yōu)選法求解2.3.3示例計算機(jī)輔助建筑設(shè)計--方程求解全文共60頁，當(dāng)前為第23頁。2.3.4對分法關(guān)鍵程序PrivateSubErfenfa(Str1AsString,AAsDouble,BAsDouble,EpsAsDouble)DimFxAsDouble,FaAsDouble,FbAsDouble,XAsDouble,iAsIntegerDimStrtmpAsStringFa=Hanshu(A,Str1):Fb=Hanshu(B,Str1)IfFa*Fb>0ThenText4=“方程根不在你規(guī)定的區(qū)間"ExitSubEndIfIf(Fa=0OrFb=0)Then‘如果Fa，F(xiàn)b＝0,則就是方程的根If(Fa=0)ThenX=AGoTo20ElseX=BGoTo20‘結(jié)束程序EndIfEndIf2.3對分法優(yōu)選法求解計算機(jī)輔助建筑設(shè)計--方程求解全文共60頁，當(dāng)前為第24頁。Strtmp=“計算次數(shù)I=A=B=中點X=函數(shù)值"&vbCrLfi=1DoUntilAbs(A-B)<=Eps

X=(A+B)/2

IfAbs(Hanshu(X,Str1))=0ThenGoTo20‘如果’Hanshu(X,Str1)=0，說明此時的x已經(jīng)是方程的解IfHanshu(X,Str1)*Hanshu(A,Str1)<0ThenB=(A+B)/2ElseIfHanshu(X,Str1)*Hanshu(B,Str1)<0ThenA=(A+B)/2EndIfStrtmp=Strtmp&i&Space(3)&A&Space(3)&B&Space(3)&(A+B)/2&Space(3)&Hanshu(X,Str1)&vbCrLfi=i+1Ifi>5000ThenText4=“達(dá)不到你所要求的精度，已經(jīng)累加計算了5000次"ExitDoEndIfLoop2.3.4對分法關(guān)鍵程序2.3對分法優(yōu)選法求解計算機(jī)輔助建筑設(shè)計--方程求解全文共60頁，當(dāng)前為第25頁。2.3.5程序界面2.3對分法優(yōu)選法求解計算機(jī)輔助建筑設(shè)計--方程求解全文共60頁，當(dāng)前為第26頁。2.3.6作業(yè)3：本節(jié)已經(jīng)給出了對分的調(diào)用程序，請編寫程序界面，完成輸入和輸出。要求求解時，列出每次求解時的中間過程。2.3對分法優(yōu)選法求解計算機(jī)輔助建筑設(shè)計--方程求解全文共60頁，當(dāng)前為第27頁。2.4優(yōu)選法優(yōu)選法又叫0.618法，與對分法流程基本相同，但每次插人點。不是區(qū)域的中點，而是在區(qū)域的0.618處，即c=a+0.618(b-a)或c=b-0.618(b-a),一般收斂速率更快。用對分法求解方程x2-2=0時的計算結(jié)果見表2－2計算機(jī)輔助建筑設(shè)計--方程求解全文共60頁，當(dāng)前為第28頁。2.4.1優(yōu)選法計算表2.4優(yōu)選法計算機(jī)輔助建筑設(shè)計--方程求解全文共60頁，當(dāng)前為第29頁。2.4.2作業(yè)按照對分法求解方法，編寫優(yōu)化法求解方程根的程序，要求：每一個循環(huán)中間步驟要輸出。2.4優(yōu)選法計算機(jī)輔助建筑設(shè)計--方程求解全文共60頁，當(dāng)前為第30頁。2.5迭代法高次方程也可利用迭代方法求解。把原方程f(x)＝0。進(jìn)行適當(dāng)變換，建立迭代方程xi＋1=G(x)依次迭代，直至收斂。例2-1求方程x3-x-1=0在x=1.5附近的根。方程由f(x)=0形式改寫成迭代方程:計算機(jī)輔助建筑設(shè)計--方程求解全文共60頁，當(dāng)前為第31頁。以1.5作x的初值x0,代入上式求出x1＝1.3572,再以x1代入，進(jìn)一步求出x2…..，直到計算結(jié)果見下表(ε＝0.00001)2.5迭代法(原理）計算機(jī)輔助建筑設(shè)計--方程求解全文共60頁，當(dāng)前為第32頁。2.5迭代法(原理）計算機(jī)輔助建筑設(shè)計--方程求解全文共60頁，當(dāng)前為第33頁。2.5.1注意事項迭代法的關(guān)鍵在于選定合適的迭代方程，要求迭代方程收斂，否則，因發(fā)散而得不到方程的解。如上例，若用x=x3-1為迭代方程，同樣取x0=1.5，則x1=2.375，x2=12.3965..…顯然xk的值越來越大，即迭代方程發(fā)散，正因為迭代法有此缺陷而限制了它的使用。確定迭代方程是否收斂，可以用|G'(x)|<1進(jìn)行判別，當(dāng)x滿足此式時一般收斂，否則發(fā)散。計算機(jī)輔助建筑設(shè)計--方程求解全文共60頁，當(dāng)前為第34頁。2.6牛頓法牛頓法又稱弦切法，也是迭代法的一種。求f(x)=0的解，即求曲線f(x)與橫坐標(biāo)的交點a(如圖2-5所示)，在a點附近x0處的斜率所以所以迭代方程為：計算機(jī)輔助建筑設(shè)計--方程求解全文共60頁，當(dāng)前為第35頁。2.6牛頓法結(jié)束條件：直到f(xi)=0,即xi+1=xi或|xi+1-xi|<ε為止。計算機(jī)輔助建筑設(shè)計--方程求解全文共60頁，當(dāng)前為第36頁。2.6.1牛頓法舉例思考題1：用牛頓迭代法求解x2-25=0的正數(shù)解。自己用筆先計算。計算機(jī)輔助建筑設(shè)計--方程求解全文共60頁，當(dāng)前為第37頁。2.6.1牛頓法舉例牛頓迭代收斂快，尤其是土木方程，總有一實數(shù)解，且知道解的基本范圍，故使用很方便。計算機(jī)輔助建筑設(shè)計--方程求解全文共60頁，當(dāng)前為第38頁。2.6.3牛頓迭代法的近似解法有時，f'(x)的表達(dá)式很復(fù)雜或無法求時怎么辦呢？計算機(jī)輔助建筑設(shè)計--方程求解全文共60頁，當(dāng)前為第39頁。2.6.3牛頓迭代法的近似解法可用數(shù)值近似法替代:式中，δ為遠(yuǎn)小于xi的一個小數(shù)。計算機(jī)輔助建筑設(shè)計--方程求解全文共60頁，當(dāng)前為第40頁。本節(jié)上機(jī)作業(yè)4.寫出用0.618法求解一元三次方程的程序框圖。按流程求出方程2x3+3x2-17x-30=0在[1,10]區(qū)域的解，精度為0.01.5，用迭代法解方程f(x)＝x-sinx-0.5=0。精度0.0016.用牛頓近似迭代法求x2+10cosx=0的根要求能夠輸出每一步計算的結(jié)果。計算機(jī)輔助建筑設(shè)計--方程求解全文共60頁，當(dāng)前為第41頁。本節(jié)上機(jī)作業(yè)牛頓迭代法求解時應(yīng)注意：作業(yè)7給的初值不同時，求解的解并不同，這時因為如果方程有多個解，它是趨于最近的解。例如作業(yè)中2x3+3x2-17x-30=0，分別初值代入-4,-3,-2,0.1,2分別代入，找到方程的解。計算機(jī)輔助建筑設(shè)計--方程求解全文共60頁，當(dāng)前為第42頁。思考題本節(jié)講的掃描法，對分法，優(yōu)選法及迭代法，當(dāng)求到一個合適的解后，程序就自動完成了，問題提出，如何求出方程所有的解：計算機(jī)輔助建筑設(shè)計--方程求解全文共60頁，當(dāng)前為第43頁。數(shù)值積分計算機(jī)輔助建筑設(shè)計--方程求解全文共60頁，當(dāng)前為第44頁。1定積分的求解在高等數(shù)學(xué)中，對一個定積分的求解，可以利用牛頓一萊布尼茲(Newton-Leibniz)公式，即這里F(x)是f(x)的一個原函數(shù)。計算機(jī)輔助建筑設(shè)計--方程求解全文共60頁，當(dāng)前為第45頁。但是，在科學(xué)研究和工程技術(shù)中常會遇到下述幾種情況，如：1.被積函數(shù)的結(jié)構(gòu)復(fù)雜，求原函數(shù)困難2.原函數(shù)不能用初等函數(shù)表示;3.被積函數(shù)不存在原函數(shù)。這時用牛頓一萊布尼茲公式精確計算積分值相當(dāng)困難，需要建立積分的近似計算方法。數(shù)值積分就是一種常用的近似計算方法。數(shù)值積分不受被積函數(shù)有無解析解的限制，土木工程中都可用數(shù)值積分解決。本章介紹最基本的數(shù)值積分法，它們是矩形法、梯形法、辛普森法。計算機(jī)輔助建筑設(shè)計--方程求解全文共60頁，當(dāng)前為第46頁。2矩形積分法4-1矩形在滿足一定精度的范圍內(nèi).數(shù)值積分可以只利用被積函數(shù)來求得積分值，為什么可以這樣進(jìn)行呢?我們知道，函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]之間求積，就是求圖4-1中的f(x)曲線與x軸以及兩直線x=a,x=b所圍成的幾何圖形的面積。計算機(jī)輔助建筑設(shè)計--方程求解全文共60頁，當(dāng)前為第47頁。2.1基本原理如圖4-2所示，我們把區(qū)間[a,b]分為n個等分，每等分長為△x，那么其面積計算機(jī)輔助建筑設(shè)計--方程求解全文共60頁，當(dāng)前為第48頁。作業(yè)1：試編程實現(xiàn)上述矩形積分要求是個通用程序通過傳遞參數(shù)計算計算機(jī)輔助建筑設(shè)計--方程求解全文共60頁，當(dāng)前為第49頁。2.2關(guān)鍵程序代碼PublicFunctionJuxingJifen(Str1AsString,AAsDouble,BAsDouble,DengFenAsInteger)AsDoubleDimSum1AsDouble,iAsLong,HAsDoubleH=Abs(B-A)/DengFenSum1=0Fori=1ToDengFenSum1=Sum1+Hanshu(A+i*H,Str1)*HNextJuxingJifen=Sum1EndFunctionStr1函數(shù)表達(dá)式，但必須符合VB的表示方法。A，B積分的上下限D(zhuǎn)engfen積分區(qū)間的等分份數(shù)計算機(jī)輔助建筑設(shè)計--方程求解全文共60頁，當(dāng)前為第50頁。2.3精度控制在計算時，曲線以下、矩形以上形如三角形的面積都未被考慮，故有一定的誤差。當(dāng)然，若將△x取得小一些，誤差就可減小，不過計算量卻要大大增加，從而也增大了誤差的積累。計算機(jī)輔助建筑設(shè)計--方程求解全文共60頁，當(dāng)前為第51頁。3梯形積分法減少誤差的一種方法是，將每個等分用梯形代替矩形，如圖4－3所示。計算方法相應(yīng)地改為：計算機(jī)輔助建筑設(shè)計--方程求解全文共60頁，當(dāng)前為第52頁。3.1梯形積分法舉例例4-1利用梯形法求積分的近似解。解:該積分的解析解是0.333.....。按梯形法，將積分區(qū)間二等分（n=2),計算機(jī)輔助建筑設(shè)計--方程求解全文共60頁，當(dāng)前為第53頁。3.1梯形積分法舉例隨n增大，△x減小，近似結(jié)果趨近于解析解，見表π△xSπ△xS40.250.344160.06250.33480.1260.334640.01560.333計算機(jī)輔助建筑設(shè)計--方程求解全文共60頁，當(dāng)前為第54頁。3.2程序關(guān)鍵代碼但是梯形法以直線來代替曲線仍有誤差，如果用某種曲線來代替，就能進(jìn)一步減少誤差，為此而發(fā)展了辛普森求積方法。PublicFunctionTixingJifen(Str1AsString,AAsDouble,BAsDouble,DengFenAsInteger)AsDoubleDimSum1AsDouble,iAsLong,HAsDoubleH=Abs(B-A)/DengFenSum1=0Fori=1ToDengFenSum1=Sum1+(Hanshu(A+(i-1)*