數(shù)學(xué)教案：相交線、對頂角教案及反思

教案系列數(shù)學(xué)教案：相交線、對頂角教案及反思數(shù)學(xué)教案－相交線、對頂角

教學(xué)建議

1．學(xué)問結(jié)構(gòu)

2．重點(diǎn)和難點(diǎn)分析

（1）本節(jié)課的重點(diǎn)是對頂角的概念和性質(zhì)，這些是重要的基礎(chǔ)學(xué)問，在以后的學(xué)習(xí)中常常要用到，要求同學(xué)把握．對頂角的概念是結(jié)合圖形描述的，這樣描述，便于同學(xué)在圖形中辨認(rèn).教學(xué)中不必讓同學(xué)背這些詞句，而是讓同學(xué)抓住概念的本質(zhì)，教給同學(xué)在圖形中如何辨認(rèn)它們.辨認(rèn)對頂角的要領(lǐng)是：首先要有兩條直線相交構(gòu)成四個(gè)角的前提條件，再找其中有公共頂點(diǎn)沒有公共邊（或不相鄰）的兩個(gè)角，就是對頂角.

（2）本節(jié)課的難點(diǎn)是對頂角性質(zhì)的證明和書寫格式.要證明兩角相等，這對于剛學(xué)習(xí)推理證明的同學(xué)來說并非易事．教學(xué)時(shí)要引導(dǎo)同學(xué)回憶至今為止已經(jīng)學(xué)過的關(guān)于兩個(gè)角相等的定理，使同學(xué)自己聯(lián)想到“同角的補(bǔ)角相等”這個(gè)定理，從而受到啟發(fā)取得證明的思路．可先結(jié)合圖形用文字語言敘述推理過程，然后再“翻譯”成符號語言的幾何推理格式．要特殊留意使同學(xué)明確每一步推理的依據(jù)．

3．教法建議

（1）因?yàn)楸竟?jié)是由相交線的模型——用釘子固定的兩根木條來引入的.所以老師要事先預(yù)備好教具，先讓同學(xué)觀看模型，對相交線建立感性熟悉，然后在從模型抽象出兩條相交直線.或用我們供應(yīng)的課件來引入本節(jié)課，激發(fā)同學(xué)的學(xué)習(xí)愛好.

（2）老師講完了對頂角的定義后，可以用以下方法讓同學(xué)感受對頂角的特征，探究其性質(zhì).老師拿出提前預(yù)備好的剪刀，在講臺上演示.老師不停地變換剪刀的邊所成的角，讓同學(xué)思索，在剪刀的邊所在的角中，哪些角是對頂角，哪些角是鄰補(bǔ)角？讓同學(xué)在變化中理解對頂角和鄰補(bǔ)角的意義.

（3）本節(jié)課的內(nèi)容適合啟發(fā)式教學(xué)，老師可以先拿出相交線的模型，轉(zhuǎn)動(dòng)木條，觀看角的變化，然后抽象出兩條相交直線，再讓同學(xué)觀看四個(gè)角的特征，這四個(gè)角依據(jù)位置關(guān)系可以分幾類，這兩類角各有有什么特征？這些問題都要由老師設(shè)問、啟發(fā)，同學(xué)經(jīng)過觀看、分析、歸納總結(jié)出來，讓同學(xué)自己親歷一次發(fā)覺的過程，有利于同學(xué)對對頂角、鄰補(bǔ)角的概念和性質(zhì)的理解.

教學(xué)設(shè)計(jì)示例

一、素養(yǎng)訓(xùn)練目標(biāo)

（一）學(xué)問教學(xué)點(diǎn)

1．理解對頂角和鄰補(bǔ)角的概念，能在圖形中辨認(rèn)．

2．把握對頂角相等的性質(zhì)和它的推證過程．

3．會用對頂角的性質(zhì)進(jìn)行關(guān)于的推理和計(jì)算．

（二）力量訓(xùn)練點(diǎn)

1．通過在圖形中辨認(rèn)對頂角和鄰補(bǔ)角，培育同學(xué)的識圖力量．

2．通過對頂角件質(zhì)的推理過程，培育同學(xué)的推理和規(guī)律思維力量．

（三）德育滲透點(diǎn)

從簡單圖形分解為若干個(gè)基本圖形的過程中，滲透化難為易的化歸思想方法和方程思想．

（四）美育滲透點(diǎn)

通過實(shí)例，培育和提高同學(xué)的審美力量和審美標(biāo)準(zhǔn)；通過相交線，使同學(xué)進(jìn)一步體會幾何圖形的簡潔美、對稱美．

二、學(xué)法引導(dǎo)

1．老師教法：教具直觀演示法啟發(fā)引導(dǎo)、嘗試爭論??．

2．同學(xué)學(xué)法：動(dòng)手動(dòng)腦、樂觀參加、認(rèn)真爭論??、學(xué)會概括．

三、重點(diǎn)、難點(diǎn)及解決方法

（一）重點(diǎn)

（二）難點(diǎn)

在較簡單的圖形中精確?????辨認(rèn)對頂角和鄰補(bǔ)角．

（三）疑點(diǎn)

對頂角、鄰補(bǔ)角的圖形識別．

（四）解決方法

強(qiáng)調(diào)圖形的基本特征，指導(dǎo)同學(xué)逐步學(xué)會分解簡單圖形、找出基本圖形的方法．

四、課時(shí)支配

1課時(shí)

五、教具學(xué)具預(yù)備

投影儀或電腦、三角尺、自制復(fù)合膠片、木條制成的相交直線的模型．

六、師生互動(dòng)活動(dòng)設(shè)計(jì)

1．通過實(shí)例創(chuàng)設(shè)情境，引導(dǎo)同學(xué)進(jìn)入課題．

2．通過演示試驗(yàn)和同學(xué)爭論、總結(jié)對頂角、鄰補(bǔ)角兩個(gè)概念．

3．通過同學(xué)爭論??、練習(xí)鞏固履行性質(zhì)的講解．

4．通過同學(xué)總結(jié)履行課堂小結(jié)．

5．通過隨堂練習(xí)，檢測同學(xué)學(xué)習(xí)狀況．

七、教學(xué)步驟

（一）明確目標(biāo)

能在圖形中準(zhǔn)確辨認(rèn)對頂角和鄰補(bǔ)角，理解其概念，把握其性質(zhì)，并運(yùn)用其進(jìn)行推理計(jì)算．

（二）整體感知

通過對較簡單圖形的熟悉和學(xué)習(xí)，逐步加深幾何學(xué)問，培育同學(xué)規(guī)律思維力量和規(guī)律推理、表達(dá)力量．

（三）教學(xué)過程（）

創(chuàng)設(shè)情境，引入課題

投影打出本章的章前圖（投影片1），然后引導(dǎo)同學(xué)觀看，并回答問題．

同學(xué)活動(dòng)：口答哪些道路是交叉的，哪些道路是平行的．

老師導(dǎo)入：圖中的道路是有寬度的，是有限長的，而且也不是完全直的，當(dāng)我們把它們看成直線時(shí)，這些直線有些是相交線，有些是平行線．相交線、平行線都有許多重要性質(zhì)，并且在生產(chǎn)和生活中有廣泛應(yīng)用．它們就是我們本章要爭論??的課題：

【板書】第二章相交線、平行線

【教法說明】以立交橋?yàn)閷?shí)例引出本章內(nèi)容，目的是①通過實(shí)例，讓同學(xué)了解相交線、平行線是我們?nèi)粘Ｉ钪谐３Ｒ姷降?；②通過畫面，培育同學(xué)的空間想像力量；③通過畫面，啟發(fā)同學(xué)廣泛地聯(lián)想，讓同學(xué)知道，相交線、平行線的概念是從實(shí)物中抽象出來的；④通過同學(xué)熟識的事物，激發(fā)同學(xué)的學(xué)習(xí)愛好．

同學(xué)活動(dòng)：請同學(xué)舉消逝實(shí)空間里相交線、平行線的一些實(shí)例．

老師導(dǎo)入：相交線、平行線在日常生活中常常見到，有著廣泛應(yīng)用，所以爭論??這些問題對今后的工作和學(xué)習(xí)都是有用的，也將為后面的學(xué)習(xí)做些預(yù)備．我們先爭論??直線相交的問題，從而引入本節(jié)課題．

【板制】2.1相交線、對頂角

探究新知，講授新課

老師演示：取兩根木條a、b，用釘子將它們釘在一起，并且能任憑張開．固定水條a，繞釘子轉(zhuǎn)動(dòng)b，可以看到，b的位置變化了，a、b所成的角a也隨著變化．這說明兩條直線相交的不同位置狀況，與它們的交角大小關(guān)于．可以用它們所成的角來說明相對位置的各種狀況．所以爭論??兩條直線相交問題首先來爭論??兩條直線相交得到的有公共頂點(diǎn)的四個(gè)角．這四個(gè)角都有一個(gè)公共頂點(diǎn)，其中有些有公共邊，有些沒有公共邊，故我們把這些角分成兩類：對頂角和鄰補(bǔ)角．

【教法說明】演示相交線的模型，目的是使同學(xué)領(lǐng)悟爭論??相交線為什么要爭論??它們相交所成的角．

1．對頂角和鄰補(bǔ)角的概念

同學(xué)活動(dòng)：觀看右圖，同桌爭論if與Z3有什么特點(diǎn)，然后，舉手回答，老師統(tǒng)一同學(xué)觀點(diǎn)并板書．

【板書】∠1與∠3是直線

AB、CD相交得到的，它們有一個(gè)公共頂點(diǎn)O，沒有公共邊，像這樣的兩個(gè)角叫做對頂角．

同學(xué)活動(dòng)：讓同學(xué)找一找右圖中還有沒有對頂角，假如有，是哪兩個(gè)角？

同學(xué)口答：∠2和∠4再也是對頂角．

緊扣對頂角定義強(qiáng)調(diào)以下兩點(diǎn)：

（1）辨認(rèn)對頂角的要領(lǐng)：一看是不是兩條直線相交所成的角，對頂角與相交線是唇齒相依，哪里有相交直線，哪里就有對頂角，反過來，哪里有對頂角，哪里就有相交線；二看是不是有公共頂點(diǎn)；三看是不是沒有公共邊．符合這三個(gè)條件時(shí)，才能確定這兩個(gè)角是對頂角，只具備一個(gè)或兩個(gè)條件都不行．

（2）對頂角是成對存在的，它們互為對頂角，如∠1是∠3的對頂角，同時(shí)，∠3是∠1的對頂角，也常說∠1和∠3是對頂角．

反饋練習(xí)：投影顯示（投影片2）

下列各圖中，∠l和∠2是對頂角嗎？為什么？（射線OA是活動(dòng)的）

【教法說明】本組題目是鞏固對頂角概念的，通過練習(xí)，使同學(xué)把握在圖形中辨認(rèn)對頂角的要領(lǐng)，同時(shí)又用反例印證概念，使同學(xué)加深印象，最終一個(gè)圖形為下面講部補(bǔ)角做鋪墊。

同學(xué)活動(dòng)：觀看圖2－l，∠1和∠2與對頂角相比，有什么相同點(diǎn)和不同點(diǎn)，從而得出鄰補(bǔ)角的定義．

【板書】∠l和∠2也是直線AB、CD相交得到的，它們不僅有一個(gè)公共頂點(diǎn)O，還有一條公共邊OA，像這樣的兩個(gè)角叫做鄰補(bǔ)角．

同學(xué)活動(dòng)：讓同學(xué)找一找圖2－1中還有沒有其他鄰補(bǔ)角，假如有，是哪些角．

同學(xué)口答：∠1和∠4，∠2和∠3，∠3和∠4都是鄰補(bǔ)角．

【教法說明】把鄰補(bǔ)角的概念與對頂角概念對比著講解，便于把握概念之間的聯(lián)系與區(qū)分，加深對概念的理解．

提出問題：如右圖，∠1和∠2還是鄰補(bǔ)角嗎？為什么？

師：鄰補(bǔ)角也可以看成是一條直線與端點(diǎn)在這條直線上的一條射線組建的兩個(gè)角，由此可知，鄰補(bǔ)角是有特殊位置關(guān)系的兩個(gè)互補(bǔ)的角．右圖這樣的鄰補(bǔ)角在圖形中也是常見的．在這種狀況下，只存在一對鄰補(bǔ)角，而不存在對頂角，與兩條直線相交所得的角不同．

老師演示：圖中射線OC固定在一個(gè)位置不動(dòng)，把∠1和∠2拉開，并且保持角的大小不變，如右圖（投影片3）．

提出問題：∠l和∠2的和是多少度？∠l和∠2還是鄰補(bǔ)角嗎？為什么？

同學(xué)活動(dòng)：觀看圖形的變換，回答老師提出的問題，同桌可相互爭論．

【教法說明】此問題意在區(qū)分互為補(bǔ)角和互為鄰補(bǔ)角的概念，演示活動(dòng)投影片，有助于同學(xué)抓住概念的本質(zhì)，比老師單純地強(qiáng)調(diào)效果更好．

2．對頂角的性質(zhì)

提出問題：我們在圖形中能精確?????地辨認(rèn)對頂角，那么對頂角有什么性質(zhì)呢？

同學(xué)活動(dòng)：同學(xué)以小組為單位綻開爭論，選代表發(fā)言，井口答為什么．

【教法說明】同學(xué)說出對頂角∠l＝∠3后，啟發(fā)同學(xué)再說出∠2＝∠4，然后得出對頂角相等的性質(zhì)．在同學(xué)理解推理思路的基礎(chǔ)上，板書為幾何符號推理的格式．對頂角的性質(zhì)不難得出，放手讓同學(xué)綻開爭論，充分發(fā)揮同學(xué)的主動(dòng)性，在活躍課堂氣氛的同時(shí)，培育同學(xué)的制造思維力量

【板書】∵∠1與∠2互補(bǔ)，∠3與∠2互補(bǔ)（鄰補(bǔ)角定義），

∴∠l＝∠3（同角的補(bǔ)角相等）．

留意：∠l與∠2互補(bǔ)不是給出的已知條件，而是分析圖形得到的；所以括號內(nèi)不填已知，而填鄰補(bǔ)角定義．

或?qū)懗桑骸摺?＝180－∠2，∠3＝180－∠2（鄰補(bǔ)角定義），

∴∠1＝∠3（等量代換）．

【教法說明】推得“對頂角相等”這個(gè)結(jié)論的過程，是課本中初次消逝的一步推理，使同學(xué)了解推理可以寫成“∵……∴……”的形式，并且每一步都要有依據(jù)，也就是括號里填的理由．這種推理的格式以后還要逐步滲透和訓(xùn)練，現(xiàn)在不要求自己會寫推理過程，只要求同學(xué)能看明白就可以了，為以后證明打好基礎(chǔ)。

嘗試反饋，鞏固練習(xí)

投影顯示（投影片4）

【教法說明】本級統(tǒng)習(xí)是鞏固對頂角和鄰補(bǔ)角概念的，同時(shí)培育同學(xué)的識圖力量．第1題是課本第59頁練習(xí)第2題的變式，第2題是課本第59頁練習(xí)第3題和“想一想”的綜合．解決這類題目的關(guān)鍵是要擅長從簡單圖形中分別出基本圖形．對頂角、鄰補(bǔ)角的基本圖形是兩條直線相交，則三條直線相交的圖形應(yīng)分解為三個(gè)兩條直線交于一點(diǎn)的圖形．如：

為此，對頂角有23＝6個(gè)，鄰補(bǔ)角的對數(shù)為43＝12個(gè)．第3、4題是關(guān)于的概念的綜合訓(xùn)練，其中第4題意在區(qū)分互為補(bǔ)角和互為鄰補(bǔ)角的概念．

投影顯示（投影片5）

【教法說明】第1題是直接利用對頂角相等的性質(zhì)得出，第2、3題是結(jié)合圖形利用對頂角相等的性質(zhì)，第4題是課本59負(fù)練習(xí)第4題，是兩條直線相交的一種特殊狀況，為下節(jié)課講兩直線相互垂直埋下伏筆．

變式訓(xùn)練，培育力量

投影顯示（投影片6）

同學(xué)活動(dòng)：例題比較簡潔，老師不做任何提示，讓同學(xué)在練習(xí)本上獨(dú)立履行解題過程，請一個(gè)同學(xué)板演。

解：∠3＝∠1＝40（對頂角相等）．

∠2＝180－40＝140（鄰補(bǔ)角定義）．

∠4＝∠2＝140（對頂角相等）．

【教法說明】例題一方面鞏固了對頂角的性質(zhì)；另一方面說明幾何里的計(jì)算題，需要用到圖形的幾何性質(zhì)，因此，要有根有據(jù)地計(jì)算．例題放手讓同學(xué)自己解決，比老師單純地講解效果會更好．盡管同學(xué)書寫格式不如課本上的規(guī)范，但通過集體講評訂正后，同學(xué)印象更深刻．

同學(xué)活動(dòng)：讓同學(xué)把例題中∠1＝40這個(gè)條件換成其他條件，而結(jié)論不變，自編幾道題．

變式1：把∠l＝40變?yōu)椤?－∠1＝40

變式2：把∠1＝40變?yōu)椤?是∠l的3倍

變式3：把∠1＝40變?yōu)椤?：∠2＝2：9

變式4：把∠1＝40變?yōu)椤?＝平角

【教法說明】同學(xué)自編開放性的題目，一是活躍課堂氣氛；二是培育同學(xué)的開放思維力量和逆向思維力量．變式1、2、3均可建立方程或方程組求解，幾何中計(jì)算角度和線段長度等問題常借助代數(shù)方程來解決．

（四）總結(jié)、擴(kuò)展

角的名稱

特征

性質(zhì)

相同點(diǎn)

不同點(diǎn)

對頂角

①兩條直線相交面成的角

②有一個(gè)公共頂點(diǎn)

③沒有公共邊

對頂角相等

都是兩直線相交而成的角，都有一個(gè)公共頂點(diǎn)，它們都是成對消逝。

對頂角沒有公共邊而鄰補(bǔ)角有一條公共邊；兩條直線相交時(shí)，一個(gè)有的對頂角有一個(gè)，而一個(gè)角的鄰補(bǔ)角有兩個(gè)。

鄰補(bǔ)角

①兩條直線相交面成的角

②有一個(gè)公共頂點(diǎn)

③有一條公共邊

鄰補(bǔ)角互補(bǔ)

同學(xué)活動(dòng)：表格中的結(jié)論均由同學(xué)自己口答填出．

【教法說明】課堂小結(jié)以提問形式，由同學(xué)自己爭論，系統(tǒng)歸納總結(jié)，以便培育同學(xué)的概括表達(dá)力量．

八、布置作業(yè)

（一）必做題

課本第69頁習(xí)題2.1A組第2題．

（二）思索題