特訓(xùn)01 整式的加減與乘法壓軸題（解析版）

特訓(xùn)01整式的加減與乘法壓軸題一、解答題1．學(xué)習(xí)代數(shù)式求值時(shí)，遇到這樣一類題“代數(shù)式的值與x的取值無關(guān)，求m的值”，通常的解題方法是：把x、y看作字母，m看作系數(shù)合并同類項(xiàng)，因?yàn)榇鷶?shù)式的值與x的取值無關(guān)，所以含x的系數(shù)為0，即原式，所以，則．(1)若多項(xiàng)式的值與x的取值無關(guān)，求a值；(2)5張如圖1的小長方形，長為a，寬為b，按照圖2方式不重疊地放在大長方形內(nèi)，大長方形中未被覆蓋的兩個(gè)部分（圖中陰影部分)，設(shè)左上角的面積為，右下角的面積為，當(dāng)?shù)拈L變化時(shí)，發(fā)現(xiàn)的值始終保持不變，請求出a與b的數(shù)量關(guān)系．【答案】(1)(2)【分析】（1）仿照題意求解即可；（2）設(shè)，分別求出，進(jìn)而求出，再由的值始終保持不變進(jìn)行求解即可．【解析】（1）解：，∵多項(xiàng)式的值與x的取值無關(guān)，∴，∴；（2）解：設(shè)，由題意得，，∴，∵的值與x無關(guān)，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查了整式加減中的無關(guān)型問題，熟練掌握整式的相關(guān)計(jì)算法則是解題的關(guān)鍵．2．記，令，我們稱為這列數(shù)的“理想數(shù)”．例如：，則，，則．（1）請直接寫出．（2）如果，那么．（3）已知的“理想數(shù)”為2004，那么8，的“理想數(shù)”是多少？【答案】（1）；（2）80；（3）2008．【分析】（1）先根據(jù)“理想數(shù)”的定義列出式子，再計(jì)算整式的加法即可得；（2）先根據(jù)“理想數(shù)”的定義列出式子，再計(jì)算整式的加法，結(jié)合即可得；（3）先根據(jù)“理想數(shù)”的定義可得一個(gè)關(guān)于的等式，再根據(jù)“理想數(shù)”的定義列出式子進(jìn)行計(jì)算即可得．【解析】解：（1），故答案為：；（2），，，，，解得，故答案為：80；（3）由題意得：，則，即，所以，設(shè)的“理想數(shù)”是，則，，，，，，故的“理想數(shù)”是2008．【點(diǎn)睛】本題考查了整式加法的應(yīng)用，掌握理解“理想數(shù)”的定義是解題關(guān)鍵．3．表格為2021年11月的日歷：日一二三四五六123456789101112131415161718192021222324252627282930（1）在日歷上任意圈出一個(gè)豎列上相鄰的3個(gè)數(shù)：①設(shè)中間的一個(gè)數(shù)為a，則另外的兩個(gè)數(shù)為，；②若已知這三個(gè)數(shù)的和為60，則這三個(gè)數(shù)在星期．（2）在日歷上用一個(gè)小正方形任意圈出其中的9個(gè)數(shù)，設(shè)圈出的9個(gè)數(shù)的中心的數(shù)為b，若這9個(gè)數(shù)的和為153，求的值．【答案】（1）①，；②六；（2）288【分析】（1）①觀察日歷發(fā)現(xiàn)從上至下，數(shù)值是逐個(gè)增加7，據(jù)此可得出數(shù)上下兩個(gè)數(shù)；②根據(jù)①中列出的三個(gè)數(shù)代數(shù)式，得出三數(shù)和的代數(shù)式求解即可；（2）設(shè)中心的數(shù)為b，分別表示出這9個(gè)數(shù)，得出9個(gè)數(shù)和的代數(shù)式，求解即可．【解析】解：（1）①觀察日歷發(fā)現(xiàn)從上至下，數(shù)值是逐個(gè)增加7，∵中間的一個(gè)數(shù)為∴上面的數(shù)為：，下面的數(shù)為：故答案為：，；②由題意得：，解得，對照日歷可知這三個(gè)數(shù)都在星期六，故答案為六；（2）根據(jù)（1）中的規(guī)律，再結(jié)合前后數(shù)相差1的規(guī)律，得出9個(gè)數(shù)的代數(shù)式如下所示：將這9個(gè)數(shù)的代數(shù)式的相加得：∴解得：∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查列代數(shù)式和整式的加減運(yùn)算，找數(shù)字規(guī)律，觀察數(shù)據(jù)找出規(guī)律是關(guān)鍵．4．某水果批發(fā)市場蘋果的價(jià)格如下表：價(jià)

目

表購買蘋果（千克）單價(jià)不超過20千克的部分7元/千克超過20千克但不超過40千克的部分6元/千克超過40千克的部分5元/千克（1）小明第一次購買10千克蘋果，需要付費(fèi)_________元；小明第二次購買蘋果x千克（x超過20千克但不超過40千克）需要付費(fèi)_______元（用含x的式子表示）（2）小強(qiáng)分兩次共買100千克，第二次購買的數(shù)量多于第一次購買數(shù)量，且第一次購買的數(shù)量為a千克，請問兩次購買水果共需要付費(fèi)多少元？（用含a的式子表示）【答案】（1）70，6x+20；（2）當(dāng)a≤20時(shí)，2a+560（元）；當(dāng)20＜a≤40時(shí)，a+580（元）；當(dāng)40＜a＜50時(shí)，620（元）【分析】（1）圖中可以知道：10千克在“不超過20千克的總分”按7元/千克收費(fèi)；x超過20千克但不超過40千克，前面的20千克按7元/千克來收費(fèi)，后面多余的（x-20）千克按6元/千克來收費(fèi)，最后再把2個(gè)費(fèi)用相加．（2）“小強(qiáng)分兩次共購買100千克，第二次購買的數(shù)量多于第一次購買的數(shù)量”可以知道第一次購買的數(shù)量要小于50千克；由于a的取值范圍不確定，需要用分類討論的思想進(jìn)行解答，當(dāng)a≤20時(shí)，分別算第一次和第二次的總費(fèi)用；當(dāng)20＜a≤40時(shí)，注意第一次購買有2段費(fèi)用，第二次購買有3段費(fèi)用，然后再相加；當(dāng)40＜a＜50時(shí)，注意第一次購買有3段費(fèi)用，第二次購買也有3段費(fèi)用，然后再相加；記得最后結(jié)果要化為最簡的形式．【解析】解：（1）∵10千克在“不超過20千克的總分”按7元/千克收費(fèi)，∴10×7=70元；∵過20千克但不超過40千克，前面的20千克按7元/千克來收費(fèi)，后面多余的（x-20）千克按6元/千克來收費(fèi)，∴20×7+6（x-20）=（6x+20）元故答案為：70，（6x+20）；（2）∵再次共購買100千克，第二次購買的數(shù)量多于第一次購買的數(shù)量，∴a＜50，當(dāng)a≤20時(shí)，需要付費(fèi)為：7a+20×7+20×6+5×（100-a-40）=2a+560（元）；當(dāng)20＜a≤40時(shí)，需要付費(fèi)為：7×20+6×（a-20）+20×7+20×6+5×（100-a-40）=a+580（元）；當(dāng)40＜a＜50時(shí)，需要付費(fèi)為：7×20+6×20+5×（a-40）+20×7+20×6+5×（100-a-40）=620（元）．【點(diǎn)睛】本題考查列代數(shù)式．分類討論的思想；比較容易出錯(cuò)，需要把每一段的總費(fèi)用算出來，然后再相加．5．閱讀下列材料，并解決有關(guān)問題：我們知道，|x|＝，現(xiàn)在我們可以用這一結(jié)論來化簡含有絕對值的式子，例如化簡式子|x＋1|＋|x﹣2|時(shí)，可令x＋1＝0和x﹣2＝0，分別求得x＝﹣1，x＝2（稱﹣1、2分別為|x＋1|與|x﹣2|的零點(diǎn)值）．在有理數(shù)范圍內(nèi)，零點(diǎn)值x＝﹣1和x＝2可將全體有理數(shù)不重復(fù)且不遺漏地分成如下三種情況：①x＜﹣1；②﹣1≤x＜2；③x≥2.從而化簡代數(shù)式|x＋1|＋|x﹣2|可分為以下3種情況：（Ⅰ）當(dāng)x＜﹣1時(shí)，原式＝﹣（x＋1）﹣（x﹣2）＝﹣2x＋1；（Ⅱ）當(dāng)﹣1≤x＜2時(shí)，原式＝（x＋1）﹣（x﹣2）＝3；（Ⅲ）當(dāng)x≥2時(shí)，原式＝（x＋1）＋（x﹣2）＝2x﹣1；綜上所述：原式＝．通過以上閱讀，請你類比解決以下問題：(1)填空：|x＋2|與|x﹣4|的零點(diǎn)值分別為；(2)化簡式子|x﹣3|＋2|x＋4|．【答案】(1)-2和4(2)【分析】（1）令x+2＝0和x﹣4＝0，解一元一次方程即可求得零點(diǎn)值；（2）根據(jù)零點(diǎn)值分三種情況討論，化簡絕對值即可【解析】（1）令x+2＝0和x﹣4＝0，求得：x＝﹣2和x＝4，故答案為：﹣2和4；（2）由x﹣3＝0得x＝3，由x+4＝0得x＝﹣4，①當(dāng)x＜﹣4時(shí)，原式＝﹣（x﹣3）﹣2（x+4）＝﹣3x﹣5；②當(dāng)﹣4≤x＜3時(shí)，原式＝﹣（x﹣3）+2（x+4）＝x+11；③當(dāng)x≥3時(shí)，原式＝（x﹣3）+2（x+4）＝3x+5；綜上所述：原式＝．【點(diǎn)睛】本題考查了解一元一次方程，化簡絕對值，整式的加減，理解題意求得零點(diǎn)值是解題的關(guān)鍵．6．觀察是數(shù)學(xué)抽象的基礎(chǔ)．在數(shù)學(xué)探究學(xué)習(xí)中，我們要善于通過觀察發(fā)現(xiàn)規(guī)律，進(jìn)而解決問題．請你擦亮眼睛，開動(dòng)腦筋，解答下列問題．（1）觀察下列等式：根據(jù)發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，寫出第5個(gè)等式是，第n個(gè)等式是；（2）根據(jù)（1）中發(fā)現(xiàn)的規(guī)律計(jì)算：；（3）把四張大小相同的長方形卡片（如圖1），分別按如圖2、圖3兩種放法互不重疊地放入一個(gè)大長方形內(nèi)，未被長方形卡片覆蓋的部分用陰影表示．已知小長方形的長為x，寬為y，請直接寫出x與y之間存在的等量關(guān)系式；若大長方形的長為a，請直接用含a的整式表示圖2中陰影部分的周長與圖3中陰影部分的周長的差．【答案】（1），；（2）；（3）x與y之間的等量關(guān)系為，圖2中陰影部分的周長與圖3中陰影部分的周長的差為【分析】（1）觀察發(fā)現(xiàn)，每一個(gè)等式的左邊都是一個(gè)分?jǐn)?shù)，其中分子是1，分母是連續(xù)的兩個(gè)正整數(shù)之積，并且如果是第n個(gè)等式，分母中的第一個(gè)因數(shù)就是n，第二個(gè)因數(shù)是n+1；等式的右邊是兩個(gè)分?jǐn)?shù)的差，這兩個(gè)分?jǐn)?shù)的分子都是1，分母是連續(xù)的兩個(gè)正整數(shù)，并且是第n個(gè)等式，被減數(shù)的分母就是n，減數(shù)的分母是n+1．然后把n=5代入即可得出第5個(gè)等式；（2）先將（1）中發(fā)現(xiàn)的第n個(gè)等式的規(guī)律代入，再計(jì)算即可；（3）先求得x與y之間的等量關(guān)系為，長方形的長為，寬為，再得到圖2中陰影部分周長為，圖3中陰影部分周長為，求出之差即可．【解析】解：（1）∵，，，，，，∴，故答案為：，；（2）；（3）由2可知：x與y之間的等量關(guān)系為，長方形的長為，寬為，圖2中陰影部分周長為：，圖3中陰影部分周長為：，圖2中陰影部分周長與圖3中陰影部分周長的差為:，∵，且，∴，∴，∴圖2中陰影部分周長與圖3中陰影部分周長的差為．【點(diǎn)睛】本題考查了整式的加減，以及列代數(shù)式，規(guī)律型－數(shù)字的變化，得出以及抵消法的運(yùn)用是解題的關(guān)鍵．7．對于一個(gè)四位自然數(shù)，如果滿足各數(shù)位上的數(shù)字不全相同且均不為0，它的千位數(shù)字減去個(gè)位數(shù)字之差等于百位數(shù)字減去十位數(shù)字之差，那么稱這個(gè)數(shù)為“差同數(shù)”．對于一個(gè)“差同數(shù)”，將它的千位和個(gè)位構(gòu)成的兩位數(shù)減去百位和十位構(gòu)成的兩位數(shù)所得差記為，將它的千位和十位構(gòu)成的兩位數(shù)減去百位和個(gè)位構(gòu)成的兩位數(shù)所得差記為，規(guī)定：．例：，因?yàn)?，故?513是一個(gè)“差同數(shù)”．所以：，，則：．(1)請判斷是否是“差同數(shù)”．如果是，請求出的值；(2)若自然數(shù)，都是“差同數(shù)”，其中，（，，，，，，，都是整數(shù)），規(guī)定：，當(dāng)能被11整除時(shí)，求的最小值．【答案】(1)是“差同數(shù)”，(2)【分析】（1）根據(jù)“差同數(shù)”的定義和的定義即可得；（2）根據(jù)“差同數(shù)”的定義和已知條件，用一個(gè)字母的代數(shù)式表示，再根據(jù)此字母的取值范圍即可求出的最小值．【解析】（1）解：∵，∴是“差同數(shù)”，∴，∴．（2）解：∵，，且，都是整數(shù)，∴的千位數(shù)為，百位數(shù)為6，十位數(shù)為，個(gè)位數(shù)為6，∵是“差同數(shù)”，∴即，，，∴，∵，，且，都是整數(shù)，∴的千位數(shù)為3，百位數(shù)為，十位數(shù)為4，個(gè)位數(shù)為，∵是“差同數(shù)”，∴，即，，，∴，∴，∵且，，∴，∵且，，∴，∴，∴，∵能被11整除，∴或0或11，①當(dāng)時(shí)，則，此時(shí)，②當(dāng)時(shí)，則，此時(shí)，③當(dāng)時(shí)，則，結(jié)合，，有，此時(shí)，不存在，綜上，的最小值為．【點(diǎn)睛】本題主要考查了整式加減的應(yīng)用、有理數(shù)加減乘除運(yùn)算的應(yīng)用．理解“差同數(shù)”的定義，善于把新知識轉(zhuǎn)化為常規(guī)知識來解決問題是解題關(guān)鍵．8．關(guān)于x的整式，當(dāng)x取任意一組相反數(shù)m與時(shí)，若整式的值相等，則該整式叫做“偶整式”；若整式的值互為相反數(shù)，則該整式叫做“奇整式”．例如：是“偶整式”，是“奇整式”．(1)若整式A是關(guān)于x的“奇整式”，當(dāng)x取1與時(shí)，對應(yīng)的整式值分別為，，則___________；(2)判斷式子是“偶整式”還是“奇整式”，并說明理由；(3)對于整式，可以看作一個(gè)“偶整式”與“奇整式”的和．①這個(gè)“偶整式”是___________，“奇整式”是___________；②當(dāng)x分別取，，，0，1，2，3時(shí)，這七個(gè)整式的值之和是___________．【答案】(1)0(2)奇整式；理由見解析(3)①；②35【分析】（1）根據(jù)定義直接判斷即可；（2）將代替x代入觀察結(jié)果與原式的結(jié)果關(guān)系即可判斷；（3）①將原式各項(xiàng)中偶次項(xiàng)和常數(shù)項(xiàng)組合在一起即為偶整式，其余項(xiàng)的和即為奇整式；②將各數(shù)值依次代入偶整式和奇整式中，再相加即可求解．【解析】（1）由定義可知，整式的值互為相反數(shù)，故答案為：0；（2）奇整式理由：將代入中可得；∵與互為相反數(shù)，∴該式為奇整式；（3）①，∵，，∴是偶整式，是奇整式．②由于是偶整式，是奇整式，∴當(dāng)x分別取，，，0，1，2，3時(shí)，的值分別為10,5,2,1,2，5,10；當(dāng)x取互為相反數(shù)的值時(shí)的值也互為相反數(shù)，即和為0；∴這七個(gè)整式的值之和是；故答案為：35．【點(diǎn)睛】本題考查了整式，涉及到了乘方的性質(zhì)和運(yùn)算等知識，解題關(guān)鍵是能正確理解偶整式和奇整式的定義，能對整式進(jìn)行變形以及代入數(shù)值進(jìn)行計(jì)算等．9．對于一個(gè)四位自然數(shù)，如果滿足各數(shù)位上的數(shù)字不全相同且均不為0，它的千位數(shù)字減去個(gè)位數(shù)字之差等于百位數(shù)字減去十位數(shù)字之差，那么稱這個(gè)數(shù)為“差同數(shù)”．對于一個(gè)“差同數(shù)”，將它的千位和個(gè)位構(gòu)成的兩位數(shù)減去百位和十位構(gòu)成的兩位數(shù)所得差記為，將它的千位和十位構(gòu)成的兩位數(shù)減去百位和個(gè)位構(gòu)成的兩位數(shù)所得差記為，規(guī)定：．例：，因?yàn)椋剩菏且粋€(gè)“差同數(shù)”．所以：，則：．(1)寫出一個(gè)“差同數(shù)”___________(2)請判斷4378是否是“差同數(shù)”．如果是，請求出的值；(3)若自然數(shù)P，Q都是“差同數(shù)”，其中，（，x，y，m，n都是整數(shù)），規(guī)定：，當(dāng)能被11整除時(shí)，求k的最小值．【答案】(1)（答案不唯一）(2)是“差同數(shù)”，(3)【分析】（1）根據(jù)“差同數(shù)”的定義即可得；（2）根據(jù)“差同數(shù)”的定義和的定義即可得；（3）根據(jù)“差同數(shù)”的定義和已知條件，用一個(gè)字母的代數(shù)式表示，再根據(jù)此字母的取值范圍即可求出的最小值．【解析】（1）解：，寫出的“差同數(shù)”為，故答案為：（答案不唯一）．（2）解：，是“差同數(shù)”，，．（3）解：∵，，且，都是整數(shù)，∴的千位數(shù)為，百位數(shù)為6，十位數(shù)為，個(gè)位數(shù)為6，∵是“差同數(shù)”，∴即，，，∴，∵，，且，都是整數(shù)，∴的千位數(shù)為3，百位數(shù)為，十位數(shù)為4，個(gè)位數(shù)為，∵是“差同數(shù)”，∴，即，，，∴，∴，∵且，，∴，∵且，，∴，∴，∴，∵能被11整除，∴或0或11，①當(dāng)時(shí)，則，此時(shí)，②當(dāng)時(shí)，則，此時(shí)，③當(dāng)時(shí)，則，結(jié)合，，有，此時(shí)，不存在，綜上，的最小值為．【點(diǎn)睛】本題主要考查了整式加減的應(yīng)用、有理數(shù)加減乘除運(yùn)算的應(yīng)用．理解“差同數(shù)”的定義，善于把新知識轉(zhuǎn)化為常規(guī)知識來解決問題是解題關(guān)鍵．10．7張如圖1的長為，寬為b的小長方形紙片，按如圖2、3的方式不重疊地放在長方形內(nèi)；未被覆蓋的部分（兩個(gè)長方形）用陰影表示．

(1)如圖2，點(diǎn)E、Q、P在同一直線上，點(diǎn)F、Q、G在同一直線上，右下角與左上角的陰影部分的面積的差為____________（用含的代數(shù)式表示），長方形的面積為____________（用含的代數(shù)式表示）(2)如圖3，點(diǎn)F、H、Q、G在同一直線上，設(shè)右下角與左上角的陰影部分的面積的差為S，.①用含的代數(shù)式表示；②當(dāng)?shù)拈L度變化時(shí)，按照同樣的放置方式，要使S始終保持不變，那么必須滿足什么條件?【答案】(1)；(2)①；②【分析】（1）右下角的圖形為邊長為a的正方形，左上角圖形為長方形，其長和寬分別為，分別計(jì)算面積作差即可，找到長方形的長和寬分別為，計(jì)算面積即可；（2）①根據(jù)進(jìn)行求解即可；②分別表示出右下角和左上角的長方形面積，進(jìn)而把S表示出來，令含的項(xiàng)的系數(shù)為0，即可得到S與長度無關(guān)．【解析】（1）解：如圖2所示，右下角的圖形為邊長為a的正方形，面積為．左上角圖形為長方形，其長和寬分別為，面積為．∴右下角與左上角的陰影部分的面積的差為．∵矩形的長和寬分別為，∴矩形的面積為故答案為：；；（2）解：①由題意得，，∴，∴；②圖3中，右下角的長方形長和寬分別為x，a，則面積為．左上角長方形長和寬分別為，則面積為．∴整理得到，當(dāng)?shù)拈L度變化時(shí)，S始終保持不變，則時(shí)成立，即．

【點(diǎn)睛】本題主要考查了多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式在幾何圖形中的應(yīng)用，解題關(guān)鍵在于找準(zhǔn)各部分圖形的邊長與邊長之間的關(guān)系，準(zhǔn)確表示出面積的代數(shù)式，需要注意的是，長方形的對邊與對邊長度相等，可互相等量代換求得其他線段的長度．11．閱讀材料：在學(xué)習(xí)多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式時(shí)，我們知道的結(jié)果是一個(gè)多項(xiàng)式，并且最高次項(xiàng)為：，常數(shù)項(xiàng)為：．那么一次項(xiàng)是多少呢？要解決這個(gè)問題，就是要確定該一次項(xiàng)的系數(shù)．通過觀察，我們發(fā)現(xiàn)：一次項(xiàng)系數(shù)就是：，即一次項(xiàng)為．參考材料中用到的方法，解決下列問題：(1)計(jì)算所得多項(xiàng)式的一次項(xiàng)系數(shù)為．(2)如果計(jì)算所得多項(xiàng)式不含一次項(xiàng)，求的值；(3)如果，求的值．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）直接根據(jù)材料中的方法，求多項(xiàng)式的一次項(xiàng)系數(shù)即可；（2）先利用材料中的方法，求一次項(xiàng)的系數(shù)，然后其系數(shù)等于零求解即可；（3）求即多項(xiàng)式中一次項(xiàng)的系數(shù)，利用材料中的方法計(jì)算即可．【解析】（1）解：一次項(xiàng)系數(shù)為，故答案為：；（2）解：根據(jù)題意，得一次項(xiàng)系數(shù)，解得；（3）解：的一次項(xiàng)系數(shù)為，．【點(diǎn)睛】此題考查了多項(xiàng)式與多項(xiàng)式的乘法運(yùn)算，準(zhǔn)確理解并掌握題目中的求多項(xiàng)式的某次項(xiàng)的系數(shù)的方法是解答此題的關(guān)鍵．12．觀察下列一組等式：(1)以上這些等式中，你有何發(fā)現(xiàn)？利用你的發(fā)現(xiàn)填空．①__________；②（）；③（）．(2)利用你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律來計(jì)算：．【答案】(1)①；②；③(2)【分析】（1）根據(jù)上述等式歸納總結(jié)得到規(guī)律，即可得到結(jié)果；（2）將第一個(gè)因式與第四個(gè)因式結(jié)合，第二個(gè)因式與第三個(gè)因式結(jié)合，利用得出的規(guī)律計(jì)算即可得到結(jié)果．【解析】（1）（1）①(x?3)(x2+3x+9)=x3?27；②(2x+1)(4x2?2x+1)=8x3+1；③(x?y)(x2+xy+y2)=x3?y3.故答案為①；②；③；（2）（2）原式【點(diǎn)睛】本題的類比、拓展探究考查了多項(xiàng)式的乘法，解題的關(guān)鍵是運(yùn)用多項(xiàng)式相乘的法則推導(dǎo)，得出結(jié)果，探究規(guī)律，運(yùn)用得到的規(guī)律解答．13．我國宋朝數(shù)學(xué)家楊輝在他的著作《詳解九章算法》中提出“楊輝三角”（如圖），此圖揭示了（a+b）n（n為非負(fù)整數(shù)）展開式的項(xiàng)數(shù)及各項(xiàng)系數(shù)的相關(guān)規(guī)律．例如：（a+b）0＝1，它只有一項(xiàng)，系數(shù)為1；（a+b）1＝a+b，它有兩項(xiàng)，系數(shù)分別為1，1，系數(shù)和為2；（a+b）2＝a2+2ab+b2，它有三項(xiàng)，系數(shù)分別為1，2，1，系數(shù)和為4；根據(jù)以上規(guī)律，解答下列問題：（1）（a+b）5展開式的系數(shù)和是；（a+b）n展開式的系數(shù)和是．（2）當(dāng)a＝2時(shí)，（a+b）5展開式的系數(shù)和是；（a+b）n展開式的系數(shù)和是．【答案】（1）25；2n；（2）35；3n．【分析】（1）經(jīng)過求和計(jì)算和變形，觀察發(fā)現(xiàn)展開式的各項(xiàng)系數(shù)之和為當(dāng)a=1,b=1時(shí)的代數(shù)式的值，按此規(guī)律便可求解（2）利用知識遷移，用a=2，b=1求和（a+b）5展開式的系數(shù)和（2+1）5計(jì)算即可，同樣方法求（a+b）n展開式的系數(shù)和（2+1）n即可【解析】解：（1）1=10=（1+1）0，1，1，1+1=2=21=（1+1）1，1，2，1，1+2+1=22=（1+1）2，1，3，3，1，1+3+3+1=8=23=（1+1）31，4，6，4，1，1+4+6+4+1=16=24=（1+1）4……當(dāng)a=1,b=1時(shí)，(a+b)n展開式的系數(shù)和（1+1）n展開式的系數(shù)和是25，∴（a+b）5展開式的系數(shù)和是當(dāng)a=1,b=1時(shí)（1+1）5=25；∴（a+b）5展開式的系數(shù)和是25；當(dāng)a=1,b=1時(shí)，（a+b）n=（1+1）n=2n，（a+b）n展開式的系數(shù)和是2n，故答案為：25；2n；（2）當(dāng)a＝2時(shí)，b=1,（a+b）5=（2+1）5=35當(dāng)a＝2時(shí)，（a+b）5展開式的系數(shù)和是35；當(dāng)a＝2時(shí)，b=1,（a+b）n=（2+1）n=3n（a+b）n展開式的系數(shù)和是3n．故答案為：35；3n．【點(diǎn)睛】本題考查兩數(shù)和的n次方公式與展開式各項(xiàng)系數(shù)和，本題主要是根據(jù)已知與圖形，讓學(xué)生探究，觀察規(guī)律是求a與b為特定值是的代數(shù)式的值，屬于一種開放性題目．14．有些大數(shù)值問題可以通過用字母代替數(shù)轉(zhuǎn)化成整式問題來解決，請先閱讀下面的解題過程，再解答后面的問題．例：若，，試比較，的大?。猓涸O(shè)，那么看完后，你學(xué)到了這種方法嗎？再親自試一試吧，你準(zhǔn)行！問題：若，，試比較，的大?。敬鸢浮俊痉治觥扛鶕?jù)題意設(shè)，求出x，y的值，進(jìn)行比較即可得．【解析】解：設(shè)，則，，所以．【點(diǎn)睛】本題考查了整式的運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是理解題意，掌握整式混合的運(yùn)算法則．15．圖1是一個(gè)長方形窗戶ABCD，它是由上下兩個(gè)長方形（長方形AEFD和長方形EBCF）的小窗戶組成，在這兩個(gè)小窗戶上各安裝了一個(gè)可以朝一個(gè)方向水平方向拉伸的遮陽簾，這兩個(gè)遮陽簾的高度分別是a和2b（即DF＝a，BE＝2b），且b＞a＞0．當(dāng)遮陽簾沒有拉伸時(shí)（如圖1），窗戶的透光面積就是整個(gè)長方形窗戶（長方形ABCD）的面積．如圖2，上面窗戶的遮陽簾水平方向向左拉伸2a至GH．當(dāng)下面窗戶的遮陽簾水平方向向右拉伸2b時(shí)，恰好與GH在同一直線上（即點(diǎn)G、H、P在同一直線上）．（1）求長方形窗戶ABCD的總面積；（用含a、b的代數(shù)式表示）（2）如圖3，如果上面窗戶的遮陽簾保持不動(dòng)，將下面窗戶的遮陽簾繼續(xù)水平方向向右拉伸b至PQ時(shí)，求此時(shí)窗戶透光的面積（即圖中空白部分的面積）為多少？（用含a、b的代數(shù)式表示）（3）如果上面窗戶的遮陽簾保持不動(dòng)，當(dāng)下面窗戶的遮陽簾拉伸至BC的中點(diǎn)處時(shí)，請通過計(jì)算比較窗戶的透光的面積與被遮陽簾遮住的面積的大小．【答案】（1）；（2）（3）遮陽簾遮住的面積大于窗戶的透光的面積【分析】（1）根據(jù)題意求得長方形窗戶的長為，高為，即可求得面積；（2）窗戶透光的面積等于總面積減去遮陽簾的面積即可；（3）先求得下窗戶的遮陽簾的長，進(jìn)而求得遮陽簾遮住的面積，根據(jù)（1）的總面積減去遮陽簾遮住的面積即可得到窗戶的透光的面積，進(jìn)而根據(jù)整式的加減作出比較即可求解．【解析】（1）長方形窗戶的長為，高為，長方形窗戶ABCD的總面積為：（2）上面窗戶遮陽簾的面積為下面窗戶的遮陽簾的面積為窗戶透光的面積為（3）如果上面窗戶的遮陽簾保持不動(dòng)，當(dāng)下面窗戶的遮陽簾拉伸至BC的中點(diǎn)處時(shí)，則下面遮陽簾的長為上面窗戶遮陽簾的面積為下面窗戶的遮陽簾的面積為遮陽簾遮住的面積為窗戶的透光的面積為b＞a＞0遮陽簾遮住的面積大于窗戶的透光的面積【點(diǎn)睛】本題考查了列代數(shù)式，多項(xiàng)式的乘法，整式的加減的應(yīng)用，根據(jù)題意列出代數(shù)式是解題的關(guān)鍵．16．有7張如圖1規(guī)格相同的小長方形紙片，長為a，寬為b（a＞b），按如圖2、3的方式不重疊無縫隙地放在矩形ABCD內(nèi)，未被覆蓋的部分（兩個(gè)矩形）用陰影表示．（1）如圖2，點(diǎn)E、Q、P在同一直線上，點(diǎn)F、Q、G在同一直線上，右下角陰影部分矩形QPCG的面積為（用含a、b的代數(shù)式表示），左上角陰影部分矩形AFQE的面積為（用含a、b的代數(shù)式表示），矩形ABCD的面積為．（用含a、b的代數(shù)式表示）（2）如圖3，點(diǎn)F、H、Q、G在同一直線上，設(shè)右下角與左上角的陰影部分的面積的差為S，PC＝x．①用a、b、x的代數(shù)式表示AE②當(dāng)BC的長度變化時(shí)，按照同樣的放置方式，如果S的值始終保持不變，那么a、b必須滿足什么條件？【答案】（1），，（2）①；②【分析】(1)右下角的圖形為邊長為a的正方形，左上角圖形為長方形，其長寬分別為4b，3b，分別計(jì)算面積，找到矩形ABCD的長寬分別為a+4b，a+3b計(jì)算面積即可.(2)①AE=FQ，PC=HG，有FQ=HG+FH-QG，從而得到AE；②把S表示出來，令與相乘的因式為零，即可得到S與BC長度無關(guān).【解析】(1)右下角的圖形為邊長為a的正方形，面積為.左上角圖形為長方形，其長寬分別為4b，3b，面積為.矩形ABCD的長寬分別為a+4b，a+3b，面積為故答案為：，，(2)①∵AE=FQ，PC=HG，有FQ=HG+FH-QG∴AE=PC+FH-QG即AE=x+4b-a②圖2中，右下角的矩形長寬分別為x，a，則面積為xa.左上角矩形長寬分別為x+4b-a，3b，則面積為3b（x+4b-a）.則整理得到，當(dāng)BC的長度變化時(shí)，S始終保持不變，則時(shí)成立.【點(diǎn)睛】本題考查了列代數(shù)式，多項(xiàng)式的乘法，找準(zhǔn)各部分圖形的邊長與邊長之間的關(guān)系，準(zhǔn)確表示出面積的代數(shù)式是解題的關(guān)鍵．17．閱讀理解題閱讀材料：

兩個(gè)兩位數(shù)相乘，如果這兩個(gè)因數(shù)的十位數(shù)字相同，個(gè)位數(shù)字的和是10，該類乘法的速算方法是：將一個(gè)因數(shù)的十位數(shù)字與另一個(gè)因數(shù)的十位數(shù)字加1的和相乘，所得的積作為計(jì)算結(jié)果的前兩位，將兩個(gè)因數(shù)的個(gè)位數(shù)字之積作為計(jì)算結(jié)果的后兩位（數(shù)位不足兩位，用0補(bǔ)齊）．

比如，它們乘積的前兩位是，它們乘積的后兩位是，所以；

再如，它們乘積的前兩位是，它們乘積的后兩位是，所以；

又如，，不足兩位，就將6寫在百位：，不足兩位，就將9寫在個(gè)位，十位上寫0，所以

該速算方法可以用我們所學(xué)的整式乘法與分解因式的知識說明其合理性；

設(shè)其中一個(gè)因數(shù)的十位數(shù)字為，個(gè)位數(shù)字是，（、表示1~9的整數(shù)），則該數(shù)可表示為，另一因數(shù)可表示為．

兩數(shù)相乘可得：.（注：其中表示計(jì)算結(jié)果的前兩位，表示計(jì)算結(jié)果的后兩位．）問題：

兩個(gè)兩位數(shù)相乘，如果其中一個(gè)因數(shù)的十位數(shù)字與個(gè)位數(shù)字相同，另一因數(shù)的十位數(shù)字與個(gè)位數(shù)字之和是10．

如、、等．（1）探索該類乘法的速算方法，請以為例寫出你的計(jì)算步驟；（2）設(shè)十位數(shù)字與個(gè)位數(shù)字相同的因數(shù)的十位數(shù)字是，則該數(shù)可以表示為___________．設(shè)另一個(gè)因數(shù)的十位數(shù)字是，則該數(shù)可以表示為___________．（、表示1~9的正整數(shù)）（3）請針對問題（1）（2）中的計(jì)算，模仿閱讀材料中所用的方法寫出如：的運(yùn)算式：____________________【答案】（1）4×（7+1）=32，4×3=12，44×73=3212；（2）11a，9b+10；（3）（10a+a）（10b+c）=（b+1）a×100+ac．【分析】（1）設(shè)一個(gè)因數(shù)的兩個(gè)數(shù)字為b和c且b+c=10，另一個(gè)因數(shù)個(gè)位數(shù)為a，則另一個(gè)因數(shù)為10a+a，則可得出（10a+a）（10b+c）=（b+1）a×100+ac．規(guī)律：先將和為10的數(shù)的十位數(shù)字加1，再與后一個(gè)乘數(shù)的十位數(shù)字相乘后乘以100，然后加上兩個(gè)個(gè)位數(shù)之積，由此可得出結(jié)論；（2）根據(jù)兩位數(shù)的表示方法即可得出結(jié)論．（3）根據(jù)（1）即可得出結(jié)論．【解析】（1）設(shè)一個(gè)因數(shù)的兩個(gè)數(shù)字為b和c且b+c=10，另一個(gè)因數(shù)個(gè)位數(shù)為a，則另一個(gè)因數(shù)為10a+a，則（10a+a）（10b+c）=100ab+10ac+10ab+ac=100ab+10（b+c）a+ac=100ab+10×10a+ac=（b+1）a×100+ac．規(guī)律：先將和為10的數(shù)的十位數(shù)字加1，再與后一個(gè)乘數(shù)的十位數(shù)字相乘后乘以100，然后加上兩個(gè)個(gè)位數(shù)之積，∴4×（7+1）=32，4×3=12，44×73=3212；（2）設(shè)十位數(shù)字與個(gè)位數(shù)字相同的因數(shù)的十位數(shù)字是a，則該數(shù)可以表示為10a+a=11a．設(shè)另一個(gè)因數(shù)的十位數(shù)字是b，則該數(shù)可以表示為10b+（10-b）=9b+10．故答案為11a，9b+10．（3）設(shè)一個(gè)因數(shù)的兩個(gè)數(shù)字為b和c且b+c=10，另一個(gè)因數(shù)個(gè)位數(shù)為a，則另一個(gè)因數(shù)為10a+a，則（10a+a）（10b+c）=100ab+10ac+10ab+ac=100ab+10（b+c）a+ac=100ab+10×10a+ac=（b+1）a×100+ac．故答案為（10a+a）（10b+c）=（b+1）a×100+ac．【點(diǎn)睛】本題考查了整式的混合運(yùn)算和數(shù)字的計(jì)算規(guī)律，尋找計(jì)算規(guī)律是前提，并加以運(yùn)用和推廣是關(guān)鍵，考查了數(shù)學(xué)的類比思想，整式的運(yùn)算是解題的基礎(chǔ)．18．對于代數(shù)式，不同的表達(dá)形式能表現(xiàn)出它不同的性質(zhì)，若代數(shù)式，代數(shù)式，改變x的值，代數(shù)式A，B有不同的取值，如下表：x012340381524350381524觀察表格發(fā)現(xiàn)：當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，我們把這種現(xiàn)象稱為代數(shù)式B參照代數(shù)式A取值延后，相應(yīng)的延后值為1．(1)若代數(shù)式D參照代數(shù)式A取值延后，相應(yīng)的延后值為2，求代數(shù)式D；(2)若代數(shù)式參照代數(shù)式A的取值延后，求相應(yīng)的延后值；(3)若代數(shù)式參照代數(shù)式取值延后，求的值．【答案】(1)；(2)3；(3)．【分析】（1）根據(jù)題意，延后值為2，即將改為，化簡即可；（2）設(shè)延后值為k，將延后的代數(shù)式等于，使得各項(xiàng)系數(shù)相等，解方程即可；（3）設(shè)延后值為m，使得各項(xiàng)系數(shù)相等，解方程即可．【解析】（1）解：根據(jù)題意，（2）解：設(shè)相應(yīng)的延后值為k，得：，化簡得：，，解得，當(dāng)時(shí)，成立，∴相應(yīng)的延后值是3．（3）解：設(shè)相應(yīng)的延后值為m，得：，化簡得：，，將代入，可得∴．【點(diǎn)睛】本題考查了代數(shù)式求值，多項(xiàng)式的系數(shù)中字母求值，理解題意，清楚的列出代數(shù)式，并進(jìn)行求解是解題的關(guān)鍵．19．閱讀理解下列材料：“數(shù)形結(jié)合”是一種非常重要的數(shù)學(xué)思想．在學(xué)習(xí)“整式的乘法”時(shí)，我們通過構(gòu)造幾何圖形，用“等積法”直觀地推導(dǎo)出了完全平方和公式：（如圖1）．所謂“等積法”就是用不同的方法表示同一個(gè)圖形的面積，從而得到一個(gè)等式．如圖1，從整體看是一邊長為的正方形，其面積為．從局部看由四部分組成，即：一個(gè)邊長為的正方形，一個(gè)邊長為的正方形，兩個(gè)長、寬分別為，的長方形．這四部分的面積和為．因?yàn)樗鼈儽硎镜氖峭粋€(gè)圖形的面積，所以這兩個(gè)代數(shù)式應(yīng)該相等，即．同理，圖2可以得到一個(gè)等式：．根據(jù)以上材料提供的方法，完成下列問題：(1)由圖3可得等式：___________；(2)由圖4可得等式：____________；(3)若，，，且，，求的值．①為了解決這個(gè)問題，請你利用數(shù)形結(jié)合思想，仿照前面的方法在下方空白處畫出相應(yīng)的幾何圖形，通過這個(gè)幾何圖形得到一個(gè)含有，，的等式．②根據(jù)你畫的圖形可得等式：______________；③利用①的結(jié)論，求的值．【答案】(1)（a+2b）2=a2+4ab+4b2；(2)（2a+b）（a+2b）=2a2++5ab+2b2；(3)①見解析；②（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca；③29．【分析】（1）直接求得正方形的面積，然后再根據(jù)正方形的面積=各長方形的面積之和求解即可；（2）直接求得長方形的面積，然后再根據(jù)長方形的面積=各長方形的面積之和求解即可；（3）①根據(jù)題意畫出圖形即可；②直接求得正方形的面積，然后再根據(jù)正方形的面積=各矩形的面積之和求解即可；③將a+b+c=9，ab+bc+ac=26代入②中得到的關(guān)系式，然后進(jìn)行計(jì)算即可．【解析】（1）大正方形的面積可表示為=（a+2b）2，大正方形的面積=各個(gè)長方形的面積之和=a2+4ab+4b2，所以（a+2b）2=a2+4ab+4b2，故答案為：（a+2b）2=a2+4ab+4b2；（2）大長方形的面積可表示為=（2a+b）（a+2b），大長方形的面積=各個(gè)長方形的面積之和=2a2++5ab+2b2，所以（2a+b）（a+2b）=2a2++5ab+2b2，故答案為：（2a+b）（a+2b）=2a2++5ab+2b2；（3）①所畫圖形如下：②正方形的面積可表示為=（a+b+c）2；正方形的面積=各個(gè)矩形的面積之和=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca，所以（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca．故答案為：（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca；③∵（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca，∴a2+b2+c2=（a+b+c）2-2（ab+bc+ca）=92-26×2=81-52=29．【點(diǎn)睛】本題考查的是多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式應(yīng)用，利用面積法列出等式是解題的關(guān)鍵．20．對于一個(gè)圖形，通過兩種不同的方法計(jì)算它的面積，可以得到一個(gè)數(shù)學(xué)等式．例如圖1可以得到，請解答下列問題：（1）寫出圖2中所表示的數(shù)學(xué)等式______；（2）利用（1）中得到的結(jié)論，解決下面的問題：若，則_____；（3）小明同學(xué)用圖3中x張邊長為a的正方形，y張邊長為b的正方形，z張邊長分別為的長方形紙片拼出一個(gè)面積為長方形圖形，則_______．（4）如圖4所示，將兩個(gè)邊長分別為a和b的正方形拼在一起，三點(diǎn)在同一直線上，連接和，若兩正方形的邊長滿足，你能求出陰影部分的面積嗎？【答案】（1）（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac；（2）155；（3）9；（4）42【分析】（1）由大正方形等于9個(gè)長方形面積的和；（2）將所求式子轉(zhuǎn)化為，代入已知條件即可；（3）將式子化簡為，即可確定、、的值；（4）陰影部分的面積等于兩個(gè)正方形面積減去兩個(gè)直角三角形面積．【解析】解：（1）由圖可知大正方形面積為，大正方形由9個(gè)長方形組成，則有；故答案為；（2）由（1）可得，，，；故答案為155；（3），，，，；故答案為9；（4）由已知，陰影部分的面積等于兩個(gè)正方形面積減去兩個(gè)直角三角形面積，即，，，．【點(diǎn)睛】本題考查因式分解的應(yīng)用；熟練掌握因式分解的方法，能夠利用正方形與三角形面積靈活處理不規(guī)則圖形面積是解題的關(guān)鍵．21．閱讀材料小明遇到這樣一個(gè)問題：求計(jì)算所得多項(xiàng)式的一次項(xiàng)系數(shù).小明想通過計(jì)算所得的多項(xiàng)式解決上面的問題，但感覺有些繁瑣，他想探尋一下，是否有相對簡潔的方法.他決定從簡單情況開始，先找所得多項(xiàng)式中的一次項(xiàng)系數(shù)，通過觀察發(fā)現(xiàn)：也就是說，只需用中的一次項(xiàng)系數(shù)1乘以中的常數(shù)項(xiàng)3，再用中的常數(shù)項(xiàng)2乘以中的一次項(xiàng)系數(shù)2，兩個(gè)積相加，即可得到一次項(xiàng)系數(shù).延續(xù)上面的方法，求計(jì)算所得多項(xiàng)式的一次項(xiàng)系數(shù)，可以先用的一次項(xiàng)系數(shù)1，的常數(shù)項(xiàng)3，的常數(shù)項(xiàng)4，相乘得到12；再用的一次項(xiàng)系數(shù)2，的常數(shù)項(xiàng)2，的常數(shù)項(xiàng)4，相乘得到16；然后用的一次項(xiàng)系數(shù)3，的常數(shù)項(xiàng)2的常數(shù)項(xiàng)3，相乘得到18.最后將12，16，18相加，得到的一次項(xiàng)系數(shù)為46.參考小明思考問題的方法，解決下列問題：(1)計(jì)算所得多項(xiàng)式的一次項(xiàng)系數(shù)為____________________.(2)計(jì)算所得多項(xiàng)式的一次項(xiàng)系數(shù)為_____________.(3)若是的一個(gè)因式，求、的值.【答案】(1)19;(2)1;(3)a=-6，b=-3．【分析】（1）根據(jù)兩多項(xiàng)式常數(shù)項(xiàng)與一次項(xiàng)系數(shù)乘積的和即為所得多項(xiàng)式一次項(xiàng)系數(shù)可得；（2）根據(jù)三個(gè)多項(xiàng)式中兩個(gè)多項(xiàng)式的常數(shù)項(xiàng)與另一個(gè)多項(xiàng)式一次項(xiàng)系數(shù)的乘積即為所求可得；（3）由x4+ax2+bx+2中4次項(xiàng)系數(shù)為1、常數(shù)項(xiàng)為2可設(shè)另一個(gè)因式為x2+mx+2，根據(jù)三次項(xiàng)系數(shù)為0、二次項(xiàng)系數(shù)為a、一次項(xiàng)系數(shù)為b列出方程組求出a、b的值，可得答案．【解析】解：（1）（x+4）（4x+3）所得多項(xiàng)式的一次項(xiàng)系數(shù)為1×3+4×4=19，故答案為19；（2）所得多項(xiàng)式的一次項(xiàng)系數(shù)為1×(-2)×5+1×3×5+1×(-2)×2=1，故答案為1；（3）由x4+ax2+bx+2中4次項(xiàng)系數(shù)為1、常數(shù)項(xiàng)為2可設(shè)另一個(gè)因式為x2+mx+2，則（x2-3x+1）（x2+mx+2）=x4+ax2+bx+2，解得：故答案為a=-6，b=-3．【點(diǎn)睛】本題考查多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式，解題關(guān)鍵是熟練掌握多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式的運(yùn)算法則：多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘，先用一個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)乘另外一個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)，再把所得的積相加．22．定義：對于依次排列的多項(xiàng)式x+a，x+b，x+c，x+d(a，b，c，d是常數(shù))，當(dāng)它們滿足在，且M為常數(shù)時(shí)，則稱a，b，c，d是一組平衡數(shù)，M是該組平衡數(shù)的平衡因子，例如：對于多項(xiàng)式x+2，x+1，x+6，x+5，因?yàn)?，所?，1，6，5是一組平衡數(shù)，4是該組平衡數(shù)的平衡因子.(1)已知2，4，7，9是一組平衡數(shù)，求該組平衡數(shù)的平衡因子M；(2)若a，b，c，d是一組平衡數(shù)，a=-4，d=3，請直接寫出組b，c的值；(3)當(dāng)a，b，c，d之間滿是什么數(shù)量關(guān)系時(shí)，它們是一組平衡數(shù)，并說明理由.【答案】（1）M=10;（2）b=-3,c=2;(3)見解析.【分析】觀察多項(xiàng)式，它們的二次項(xiàng)在合并同類項(xiàng)時(shí)必然抵消，那么要使它們的差為常數(shù)，一次項(xiàng)也必須要互相抵消，它們在展開時(shí)，一次項(xiàng)依次為（a+d）x和（b+c）x，常數(shù)項(xiàng)依次為ad和bc，據(jù)此在組成數(shù)時(shí)a+d=b+c，M=ad-bc.【解析】（1）(x+4)(x+7)-(x+2)(x+9)=(x2+11x+28)-(x2+11x+18)=10.所以