線性代數(shù)2第二章矩陣2 2運(yùn)算

§2.2矩陣的運(yùn)算一、矩陣的線性運(yùn)算二、矩陣的乘法三、矩陣的轉(zhuǎn)置四、對稱陣與反對稱陣1.加法定義所得到的矩陣稱為矩陣A與B的

和，設(shè)矩陣一、矩陣的線性運(yùn)算它們的對應(yīng)元素相加記作只有兩個同型矩陣才能進(jìn)行加法運(yùn)算。注意定義

為A

的負(fù)矩陣，稱矩陣設(shè)矩陣記作-A

.由此可定義矩陣的減法運(yùn)算：1.加法一、矩陣的線性運(yùn)算(1)A

+

B=

B

+

A(加法交換律

)

；(2)(

A

+

B)

+

C=A

+

(

B

+

C)(加法結(jié)合律

)

；(4)A

+

(-A)=

0

.(3)A

+

0

=

0

+

A

；其中，A,B,C,0

都是同型矩陣.性質(zhì)解以常數(shù)k

乘矩陣A

的每一個元素所得到的矩陣，1.加法一、矩陣的線性運(yùn)算2.數(shù)乘矩陣的數(shù)乘是用常數(shù)k

乘矩陣的每一個元素；定義稱為數(shù)k

與矩陣A

的數(shù)量乘積，簡稱數(shù)乘，記為k

A

.注意行列式的“數(shù)乘”是用常數(shù)k乘行列式的某一行(列)的每一個元素.1.加法一、矩陣的線性運(yùn)算2.數(shù)乘性質(zhì)其中，A,B

為同型矩陣，k,l為常數(shù).0

;

加法運(yùn)算與數(shù)乘運(yùn)算一起構(gòu)成矩陣的線性運(yùn)算，即(結(jié)合律與交換律

)；(分配律

)；(分配律

)；由有解兩端同乘以即得得定義其中，二、矩陣的乘法1.矩陣乘法的定義及性質(zhì)設(shè)矩陣則矩陣

A

與

B

的乘積

是一個m×n

矩陣，即直觀矩陣

C

=

A

B

的元素ci

j二、矩陣的乘法1.矩陣乘法的定義及性質(zhì)第j列對應(yīng)元素即矩陣A

的列數(shù)必須等于矩陣B

的行數(shù).注意是矩陣

A

的第

i

行元素與矩陣B的的乘積之和.二、矩陣的乘法1.矩陣乘法的定義及性質(zhì)性質(zhì)(1)(

A

B

)

C=A(

B

C

);

(結(jié)合律

)(2)(

A

+

B

)

C=A

C+

B

C,

C

(

A

+

B)=C

A+C

B;(分配律

)(3)k

(A

B)=(k

A)

B=A(

k

B).(其中k為常數(shù))問題(1)

交換律

A

B=B

A

是否成立？(2)

消去律

是否成立？行矩陣與列矩陣的乘積例例已知矩陣求與。解(2)由于B

的列數(shù)不等于A

的行數(shù)，所以B

A

無意義.解

以上兩個例子表明矩陣乘法與通常的乘法有很大的不同。

關(guān)于矩陣乘法的一些注意事項(xiàng)(1)A

B

有意義時，B

A

不一定有意義。(2)即使A

B與B

A

都有意義，也可能A

B≠B

A。若矩陣

A

和

B

滿足

A

B

=

B

A，則稱

A

與

B

是

可交換

的。(3)兩個非零矩陣的乘積可能是零矩陣，(4)若A

B=A

C，且A≠0，一般不能推出B=C。即矩陣乘法不滿足消去律?？梢娋仃嚦朔ú粷M足交換律，因此要注意相乘的順序；換句話說，由A

B=0不能推出A=0或者

B=0。對于單位矩陣容易驗(yàn)證

關(guān)于單位矩陣在矩陣乘法運(yùn)算中的特殊作用簡寫為例注意其中矩陣相乘的順序以及其中單位矩陣的區(qū)別考慮線性方程組進(jìn)一步，可簡記為按照矩陣的乘法可表示為

應(yīng)用舉例

1

(有何好處？)甲,乙兩公司生產(chǎn)X,Y,Z三種型號的機(jī)器，X

Y

Z甲乙XYZ那么這兩家公司的月利潤

(萬元)為：即月利潤(萬元)＝月產(chǎn)量(臺)×每臺的利潤(萬元/臺)每臺機(jī)器的利潤

(萬元/臺)分別如下：月產(chǎn)量(臺)以及甲乙

應(yīng)用舉例

2

(如何使用？)

應(yīng)用舉例

3

(是否合理？)(1)如圖,OPxy對任意一點(diǎn)P有或新坐標(biāo)為或老坐標(biāo)為則即同理利用矩陣可表示為時針為負(fù)),就得到一個新的坐標(biāo)系繞原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)

角(逆時針為正,順將直角坐標(biāo)系

應(yīng)用舉例

3

(是否合理？)將

再繞原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)

角,正好系下的坐標(biāo)為則有POxy得新坐標(biāo)系設(shè)P點(diǎn)在坐標(biāo)(2)如圖,定義設(shè)

A

是方陣,m

是正整數(shù),m

個

A

相乘稱為

A

的

m

次冪

,記為Am，2.方陣的乘冪運(yùn)算律其中，k,l

為正整數(shù)。A

與

B

，一般說來不滿足(

A

B

)

k

＝

AkB

k

.注意二、矩陣的乘法1.矩陣乘法的定義及性質(zhì)特別有A0=I.由于矩陣的乘法不滿足交換律,所以對于兩個

n

階方陣(易犯錯誤)即證用數(shù)學(xué)歸納法證明當(dāng)n=1時，等式顯然成立。即等式成立。假設(shè)n=k

時等式成立，要證n=k

+

1時成立。.例由方陣的乘冪可以定義

方陣

A

的多項(xiàng)式

為例對方陣的多項(xiàng)式可以進(jìn)行因式分解注意對于同階方陣A

和B，有同樣有2.方陣的乘冪二、矩陣的乘法1.矩陣乘法的定義及性質(zhì)3.關(guān)于方陣的行列式由方陣

A

的元素所構(gòu)成的行列式,叫做方陣

A

的行列式,(1)方陣與行列式是兩個不同的概念。性質(zhì)定義記作或者注意將

m×

n

矩陣

A

的行與列互換所得到的

n×m

矩陣，稱為定義三、矩陣的轉(zhuǎn)置即若則可見，如果轉(zhuǎn)置矩陣AT的元素記作則有例如，矩陣矩陣A

的轉(zhuǎn)置矩陣，記為AT。則三、矩陣的轉(zhuǎn)置性質(zhì)(此時A

為方陣).僅證(4)式，即證明[易犯錯誤:]設(shè)則又設(shè)則即得僅證(4)式，即證明其中例如對稱矩陣的元素以主對角線為對稱軸對應(yīng)相等,四、對稱矩陣與反對稱矩陣特點(diǎn)設(shè)A

為n階方陣，如果AT=A，則稱A

為對稱矩陣

.定義(1)兩個同階的對稱矩陣的線性運(yùn)算還是對稱矩陣；(2)兩個同階的對稱矩陣的乘積不一定是對稱矩陣。性質(zhì)1.對稱矩陣即例如四、對稱矩陣與反對稱矩陣1.對稱矩陣主對角線上的元素為

0

,其余的元素關(guān)于主對角線反號,2.反對稱矩陣特點(diǎn)設(shè)

A

為

n

階方陣,如果

AT=-

A,則稱

A

為反對稱矩陣。定義(1)兩個同階的反對稱矩陣的線性運(yùn)算還是反對稱矩陣；(2)兩個同階的反對稱矩陣的乘積不一定是反對稱矩陣。性質(zhì)即例證明方陣A可表示為一個對稱陣與一個反對稱陣之和。故方陣A可表示為一個對稱陣與一個反對稱陣之和。且（對稱陣）（反對稱陣）由于證例設(shè)