專題9 三角函數(shù)(三)

中國領(lǐng)先的個性化教育品牌PAGE精銳教育網(wǎng)站： -PAGE27-精銳教育·考試研究院精銳教育學(xué)科教師輔導(dǎo)講義講義編號：年級：輔導(dǎo)科目：數(shù)學(xué)課時數(shù)：課題三角函數(shù)（三）教學(xué)目的教學(xué)內(nèi)容第五節(jié)兩角和與差的三角函數(shù)（一）高考目標(biāo)考綱解讀1．會用向量的數(shù)量積推導(dǎo)出兩角差的余弦公式．2．能利用兩角差的余弦公式導(dǎo)出兩角差的正弦、正切公式．3．能利用兩角差的余弦公式導(dǎo)出兩角和的正弦、余弦、正切公式，導(dǎo)出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它們的內(nèi)在聯(lián)系．考向預(yù)測1．利用兩角和與差的正弦、余弦、正切公式進(jìn)行三角函數(shù)式的化簡求值是高考?？嫉膬?nèi)容．2．公式逆用、變形用(尤其是余弦二倍角的變形用)是高考熱點．3．在選擇題、填空題、解答題中都可能考查．（二）課前自主預(yù)習(xí)知識梳理1．cos(α－β)＝cosα·cosβ＋sinα·sinβ(Cα－β)cos(α＋β)＝ (Cα＋β)sin(α－β)＝ (Sα－β)sin(α＋β)＝ (Sα＋β)tan(α－β)＝ (Tα－β)tan(α＋β)＝ (Tα＋β)前面4個公式對任意的α，β都成立，而后面兩個公式成立的條件是a≠kπ＋eq\f(π,2)，β≠kπ＋eq\f(π,2)，k∈Z，且α＋β≠kπ＋eq\f(π,2)(Tα＋β需滿足)，α－β≠kπ＋eq\f(π,2)(Tα－β需滿足)k∈Z時成立，否則是不成立的．當(dāng)tanα、tanβ或tan(α±β)的值不存在時，不能使用公式Tα±β處理有關(guān)問題，應(yīng)改用誘導(dǎo)公式或其它方法求解．2．要辯證地看待和角與差角，根據(jù)需要，可以進(jìn)行適當(dāng)?shù)淖儞Q：α＝(α＋β)－β，α＝(α－β)＋β，2α＝(α＋β)＋(α－β)，2α＝(α＋β)－(β－α)等等．3．在準(zhǔn)確熟練地記住公式的基礎(chǔ)上，要靈活運用公式解決問題：如公式的正用、逆用和變形用等．如Tα±β可變形為：tanα±tanβ＝ ，tanαtanβ＝ ＝ .（三）基礎(chǔ)自測1．(2010·福建理)計算sin43°cos13°－cos43°sin13°的結(jié)果等于()A.eq\f(1,2)B.eq\f(\r(3),3)C.eq\f(\r(2),2) D.eq\f(\r(3),2)[答案]A[解析]原式＝sin(43°－13°)＝sin30°＝eq\f(1,2).2．已知α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))，sinα＝eq\f(3,5)，則taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,4)))等于()A.eq\f(1,7) B．7C．－eq\f(1,7) D．－7[答案]A[解析]∵α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))，sinα＝eq\f(3,5)，∴cosα＝－eq\f(4,5)，∴tanα＝－eq\f(3,4).而taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,4)))＝eq\f(tanα＋1,1－tanα)＝eq\f(－\f(3,4)＋1,1＋\f(3,4))＝eq\f(1,7).3．(2011·煙臺模擬)已知α，β都是銳角，sinα＝eq\f(1,2)，cos(α＋β)＝eq\f(1,2)，則cosβ等于()A.eq\f(1－\r(3),2) B.eq\f(\r(3)－1,2)C.eq\f(1,2) D.eq\f(\r(3),2)[答案]D[解析]∵α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，β∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，∴α＋β∈(0，π)，由sinα＝eq\f(1,2)，得α＝eq\f(π,6)，又由cos(α＋β)＝eq\f(1,2)，得α＋β＝eq\f(π,3)，故β＝eq\f(π,6)，cosβ＝eq\f(\r(3),2).4．tan15°＋cot15°等于()A．2 B．2＋eq\r(3)C．4 D.eq\f(4\r(3),3)[分析]可切割化弦利用倍角公式求解也可將15°轉(zhuǎn)換成45°－30°或者15°＝eq\f(30°,2)求解．[答案]C[解析]解法1：tan15°＋cot15°＝eq\f(sin15°,cos15°)＋eq\f(cos15°,sin15°)＝eq\f(1,sin15°cos15°)＝eq\f(2,sin30°)＝4.解法2：tan15°＋cot15°＝tan(45°－30°)＋eq\f(1,tan45°－30°)＝eq\f(tan45°－tan30°,1＋tan45°tan30°)＋eq\f(1＋tan45°tan30°,tan45°－tan30°)＝eq\f(1－\f(\r(3),3),1＋\f(\r(3),3))＋eq\f(1＋\f(\r(3),3),1－\f(\r(3),3))＝eq\f(\r(3)－1,\r(3)＋1)＋eq\f(\r(3)＋1,\r(3)－1)＝eq\f(4－2\r(3),2)＋eq\f(4＋2\r(3),2)＝4.解法3：tan15°＋cot15°＝taneq\f(30°,2)＋eq\f(1,tan\f(30°,2))＝eq\f(1－cos30°,sin30°)＋eq\f(1＋cos30°,sin30°)＝eq\f(2,sin30°)＝4.5．函數(shù)y＝sinx＋coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,6)))的最大值和最小值分別為________．[答案]eq\r(3)，－eq\r(3)[解析]y＝sinx＋cosxcoseq\f(π,6)＋sinxsineq\f(π,6)＝eq\f(3,2)sinx＋eq\f(\r(3),2)cosx＝eq\r(3)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,6))).當(dāng)x＝2kπ＋eq\f(π,3)(k∈Z)時，ymax＝eq\r(3)；當(dāng)x＝2kπ－eq\f(2π,3)(k∈Z)時，ymin＝－eq\r(3).6．化簡：coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)＋α))＋sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)＋α))＝________.[答案]cosα[解析]coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)＋α))＋sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)＋α))＝coseq\f(π,3)cosα－sineq\f(π,3)sinα＋sineq\f(π,6)cosα＋coseq\f(π,6)sinα＝eq\f(1,2)cosα－eq\f(\r(3),2)sinα＋eq\f(1,2)cosα＋eq\f(\r(3),2)sinα＝cosα.7．若銳角α，β滿足(1＋eq\r(3)tanα)(1＋eq\r(3)tanβ)＝4，求α＋β的值．[解析]∵(1＋eq\r(3)tanα)(1＋eq\r(3)tanβ)＝1＋eq\r(3)tanα＋eq\r(3)tanβ＋3tanαtanβ＝4，∴eq\r(3)(tanα＋tanβ)＝3(1－tanαtanβ)，即tanα＋tanβ＝eq\r(3)(1－tanαtanβ)，∴tan(α＋β)＝eq\f(tanα＋tanβ,1－tanαtanβ)＝eq\r(3)，又α、β均為銳角，∴0<α＋β<π，∴α＋β＝eq\f(π,3).（四）典型例題1.命題方向：化簡求值問題[例1]求下列各式的值：(1)(eq\f(1,cos280°)－eq\f(3,cos210°))eq\f(1,cos20°)(2)eq\f(cos20°,sin20°)·cos10°＋eq\r(3)sin10°tan70°－2cos40°[分析]角求值問題，應(yīng)從角的關(guān)系、函數(shù)關(guān)系、運算關(guān)系上找聯(lián)系，構(gòu)造利用公式的條件．[解析](1)∵eq\f(1,cos280°)－eq\f(3,cos210°)＝eq\f(1,sin210°)－eq\f(3,cos210°)＝eq\f(cos210°－3sin210°,sin210°cos210°)＝eq\f(cos10°＋\r(3)sin10°cos10°－\r(3)sin10°,sin210°cos210°)＝eq\f(4cos50°·cos70°,\f(1,4)sin220°)＝eq\f(16·sin40°·sin20°,sin220°)＝32cos20°.∴原式＝32.(2)eq\f(cos20°,sin20°)·cos10°＋eq\r(3)sin10°tan70°－2cos40°＝eq\f(cos20°cos10°,sin20°)＋eq\f(\r(3)sin10°sin70°,cos70°)－2cos40°＝eq\f(cos20°cos10°＋\r(3)sin10°cos20°,sin20°)－2cos40°＝eq\f(cos20°cos10°＋\r(3)sin10°,sin20°)－2cos40°＝eq\f(2cos20°cos10°sin30°＋sin10°cos30°,sin20°)－2cos40°＝eq\f(2cos20°sin40°－2sin20°cos40°,sin20°)＝2.[點評]在三角函數(shù)的化簡、求值、證明中，常常對條件和結(jié)論進(jìn)行合理變換、轉(zhuǎn)化，特別是角的變化、名稱的變化、切化弦、常數(shù)代換、冪的代換、結(jié)構(gòu)變化都是常用的技巧和方法．跟蹤練習(xí)1求[2sin50°＋sin10°(1＋eq\r(3)tan10°)]·eq\r(2sin280)的值．[解析]原式＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2sin50°＋sin10°×\f(cos10°＋\r(3)sin10°,cos10°)))·eq\r(2)sin80°＝(2sin50°＋2sin10°·eq\f(\f(1,2)cos10°＋\f(\r(3),2)sin10°,cos10°))·eq\r(2)cos10°＝2eq\r(2)[sin50°·cos10°＋sin10°·cos(60°－10°)]＝2eq\r(2)sin(50°＋10°)＝2eq\r(2)×eq\f(\r(3),2)＝eq\r(6).[點評]對于給角求值問題，往往所給角都是非特殊角，解決這類問題的基本思路有：(1)化為特殊角的三角函數(shù)值．(2)化為正負(fù)相消的項，消去求值．(3)化分子、分母使之出現(xiàn)公約數(shù)進(jìn)行約分而求值．(4)給值(或式)求值.2.命題方向：條件求值[例2]已知sin(30°＋α)＝eq\f(3,5)，60°<α<150°，求cosα的值．[分析](1)因為30°是特殊角，所以可用和角公式展開后，設(shè)法求值．(2)觀察條件中角與所求值中角之間的關(guān)系，利用和差關(guān)系，整體求解．[解析]方法一：∵sin(30°＋α)＝sin30°·cosα＋cos30°·sinα＝eq\f(1,2)cosα＋eq\f(\r(3),2)sinα＝eq\f(3,5)，∴cosα＋eq\r(3)sinα＝eq\f(6,5).①又∵sin2α＋cos2α＝1，②∴由①得cosα＝eq\f(6,5)－eq\r(3)sinα，代入②得100sin2α－60eq\r(3)sinα＋11＝0.∴sinα＝eq\f(60\r(3)±\r(60\r(3)2－4×100×11),2×100)＝eq\f(3\r(3)±4,10).又∵60°<α<150°，∴sinα>eq\f(1,2).而sinα＝eq\f(3\r(3)－4,10)<eq\f(1,2)，∴只取sinα＝eq\f(3\r(3)＋4,10).代入①，得cosα＝eq\f(6,5)－eq\r(3)·eq\f(3\r(3)＋4,10)＝eq\f(3－4\r(3),10).方法二：把30°＋α看作整體，可求cos(30°＋α)的值．∵60°<α<150°，∴90°<30°＋α<180°.∵sin(30°＋α)＝eq\f(3,5)，∴cos(30°＋α)＝－eq\f(4,5).∴sin(30°＋α)＝sin30°·cosα＋cos30°·sinα＝eq\f(1,2)cosα＋eq\f(\r(3),2)sinα＝eq\f(3,5)，①cos(30°＋α)＝cos30°·cosα－sin30°·sinα＝eq\f(\r(3),2)cosα－eq\f(1,2)sinα＝－eq\f(4,5).②由①②，得cosα＝eq\f(3－4\r(3),10).方法三：∵60°<α<150°，∴90°<30°＋α<180°.∵sin(30°＋α)＝eq\f(3,5)，∴cos(30°＋α)＝－eq\f(4,5).∴cosα＝cos[(30°＋α)－30°]＝cos(30°＋α)·cos30°＋sin(30°＋α)·sin30°＝－eq\f(4,5)×eq\f(\r(3),2)＋eq\f(3,5)×eq\f(1,2)＝eq\f(3－4\r(3),10).[點評](1)方法一想法簡單，但計算麻煩，且需判斷sinα的范圍，從而得cosα值．這不僅麻煩，而且容易漏掉，導(dǎo)致錯誤．方法二注意到了把30°＋α看作整體，先求出cos(30°＋α)＝－eq\f(4,5)，再將兩式展開，解方程組即可．比方法一大大簡化．而方法三注意到了角之間的關(guān)系，α＝(30°＋α)－30°，從而快捷地求出cosα的值，計算簡便但技巧性較強，有一定思維難度．(2)方法一、方法二都體現(xiàn)了方程思想，方法三體現(xiàn)了變換思想．跟蹤練習(xí)2(2011·襄樊)已知cosα＝eq\f(1,7)，cos(α－β)＝eq\f(13,14)，且0<β<α<eq\f(π,2).(1)求tan2α的值；(2)求角β.[解析](1)由cosα＝eq\f(1,7)，0<α<eq\f(π,2)，得sinα＝eq\r(1－cos2α)＝eq\r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,7)))2)＝eq\f(4\r(3),7).∴tanα＝eq\f(sinα,cosα)＝4eq\r(3).于是tan2α＝eq\f(2tanα,1－tan2α)＝eq\f(2×4\r(3),1－4\r(3)2)＝－eq\f(8\r(3),47).(2)由0<β<α<eq\f(π,2)，得0<α－β<eq\f(π,2).又∵cos(α－β)＝eq\f(13,14)，∴sin(α－β)＝eq\r(1－cos2α－β)＝eq\r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(13,14)))2)＝eq\f(3\r(3),14).由β＝α－(α－β)得，cosβ＝cos[α－(α－β)]＝cosαcos(α－β)＋sinαsin(α－β)＝eq\f(1,7)×eq\f(13,14)＋eq\f(4\r(3),7)×eq\f(3\r(3),14)＝eq\f(1,2).∴β＝eq\f(π,3).3.命題方向：給值求解問題[例3]已知3sin2α＋2sin2β＝1,3sin2α－2sin2β＝0，且α，β都是銳角，求α＋2β的值．[分析](1)欲求角，應(yīng)先求其某種三角函數(shù)值．(2)從已知條件找出角α＋2β的范圍，確定其值．[解析]方法一：由3sin2α＋2sin2β＝1，得1－2sin2β＝3sin2α，即cos2β＝3sin2α.又由3sin2α－2sin2β＝0，得sin2β＝eq\f(3,2)sin2α.∴cos(α＋2β)＝cosαcos2β－sinαsin2β＝cosα·3sin2α－sinα·eq\f(3,2)sin2α＝3sin2α·cosα－3cosα·sin2α＝0.又∵0°<α<90°，0°<β<90°，∴0°<α＋2β<270°.故α＋2β＝90°.方法二：由3sin2α＋2sin2β＝1得3sin2α＝cos2β①又由3sin2α－2sin2β＝0得eq\f(3,2)sin2α＝sin2β②①÷②得tanα＝cot2β.∵0°<α<90°，∴0°<2β<90°，∴cot(90°－α)＝cot2β，又0°<90°－α<90°，0°<2β<90°，∴α＋2β＝90°.跟蹤練習(xí)3已知0<α<eq\f(π,2)<β<π，taneq\f(α,2)＝eq\f(1,2)，cos(β－α)＝eq\f(\r(2),10).(1)求sinα的值；(2)求β的值．[解析](1)∵taneq\f(α,2)＝eq\f(1,2)，∴sinα＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2·\f(α,2)))＝2sineq\f(α,2)coseq\f(α,2)＝eq\f(2sin\f(α,2)cos\f(α,2),sin2\f(α,2)＋cos2\f(α,2))＝eq\f(2tan\f(α,2),1＋tan2\f(α,2))＝eq\f(2×\f(1,2),1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))2)＝eq\f(4,5).(2)∵0<α<eq\f(π,2)，sinα＝eq\f(4,5)，∴cosα＝eq\f(3,5).又0<α<eq\f(π,2)<β<π，∴0<β－α<π.由cos(β－α)＝eq\f(\r(2),10)，得0<β－α<eq\f(π,2).∴sin(β－α)＝eq\f(\r(98),10)＝eq\f(7\r(2),10)，∴sinβ＝sin[(β－α)＋α]＝sin(β－α)cosα＋cos(β－α)sinα＝eq\f(7\r(2),10)×eq\f(3,5)＋eq\f(\r(2),10)×eq\f(4,5)＝eq\f(25\r(2),50)＝eq\f(\r(2),2).由eq\f(π,2)<β<π得β＝eq\f(3,4)π.(或求cosβ＝－eq\f(\r(2),2)，得β＝eq\f(3,4)π)．（五）思想方法點撥理解和運用兩角和與差的三角函數(shù)公式需注意的幾個問題：兩角和與差的正弦、余弦、正切公式之間的內(nèi)在聯(lián)系．①掌握好公式的內(nèi)在聯(lián)系及其推導(dǎo)線索，能幫助我們理解和記憶公式，是學(xué)好這部分內(nèi)容的關(guān)鍵②誘導(dǎo)公式是兩角和與差的三角函數(shù)公式的特殊情況．α、β中若有為eq\f(π,2)的整數(shù)倍角時，使用誘導(dǎo)公式更靈活、簡便．2．公式的逆用及有關(guān)變形tanα±tanβ＝tan(α±β)(1?tanαtanβ)；sinα±cosα＝eq\r(2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α±\f(π,4))).3．角的變換α＝(α＋β)－β，β＝(α＋β)－α，2α＝(α＋β)＋(α－β)，2β＝(α＋β)－(α－β)．注意：在公式T(α±β)中，α、β、α±β必須使等式兩端均有意義，即α、β、α±β都不能取eq\f(π,2)＋2kπ(k∈Z)．否則，利用誘導(dǎo)公式求解．（六）課后強化作業(yè)一、選擇題1．(2010·新課標(biāo)文)若cosα＝－eq\f(4,5)，α是第三象限的角，則sin(α＋eq\f(π,4))＝()A．－eq\f(7\r(2),10)B.eq\f(7\r(2),10)C．－eq\f(\r(2),10) D.eq\f(\r(2),10)[答案]A[解析]本題考查了同角的三角函數(shù)關(guān)系和兩角和的正弦公式，在解題時要注意正確計算各個三角函數(shù)的值，題目定位是中檔題．由題知，cosα＝－eq\f(4,5)，α是第三象限的角，所以sinα＝－eq\f(3,5)，由兩角和的正弦公式可得sin(α＋eq\f(π,4))＝sinαcoseq\f(π,4)＋cosαsineq\f(π,4)＝(－eq\f(3,5))×eq\f(\r(2),2)＋(－eq\f(4,5))×eq\f(\r(2),2)＝－eq\f(7\r(2),10).2．(2011·濟南模擬)sin15°cos75°＋cos15°sin105°等于()A．0 B.eq\f(1,2)C.eq\f(\r(3),2) D．1[答案]D[解析]sin15°cos75°＋cos15°sin105°＝sin15°cos75°＋cos15°sin75°＝sin90°.3．已知－eq\f(π,4)<α<eq\f(3π,4)，sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－α))＝eq\f(\r(5),5)，則sinα＝()A.eq\f(\r(10),10) B.eq\f(2\r(5),5)C.eq\f(\r(5),5) D.eq\f(\r(3),3)[答案]A[解析]∵－eq\f(π,4)<α<eq\f(3π,4)，∴－eq\f(π,2)<eq\f(π,4)－α<eq\f(π,2)，又sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－α))＝eq\f(\r(5),5)，∴coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－α))＝eq\f(2\r(5),5)，∴sinα＝sineq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－α))))＝eq\f(\r(10),10)，故選A.4．已知sinα＝eq\f(3,5)，α為第二象限角，且tan(α＋β)＝1，則tanβ的值是()A．－7 B．7C．－eq\f(3,4) D.eq\f(3,4)[答案]B[解析]由sinα＝eq\f(3,5)，α為第二象限角，得cosα＝－eq\f(4,5)，則tanα＝－eq\f(3,4).∴tanβ＝tan[(α＋β)－α]＝eq\f(tanα＋β－tanα,1＋tanα＋βtanα)＝eq\f(1＋\f(3,4),1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,4))))＝7.5．已知coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,4)))＝eq\f(1,4)，則sin2α的值為()A.eq\f(31,32) B．－eq\f(31,32)C．－eq\f(7,8) D.eq\f(7,8)[答案]C[解析]方法1：sin2α＝cos(eq\f(π,2)－2α)＝2cos2(α－eq\f(π,4))－1＝－eq\f(7,8)，故選C.方法2：cos(α－eq\f(π,4))＝eq\f(\r(2),2)cosα＋eq\f(\r(2),2)sinα＝eq\f(1,4)兩邊平方得eq\f(1,2)＋eq\f(1,2)sin2α＝eq\f(1,16)，∴sin2α＝－eq\f(7,8)，故選C.6．已知sinx－siny＝－eq\f(2,3)，cosx－cosy＝eq\f(2,3)，且x、y為銳角，則tan(x－y)的值是()A.eq\f(2\r(14),5) B．－eq\f(2\r(14),5)C．±eq\f(2\r(14),5) D．±eq\f(5\r(14),28)[答案]B[解析]由已知sinx－siny＝－eq\f(2,3)，cosx－cosy＝eq\f(2,3)，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(sin2x－2sinxsiny＋sin2y＝\f(4,9),cos2x－2cosxcosy＋cos2y＝\f(4,9)))，相加得cos(x－y)＝eq\f(5,9)，且x、y均為銳角，∴sin(x－y)＝eq\f(－2\r(14),9)，∴tan(x－y)＝－eq\f(2\r(14),5)，故選B.7．若α，β∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(β,2)))＝eq\f(\r(3),2)，sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(α,2)－β))＝－eq\f(1,2)，則cos(α＋β)的值等于()A．－eq\f(\r(3),2) B．－eq\f(1,2)C.eq\f(1,2) D.eq\f(\r(3),2)[答案]B[解析]∵sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(α,2)－β))＝－eq\f(1,2)，eq\f(α,2)－β∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,4)))∴eq\f(α,2)－β＝－eq\f(π,6)①∵coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(β,2)))＝eq\f(\r(3),2)，α，β∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，∴α－eq\f(β,2)∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,4)，\f(π,2)))，∴α－eq\f(β,2)＝－eq\f(π,6)或eq\f(π,6)②由①②有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(α＝\f(π,3),β＝\f(π,3)))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(α＝－\f(π,9),β＝\f(π,9)))(舍去)，∴cos(α＋β)＝coseq\f(2π,3)＝－eq\f(1,2).8．在△ABC中，tanA，tanB，tanC依次成等差數(shù)列，則B的取值范圍是()A.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,3)))∪eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，\f(2π,3))) B.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,6)))∪eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，\f(5π,6)))C.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，\f(π,2))) D.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)，\f(π,2)))[答案]D[解析]由條件知2tanB＝tanA＋tanC(※)顯然B為銳角，若B為鈍角，則tanA>0，tanC>0，tanB<0(※)式不成立．∵tanB＝－tan(A＋C)＝－eq\f(tanA＋tanC,1－tanA·tanC)＝－eq\f(2tanB,1－tanA·tanC)，且tanB≠0，∴tanAtanC＝3，∴(2tanB)2＝(tanA＋tanC)2＝tan2A＋tan2C＋2tanAtanC≥4tanAtanC＝12，因此tan2∵tanB>0，∴tanB≥eq\r(3)，eq\f(π,3)≤B<eq\f(π,2)，即B的取值范圍是eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)，\f(π,2)))，選D.二、填空題9．(2011·樂山模擬)已知cosα＝eq\f(1,7)，cos(α＋β)＝－eq\f(11,14)，α、β∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，則β＝________.[答案]eq\f(π,3)[解析]∵α、β∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，∴α＋β∈(0，π)，∴sinα＝eq\f(4\r(3),7)，sin(α＋β)＝eq\f(5\r(3),14)，∴cosβ＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cosα＋sin(α＋β)sinα＝eq\f(1,2)，∵0<β<eq\f(π,2)，∴β＝eq\f(π,3).10．函數(shù)y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,3)))sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,2)))的最小正周期T＝______.[答案]π[解析]解法1：f(x)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,3)))sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,2)))＝－eq\f(1,2)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(5π,6)))－cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,6)))))＝－eq\f(1,2)coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(5π,6)))＋eq\f(\r(3),4).∴T＝π.解法2：y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)sinx＋\f(\r(3),2)cosx))cosx＝eq\f(1,4)sin2x＋eq\f(\r(3),4)cos2x＋eq\f(\r(3),4)＝eq\f(1,2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3)))＋eq\f(\r(3),4)，∴T＝π.11．若cos(α＋β)＝eq\f(1,5)，cos(α－β)＝eq\f(3,5)，則tanα·tanβ＝________.[答案]eq\f(1,2)[解析]由題意知：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(cosαcosβ－sinαsinβ＝\f(1,5)，,cosαcosβ＋sinαsinβ＝\f(3,5)，))eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1(\o(\s\up7(),\s\do5())①,\o(\s\up7(),\s\do5())②))①＋②?cosαcosβ＝eq\f(2,5)，③②－①?sinαsinβ＝eq\f(1,5)，④eq\f(④,③)得：tanαtanβ＝eq\f(1,2).三、解答題12．(2011·北京海淀區(qū)模擬)已知tanα＝2.求：(1)taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,4)))的值；(2)eq\f(sin2α＋cos2π－α,1＋cos2α)的值．[解析](1)∵taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,4)))＝eq\f(1＋tanα,1－tanα)，且tanα＝2，∴taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,4)))＝eq\f(1＋2,1－2)＝－3.(2)eq\f(sin2α＋cos2π－α,1＋cos2α)＝eq\f(2sinαcosα＋cos2α,2cos2α)＝eq\f(2sinα＋cosα,2cosα)＝tanα＋eq\f(1,2)＝eq\f(5,2).13．如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，以O(shè)x軸為始邊作兩個銳角α、β，它們的終邊分別與單位圓相交于A、B兩點．已知A、B的橫坐標(biāo)分別為eq\f(\r(2),10)、eq\f(2\r(5),5).(1)求tan(α＋β)的值；(2)求α＋2β的值．[解析]由已知得cosα＝eq\f(\r(2),10)，cosβ＝eq\f(2\r(5),5).∵α、β為銳角，∴sinα＝eq\r(1－cos2α)＝eq\f(7\r(2),10)，sinβ＝eq\r(1－cos2β)＝eq\f(\r(5),5)，∴tanα＝7，tanβ＝eq\f(1,2).(1)tan(α＋β)＝eq\f(tanα＋tanβ,1－tanαtanβ)＝eq\f(7＋\f(1,2),1－7×\f(1,2))＝－3.(2)∵tan2β＝eq\f(2tanβ,1－tan2β)＝eq\f(2×\f(1,2),1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))2)＝eq\f(4,3)，∴tan(α＋2β)＝eq\f(tanα＋tan2β,1－tanα·tan2β)＝eq\f(7＋\f(4,3),1－7×\f(4,3))＝－1.∵α、β為銳角，0<α＋2β<eq\f(3π,2)，∴α＋2β＝eq\f(3π,4).14．(文)若sinA＝eq\f(\r(5),5)，sinB＝eq\f(\r(10),10)，且A，B均為鈍角，求A＋B的值．[分析]欲求A＋B，先求A＋B的一個三角函數(shù)值，然后再由A、B的范圍求得A＋B的值．[解析]∵A、B均為鈍角且sinA＝eq\f(\r(5),5)，sinB＝eq\f(\r(10),10)，∴cosA＝－eq\r(1－sin2A)＝－eq\f(2,\r(5))＝－eq\f(2\r(5),5)，cosB＝－eq\r(1－sin2B)＝－eq\f(3,\r(10))＝－eq\f(3\r(10),10)，∴cos(A＋B)＝cosAcosB－sinAsinB＝－eq\f(2\r(5),5)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3\r(10),10)))－eq\f(\r(5),5)×eq\f(\r(10),10)＝eq\f(\r(2),2)①又∵eq\f(π,2)<A<π，eq\f(π,2)<B<π，∴π<A＋B<2π.由①②知A＋B＝eq\f(7π,4).[點評](1)通過求角的某種三角函數(shù)值來求角，在選取函數(shù)時，遵照以下原則：①已知正切函數(shù)值，選正切函數(shù)；②已知正、余弦函數(shù)值，選正弦或余弦函數(shù)；若角的范圍是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，選正、余弦皆可；若角的范圍是(0，π)，選余弦較好；若角的范圍為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,2)))，選正弦較好．(理)已知sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,4)))＝eq\f(7\r(2),10)，cos2α－sin2α＝eq\f(7,25)，求sinα及taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,3))).[解析]由題設(shè)條件，應(yīng)用兩角差的正弦公式得：eq\f(7\r(2),10)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,4)))＝eq\f(\r(2),2)(sinα－cosα)，即sinα－cosα＝eq\f(7,5)①由題設(shè)得cos2α－sin2α＝(cosα－sinα)(cosα＋sinα)＝－eq\f(7,5)(cosα＋sinα)，故cosα＋sinα＝－eq\f(1,5)②由①式和②式得：sinα＝eq\f(3,5)，cosα＝－eq\f(4,5).∴tanα＝－eq\f(3,4)，taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,3)))＝eq\f(tanα＋tan\f(π,3),1－tanαtan\f(π,3))＝eq\f(－\f(3,4)＋\r(3),1＋\f(3,4)×\r(3))＝eq\f(4\r(3)－3,4＋3\r(3))＝eq\f(48－25\r(3),11).15．設(shè)函數(shù)f(x)＝(sinωx＋cosωx)2＋2cos2ωx(ω>0)的最小正周期為eq\f(2π,3).(1)求ω的值；(2)若函數(shù)y＝g(x)的圖像是由y＝f(x)的圖像向右平移eq\f(π,2)個單位長度得到的，求y＝g(x)的單調(diào)增區(qū)間．[分析][解析](1)f(x)＝(sinωx＋cosωx)2＋2cos2ωx＝sin2ωx＋cos2ωx＋2sinωxcosωx＋1＋cos2ωx＝sin2ωx＋cos2ωx＋2＝eq\r(2)sin(2ωx＋eq\f(π,4))＋2，依題意得eq\f(2π,2ω)＝eq\f(2π,3)，故ω的值為eq\f(3,2).(2)依題意得g(x)＝eq\r(2)sineq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(3\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,2)))＋\f(π,4)))＋2＝eq\r(2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3x－\f(5π,4)))＋2，由2kπ－eq\f(π,2)≤3x－eq\f(5π,4)≤2kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)，解得eq\f(2,3)kπ＋eq\f(π,4)≤x≤eq\f(2,3)kπ＋eq\f(7π,12)(k∈Z)，故y＝g(x)的單調(diào)增區(qū)間為eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(2,3)kπ＋\f(π,4)，\f(2,3)kπ＋\f(7π,12)))(k∈Z)．第六節(jié)二倍角的三角函數(shù)（一）高考目標(biāo)考綱解讀能運用兩角和與差的正弦、余弦、正切公式以及二倍角的正弦、余弦和正切公式進(jìn)行簡單的恒等變換(對半角公式不要求記憶)．考向預(yù)測1．靈活運用三角公式特別是倍角公式進(jìn)行三角恒等變換，進(jìn)而考查三角函數(shù)的圖像和性質(zhì)是高考的熱點內(nèi)容．2．以三角函數(shù)為背景、向量為載體考查恒等變形能力以及運用正、余弦定理判定三角形的形狀，求三角形的面積等問題是在知識交匯點處命題的一個熱點問題．3．多以解答題的形式呈現(xiàn)，屬中、低檔題．（二）課前自主預(yù)習(xí)知識梳理1．二倍角的正弦、余弦、正切公式sin2α＝ ；cos2α＝ ＝ ＝ ；tan2α＝ 2．升、降冪公式主要用于化簡、求值和證明．其形式為：升冪公式1＋cos2α＝，1－cos2α＝.降冪公式cos2α=，sin2α.=3.輔助角公式asinα+bcosα=（三）基礎(chǔ)自測1．(2011·新鄉(xiāng)模擬)函數(shù)f(x)＝cos2x＋2sinx的最小值和最大值分別為()A．－3,1B．－2,2C．－3，eq\f(3,2) D．－2，eq\f(3,2)[答案]C[解析]f(x)＝1－2sin2x＋2sinx＝－2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sinx－\f(1,2)))2＋eq\f(3,2)，∴sinx＝eq\f(1,2)時，f(x)max＝eq\f(3,2)，sinx＝－1時，f(x)min＝－3，故選C.2．(2010·福建文)計算1－2sin222.5°的結(jié)果等于()A.eq\f(1,2) B.eq\f(\r(2),2)C.eq\f(\r(3),3) D.eq\f(\r(3),2)[答案]B[解析]本題主要考查二倍角公式1－2sin2225°＝cos45°＝eq\f(\r(2),2)3．(2010·江西理)E，F(xiàn)是等腰直角△ABC斜邊AB上的三等分點，則tan∠ECF＝()A.eq\f(16,27) B.eq\f(2,3)C.eq\f(\r(3),3) D.eq\f(3,4)[答案]D[解析]如圖，設(shè)CB＝AC＝1，則AB＝eq\r(2)，又取AB的中點為H，連CH，則CH⊥AB，由題意知EH＝eq\f(\r(2),6)，CH＝eq\f(\r(2),2)，得tan∠ECH＝eq\f(1,3).故tan∠ECF＝tan2∠ECH＝eq\f(3,4)，選D.4.eq\f(3－sin70°,2－cos210°)＝()A.eq\f(1,2) B.eq\f(\r(2),2)C．2 D.eq\f(\r(3),2)[答案]C[解析]原式＝eq\f(3－sin70°,2－\f(1＋cos20°,2))＝eq\f(3－sin70°,\f(3－cos20°,2))＝2·eq\f(3－sin70°,3－sin70°)＝2，故選C.5．(2010·浙江理)函數(shù)f(x)＝sin(2x－eq\f(π,4))－2eq\r(2)sin2x的最小正周期是________．[答案]π[解析]f(x)＝sin(2x－eq\f(π,4))－2eq\r(2)sin2x＝sin(2x－eq\f(π,4))－eq\r(2)(1－cos2x)＝sin(2x－eq\f(π,4))＋eq\r(2)cos2x－eq\r(2)＝sin2xcoseq\f(π,4)－cos2xsineq\f(π,4)＋eq\r(2)cos2x－eq\r(2)＝eq\f(\r(2),2)sin2x＋eq\f(\r(2),2)cos2x－eq\r(2)＝sin(2x＋eq\f(π,4))－eq\r(2)，所以T＝eq\f(2π,ω)＝eq\f(2π,2)＝π.6．化簡eq\r(2＋cos2－sin21)的結(jié)果是__________．[答案]eq\r(3)cos1[解析]原式＝eq\r(2＋2cos21－1－sin21)＝eq\r(2cos21＋1－sin21)＝eq\r(3cos21)＝eq\r(3)cos1.7．已知函數(shù)f(x)＝cos4x－2sinxcosx－sin4x.(1)求f(x)的最小正周期；(2)求f(x)的最大值、最小值．[解析](1)f(x)＝cos4x－sin4x－2sinxcosx＝(cos2x＋sin2x)(cos2x－sin2x)－sin2x＝cos2x－sin2x＝eq\r(2)coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,4)))，∴f(x)的最小正周期T＝eq\f(2π,2)＝π.(2)當(dāng)coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,4)))＝1時，f(x)max＝eq\r(2)；當(dāng)coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,4)))＝－1時，f(x)min＝－eq\r(2).（四）、典型例題1.命題方向：三角函數(shù)的化簡與求值[例1]化簡：sin2αsin2β＋cos2αcos2β－eq\f(1,2)cos2αcos2β.[分析]觀察可見：有角的二倍關(guān)系，可考慮應(yīng)用倍角公式；有冪次關(guān)系可考慮降冪；函數(shù)名稱有正弦、余弦，可異名化同名等等．[解析]解法1：(從“角”入手，復(fù)角化單角)原式＝sin2α·sin2β＋cos2α·cos2β－eq\f(1,2)·(2cos2α－1)(2cos2β－1)＝sin2α·sin2β＋cos2α·cos2β－eq\f(1,2)·(4cos2α·cos2β－2cos2α－2cos2β＋1)＝sin2α·sin2β－cos2α·cos2β＋cos2α＋cos2β－eq\f(1,2)＝sin2α·sin2β＋cos2α·sin2β＋cos2β－eq\f(1,2)＝sin2β＋cos2β－eq\f(1,2)＝1－eq\f(1,2)＝eq\f(1,2).解法2：(從“名”入手，異名化同名)原式＝sin2α·sin2β＋(1－sin2α)·cos2β－eq\f(1,2)cos2α·cos2β＝cos2β－sin2α(cos2β－sin2β)－eq\f(1,2)cos2α·cos2β＝cos2β－cos2β·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sin2α＋\f(1,2)cos2α))＝eq\f(1＋cos2β,2)－cos2βeq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(sin2α＋\f(1,2)1－2sin2α))＝eq\f(1＋cos2β,2)－eq\f(1,2)cos2β＝eq\f(1,2).解法3：(從“冪”入手，利用降冪公式先降次)原式＝eq\f(1－cos2α,2)·eq\f(1－cos2β,2)＋eq\f(1＋cos2α,2)·eq\f(1＋cos2β,2)－eq\f(1,2)cos2α·cos2β＝eq\f(1,4)(1＋cos2α·cos2β－cos2α－cos2β)＋eq\f(1,4)(1＋cos2α·cos2β＋cos2α＋cos2β)－eq\f(1,2)·cos2α·cos2β＝eq\f(1,4)＋eq\f(1,4)＝eq\f(1,2).[點評]對一個題目的解題方法，由于側(cè)重角度不同，出發(fā)點不同，化簡的方法也不惟一．對于三角函數(shù)式化簡的目標(biāo)是：(1)次數(shù)盡可能低；(2)角盡可能少；(3)三角函數(shù)名稱盡可能統(tǒng)一；(4)項數(shù)盡可能少．跟蹤練習(xí)1計算：coseq\f(2π,7)·coseq\f(4π,7)·coseq\f(6π,7).[分析]構(gòu)造運用二倍角公式，由誘導(dǎo)公式、恒等式求解．[解析]coseq\f(2π,7)·coseq\f(4π,7)·coseq\f(6π,7)＝eq\f(2sin\f(2π,7)·cos\f(2π,7)·cos\f(4π,7)·cos\f(6π,7),2sin\f(2π,7))＝eq\f(sin\f(4π,7)cos\f(4π,7)cos\f(6π,7),2sin\f(2π,7))＝eq\f(sin\f(8π,7)cos\f(6π,7),4sin\f(2π,7))＝eq\f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－sin\f(π,7)))\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－cos\f(π,7))),4sin\f(2π,7))＝eq\f(sin\f(2π,7),8sin\f(2π,7))＝eq\f(1,8).2.命題方向：三角函數(shù)式的證明[例2](1)求證eq\f(3－4cos2A＋cos4A,3＋4cos2A＋cos4A)＝tan4A.(2)已知：sinβ＝m·sin(2α＋β)，其中m≠0,2α＋β≠kπ(k∈Z)．求證：tan(α＋β)＝eq\f(1＋m,1－m)tanα(m≠1)．[分析]對(1)容易看出，左邊較右邊復(fù)雜，因此應(yīng)從左邊入手，化4A為2A，再化2A(2)是一個條件等式的證明，應(yīng)仔細(xì)觀察條件與結(jié)論的差異，從解決差異入手，結(jié)論中為α＋β與α的函數(shù)，而已知是β與2α＋β的函數(shù)，將β，2α＋β用α＋β，α表示是解決本題的正確方向．[解析](1)左邊＝eq\f(3－4cos2A＋2cos22A－1,3＋4cos2A＋2cos22A－1)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1－cos2A,1＋cos2A)))2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2sin2A,2cos2A)))2＝tan4A＝右邊．∴等式成立．(2)由β＝(α＋β)－α，2α＋β＝(α＋β)＋α得sin[(α＋β)－α]＝m·sin[(α＋β)＋α]，即sin(α＋β)cosα－cos(α＋β)sinα＝m[sin(α＋β)cosα＋cos(α＋β)sinα]，即(1－m)sin(α＋β)cosα＝(1＋m)cos(α＋β)sinα跟蹤練習(xí)2求證：eq\f(cos2α,\f(1,tan\f(α,2))－tan\f(α,2))＝eq\f(1,4)sin2α.[證明]左邊＝eq\f(cos2α,\f(1－tan2\f(α,2),tan\f(α,2)))＝eq\f(tan\f(α,2),1－tan2\f(α,2))·cos2α＝eq\f(1,2)tanα·cos2α＝eq\f(1,2)eq\f(sinα,cosα)·cos2α＝eq\f(1,2)sinαcosα＝eq\f(1,4)sin2α＝右邊．所以原等式得證.3.命題方向：輔助角公式的考查[例3](2010·浙江文)在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，設(shè)S為△ABC的面積，滿足S＝eq\f(\r(3),4)(a2＋b2－c2)．(1)求角C的大?。?2)求sinA＋sinB的最大值．[分析]本題考查了余弦定理、三角形面積公式、三角變換等基礎(chǔ)知識，同時考查了三角運算能力[解析](1)由題意可知，eq\f(1,2)absinC＝eq\f(\r(3),4)·2abcosC，∴tanC＝eq\r(3)，又∵0<C<π.∴C＝eq\f(π,3).(2)由已知sinA＋sinB＝sinA＋sin(π－C－A)＝sinA＋sin(eq\f(2π,3)－A)＝sinA＋eq\f(\r(3),2)cosA＋eq\f(1,2)sinA＝eq\f(3,2)sinA＋eq\f(\r(3),2)cosA＝eq\r(3)sin(A＋eq\f(π,6))≤eq\r(3).當(dāng)且僅當(dāng)A＋eq\f(π,6)＝eq\f(π,2)，即A＝eq\f(π,3)時取等號．即當(dāng)△ABC為正三角形時取等號，∴sinA＋sinB的最大值是eq\r(3).eq\f(3,2)sinA＋eq\f(\r(3),2)cosA＝eq\r(3)sin(A＋eq\f(π,6))≤eq\r(3).跟蹤練習(xí)3已知函數(shù)f(x)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ωx＋\f(π,6)))＋sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ωx－\f(π,6)))－2cos2eq\f(ωx,2)，x∈R(其中ω>0)．(1)求函數(shù)f(x)的值域；(2)若對任意的a∈R，函數(shù)y＝f(x)，x∈(a，a＋π]的圖像與直線y＝－1有且僅有兩個不同的交點，試確定ω的值，并求函數(shù)y＝f(x)，x∈R的單調(diào)增區(qū)間．[解析](1)f(x)＝eq\f(\r(3),2)sinωx＋eq\f(1,2)cosωx＋eq\f(\r(3),2)sinωx－eq\f(1,2)cosωx－(cosωx＋1)＝2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)sinωx－\f(1,2)cosωx))－1＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ωx－\f(π,6)))－1.由－1≤sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ωx－\f(π,6)))≤1，得－3≤2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ωx－\f(π,6)))－1≤1.可知函數(shù)f(x)的值域為[－3,1]．(2)由題設(shè)條件及三角函數(shù)圖像和性質(zhì)可知，y＝f(x)的周期為π，又由ω>0，得eq\f(2π,ω)＝π.即得ω＝2.于是有f(x)＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,6)))－1，再由2kπ－eq\f(π,2)≤2x－eq\f(π,6)≤2kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)，解得kπ－eq\f(π,6)≤x≤kπ＋eq\f(π,3)(k∈Z)．所以y＝f(x)的單調(diào)增區(qū)間為eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(kπ－\f(π,6)，kπ＋\f(π,3)))(k∈Z)．（五）思想方法點撥1．三角函數(shù)式的化簡(1)化簡的要求①能求出值的應(yīng)求出值；②盡量使三角函數(shù)種數(shù)最少；③盡量使項數(shù)最少；④盡量使分母不含三角函數(shù)；⑤盡量使被開方數(shù)不含三角函數(shù)．(2)化簡的思路對于和式，基本思路是降次、消項和逆用公式；對于三角分式，基本思路是分子與分母約分或逆用公式；對于二次根式，注意二倍角公式的逆用．另外，還可以用切化弦、變量代換、角度歸一等方法．(3)化簡的方法弦切互化，異名化同名，異角化同角；降冪或升冪等．2．三角恒等式的證明①證明三角恒等式的方法：觀察等式兩邊的差異(角、函數(shù)、運算的差異)，從解決某一差異入手(同時消除其他差異)，確定從該等式的哪邊證明(也可兩邊同時化簡)，當(dāng)從解決差異方面不易入手時，可采用轉(zhuǎn)換命題法或用分析法等．②證明三角條件等式的方法首先觀察條件與結(jié)論的差異，從解決這一差異入手，確定從結(jié)論開始，通過變換，將已知表達(dá)式代入得出結(jié)論，或通過變換已知條件得出結(jié)論，如果這兩種方法都證不出來，可采用分析法；如果已知條件含參數(shù)，可采用消去參數(shù)法；如果已知條件是連比的式子，可采用換元法等等．3．輔助角公式asinα＋bcosα＝eq\r(a2＋b2)sin(α＋φ)，其中eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(cosφ＝\f(a,\r(a2＋b2)),sinφ＝\f(b,\r(a2＋b2)),tanφ＝\f(b,a))).φ的終邊所在的象限由a，b的符號來確定，角φ稱為輔助角．（六）課后強化作業(yè)一、選擇題1．(2010·全國卷Ⅱ)已知sinα＝eq\f(2,3)，則cos(π－2α)＝()A．－eq\f(\r(5),3) B．－eq\f(1,9)C.eq\f(1,9) D.eq\f(\r(5),3)[答案]B[解析]本題考查了誘導(dǎo)公式、三角恒等變形及倍半角公式的應(yīng)用．由誘導(dǎo)公式得cos(π－2α)＝－cos2α，∴cos2α＝1－2sin2α＝1－2×eq\f(4,9)＝eq\f(1,9)，∴cos(π－2α)＝－eq\f(1,9).2．函數(shù)f(x)＝sin2x＋eq\r(3)sinxcosx在區(qū)間[eq\f(π,4)，eq\f(π,2)]上的最大值是()A．1 B.eq\f(1＋\r(3),2)C.eq\f(3,2) D．1＋eq\r(3)[答案]C[解析]f(x)＝eq\f(1－cos2x,2)＋eq\f(\r(3),2)sin2x＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,6)))＋eq\f(1,2)，又x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，\f(π,2)))，∴2x－eq\f(π,6)∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,3)，\f(5π,6)))，f(x)max＝1＋eq\f(1,2)＝eq\f(3,2)，故選C.3．已知tan2α＝－2eq\r(2)，且滿足eq\f(π,4)<α<eq\f(π,2)，則eq\f(2cos2\f(α,2)－sinα－1,\r(2)sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋α)))的值為()A.eq\r(2) B．－eq\r(2)C．－3＋2eq\r(2) D．3－2eq\r(2)[答案]C[解析]eq\f(2cos2\f(α,2)－sinα－1,\r(2)sin\f(π,4)＋α)＝eq\f(cosα－sinα,sinα＋cosα)＝eq\f(1－tanα,tanα＋1).又tan2α＝－2eq\r(2)＝eq\f(2tanα,1－tan2α)∴2eq\r(2)tan2α－2tanα－2eq\r(2)＝0.解得tanα＝－eq\f(\r(2),2)或eq\r(2).又eq\f(π,4)<α<eq\f(π,2)，∴tanα＝eq\r(2).原式＝eq\f(1－\r(2),\r(2)＋1)＝－3＋2eq\r(2).故選C.4．(2010·新課標(biāo)理)若cosα＝－eq\f(4,5)，α是第三象限的角，則eq\f(1＋tan\f(α,2),1－tan\f(α,2))＝()A．－eq\f(1,2) B.eq\f(1,2)C．2 D．－2[答案]A[解析]本題綜合考查了同角三角函數(shù)的基本公式以及二倍角公式的逆運用．∵cosα＝－eq\f(4,5)且α是第三象限的角，∴sinα＝－eq\f(3,5)，∴eq\f(1＋tan\f(α,2),1－tan\f(α,2))＝eq\f(\f(cos\f(α,2)＋sin\f(α,2),cos\f(α,2)),\f(cos\f(α,2)－sin\f(α,2),cos\f(α,2)))＝eq\f(cos\f(α,2)＋sin\f(α,2),cos\f(α,2)－sin\f(α,2))＝eq\f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cos\f(α,2)＋sin\f(α,2)))2,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cos\f(α,2)－sin\f(α,2)))\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cos\f(α,2)＋sin\f(α,2))))＝eq\f(1＋sinα,cos2\f(α,2)－sin2\f(α,2))＝eq\f(1＋sinα,cosα)＝eq\f(1－\f(3,5),－\f(4,5))＝－eq\f(1,2)，故選A.5．已知sinα＝eq\f(3,5)，且α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))，則eq\f(sin2α,cos2α)的值為()A．－eq\f(3,4) B．－eq\f(3,2)C.eq\f(3,4) D.eq\f(3,2)[答案]B[解析]∵sinα＝eq\f(3,5)，α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))，∴cosα＝－eq\f(4,5)，∴eq\f(sin2α,cos2α)＝eq\f(2sinαcosα,cos2α)＝eq\f(2sinα,cosα)＝eq\f(2×\f(3,5),－\f(4,5))＝－eq\f(3,2).6．函數(shù)f(x)＝(3sinx－4cosx)·cosx的最大值為()A．5 B.eq\f(9,2)C.eq\f(1,2) D.eq\f(5,2)[答案]C[解析]f(x)＝(3sinx－4cosx)cosx＝3sinxcosx－4cos2x＝eq\f(3,2)sin2x－2cos2x－2＝eq\f(5,2)sin(2x－θ)－2，其中tanθ＝eq\f(4,3)，所以f(x)的最大值是eq\f(5,2)－2＝eq\f(1,2).故選C.7.eq\r(2＋2cos8)＋2eq\r(1－sin8)的化簡結(jié)果是()A．4cos4－2sin4 B．2sin4C[答案]C[解析]eq\r(2＋2cos8)＋2eq\r(1－sin8)＝2|cos4|＋2|sin4－cos4|，∵π<4<eq\f(5π,4)，∴cos4<sin4<0.∴原式＝－2cos4＋2(sin4－cos4)＝2sin4－4cos4.故選C.8．設(shè)5π<θ<6π，coseq\f(θ,2)＝a，則sineq\f(θ,4)等于()A.eq\f(\r(1＋a),2) B.eq\f(\r(1－a),2)C．－eq\r(\f(1＋a,2)) D．－eq\r(\f(1－a,2))[答案]D[解析]∵5π<θ<6π，∴eq\f(5π,4)<eq\f(θ,4)<eq\f(3π,2)，∴sineq\f(θ,4)<0，∵a＝coseq\f(θ,2)＝1－2sin2eq\f(θ,4)，∴sineq\f(θ,4)＝－eq\r(\f(1－a,2)).二、填空題9．設(shè)a＝eq\f(1,2)cos6°－eq\f(\r(3),2)sin6°，b＝eq\f(2tan13°,1＋tan213°)，c＝eq\r(\f(1－cos50°,2))，則a、b、c的大小關(guān)系為______(由小到大排列)．[答案]a<c<b[解析]a＝sin24°，b＝sin26°，c＝sin25°，∵y＝sinx在(0°，90°)上單增，∴a<c<b.10．已知eq\f(π,2)<α<π，化簡eq\r(\f(1,2)－\f(1,2)\r(\f(1,2)－\f(1,2)cos2α))＝________.[答案]sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(α,2)－\f(π,4)))[解析]原式＝eq\r(\f(1,2)－\f(1,2)|sinα|)＝eq\r(\f(1,2)－\f(1,2)sinα)＝eq\r(\f(sin\f(α,2)－cos\f(α,2)2,2))＝eq\f(\r(2),2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sin\f(α,2)－cos\f(α,2)))＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(α,2)－\f(π,4))).11．若sinα·cosβ＝eq\f(1,2)，則cosα·sinβ的取值范圍是________．[答案]eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(1,2)))[解析]解法一：設(shè)t＝cosα·sinβ，又sinα·cosβ＝eq\f(1,2)，∴sinα·cosβ·sinβ·cosα＝eq\f(1,2)t，即sin2α·sin2β＝2t，|sin2α·sin2β|≤1.∴2|t|≤1，即－eq\f(1,2)≤t≤eq\f(1,2).∴cosα·sinβ的取值范圍是eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(1,2))).解法二：由sinα·cosβ＝eq\f(1,2)知sin2α·cos2β＝eq\f(1,4).則cos2α·sin2β＝(1－sin2α)(1－cos2β)＝1－(sin2α＋cos2β)＋sin2αcos2β＝eq\f(5,4)－(sin2α＋cos2β)≤eq\f(5,4)－2eq\r(sin2αcos2β)＝eq\f(1,4)，所以－eq\f(1,2)≤cosα·sinβ≤eq\f(1,2).三、解答題12．已知函數(shù)f(x)＝asinx·cosx－eq\r(3)acos2x＋eq\f(\r(3),2)a＋b.(a>0)(1)x∈R，寫出函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間；(2)設(shè)x∈[0，eq\f(π,2)]，f(x)的最小值是－2，最大值是eq\r(3)，求實數(shù)a，b的值．[解析](1)f(x)＝a(sinx·cosx－eq\r(3)cos2x＋eq\