有限群的f超中心

有限群的f超中心

0準(zhǔn)素子群的超可解性及超中心嵌入子組的廣義和正式性對有限組的結(jié)構(gòu)有重要影響。許多國內(nèi)外學(xué)者對有限組的結(jié)構(gòu)進行了廣泛而深入的研究。在20世紀(jì)80年代，sris戚繼光證明，所有sy線下子組的所有子組都是正式的，并且g是非?？山獾?。1996年，王燕明提出了c的正式子組的概念，并證明了g是一個可解的當(dāng)群。g是g，g是g。2005年，苗龍等人提出了f-s補子群的概念，并獲得了p的部分結(jié)論，即p、p、p的某些結(jié)論。2009年，苗龍從子群的小型補償?shù)慕嵌忍岢隽薽補償群的概念，并使用指定的分類準(zhǔn)素組的m補償群獲得了p、p、s等決策權(quán)。2010年，郭文斌等人使用大多數(shù)s-p子組來描述有限組的結(jié)構(gòu)。2012年，邱穎等人使用盡可能多的準(zhǔn)素子組的性質(zhì)研究了有限組的結(jié)構(gòu)，并從網(wǎng)絡(luò)中獲得了g的相關(guān)結(jié)果。從shimetkov和skiba教授的概念轉(zhuǎn)變以來，這項工作中使用了幾乎s的準(zhǔn)素組p和超可解組超中心。本文涉及的群皆為有限群,所用術(shù)語和符號也是標(biāo)準(zhǔn)的.符號U和N表示超可解群類和冪零群類.1e在g中是f超中心嵌入的,矛盾基于利益平衡的可解性證明定義1設(shè)H是群G的正規(guī)子群,若H中的所有非FrattiniG主因子在G中是F中心的,則稱H在G中是FΦ超中心嵌入的.定義2設(shè)H是群G的子群,若存在G的正規(guī)子群B,使得HBG,且H∩B≤HsG,HsG是G的包含于H的最大s擬正規(guī)子群,則稱子群H在G中是幾乎s正規(guī)的.引理1設(shè)G是有限群,1)若H在G中s擬正規(guī),則H在G中幾乎s正規(guī);2)若H≤K≤G,且H在G中幾乎s正規(guī),則H也在K中幾乎s正規(guī);3)令NG,且N≤H≤G,則H在G中幾乎s正規(guī)當(dāng)且僅當(dāng)H/N在G/N中幾乎s正規(guī);4)令π是一個素數(shù)集,設(shè)K是G的正規(guī)π′子群,且H是G的π子群.若H在G中幾乎s正規(guī),則HK/K在G/K中幾乎s正規(guī);引理3設(shè)G是有限群,p是|G|的素因子,P是G的一個Sylowp子群.如果NG(P)是p冪零的且P的每一個極大子群在G中幾乎s正規(guī),則G是p冪零的.引理4令N是G的非平凡可解正規(guī)子群.若N∩Φ(G)=1,那么N的Fitting子群F(N)是包含在N中的G的極小正規(guī)子群的直積.引理5設(shè)L≠1是G的正規(guī)p群,若L是初等交換p子群,且L的任意極大子群在G中是幾乎s正規(guī)的,則L的某個極大子群在G中是正規(guī)的.引理6設(shè)G是有限群,E是G的p可解正規(guī)子群,p是|E|的素因子.如果Fp(E)的Sylowp子群都循環(huán),那么E/Op′(E)在G/Op′(E)中是FΦ超中心嵌入的,F是p超可解群類.證利用極小階反例,假設(shè)(G,E)是滿足引理條件但結(jié)論不成立的|G||E|最小的群對,則事實上,若Op′(E)≠1,(G/Op′(E),E/Op′(E))滿足引理條件,由(G,E)的極小性知,結(jié)論對(G/Op′(E),E/Op′(E))成立,對(G,E)也成立,矛盾.2)Op(E)≠1,且Fp(E)=Op(E)=F(E).因為E是p可解的且Op′(E)=1,所以包含于E的G的任意極小正規(guī)子群是初等交換的,即Op(E)≠1.由1)知,Fp(E)=Op(E)=F(E).若Op(E)∩Φ(G)≠1,選擇極小正規(guī)子群L,L≤Op(E)∩Φ(G).若Fp(E)=L,則|Op(E)|=|Fp(E)|=p.因此,CE(Op(E))=Op(E),Op(E)≤Z(P),Op(E)=P,P是E的Sylowp子群.所以,E在G中是FΦ超中心嵌入的,矛盾.若L<Fp(E),容易驗證G(/L,E/L)滿足定理條件,結(jié)論對G(/L,E/L)成立,從而E在G中是FΦ超中心嵌入的,矛盾.4)完成證明.由引理4及Fp(E)是循環(huán)群知,Op(E)是G的極小正規(guī)子群,且Op(E)的極大子群唯一.設(shè)M是Op(E)的極大子群.由3)知,M=1.所以,|Op(E)|=p.從而,CE(Op(E))=Op(E),Op(E)≤Z(P),Op(E)=P,P是E的Sylowp子群.因此,E在G中是FΦ超中心嵌入的,矛盾.2e在g中是u超中心嵌入的,fpe在g中是fpe定理1設(shè)E是群G的正規(guī)子群,P是E的Sylowp子群,p是|E|的素因子.如果NE(P)是p冪零的且P的每個極大子群在G中幾乎s正規(guī),那么E/Op′(E)在G/Op′(E)中是UΦ超中心嵌入的.證利用極小階反例,假設(shè)(G,E)是滿足定理條件但結(jié)論不成立的|G||E|最小的群對,則事實上,若Op′(E)≠1,由引理1之3)及引理2知,(G/Op′(E),E/Op′(E))滿足定理條件,由(G,E)的極小性知,結(jié)論對(G/Op′(E),E/Op′(E))成立,對(G,E)也成立,矛盾.3)若L是包含于E的G的任意極小正規(guī)子群,則G(/L,E/L)滿足定理條件.若L=E,P1是P的一個極大子群,則P1在G中幾乎s正規(guī),由引理5,L的某個極大子群M在G中正規(guī).由L的極小性,|E|=p.所以E在G中是UΦ超中心嵌入的,矛盾.所以G(/L,E/L)滿足定理條件.4)完成證明.設(shè)L是包含于E的G的任意極小正規(guī)子群,則E/L在G/L中是UΦ超中心的,L≤/Φ(G),|L|>p,E∩Φ(G)=1.由引理4,E是包含于E的G的極小正規(guī)子群的直積.由3)知,存在包含于E的G的極小正規(guī)子群R,R≠L.由[1,引理A.9.11],LR/L≤/ΦG(/L),|R|=LR/L=p.因此,E在G中是UΦ超中心嵌入的,矛盾.定理2設(shè)G是有限群,E是G的p可解正規(guī)子群,p是|E|的素因子.如果Fp(E)的每個Sylowp子群的任意極大子群在G中幾乎s正規(guī),那么E/Op′(E)在G/Op′(E)中是FΦ超中心嵌入的,F是p超可解群類.事實上,若Op′(E)≠1,由引理1之3),(G/Op′(E),E/Op′(E))滿足定理條件,由(G,E)的極小性,結(jié)論對(G/Op′(E),E/Op′(E))成立,對(G,E)也成立,矛盾.若Op(E)∩Φ(G)≠1,選擇極小正規(guī)子群L,L≤Op(E)∩Φ(G).若Fp(E)=L,則|Op(E)|=|Fp(E)|=p,矛盾.從而,L<Fp(E),容易驗證G(/L,E/L)滿足定理條件,結(jié)論對G(/L,E/L)成立,E在G中是FΦ超中心嵌入的,矛盾.4)完成證明.由引理4,Op(E)=R1×…×Rt,Ri(i=1,2,…,t)是G的極小正規(guī)子群.設(shè)P1=R1*R,R1*是R1的任意極大子群,R=R2×…×Rt.由引理1,P1/R在G/R中幾乎s正規(guī).因為Op(E)/R是G/R的極小正規(guī)子群,所以,由引理5,Op(E)/R=p,即|R1|=p.因此,CE(Op(E))=Op(E),Op(E)≤Z(P),Op(E)=P,P是E的Sylowp子群.所以,E在G中是FΦ超中心嵌入的,矛盾.感謝揚州大學(xué)繆龍教授的悉心指導(dǎo)!感謝審稿老師的中肯建議!引理2設(shè)KG,P是G的某一p子群.如果P1是PK的Sylowp子群,那么NG/K(PK/K)=(NG(P1)K)/K.1)Op′(E)=1.3)Op(E)∩Φ(G)=1.1)Op′(E)=1.2)E=P.若E=G,由引理3知,G是p冪零的,E在G中是UΦ超中心嵌入的,矛盾.若E≠G.由引理1之1),(E,E)滿足定理條件,由(G,E)的極小性,結(jié)論對(E,E)成立,由引理3,E是p冪零的.因為Op′(E)=1,所以E=P.證利用極小階反例,假設(shè)(G,E)是滿足定理條件但結(jié)論不成立的|G||E|最小的群對,若Fp(E)的每個Sylowp子群循環(huán),則根據(jù)引