高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 第二部分 專題三 立體幾何 第1講 空間幾何體的三視圖、表面積與體積練習(xí)（含解析）試題

第1講空間幾何體的三視圖、表面積與體積[做真題]題型一空間幾何體的表面積與體積1．(2019·高考全國(guó)卷Ⅲ)學(xué)生到工廠勞動(dòng)實(shí)踐，利用3D打印技術(shù)制作模型．如圖，該模型為長(zhǎng)方體ABCD－A1B1C1D1挖去四棱錐O－EFGH后所得的幾何體，其中O為長(zhǎng)方體的中心，E，F(xiàn)，G，H分別為所在棱的中點(diǎn)，AB＝BC＝6cm，AA1＝4cm.3D打印所用原料密度為0.9g/cm3.不考慮打印損耗，制作該模型所需原料的質(zhì)量為________g.解析：由題易得長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1的體積為6×6×4＝144(cm3)，四邊形EFGH為平行四邊形，如圖所示，連接GE，HF，易知四邊形EFGH的面積為矩形BCC1B1面積的一半，即eq\f(1,2)×6×4＝12(cm2)，所以V四棱錐O-EFGH＝eq\f(1,3)×3×12＝12(cm3)，所以該模型的體積為144－12＝132(cm3)，所以制作該模型所需原料的質(zhì)量為132×0.9＝118.8(g)．答案：118.82．(2018·高考全國(guó)卷Ⅱ)已知圓錐的頂點(diǎn)為S，母線SA，SB所成角的余弦值為eq\f(7,8)，SA與圓錐底面所成角為45°.若△SAB的面積為5eq\r(15)，則該圓錐的側(cè)面積為________．解析：如圖所示，設(shè)S在底面的射影為S′，連接AS′，SS′.△SAB的面積為eq\f(1,2)·SA·SB·sin∠ASB＝eq\f(1,2)·SA2·eq\r(1－cos2∠ASB)＝eq\f(\r(15),16)·SA2＝5eq\r(15)，所以SA2＝80，SA＝4eq\r(5).因?yàn)镾A與底面所成的角為45°，所以∠SAS′＝45°，AS′＝SA·cos45°＝4eq\r(5)×eq\f(\r(2),2)＝2eq\r(10).所以底面周長(zhǎng)l＝2π·AS′＝4eq\r(10)π，所以圓錐的側(cè)面積為eq\f(1,2)×4eq\r(5)×4eq\r(10)π＝40eq\r(2)π.答案：40eq\r(2)π題型二與球有關(guān)的切、接問題1．(2019·高考全國(guó)卷Ⅰ)已知三棱錐P-ABC的四個(gè)頂點(diǎn)在球O的球面上，PA＝PB＝PC，△ABC是邊長(zhǎng)為2的正三角形，E，F(xiàn)分別是PA，AB的中點(diǎn)，∠CEF＝90°，則球O的體積為()A．8eq\r(6)π B．4eq\r(6)πC．2eq\r(6)π D．eq\r(6)π解析：選D.因?yàn)辄c(diǎn)E，F(xiàn)分別為PA，AB的中點(diǎn)，所以EF∥PB，因?yàn)椤螩EF＝90°，所以EF⊥CE，所以PB⊥CE.取AC的中點(diǎn)D，連接BD，PD，易證AC⊥平面BDP，所以PB⊥AC，又AC∩CE＝C，AC，CE?平面PAC，所以PB⊥平面PAC，所以PB⊥PA，PB⊥PC，因?yàn)镻A＝PB＝PC，△ABC為正三角形，所以PA⊥PC，即PA，PB，PC兩兩垂直，將三棱錐P-ABC放在正方體中如圖所示．因?yàn)锳B＝2，所以該正方體的棱長(zhǎng)為eq\r(2)，所以該正方體的體對(duì)角線長(zhǎng)為eq\r(6)，所以三棱錐P-ABC的外接球的半徑R＝eq\f(\r(6),2)，所以球O的體積V＝eq\f(4,3)πR3＝eq\f(4,3)πeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(6),2)))eq\s\up12(3)＝eq\r(6)π，故選D.2．(2018·高考全國(guó)卷Ⅲ)設(shè)A，B，C，D是同一個(gè)半徑為4的球的球面上四點(diǎn)，△ABC為等邊三角形且其面積為9eq\r(3)，則三棱錐D-ABC體積的最大值為()A．12eq\r(3) B．18eq\r(3)C．24eq\r(3) D．54eq\r(3)解析：選B.設(shè)等邊三角形ABC的邊長(zhǎng)為x，則eq\f(1,2)x2sin60°＝9eq\r(3)，得x＝6.設(shè)△ABC的外接圓半徑為r，則2r＝eq\f(6,sin60°)，解得r＝2eq\r(3)，所以球心到△ABC所在平面的距離d＝eq\r(42－（2\r(3)）2)＝2，則點(diǎn)D到平面ABC的最大距離d1＝d＋4＝6，所以三棱錐D-ABC體積的最大值Vmax＝eq\f(1,3)S△ABC×6＝eq\f(1,3)×9eq\r(3)×6＝18eq\r(3).3．(2017·高考全國(guó)卷Ⅲ)已知圓柱的高為1，它的兩個(gè)底面的圓周在直徑為2的同一個(gè)球的球面上，則該圓柱的體積為()A．π B．eq\f(3π,4)C．eq\f(π,2) D．eq\f(π,4)解析：選B.設(shè)圓柱的底面半徑為r，則r2＝12－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(2)＝eq\f(3,4)，所以，圓柱的體積V＝eq\f(3,4)π×1＝eq\f(3π,4)，故選B.[山東省學(xué)習(xí)指導(dǎo)意見]1．利用實(shí)物模型．認(rèn)識(shí)柱、錐、臺(tái)、球及其簡(jiǎn)單組合體的結(jié)構(gòu)特征，并能運(yùn)用這些特征描述現(xiàn)實(shí)生活中簡(jiǎn)單物體的結(jié)構(gòu)．2．會(huì)用斜二測(cè)法畫出簡(jiǎn)單空間圖形(長(zhǎng)方體、球、圓柱、圓錐、棱柱等的簡(jiǎn)易組合)的直觀圖．3．了解球、棱柱、棱錐、臺(tái)的表面積和體積的計(jì)算公式(不要求記憶公式)．空間幾何體的表面積和體積[典型例題]命題角度一空間幾何體的表面積(1)(2019·臨沂調(diào)研)已知圓錐的高為3，底面半徑長(zhǎng)為4.若一球的表面積與此圓錐的側(cè)面積相等，則該球的半徑長(zhǎng)為()A．5 B．eq\r(5)C．9 D．3(2)(2019·上海浦東期中)在如圖所示的斜截圓柱中，已知圓柱底面的直徑為40cm，母線長(zhǎng)最短50cm，最長(zhǎng)80cm，則斜截圓柱的側(cè)面面積S＝________cm2.【解析】(1)因?yàn)閳A錐的底面半徑R＝4，高h(yuǎn)＝3，所以圓錐的母線l＝5，所以圓錐的側(cè)面積S＝πRl＝20π.設(shè)球的半徑為r，則4πr2＝20π，所以r＝eq\r(5).故選B.(2)將題圖所示的相同的兩個(gè)幾何體對(duì)接為圓柱，則圓柱的側(cè)面展開圖為矩形．由題意得所求側(cè)面展開圖的面積S＝eq\f(1,2)×(50＋80)×(π×40)＝2600π(cm2)．【答案】(1)B(2)2600πeq\a\vs4\al()求幾何體的表面積的方法(1)求表面積問題的基本思路是將立體幾何問題轉(zhuǎn)化為平面幾何問題，即空間圖形平面化，這是解決立體幾何的主要出發(fā)點(diǎn)．(2)求不規(guī)則幾何體的表面積時(shí)，通常將所給幾何體分割成基本的柱、錐、臺(tái)體，先求這些柱、錐、臺(tái)體的表面積，再通過求和或作差得不規(guī)則幾何體的表面積．命題角度二空間幾何體的體積(1)(2019·河北衡水中學(xué)四調(diào))如圖所示，某幾何體由底面半徑和高均為5的圓柱與半徑為5的半球?qū)佣?，在該封閉幾何體內(nèi)部放入一個(gè)小圓柱體，且小圓柱體的上下底面均與外層圓柱的底面平行，則小圓柱體積的最大值為()A．eq\f(2000π,9) B．eq\f(4000π,27)C．81π D．128π(2)(一題多解)如圖，在直角梯形ABCD中，AD＝AB＝4，BC＝2，沿中位線EF折起，使得∠AEB為直角，連接AB，CD，則所得的幾何體的表面積為________，體積為________．【解析】(1)小圓柱的高分為上下兩部分，上部分的高同大圓柱的高相等，為5，下部分深入底部半球內(nèi)．設(shè)小圓柱下部分的高為h(0＜h＜5)，底面半徑為r(0＜r＜5)．由于r，h和球的半徑構(gòu)成直角三角形，即r2＋h2＝52，所以小圓柱體積V＝πr2(h＋5)＝π(25－h(huán)2)(h＋5)(0＜h＜5)，求導(dǎo)得V′＝－π(3h－5)(h＋5)．當(dāng)0＜h＜eq\f(5,3)時(shí)，V′＞0，體積V單調(diào)遞增；當(dāng)eq\f(5,3)＜h＜5時(shí)，V′＜0，體積V單調(diào)遞減．所以當(dāng)h＝eq\f(5,3)時(shí)，小圓柱的體積取得最大值，即Vmax＝πeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(25－\f(25,9)))×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,3)＋5))＝eq\f(4000π,27)，故選B.(2)如圖，過點(diǎn)C作CM平行于AB，交AD于點(diǎn)M，作CN平行于BE，交EF于點(diǎn)N，連接MN.由題意可知ABCM，BENC都是矩形，AM＝DM＝2，CN＝2，F(xiàn)N＝1，AB＝CM＝2eq\r(2)，所以S△AEB＝eq\f(1,2)×2×2＝2，S梯形ABCD＝eq\f(1,2)×(2＋4)×2eq\r(2)＝6eq\r(2)，S梯形BEFC＝eq\f(1,2)×(2＋3)×2＝5，S梯形AEFD＝eq\f(1,2)×(3＋4)×2＝7，在直角三角形CMD中，CM＝2eq\r(2)，MD＝2，所以CD＝2eq\r(3).又因?yàn)镈F＝FC＝eq\r(5)，所以S△DFC＝eq\f(1,2)×2eq\r(3)×eq\r(2)＝eq\r(6)，所以這個(gè)幾何體的表面積為2＋6eq\r(2)＋5＋7＋eq\r(6)＝14＋6eq\r(2)＋eq\r(6).法一：因?yàn)榻孛鍯MN把這個(gè)幾何體分割為直三棱柱ABE-MCN和四棱錐C-MNFD，又因?yàn)橹比庵鵄BE-MCN的體積為V1＝S△ABE·AM＝eq\f(1,2)×2×2×2＝4，四棱錐C-MNFD的體積為V2＝eq\f(1,3)S四邊形MNFD·BE＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)(1＋2)×2×2＝2，所以所求幾何體的體積為V1＋V2＝6.法二：如圖，連接AC，EC，則幾何體分割為四棱錐C-ADFE和三棱錐C-ABE，因?yàn)閂C-ADFE＝eq\f(1,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3＋4,2)×2))×2＝eq\f(14,3)，VC-ABE＝eq\f(1,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,2)×2))×2＝eq\f(4,3)，所以幾何體的體積為VC-ADFE＋VC-ABE＝eq\f(14,3)＋eq\f(4,3)＝6.法三：如圖，延長(zhǎng)BC至點(diǎn)M，使得CM＝2，延長(zhǎng)EF至點(diǎn)N，使得FN＝1，連接DM，MN，DN，得到直三棱柱ABE-DMN，所以幾何體的體積等于直三棱柱ABE-DMN的體積減去四棱錐D-CMNF的體積．因?yàn)閂ABE-DMN＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)×2×2))×4＝8，VD-CMNF＝eq\f(1,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1＋2,2)×2))×2＝2，所以幾何體的體積為VABE-DMN－VD-CMNF＝8－2＝6.【答案】(1)B(2)14＋6eq\r(2)＋eq\r(6)6eq\a\vs4\al()求空間幾何體體積的常用方法(1)公式法：直接根據(jù)相關(guān)的體積公式計(jì)算．(2)等積法：根據(jù)體積計(jì)算公式，通過轉(zhuǎn)換空間幾何體的底面和高使得體積計(jì)算更容易，或是求出一些體積比等．(3)割補(bǔ)法：把不能直接計(jì)算體積的空間幾何體進(jìn)行適當(dāng)分割或補(bǔ)形，轉(zhuǎn)化為易計(jì)算體積的幾何體．[對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練]1．(2019·江蘇南通聯(lián)考)已知正三棱柱ABC-A1B1C1的各棱長(zhǎng)均為2，點(diǎn)D在棱AA1上，則三棱錐D-BB1C1的體積為________．解析：如圖，取BC中點(diǎn)O，連接AO.因?yàn)檎庵鵄BC-A1B1C1的各棱長(zhǎng)均為2，所以AC＝2，OC＝1，則AO＝eq\r(3).因?yàn)锳A1∥平面BCC1B1，所以點(diǎn)D到平面BCC1B1的距離為eq\r(3).又S△BB1C1＝eq\f(1,2)×2×2＝2，所以VD-BB1C1＝eq\f(1,3)×2×eq\r(3)＝eq\f(2\r(3),3).答案：eq\f(2\r(3),3)2．(2019·長(zhǎng)春市質(zhì)量監(jiān)測(cè)(一))已知一所有棱長(zhǎng)都是eq\r(2)的三棱錐，則該三棱錐的體積為________．解析：記所有棱長(zhǎng)都是eq\r(2)的三棱錐為P-ABC，如圖所示，取BC的中點(diǎn)D，連接AD，PD，作PO⊥AD于點(diǎn)O，則PO⊥平面ABC，且OP＝eq\f(\r(6),3)×eq\r(2)＝eq\f(2\r(3),3)，故三棱錐P-ABC的體積V＝eq\f(1,3)S△ABC·OP＝eq\f(1,3)×eq\f(\r(3),4)×(eq\r(2))2×eq\f(2\r(3),3)＝eq\f(1,3).答案：eq\f(1,3)與球有關(guān)的切、接問題[典型例題]命題角度一外接球(2019·石家莊市質(zhì)量檢測(cè))如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為菱形，PB⊥底面ABCD，O為對(duì)角線AC與BD的交點(diǎn)，若PB＝1，∠APB＝∠BAD＝eq\f(π,3)，則三棱錐P-AOB的外接球的體積是________．【解析】因?yàn)樗倪呅蜛BCD是菱形，所以AC⊥BD，即OA⊥OB，因?yàn)镻B⊥平面ABCD，所以PB⊥AO，又OB∩PB＝B，所以AO⊥平面PBO，所以AO⊥PO，即△PAO是以PA為斜邊的直角三角形，因?yàn)镻B⊥AB，所以△PAB是以PA為斜邊的直角三角形，所以三棱錐P-AOB的外接球的直徑為PA，因?yàn)镻B＝1，∠APB＝eq\f(π,3)，所以PA＝2，所以三棱錐P-AOB的外接球的半徑為1，所以三棱錐P-AOB的外接球的體積為eq\f(4π,3).【答案】eq\f(4π,3)eq\a\vs4\al()解決多面體的外接球問題，關(guān)鍵是確定球心的位置，方法是先選擇多面體中的一面，確定此面外接圓的圓心，再過圓心作垂直此面的垂線，則球心一定在此垂線上，最后根據(jù)其他頂點(diǎn)確定球心的準(zhǔn)確位置．對(duì)于特殊的多面體還可采用補(bǔ)成正方體或長(zhǎng)方體的方法找到球心位置．命題角度二內(nèi)切球(2019·廣東省七校聯(lián)考)在四棱錐P-ABCD中，四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為2a的正方形，PD⊥底面ABCD，且PD＝2a，若在這個(gè)四棱錐內(nèi)放一個(gè)球，則該球半徑的最大值為________．【解析】通解：由題意知，球內(nèi)切于四棱錐P-ABCD時(shí)半徑最大，設(shè)該四棱錐的內(nèi)切球的球心為O，半徑為r，連接OA，OB，OC，OD，OP，則VP-ABCD＝VO-ABCD＋VO-PAD＋VO-PAB＋VO-PBC＋VO-PCD，即eq\f(1,3)×2a×2a×2a＝eq\f(1,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4a2＋2×\f(1,2)×2a×2a＋2×\f(1,2)×2a×2\r(2)a))×r，解得r＝(2－eq\r(2))a.優(yōu)解：易知當(dāng)球內(nèi)切于四棱錐P-ABCD，即與四棱錐P-ABCD各個(gè)面均相切時(shí)，球的半徑最大，作出相切時(shí)的側(cè)視圖如圖所示，設(shè)四棱錐P-ABCD內(nèi)切球的半徑為r，則eq\f(1,2)×2a×2a＝eq\f(1,2)×(2a＋2a＋2eq\r(2)a)×r，解得r＝(2－eq\r(2))a.【答案】(2－eq\r(2))aeq\a\vs4\al()求解多面體的內(nèi)切球的問題，一般是將多面體分割為以球心為頂點(diǎn)，多面體的各面為底面的棱錐，利用多面體的體積等于各棱錐的體積之和求內(nèi)切球的半徑．命題角度三與球有關(guān)的最值問題(2019·濟(jì)南市質(zhì)量檢測(cè))三棱錐P-ABC的所有頂點(diǎn)都在半徑為2的球O的球面上．若△PAC是等邊三角形，平面PAC⊥平面ABC，AB⊥BC，則三棱錐P-ABC體積的最大值為()A．2 B．3C．2eq\r(3) D．3eq\r(3)【解析】根據(jù)AB⊥BC可知AC為三角形ABC所在截面圓O1的直徑，又平面PAC⊥平面ABC，△APC為等邊三角形，所以P在OO1上，如圖所示，設(shè)PA＝x，則AO1＝eq\f(1,2)x，PO1＝eq\f(\r(3),2)x，所以PO1＝eq\f(\r(3),2)x＝OO1＋2＝eq\r(4－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)x))\s\up12(2))＋2?eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)x－2))eq\s\up12(2)＝4－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)x))eq\s\up12(2)?x2－2eq\r(3)x＝0?x＝2eq\r(3)，所以AO1＝eq\f(1,2)×2eq\r(3)＝eq\r(3)，PO1＝eq\f(\r(3),2)×2eq\r(3)＝3，當(dāng)?shù)酌嫒切蜛BC的面積最大時(shí)，即底面為等腰直角三角形時(shí)三棱錐P-ABC的體積最大，此時(shí)V＝eq\f(1,3)S△ABC×PO1＝eq\f(1,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)×2\r(3)×\r(3)))×3＝3.【答案】Beq\a\vs4\al()多面體與球有關(guān)的最值問題，主要有三種：一是多面體確定的情況下球的最值問題，二是球的半徑確定的情況下與多面體有關(guān)的最值問題；三是多面體與球均確定的情況下，截面的最值問題．[對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練]1．已知圓錐的高為3，底面半徑為eq\r(3)，若該圓錐的頂點(diǎn)與底面的圓周都在同一個(gè)球面上，則這個(gè)球的體積等于()A．eq\f(8,3)π B．eq\f(32,3)πC．16π D．32π解析：選B.設(shè)該圓錐的外接球的半徑為R，依題意得，R2＝(3－R)2＋(eq\r(3))2，解得R＝2，所以所求球的體積V＝eq\f(4,3)πR3＝eq\f(4,3)π×23＝eq\f(32,3)π，故選B.2．(2019·福州市質(zhì)量檢測(cè))如圖，以棱長(zhǎng)為1的正方體的頂點(diǎn)A為球心，以eq\r(2)為半徑作一個(gè)球面，則該正方體的表面被球面所截得的所有弧長(zhǎng)之和為()A．eq\f(3π,4) B．eq\r(2)πC．eq\f(3π,2) D．eq\f(9π,4)解析：選C.正方體的表面被該球面所截得的弧長(zhǎng)是相等的三部分，如圖，上底面被球面截得的弧長(zhǎng)是以A1為圓心，1為半徑的圓周長(zhǎng)的eq\f(1,4)，所以所有弧長(zhǎng)之和為3×eq\f(2π,4)＝eq\f(3π,2).故選C.一、選擇題1.水平放置的△ABC的直觀圖如圖，其中B′O′＝C′O′＝1，A′O′＝eq\f(\r(3),2)，那么原△ABC是一個(gè)()A．等邊三角形B．直角三角形C．三邊中只有兩邊相等的等腰三角形D．三邊互不相等的三角形解析：選A.AO＝2A′O′＝2×eq\f(\r(3),2)＝eq\r(3)，BC＝B′O′＋C′O′＝1＋1＝2，在Rt△AOB中，AB＝eq\r(12＋（\r(3)）2)＝2，同理AC＝2，所以△ABC是等邊三角形．2．給出下列幾個(gè)命題：①在圓柱的上、下底面的圓周上各取一點(diǎn)，則這兩點(diǎn)的連線是圓柱的母線；②底面為正多邊形，且有相鄰兩個(gè)側(cè)面與底面垂直的棱柱是正棱柱；③棱臺(tái)的上、下底面可以不相似，但側(cè)棱長(zhǎng)一定相等．其中正確命題的個(gè)數(shù)是()A．0 B．1C．2 D．3解析：選B.①錯(cuò)誤，只有這兩點(diǎn)的連線平行于軸時(shí)才是母線；②正確；③錯(cuò)誤，棱臺(tái)是上、下底面相似且對(duì)應(yīng)邊平行的多邊形，各側(cè)棱延長(zhǎng)線交于一點(diǎn)，但是側(cè)棱長(zhǎng)不一定相等．3．(2019·武漢市調(diào)研測(cè)試)如圖，在棱長(zhǎng)為1的正方體ABCD-A1B1C1D1中，M為CD的中點(diǎn)，則三棱錐A-BC1M的體積VA-BC1M＝()A．eq\f(1,2) B．eq\f(1,4)C．eq\f(1,6) D．eq\f(1,12)解析：選C.VA-BC1M＝VC1-ABM＝eq\f(1,3)S△ABM·C1C＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)AB×AD×C1C＝eq\f(1,6).故選C.4．把一個(gè)半徑為20的半圓卷成圓錐的側(cè)面，則這個(gè)圓錐的高為()A．10 B．10eq\r(3)C．10eq\r(2) D．5eq\r(3)解析：選B.設(shè)圓錐的底面半徑為r，高為h.因?yàn)榘雸A的弧長(zhǎng)等于圓錐的底面周長(zhǎng)，半圓的半徑等于圓錐的母線，所以2πr＝20π，所以r＝10，所以h＝eq\r(202－102)＝10eq\r(3).5．(2019·湖北武漢5月模擬)已知長(zhǎng)方體全部棱長(zhǎng)的和為36，表面積為52，則其體對(duì)角線的長(zhǎng)為()A．4 B．eq\r(29)C．2eq\r(23) D．4eq\r(17)解析：選B.設(shè)長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高分別為x，y，z，由已知得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(4（x＋y＋z）＝36，①,2（xy＋xz＋yz）＝52，②))①的兩邊同時(shí)平方得x2＋y2＋z2＋2xy＋2xz＋2yz＝81，把②代入得x2＋y2＋z2＝29，所以長(zhǎng)方體的體對(duì)角線的長(zhǎng)為eq\r(29).故選B.6．已知圓柱的高為2，底面半徑為eq\r(3)，若該圓柱的兩個(gè)底面的圓周都在同一個(gè)球面上，則這個(gè)球的表面積等于()A．4π B．eq\f(16,3)πC．eq\f(32,3)π D．16π解析：選D.如圖，由題意知圓柱的中心O為這個(gè)球的球心，于是，球的半徑r＝OB＝eq\r(OA2＋AB2)＝eq\r(12＋（\r(3)）2)＝2.故這個(gè)球的表面積S＝4πr2＝16π.故選D.7．在長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中，AB＝AD＝2，AA1＝1，則點(diǎn)B到平面D1AC的距離等于()A．eq\f(\r(3),3) B．eq\f(\r(6),3)C．1 D．eq\r(2)解析：選B.如圖，連接BD1，易知D1D就是三棱錐D1-ABC的高，AD1＝CD1＝eq\r(5)，取AC的中點(diǎn)O，連接D1O，則D1O⊥AC，所以D1O＝eq\r(ADeq\o\al(2,1)－AO2)＝eq\r(3).設(shè)點(diǎn)B到平面D1AC的距離為h，則由VB-D1AC＝VD1-ABC，即eq\f(1,3)S△D1AC·h＝eq\f(1,3)S△ABC·D1D，又S△D1AC＝eq\f(1,2)D1O·AC＝eq\f(1,2)×eq\r(3)×2eq\r(2)＝eq\r(6)，S△ABC＝eq\f(1,2)AB·BC＝eq\f(1,2)×2×2＝2，所以h＝eq\f(\r(6),3).故選B.8．在三棱錐S-ABC中，SB⊥BC，SA⊥AC，SB＝BC，SA＝AC，AB＝eq\f(1,2)SC，且三棱錐S-ABC的體積為eq\f(9\r(3),2)，則該三棱錐的外接球半徑是()A．1 B．2C．3 D．4解析：選C.取SC的中點(diǎn)O，連接OA，OB，則OA＝OB＝OC＝OS，即O為三棱錐的外接球球心，設(shè)半徑為r，則eq\f(1,3)×2r×eq\f(\r(3),4)r2＝eq\f(9\r(3),2)，所以r＝3.9．(2019·安徽省江南十校3月檢測(cè))我國(guó)南北朝時(shí)期的科學(xué)家祖暅提出了計(jì)算體積的祖暅原理：“冪勢(shì)既同，則積不容異．”意思是：如果兩個(gè)等高的幾何體在等高處的水平截面的面積恒等，那么這兩個(gè)幾何體的體積相等．利用此原理求以下幾何體的體積：如圖，曲線y＝x2(0≤y≤L)和直線y＝L圍成的封閉圖形繞y軸旋轉(zhuǎn)一周得幾何體Z，將Z放在與y軸垂直的水平面α上，用平行于平面α，且與Z的頂點(diǎn)O距離為l的平面截幾何體Z，得截面圓的面積為π(eq\r(l))2＝πl(wèi).由此構(gòu)造右邊的幾何體Z1(三棱柱ABC-A1B1C1)，其中AC⊥平面α，BB1C1C∥α，EFPQ∥α，AC＝L，AA1?α，AA1＝π，Z1與Z在等高處的截面面積都相等，圖中EFPQ和BB1C1C為矩形，且PQ＝π，F(xiàn)P＝l，則幾何體Z1的體積為()A．πL2 B．πL3C．eq\f(1,2)πL2 D．eq\f(1,2)πL3解析：選C.由題意可知，在高為L(zhǎng)處，幾何體Z和Z1的水平截面面積相等，為πL，所以S矩形BB1C1C＝πL，所以BC＝L，所以V三棱柱ABC-A1B1C1＝S△ABC·π＝eq\f(1,2)πL2，故選C.10．(2019·重慶市七校聯(lián)合考試)已知正三棱錐的高為6，內(nèi)切球(與四個(gè)面都相切)的表面積為16π，則其底面邊長(zhǎng)為()A．18 B．12C．6eq\r(3) D．4eq\r(3)解析：選B.由題意知，球心在三棱錐的高PE上，設(shè)內(nèi)切球的半徑為R，則S球＝4πR2＝16π，所以R＝2，所以O(shè)E＝OF＝2，OP＝4.在Rt△OPF中，PF＝eq\r(OP2－OF2)＝2eq\r(3).因?yàn)椤鱋PF∽△DPE，所以eq\f(OF,DE)＝eq\f(PF,PE)，得DE＝2eq\r(3)，AD＝3DE＝6eq\r(3)，AB＝eq\f(2,\r(3))AD＝12.故選B.11．(多選)在正方體上任意選擇4個(gè)頂點(diǎn)，它們可能是如下幾種幾何圖形的4個(gè)頂點(diǎn)，這些幾何圖形可以是()A．矩形B．有三個(gè)面為等腰直角三角形，有一個(gè)面為等邊三角形的四面體C．每個(gè)面都是直角三角形的四面體D．每個(gè)面都是等邊三角形的四面體解析：選ABCD.4個(gè)頂點(diǎn)連成矩形的情形顯然成立；圖(1)中四面體A1-D1B1A是B中描述的情形；圖(2)中四面體D-A1C1B是D中描述的情形；圖(3)中四面體A1-D1B1D是C中描述的情形．12．(多選)如圖，已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為2，則下列四個(gè)結(jié)論正確的是()A．直線A1C1與AD1為異面直線B．A1C1∥平面ACD1C．BD1⊥ACD．三棱錐D1-ADC的體積為eq\f(8,3)解析：選ABC.對(duì)于A，直線A1C1?平面A1B1C1D1，AD1?平面ADD1A1，D1?直線A1C1，則易得直線A1C1與AD1為異面直線，故A正確；對(duì)于B，因?yàn)锳1C1∥AC，A1C1?平面ACD1，AC?平面ACD1，所以A1C1∥平面ACD1，故B正確；對(duì)于C，連接BD，因?yàn)檎襟wABCD-A1B1C1D1中，AC⊥BD，AC⊥DD1，BD∩DD1＝D，所以AC⊥平面BDD1，所以BD1⊥AC，故C正確；對(duì)于D，三棱錐D1-ADC的體積V三棱錐D1-ADC＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×2×2×2＝eq\f(4,3)，故D錯(cuò)誤．13．(多選)如圖，AB為圓O的直徑，點(diǎn)E，F(xiàn)在圓O上，AB∥EF，矩形ABCD所在平面和圓O所在平面垂直，且AB＝2，AD＝EF＝1.則()A．平面BCF⊥平面ADFB．EF⊥平面DAFC．△EFC為直角三角形D．VC-BEF∶VF-ABCD＝1∶4解析：選AD.因BF⊥AF，BF⊥DA，所以BF⊥平面DAF，所以平面BCF⊥平面ADF，由題意可知，平面CBF將幾何體EFABCD分成的兩個(gè)錐體的體積分別為V四棱錐F-ABCD，V三棱錐F-CBE.過點(diǎn)F作FG⊥AB于點(diǎn)G，因?yàn)槠矫鍭BCD⊥平面ABEF，平面ABCD∩平面ABEF＝AB，F(xiàn)G?平面ABEF，所以FG⊥平面ABCD.所以V四棱錐F-ABCD＝eq\f(1,3)×1×2×FG＝eq\f(2,3)FG，V三棱錐F-BCE＝V三棱錐C-BEF＝eq\f(1,3)×S△BEF×CB＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×FG×1×1＝eq\f(1,6)FG，由此可得V三棱錐C-BEF∶V四棱錐F-ABCD＝1∶4.二、填空題14．(一題多解)(2019·淄博市第一次模擬測(cè)試)底面邊長(zhǎng)為6，側(cè)面為等腰直角三角形的正三棱錐的高為________．解析：法一：由題意得，三棱錐的側(cè)棱長(zhǎng)為3eq\r(2)，設(shè)正三棱錐的高為h，則eq\f(1,3)×eq\f(1,