材料力學(xué)課件

組合變形一、組合變形的概念（Conceptsofcombineddeformation）

構(gòu)件在荷載作用下發(fā)生兩種或兩種以上的基本變形,則構(gòu)件的變形稱為組合變形.二、解決組合變形問(wèn)題的基本方法－疊加法

（Basicmethodforslovingcombineddeformation-superpositionmethod）

疊加原理的成立要求:內(nèi)力、應(yīng)力、應(yīng)變、變形等與外力之間成線性關(guān)系.§8-1

組合變形和疊加原理（Combineddeformationandsuperpositionmethod）水壩qPhg三、工程實(shí)例（Engineeringexamples）

abcABPF1F2xzyMPRzxyPP1.外力分析（Analysisofexternalforce）

將外力向形心簡(jiǎn)化并沿形心主慣性軸分解，轉(zhuǎn)化為相當(dāng)載荷，將組合變形分解為基本變形,使之每種相當(dāng)載荷（力或力偶）對(duì)應(yīng)一種基本變形。3.應(yīng)力分析（Stressanalysis）畫(huà)出危險(xiǎn)截面的應(yīng)力分布圖,利用疊加原理將基本變形下的應(yīng)力和變形疊加,建立危險(xiǎn)點(diǎn)的強(qiáng)度條件四、處理組合變形的基本方法（Basicmethodforsolvingcombineddeformation）2.內(nèi)力分析（Analysisofinternalforce）

求每種相當(dāng)載荷對(duì)應(yīng)的內(nèi)力方程和內(nèi)力圖,確定危險(xiǎn)截面.分別計(jì)算在每一種基本變形下構(gòu)件的應(yīng)力和變形。=++=+xyzP一、斜彎曲：桿件產(chǎn)生彎曲變形，但彎曲后，撓曲線與外力（橫向力）不共面。二、斜彎曲的研究方法：1.分解：將外載沿橫截面的兩個(gè)形心主軸分解，于是得到兩個(gè)正交的平面彎曲。PyPzPzPyyzPj§8–2斜彎曲2.疊加：對(duì)兩個(gè)平面彎曲進(jìn)行研究；然后將計(jì)算結(jié)果疊加起來(lái)。xyzPyPzPPzPyyzPj解：1.將外載沿橫截面的形心主軸分解2.研究?jī)蓚€(gè)平面彎曲①內(nèi)力xyzPyPzPLmmx其中：PzPyyzPj②應(yīng)力My引起的應(yīng)力：Mz引起的應(yīng)力：合應(yīng)力：PzPyyzPjxyzPyPzPLmmx④某一截面的最大正應(yīng)力（如m-m截面）③中性軸方程（m-m截面）可見(jiàn)：只有當(dāng)Iy=Iz時(shí)，中性軸與外力才垂直。在中性軸兩側(cè)，距中性軸最遠(yuǎn)的點(diǎn)為拉壓最大正應(yīng)力點(diǎn)。PzPyyzPjD1D2a中性軸圓形：矩形：ffzfyb⑥變形計(jì)算當(dāng)

=

時(shí)，即為平面彎曲。PzPyyzPjD1D2a中性軸由于危險(xiǎn)點(diǎn)處仍為單向應(yīng)力狀態(tài),因此,求得最大正應(yīng)力后,建立的強(qiáng)度條件為式中各項(xiàng)都是x的函數(shù)⑤強(qiáng)度條件（Strengthcondition)圓形：矩形：一、受力特點(diǎn)（Characterofexternalforce）

桿件將發(fā)生軸向拉伸（壓縮）與彎曲組合變形

作用在桿件上的外力既有軸向拉(壓)力,還有橫向力二、變形特點(diǎn)（Characterofdeformation）§8-3拉伸（或壓縮）與彎曲的組合（Combinedaxialloadingandbending）F1

產(chǎn)生彎曲變形F2

產(chǎn)生拉伸變形F1F2F2三、內(nèi)力分析（Analysisofinternalforce）

橫截面上內(nèi)力（internalforceoncrosssection）

2.彎曲

1.拉(壓):軸力FN

（axialforce）彎矩

Mz

（bendingmoment）剪力Fs（shearforce）

因?yàn)榧袅s引起的切應(yīng)力較小,故一般不考慮.

xyOzFNMzFS

橫截面上一點(diǎn)A（z,y）處的正應(yīng)力計(jì)算公式為四、應(yīng)力分析（Analysisofstress）

1.拉伸正應(yīng)力（Axialnormalstress）

2.彎曲正應(yīng)力（Bendingnormalstress）xyOzMzFN(z,y)AA（z,y）處的正應(yīng)力橫截面上任意一點(diǎn)處的正應(yīng)力計(jì)算公式為擴(kuò)展：

軸力（axialforce）

所以跨中截面是桿的危險(xiǎn)截面F1F2F2l/2l/23.危險(xiǎn)截面的確定（Determinethedangercrosssection）

作內(nèi)力圖

彎矩（bendingmoment）xxFN圖Mz圖F2F1l/4

拉伸正應(yīng)力

最大彎曲正應(yīng)力

桿危險(xiǎn)截面下邊緣各點(diǎn)處上的拉應(yīng)力為4.計(jì)算危險(xiǎn)點(diǎn)的應(yīng)力（Calculatingstressofthedangerpoint）F1F2F2l/2l/2

-

當(dāng)材料的許用拉應(yīng)力和許用壓應(yīng)力不相等時(shí),應(yīng)分別建立桿件的抗拉和抗壓強(qiáng)度條件.五、強(qiáng)度條件（Strengthcondition）

由于危險(xiǎn)點(diǎn)處的應(yīng)力狀態(tài)仍為單向應(yīng)力狀態(tài),故其強(qiáng)度條件為:圓形：矩形：式中各項(xiàng)都是x的函數(shù)例題1懸臂吊車(chē)如圖所示,橫梁用20a工字鋼制成.其抗彎剛度Wz

=237cm3,橫截面面積A=35.5cm2,總荷載F=34kN,橫梁材料的許用應(yīng)力為[

]=125MPa.校核橫梁AB的強(qiáng)度.FACD1.2m1.2mB30°BADFFRAyFRAxFyFxFNAB30°解：（1）分析AB的受力情況AB桿為平面彎曲與軸向壓縮組合變形

中間截面為危險(xiǎn)截面.最大壓應(yīng)力發(fā)生在該截面的上邊緣（2）壓縮正應(yīng)力（3）最大彎曲正應(yīng)力（4）危險(xiǎn)點(diǎn)的應(yīng)力FACD1.2m1.2m30°BBADFFRAyFRAxFyFxFNAB30°例題2小型壓力機(jī)的鑄鐵框架如圖所示.已知材料的許用拉應(yīng)力[

t]=30MPa,許用壓應(yīng)力[

c]=160MPa.試按立柱的強(qiáng)度確定壓力機(jī)的許可壓力F.yzz0z15050150150350FF解：（1）確定形心位置A=1510-3m2z0=7.5cmIy

=5310cm4

計(jì)算截面對(duì)中性軸y

的慣性矩yzz0z15050150150350FFFnnFNMy（2）分析立柱橫截面上的內(nèi)力和應(yīng)力

在n-n

截面上有軸力FN及彎矩Mynn350FFyzz0/p>

由軸力FN產(chǎn)生的拉伸正應(yīng)力為FnnFNMynnyzz0z1350FF5050150150

由彎矩My產(chǎn)生的最大彎曲正應(yīng)力為5050150150yzz0z1拉nn350FFFnnFNMy（3）疊加在截面內(nèi)側(cè)有最大拉應(yīng)力[F]45.1kN5050150150yzz0z1拉壓nn350FFFnnFNMy

在截面外側(cè)有最大壓應(yīng)力[F]171.3kN[F]45.1kN所以取5050150150yzz0z1拉壓nn350FFFnnFNMy例題3正方形截面立柱的中間處開(kāi)一個(gè)槽,使截面面積為原來(lái)截面面積的一半.求開(kāi)槽后立柱的的最大壓應(yīng)力是原來(lái)不開(kāi)槽的幾倍.FFaaaa11FFa/2未開(kāi)槽前立柱為軸向壓縮解：Faa開(kāi)槽后1-1是危險(xiǎn)截面危險(xiǎn)截面為偏心壓縮將力F

向1-1形心簡(jiǎn)化未開(kāi)槽前立柱的最大壓應(yīng)力開(kāi)槽后立柱的最大壓應(yīng)力§8-3

偏心拉（壓）（Eccentricloads）1.定義（Definition）當(dāng)外力作用線與桿的軸線平行但不重合時(shí),將引起軸向拉伸（壓縮）和平面彎曲兩種基本變形.O1yzF一、偏心拉（壓）

（Eccentricloads）A(yF,zF)2.以橫截面具有兩對(duì)稱軸的等直桿承受偏心拉力F

為例

（1）將外力向截面形心簡(jiǎn)化,使每個(gè)力（或力偶）只產(chǎn)生一種基本變形形式O1yzA(yF,zF)F軸向拉力F力偶矩M=Fe，將M向y軸和z軸分解xyzFeFFeα

F

使桿發(fā)生拉伸變形

My

使桿發(fā)生xOz平面內(nèi)的彎曲變形（y為中性軸）

Mz

使桿發(fā)生

xOy平面內(nèi)的彎曲變形（z

為中性軸）yzO1FxMyMz

二、任意橫截面n-n上的內(nèi)力分析（Analysisofinternalforceonanycrosssectionn-n）

軸力FN=FyO1MyMznnyzMyMzFN彎矩F三、任意橫截面n-n

上C點(diǎn)的應(yīng)力分析（StressanalysisatpointConcrosssectionn-n）yzMyMzFN由F產(chǎn)生的正應(yīng)力由My

產(chǎn)生的正應(yīng)力由Mz

產(chǎn)生的正應(yīng)力(y,z)C由于C

點(diǎn)在第一象限內(nèi),根據(jù)桿件的變形可知,

由疊加原理,得C點(diǎn)處的正應(yīng)力為

均為拉應(yīng)力

式中A為橫截面面積;

Iy

,Iz

分別為橫截面對(duì)y軸和z

軸的慣性矩;（zF，yF

）為力F

作用點(diǎn)的坐標(biāo);（z，y）為所求應(yīng)力點(diǎn)的坐標(biāo).yzMyMzFN(y,z)C橫截面上任意一點(diǎn)處的正應(yīng)力計(jì)算公式為四、中性軸的位置（Thelocationofneutralaxis）

令

y0,z0

代表中性軸上任一點(diǎn)的坐標(biāo),即得中性軸方程O(píng)z中性軸y在偏心拉伸(壓縮)情況下,中性軸是一條不通過(guò)截面形心的直線討論:

六、強(qiáng)度條件（Strengthcondition）由于危險(xiǎn)點(diǎn)處仍為單向應(yīng)力狀態(tài),因此,求得最大正應(yīng)力后,建立的強(qiáng)度條件為五、某一截面的最大正應(yīng)力圓形：矩形：圓形：矩形：式中各項(xiàng)都是x的函數(shù)當(dāng)材料的許用拉應(yīng)力和許用壓應(yīng)力不相等時(shí),應(yīng)分別建立桿件的抗拉和抗壓強(qiáng)度條件.laABCF研究對(duì)象（researchobject）

圓截面桿（circularbars）受力特點(diǎn)（characterofexternalforce）桿件同時(shí)承受轉(zhuǎn)矩和橫向力（力和力偶）作用變形特點(diǎn)（characterofdeformation）發(fā)生扭轉(zhuǎn)和彎曲兩種基本變形§8-4

扭轉(zhuǎn)與彎曲的組合（Combinedbendingandtorsion）一、內(nèi)力分析

（Analysisofinternalforce）

設(shè)一直徑為d

的等直圓桿AB,B端具有與AB成直角的剛臂.研究AB桿的內(nèi)力.

將力F

向AB

桿右端截面的形心B簡(jiǎn)化得

橫向力F

（引起平面彎曲）

力偶矩m=Fa

（引起扭轉(zhuǎn)）AB

桿為彎曲與扭轉(zhuǎn)組合變形BAFmxlaABCF

畫(huà)內(nèi)力圖確定危險(xiǎn)截面

固定端A截面為危險(xiǎn)截面AAFmmFlA截面

C3C4T

C3C4

C2C1二、應(yīng)力分析（Stressanalysis）

危險(xiǎn)截面上的危險(xiǎn)點(diǎn)為C1

和C2

點(diǎn)最大扭轉(zhuǎn)切應(yīng)力

發(fā)生在截面周邊上的各點(diǎn)處.

C2C1危險(xiǎn)截面上的最大彎曲正應(yīng)力

發(fā)生在C1

、C2處

對(duì)于許用拉壓應(yīng)力相等的塑性材料制成的桿,這兩點(diǎn)的危險(xiǎn)程度是相同的.可取任意點(diǎn)C1

來(lái)研究.C1點(diǎn)處于平面應(yīng)力狀態(tài),該點(diǎn)的單元體如圖示C1

三、強(qiáng)度分析（Analysisofstrengthcondition）1.主應(yīng)力計(jì)算（Calculatingprincipalstress）C1

2.相當(dāng)應(yīng)力計(jì)算（Calculatingequalstress）第三強(qiáng)度理論,計(jì)算相當(dāng)力第四強(qiáng)度理論,計(jì)算相當(dāng)應(yīng)力

3.強(qiáng)度校核（Checkthestrength）

該公式適用于圖示的平面應(yīng)力狀態(tài).

是危險(xiǎn)點(diǎn)的正應(yīng)力,

是危險(xiǎn)點(diǎn)的切應(yīng)力.且橫截面不限于圓形截面討論C1

該公式適用于彎扭組合變形;拉（壓）與扭轉(zhuǎn)的組合變形;以及拉（壓）扭轉(zhuǎn)與彎曲的組合變形（1）

該公式中σ，

是危險(xiǎn)點(diǎn)的應(yīng)力。彎扭組合變形時(shí),相應(yīng)的相當(dāng)應(yīng)力表達(dá)式可改寫(xiě)為（2）對(duì)于圓形截面桿有C1

式中W為桿的抗彎截面系數(shù).M,T分別為危險(xiǎn)截面的彎矩和扭矩.以上兩式只適用于彎扭組合變形下的圓截面桿.強(qiáng)度校核（Checkthestrength）式中W為桿的抗彎截面系數(shù).Mz,My,T分別為危險(xiǎn)截面的彎矩和扭矩.以上兩式只適用于彎扭組合變形下的圓截面桿.當(dāng)Mz,My,T的最大值不在一個(gè)平面時(shí)，或W為變量。式中各項(xiàng)都是x的函數(shù)例題7空心圓桿AB和CD桿焊接成整體結(jié)構(gòu),受力如圖.AB桿的外徑D=140mm,內(nèi)外徑之比α=d/D=0.8,材料的許用應(yīng)力[

]=

160MPa.試用第三強(qiáng)度理論校核AB桿的強(qiáng)度ABCD1.4m0.6m15kN10kN0.8mABFＭe解:（1）外力分析將力向AB桿的B截面形心簡(jiǎn)化得

AB桿為扭轉(zhuǎn)和平面彎曲的組合變形ABFMe+15kN·m（2）內(nèi)力分析－畫(huà)扭矩圖和彎矩圖固定端截面為危險(xiǎn)截面-20kN·m例題8傳動(dòng)軸如圖所示.在A處作用一個(gè)外力偶矩Me=1kN·m,皮帶輪直徑D=300mm,皮帶輪緊邊拉力為F1,松邊拉力為F2.且F1=2F2,l=200mm,軸的許用應(yīng)力[

]=160MPa.試用第三強(qiáng)度理論設(shè)計(jì)軸的直徑zF1F2xyABl/2l/2MeMeMeCF=3F2解:（1）外力分析將力向軸的形心簡(jiǎn)化

軸產(chǎn)生扭轉(zhuǎn)和垂直縱向?qū)ΨQ面內(nèi)的平面彎曲+T=1kN·m+中間截面為危險(xiǎn)截面1kN·mMeMeCF=3F2（2）內(nèi)力分析－畫(huà)扭矩圖和彎矩圖例題9圖示一鋼制實(shí)心圓軸,軸上的齒輪C上作用有鉛垂切向力5kN,徑向力1.82kN;齒輪D上作用有水平切向力10kN,徑向力3.64

kN.齒輪

C

的節(jié)圓直徑d1=400mm,齒輪D

的節(jié)圓直徑d2=200mm.設(shè)許用應(yīng)力

=100MPa,試按第四強(qiáng)度理論求軸的直徑.BACDyz5kN10kN300mm300mm100mmx1.82kN3.64kNCD解:（1）外力的簡(jiǎn)化將每個(gè)齒輪上的外力向該軸的截面形心簡(jiǎn)化BACDyz5kN10kN300mm300mm100mmx1.82kN3.64kNxyzACBD5kN1kN·m1.82kN3.64kN10kN1kN·m1kN·m的力偶使軸產(chǎn)生扭轉(zhuǎn)5kN,3.64kN

的力使軸在xz

縱對(duì)稱面內(nèi)產(chǎn)生彎曲

1.82kN,10kN的力使軸在xy縱對(duì)稱面內(nèi)產(chǎn)生彎曲

（2）軸的變形分析T=1kN·m圓桿發(fā)生的是斜彎曲與扭轉(zhuǎn)的組合變形由于通過(guò)圓軸軸線的任一平面都是縱向?qū)ΨQ平面,故軸在xz和xy兩平面內(nèi)彎曲的合成結(jié)果仍為平面彎曲,從而可用總彎矩來(lái)計(jì)算該截面正應(yīng)力C1kN.mT圖-0.57KN.m0.36kN.mMy圖CBxyzACBD5kN1kN·m1.82kN3.64kN10kN1kN·m（3）繪制軸的內(nèi)力圖Mz圖0.227KN.m1kN.mCBB

截面是危險(xiǎn)截面（4）危險(xiǎn)截面上的內(nèi)力計(jì)算1kN·mCT圖-My圖0.57kN·mCB0.36kN·mB和C截面的總彎矩為Mz圖0.227KN.m1kN.mCB（5）由強(qiáng)度條件求軸的直徑軸需要的直徑為例題10F1=0.5kN,F2=1kN,[

]=160MPa.（1）用第三強(qiáng)度理論計(jì)算AB的直徑（2）若AB桿的直徑d=40mm,并在B端加一水平力

F3=20kN,校核AB桿的強(qiáng)度.F1F2ABCD400400400F1F2ABC400400Me解:將F2向AB桿的軸線簡(jiǎn)化得AB為彎扭組合變形F1F2ABCD400400400固定端截面是危險(xiǎn)截面F3AB

為彎,扭與拉伸組合變形

固定端截面是危險(xiǎn)截面（2）在B

端加拉力F3F3F1F2ABC400400MeF1F2ABCD400400400固定端截面最大的正應(yīng)力為最大切應(yīng)力為F3F3F1F2ABC400400MeF1F2ABCD400400400由第三強(qiáng)度理論軸向拉伸和壓縮

§2-1

軸向拉壓的概念及實(shí)例(Conceptsandexampleproblemsofaxialtension&compression)一、工程實(shí)例

(Engineeringexamples)

三、變形特點(diǎn)(Characterofdeformation)

沿軸向伸長(zhǎng)或縮短二、受力特點(diǎn)(Characterofexternalforce)

外力的合力作用線與桿的軸線重合四、計(jì)算簡(jiǎn)圖(Simplediagramforcalculating)

FFFF

軸向壓縮(axialcompression)

軸向拉伸(axialtension)mmFF一、求內(nèi)力

(Calculatinginternalforce)

設(shè)一等直桿在兩端軸向拉力

F

的作用下處于平衡,欲求桿件橫截面

m-m上的內(nèi)力.

§2–2

內(nèi)力計(jì)算

(Calculationofinternalforce)

在求內(nèi)力的截面m-m

處，假想地將桿截為兩部分.

取左部分部分作為研究對(duì)象.棄去部分對(duì)研究對(duì)象的作用以截開(kāi)面上的內(nèi)力代替，合力為FN.mmFFN1.截面法(Methodofsections)（1）截開(kāi)mmFF（2）代替

對(duì)研究對(duì)象列平衡方程FN

=F

式中：FN

為桿件任一橫截面

m-m上的內(nèi)力.與桿的軸線重合，即垂直于橫截面并通過(guò)其形心,稱為軸力(axialforce).（3）平衡mmFFmmFFNFN

若取右側(cè)為研究對(duì)象，則在截開(kāi)面上的軸力與部分左側(cè)上的軸力數(shù)值相等而指向相反.mmFFmmFFNmFm2.軸力符號(hào)的規(guī)定

(Signconventionforaxialforce)FNmFFmmFFNmFm（1）若軸力的指向背離截面，則規(guī)定為正的，稱為拉力(tensileforce).（2）若軸力的指向指向截面，則規(guī)定為負(fù)的，稱為壓力(compressiveforce).二、軸力圖(Axialforcediagram)

用平行于桿軸線的坐標(biāo)表示橫截面的位置,用垂直于桿軸線的坐標(biāo)表示橫截面上的軸力數(shù)值,從而繪出表示軸力與橫截面位置關(guān)系的圖線,稱為軸力圖.將正的軸力畫(huà)在x軸上側(cè),負(fù)的畫(huà)在x軸下側(cè).xFNO例題1一等直桿其受力情況如圖所示，作桿的軸力圖.

CABD600300500400E40kN55kN25kN20kNCABD600300500400E40kN55kN25kN20kNCABDE40kN55kN25kN20kNFRA解:

求支座反力

求AB段內(nèi)的軸力FRAFN1CABDE40kN55kN25kN20kNFRA1

求BC段內(nèi)的軸力

FRA40kNFN220kNCABDE40kN55kN25kNFRA2

FN3求CD段內(nèi)的軸力20kN25kNCABDE40kN55kN25kN20kNFRA3求DE段內(nèi)的軸力20kNFN440kN55kN25kN20kNFRA4FN1=10kN（拉力）FN2=50kN（拉力）FN3=-5kN（壓力）FN4=20kN（拉力）

發(fā)生在BC段內(nèi)任一橫截面上50kN10kN5kN20kN++CABD600300500400E40kN55kN25kN20kN解：x坐標(biāo)向右為正，坐標(biāo)原點(diǎn)在自由端。取左側(cè)x段為對(duì)象，內(nèi)力FN(x)為：qq

LxO[例2]圖示桿長(zhǎng)為L(zhǎng)，受分布力q=kx

作用，方向如圖，試畫(huà)出桿的軸力圖。Lq(x)FNxq(x)FNxO–

§2-3

應(yīng)力及強(qiáng)度條件(Stressandstrengthcondition)一、橫截面上的正應(yīng)力(Normalstressoncrosssection)FFabcd1.變形現(xiàn)象(Deformationphenomenon)（1）橫向線ab和cd仍為直線,且仍然垂直于軸線;

（2）ab和cd分別平行移至a'b'和c'd',且伸長(zhǎng)量相等.

結(jié)論：各纖維的伸長(zhǎng)相同,所以它們所受的力也相同.FFabcd

2.平面假設(shè)

(Planeassumption)

變形前原為平面的橫截面,在變形后仍保持為平面,且仍垂直于軸線.3.內(nèi)力的分布(Thedistributionofinternalforce)F

FN

均勻分布(uniformdistribution)

式中,FN

為軸力,A

為桿的橫截面面積,

的符號(hào)與軸力FN

的符號(hào)相同.當(dāng)軸力為正號(hào)時(shí)（拉伸）,正應(yīng)力也為正號(hào),稱為拉應(yīng)力;當(dāng)軸力為負(fù)號(hào)時(shí)（壓縮）,正應(yīng)力也為負(fù)號(hào),稱為壓應(yīng)力.4.正應(yīng)力公式(Formulafornormalstress)Fkk

F

二、斜截面上的應(yīng)力（Stressonaninclinedplane)

1.斜截面上的應(yīng)力（Stressonaninclinedplane）FkkFαpα

以pα表示斜截面k-k上的應(yīng)力，于是有沿截面法線方向的正應(yīng)力

沿截面切線方向的切應(yīng)力

將應(yīng)力pα分解為兩個(gè)分量：pαFkk

FFkkxn

pα

（1）α角2.符號(hào)的規(guī)定(Signconvention)（2）正應(yīng)力拉伸為正壓縮為負(fù)（3）切應(yīng)力對(duì)研究對(duì)象任一點(diǎn)取矩

pαFkk

FFkkxn

pα順時(shí)針為正逆時(shí)針為負(fù)逆時(shí)針時(shí)

為正號(hào)順時(shí)針時(shí)

為負(fù)號(hào)自x

轉(zhuǎn)向n

（1）當(dāng)

=0°

時(shí)，（2）當(dāng)

=45°時(shí)，

（3）當(dāng)

=-45°

時(shí)，（4）當(dāng)

=90°時(shí)，討論xnFkk

三、強(qiáng)度條件(Strengthcondition)

桿內(nèi)的最大工作應(yīng)力不超過(guò)材料的許用應(yīng)力1.數(shù)學(xué)表達(dá)式(Mathematicalformula)2.強(qiáng)度條件的應(yīng)用(Applicationofstrengthcondition)（2）設(shè)計(jì)截面（1）強(qiáng)度校核（3）確定許可荷載例題3一橫截面為正方形的磚柱分上、下兩段,其受力情況,各段長(zhǎng)度及橫截面面積如圖所示.已知F=50kN，試求荷載引起的最大工作應(yīng)力.FABCFF3000400037024021解：（1）作軸力圖FABCFF300040003702402150kN150kN（2）求應(yīng)力結(jié)論：

在柱的下段，其值為1.1MPa，是壓應(yīng)力.例題4簡(jiǎn)易起重設(shè)備中，AC桿由兩根80

80

7等邊角鋼組成，AB桿由兩根10號(hào)工字鋼組成.材料為Q235鋼，許用應(yīng)力[

]=170MPa.求許可荷載[F].ABCF1m30。解：（1）取結(jié)點(diǎn)A為研究對(duì)象，受力分析如圖所示.ABCF1m30°FAxyFN1FN230。結(jié)點(diǎn)A的平衡方程為由型鋼表查得FAxyFN1FN230。得到（2）許可軸力為（3）各桿的許可荷載（4）結(jié)論：許可荷載[F]=184.6kN例5圖示拉桿沿mn由兩部分膠合而成,受力P，設(shè)膠合面的許用拉應(yīng)力為[

]=100MPa

；許用剪應(yīng)力為[

]=50MPa

，并設(shè)桿的強(qiáng)度由膠合面控制,桿的橫截面積為A=4cm2，試問(wèn):為使桿承受最大拉力,

角值應(yīng)為多大?(規(guī)定:

在0~60度之間)。聯(lián)立(1)、(2)得：PPmna解：Pa6030B(1)、(2)式的曲線如圖(2)，顯然，B點(diǎn)左側(cè)由剪應(yīng)力控制桿的強(qiáng)度，B點(diǎn)右側(cè)由正應(yīng)力控制桿的強(qiáng)度，當(dāng)a=60°時(shí)，由(2)式得解(1)、(2)曲線交點(diǎn)處：討論：若Pa6030B11.試驗(yàn)條件(Testconditions）

§2-4

材料在拉伸和壓縮時(shí)的力學(xué)性能(Mechanicalpropertiesofmaterialsinaxialtensionandcompression)一、實(shí)驗(yàn)方法(Testmethod)（1）常溫:室內(nèi)溫度（2）靜載:以緩慢平穩(wěn)的方式加載（3）標(biāo)準(zhǔn)試件：采用國(guó)家標(biāo)準(zhǔn)統(tǒng)一規(guī)定的試件2.試驗(yàn)設(shè)備(Testinstruments)

（1）微機(jī)控制電子萬(wàn)能試驗(yàn)機(jī)

（2）游標(biāo)卡尺二、拉伸試驗(yàn)(Tensiletests)

先在試樣中間等直部分上劃兩條橫線這一段桿稱為標(biāo)距

l

(originalgagelength).l=10d

或l=5d

1.低碳鋼拉伸時(shí)的力學(xué)性質(zhì)(Mechanicalpropertiesforalow-carbonsteelintension)（1）拉伸試樣dl標(biāo)距（2）拉伸圖(F-

l

曲線)

拉伸圖與試樣的尺寸有關(guān).為了消除試樣尺寸的影響，把拉力F除以試樣的原始面積A，得正應(yīng)力；同時(shí)把

l除以標(biāo)距的原始長(zhǎng)度l

，得到應(yīng)變.

表示F和

l關(guān)系的曲線，稱為拉伸圖(tensiondiagram)FOΔlefhabcdd′gf′Δl0

p（3）應(yīng)力應(yīng)變圖表示應(yīng)力和應(yīng)變關(guān)系的曲線，稱為應(yīng)力-應(yīng)變圖(stress-straindiagram)

（a）彈性階段

試樣的變形完全彈性的.此階段內(nèi)的直線段材料滿足胡克定律(Hooke’slaw)

比例極限(proportionallimit)

fOf′h

ab點(diǎn)是彈性階段的最高點(diǎn).彈性極限(elasticlimit)（b）屈服階段

當(dāng)應(yīng)力超過(guò)b點(diǎn)后，試樣的荷載基本不變而變形卻急劇增加，這種現(xiàn)象稱為屈服(yielding).

p

fOf′h

ab

ec點(diǎn)為屈服極限

屈服極限(yieldingstrength)

s

b（c）強(qiáng)化階段

過(guò)屈服階段后，材料又恢復(fù)了抵抗變形的能力，要使它繼續(xù)變形必須增加拉力.這種現(xiàn)象稱為材料的強(qiáng)化(hardening)

e點(diǎn)是強(qiáng)化階段的最高點(diǎn)

強(qiáng)度極限(ultimateStrength)

e

p

fOf′h

abce（d）局部變形階段

過(guò)e點(diǎn)后，試樣在某一段內(nèi)的橫截面面積顯箸地收縮，出現(xiàn)頸縮

(necking)現(xiàn)象，一直到試樣被拉斷.

s

b

e

p

fOf′h

abce

試樣拉斷后，彈性變形消失，塑性變形保留，試樣的長(zhǎng)度由l變?yōu)閘1，橫截面積原為A

，斷口處的最小橫截面積為A1.

斷面收縮率

(percentreductioninarea)

伸長(zhǎng)率(percentelongation)

≧5%的材料，稱作塑性材料(ductilematerials)

<5%的材料，稱作脆性材料

(brittlematerials)（4）伸長(zhǎng)率和端面收縮率（5）卸載定律及冷作硬化卸載定律(unloading

law)

若加栽到強(qiáng)化階段的某一點(diǎn)d停止加載,并逐漸卸載,在卸載過(guò)程中,荷載與試樣伸長(zhǎng)量之間遵循直線關(guān)系的規(guī)律稱為材料的卸載定律(unloading

law).

abcefOgf′hεd′d

在常溫下把材料預(yù)拉到強(qiáng)化階段然后卸載,當(dāng)再次加載時(shí),試樣在線彈性范圍內(nèi)所能承受的最大荷載將增大.這種現(xiàn)象稱為冷作硬化冷作硬化

e-彈性應(yīng)變(elasticstrain)

p-塑性應(yīng)變(plasticstrain)

abcdefOd′gf′h

e

pd2.無(wú)明顯屈服極限的塑性材料

(Ductilematerialswithoutclearingdefinedyieldpoint)

s0.23.鑄鐵拉伸時(shí)的機(jī)械性能

ｂ-鑄鐵拉伸強(qiáng)度極限(Mechanicalpropertiesforacastironintension)e

0.2%s割線斜率名義屈服應(yīng)力用

表示.O

/MPa/%e

ｂα三、材料壓縮時(shí)的力學(xué)性能(Mechanicalpropertiesofmaterialsinaxialcompression)

1.實(shí)驗(yàn)試樣

(Testspecimen)2.低碳鋼壓縮時(shí)的s-e曲線(Stress-straincurveforalow-carbonsteelincompression)dhFFFF

sO

e

壓縮的實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明

低碳鋼壓縮時(shí)的彈性模量E屈服極限

s都與拉伸時(shí)大致相同.

屈服階段后,試樣越壓越扁,橫截面面積不斷增大,試樣不可能被壓斷,因此得不到壓縮時(shí)的強(qiáng)度極限.3.鑄鐵壓縮時(shí)的s-e曲線(Stress-straincurveforcastironincompression)O

/%e

ｂ

鑄鐵壓縮時(shí)破壞端面與橫截面大致成45°～55°傾角,表明這類(lèi)試樣主要因剪切而破壞,鑄鐵的抗壓強(qiáng)度極限是抗拉強(qiáng)度極限的4～5倍.

以大于1的因數(shù)除極限應(yīng)力,并將所得結(jié)果稱為許用應(yīng)力,用[

]表示.2.許用應(yīng)力(Allowablestress)1.極限應(yīng)力(Ultimatestress)四、安全因數(shù)和許用應(yīng)力

(Factorofsafety&allowablestress)

n—安全因數(shù)(factorofsafety)

塑性材料(ductilematerials)脆性材料

(brittlematerials)

材料的兩個(gè)強(qiáng)度指標(biāo)

s和

b

稱作極限應(yīng)力或危險(xiǎn)應(yīng)力.

五、應(yīng)力集中(Stressconcentrations)開(kāi)有圓孔的板條

因桿件外形突然變化而引起局部應(yīng)力急劇增大的現(xiàn)象，稱為應(yīng)力集中

(stressconcentrations).FFF帶有切口的板條FFF應(yīng)力集中因數(shù)(stress-concentrationfactor)

F同一截面上按凈面積算出的平均應(yīng)力發(fā)生應(yīng)力集中的截面上的最大應(yīng)力六Saint-Venant原理與應(yīng)力集中示意圖(紅色實(shí)線為變形前的線，紅色虛線為紅色實(shí)線變形后的形狀。)變形示意圖：abcPP應(yīng)力分布示意圖：

§2-5

拉壓桿的變形計(jì)算

(Calculationofaxialdeformation)FFbh

一、縱向變形(Axialdeformation)b1ll12.縱向應(yīng)變(Axialstrain)1.縱向變形(Axialdeformation)二、橫向變形(Lateraldeformation)三、泊松比

(Poisson’sratio)

稱為泊松比

(Poisson’sratio)2.橫向應(yīng)變(Lateralstrain)FFbhb1ll11.橫向變形(Lateraldeformation)四、胡克定律

(Hooke’slaw)

式中E

稱為彈性模量(modulusofelasticity)，EA稱為抗拉（壓）剛度(rigidity).

實(shí)驗(yàn)表明工程上大多數(shù)材料都有一個(gè)彈性階段，在此彈性范圍內(nèi)，正應(yīng)力與線應(yīng)變成正比.上式改寫(xiě)為由例題6圖示為一變截面圓桿ABCD.已知F1=20kN，F(xiàn)2=35kNF3=35kN.l1=l3=300mm，l2=400mm.d1=12mm，d2=16mm，d3=24mm.試求：（1）Ⅰ-Ⅰ、Ⅱ-Ⅱ、III-III截面的軸力并作軸力圖（2）桿的最大正應(yīng)力

max（3）B截面的位移及AD桿的變形F1F2F3ⅠⅠⅡⅡⅢⅢl1l2l3ABCD解：求支座反力FRD=-50kNF1F2F3ⅠⅠⅡⅡⅢⅢl1l2l3ABCDFRD（1）Ⅰ-Ⅰ、Ⅱ-Ⅱ、III-III截面的軸力并作軸力圖F1FN1F2F1FN2F1F2F3ⅠⅠⅡⅡⅢⅢl1l2l3ABCDFRDFRDFN320KNFN2=-15kN（-）FN1=20kN（+）FN3=-50kN（-）15KN+-50KNF1F2F3ⅠⅠⅡⅡⅢⅢl1l2l3ABCDFRD（2）桿的最大正應(yīng)力

maxAB段DC段BC段FN2=-15kN(-)FN1=20kN（+）FN3=-50kN(-)F1F2F3ⅠⅠⅡⅡⅢⅢl1l2l3ABCDFRD

max=176.8MPa

發(fā)生在AB段.（3）B截面的位移及AD桿的變形F1F2F3ⅠⅠⅡⅡⅢⅢl1l2l3ABCDFRDC'怎樣畫(huà)小變形放大圖？

變形圖嚴(yán)格畫(huà)法，圖中弧線；

求各桿的變形量△Li

，如圖；

變形圖近似畫(huà)法，圖中弧之切線。ABCL1L2PC"例題7圖所示桿系由兩根鋼桿1和2組成.已知桿端鉸接，兩桿與鉛垂線均成

=30°的角度,長(zhǎng)度均為

l=2m,直徑均為d=25mm,鋼的彈性模量為E=210GPa.設(shè)在點(diǎn)處懸掛一重物F=100kN,試求A點(diǎn)的位移

A.ABC12

ABC12

解：（1）列平衡方程,求桿的軸力FyFN1FN2A12

xA''（2）兩桿的變形為變形的幾何條件相容是變形后，兩桿仍應(yīng)鉸結(jié)在一起.ABC12

ABC12

（伸長(zhǎng)）

以兩桿伸長(zhǎng)后的長(zhǎng)度BA1和CA2

為半徑作圓弧相交于A

,即為A點(diǎn)的新位置.AA

就是A點(diǎn)的位移.A''ABC12

A2A1A

12因變形很小,故可過(guò)A1，A2

分別做兩桿的垂線，相交于A

A

可認(rèn)為A'FAFN1FN2x30°yA1例題8圖示三角形架AB和AC桿的彈性模量

E=200GPaA1=2172mm2，A2=2548mm2.求當(dāng)F=130kN時(shí)節(jié)點(diǎn)的位移.2mABCF30°12解：(1)由平衡方程得兩桿的軸力1桿受拉,2桿受壓A2（2）兩桿的變形30°AA1A2A'30°AA3

為所求A點(diǎn)的位移A12mABCF30°12A2A3一、靜定與超靜定問(wèn)題(Staticallydeterminate&indeterminateproblem)

§2-6

拉壓超靜定問(wèn)題

(Staticallyindeterminateproblemofaxiallyloadedmembers)1.靜定問(wèn)題(Staticallydeterminateproblem)

桿件的軸力可以用靜力平衡條件求出,這種情況稱作靜定問(wèn)題.2.超靜定問(wèn)題(Staticallyindeterminateproblem)

只憑靜力平衡方程已不能解出全部未知力，這種情況稱做超靜定問(wèn)題.1.超靜定的次數(shù)(Degreesofstaticallyindeterminateproblem)

未知力數(shù)超過(guò)獨(dú)立平衡方程數(shù)的數(shù)目,稱作超靜定的次數(shù).二、超靜定問(wèn)題求解方法

(Solutionmethodsforstaticallyindeterminateproblem）

2.求解超靜定問(wèn)題的步驟(Procedureforsolvingastaticallyindeterminate)（1）確定靜不定次數(shù)；列靜力平衡方程（2）根據(jù)變形協(xié)調(diào)條件列變形幾何方程（3）將變形與力之間的關(guān)系（胡克定律）代入變形幾何方程得補(bǔ)充方程（4）聯(lián)立補(bǔ)充方程與靜力平衡方程求解n=未知力的個(gè)數(shù)－獨(dú)立平衡方程的數(shù)目

例題9設(shè)1，2，3三桿用絞鏈連結(jié)如圖所示，l1=l2=l，A1

=A2=A，E1=E2=E，3桿的長(zhǎng)度l3

,橫截面積A3

,彈性模量E3

。試求在沿鉛垂方向的外力F作用下各桿的軸力.CABDF

123三、一般超靜定問(wèn)題舉例(Examplesforgeneralstaticallyindeterminateproblem)

xyFAFN2FN3FN1解：（1）列平衡方程這是一次超靜定問(wèn)題﹗（2）變形幾何方程

由于問(wèn)題在幾何,物理及受力方面都是對(duì)稱,所以變形后A點(diǎn)將沿鉛垂方向下移.變形協(xié)調(diào)條件是變形后三桿仍絞結(jié)在一起﹗CABDF

123xyFAFN2FN3FN1CABD

123A'

變形幾何方程為

A123┕┕

CABDF

123CABD

123A'A'（3）補(bǔ)充方程物理方程為（4）聯(lián)立平衡方程與補(bǔ)充方程求解CABDF

123

A123┕┕

A'四、溫度應(yīng)力

(Thermalstressesortemperaturestresses)例題11圖示等直桿AB的兩端分別與剛性支承連結(jié).設(shè)兩支承的距離（即桿長(zhǎng)）為l,桿的橫截面面積為A,材料的彈性模量為E,線膨脹系數(shù)為

.試求溫度升高

T時(shí)桿內(nèi)的溫度應(yīng)力.

溫度變化將引起物體的膨脹或收縮.靜定結(jié)構(gòu)可以自由變形,不會(huì)引起構(gòu)件的內(nèi)力,但在超靜定結(jié)構(gòu)中變形將受到部分或全部約束,溫度變化時(shí)往往就要引起內(nèi)力,與之相對(duì)應(yīng)的應(yīng)力稱為熱應(yīng)力(thermalstresses)或溫度應(yīng)力(temperaturestresses).ABl解:

這是一次超靜定問(wèn)題

變形相容條件是桿的總長(zhǎng)度不變.

桿的變形為兩部分,即由溫度升高引起的變形

lT

以及與軸向壓力FR相應(yīng)的彈性變形

lFAB'

lTABlB'AB

lFFRAFRB（1）變形幾何方程（3）補(bǔ)充方程（4）溫度內(nèi)力ABlAB'

lT（2）物理方程由此得溫度應(yīng)力B'AB

lFFRAFRB

圖示桿系,若3桿尺寸有微小誤差,則在桿系裝配好后,各桿將處于圖中位置,因而產(chǎn)生軸力.3桿的軸力為拉力,1.2桿的軸力為壓力.這種附加的內(nèi)力就稱為裝配內(nèi)力.與之相對(duì)應(yīng)的應(yīng)力稱為裝配應(yīng)力

(initialstresses).五、裝配應(yīng)力

(Initialstresses)(Staticallyindeterminatestructurewithamisfit)ABCD

213l

ABCD

213l代表?xiàng)U3的伸長(zhǎng)代表?xiàng)U1或桿2的縮短

代表裝配后A點(diǎn)的位移（1）變形幾何方程（2）物理方程

（3）補(bǔ)充方程

ABCD

213l

（4）平衡方程FN3FN2FN1FN1，F(xiàn)N2，F(xiàn)N3（5）聯(lián)立平衡方程與補(bǔ)充方程求解

例題10兩鑄件用兩根鋼桿1.2連接,其間距為l=200mm.現(xiàn)要將制造得過(guò)長(zhǎng)了

e=0.11mm的銅桿3裝入鑄件之間,并保持三根桿的軸線平行且等間距a,試計(jì)算各桿內(nèi)的裝配應(yīng)力.已知：鋼桿直徑d=10mm,銅桿橫截面積為20

30mm的矩形,鋼的彈性模量E=210GPa,銅的彈性模量E3=100GPa.鑄件很厚,其變形可略去不計(jì),故可看作剛體.ABC12aaB1A1C1l3C1C'

e（1）變形幾何方程為l3C1

eC''

l3ABC12B1C1A1

l1

l2=aax（3）補(bǔ)充方程（4）平衡方程（2）物理方程C'A'B'FN3FN1FN2

聯(lián)立平衡方程與補(bǔ)充方程求解,即可得裝配內(nèi)力，進(jìn)而求出裝配應(yīng)力.一、基本概念和實(shí)例

(Basicconceptsandexamples)1.工程實(shí)例(Engineeringexamples)

（1）螺栓連接(Boltedconnections)§2-7

剪切變形(Sheardeformation)（2）鉚釘連接(Rivetedconnections)FF螺栓(bolt)FF鉚釘(rivet)FF鉚釘(rivet)m軸(shaft)鍵(key)齒輪(gear)（3）鍵塊聯(lián)接(Keyedconnection)（4）銷(xiāo)軸聯(lián)接(Pinnedconnection)FFABddd1d1nn（合力）（合力）FF2.受力特點(diǎn)(Characterofexternalforce)以鉚釘為例

構(gòu)件受兩組大小相等、方向相反、作用線相互很近的平行力系作用.3.變形特點(diǎn)(Characterofdeformation)

構(gòu)件沿兩組平行力系的交界面發(fā)生相對(duì)錯(cuò)動(dòng).4.連接處破壞三種形式:(Threetypesoffailureinconnections)（1）剪切破壞沿鉚釘?shù)募羟忻婕魯?，如沿n-n面剪斷

.（2）擠壓破壞鉚釘與鋼板在相互接觸面上因擠壓而使?jié)哼B接松動(dòng)，發(fā)生破壞.（3）拉伸破壞

鋼板在受鉚釘孔削弱的截面處，應(yīng)力增大，易在連接處拉斷.FnnFS剪切面(shearingplane)nn（合力）（合力）FFmmF剪切面FS二、剪切的應(yīng)力分析

(Analysisofshearingstress)1.內(nèi)力計(jì)算(Calculationofinternalforce)

FS

-

剪力(shearingforce)

FFmm2.切應(yīng)力（Shearingstress）式中，F(xiàn)S-

剪力(shearingforce)

A-剪切面的面積

(areainshear)3.強(qiáng)度條件(Strengthcondition)[

]為材料的許用切應(yīng)力(Allowableshearingstressofamaterial)(factorofsafety)mmF剪切面FFmmn-安全因數(shù)-剪切極限應(yīng)力(ultimateshearingstress)

螺栓與鋼板相互接觸的側(cè)面上,發(fā)生的彼此間的局部承壓現(xiàn)象,稱為擠壓(bearing).三、擠壓的應(yīng)力分析(Analysisofbearingstress)FFFF

在接觸面上的壓力,稱為擠壓力(bearingforce),并記為F

擠壓面剪切面1.擠壓力(Bearingforce)

F=FS（1）螺栓壓扁（2）鋼板在孔緣壓成橢圓2.擠壓破壞的兩種形式

(Twotypesofbearingfailure)FF3.擠壓應(yīng)力(Bearingstress)F

-擠壓力(bearingforce)Abs

-擠壓面的面積(areainbearing)4.強(qiáng)度條件(Strengthcondition)[

bs]-許用擠壓應(yīng)力(allowablebearingstress)擠壓現(xiàn)象的實(shí)際受力如圖所示.（1）當(dāng)接觸面為圓柱面時(shí),擠壓面積Abs為實(shí)際接觸面在直徑平面上的投影面積

dh實(shí)際接觸面直徑投影面擠壓面的面積計(jì)算（2）當(dāng)接觸面為平面時(shí),Abs為實(shí)際接觸面面積.四、強(qiáng)度條件的應(yīng)用(Applicationofstrengthconditions)(Checktheintensity)1.校核強(qiáng)度(Determinetheallowabledimension)2.設(shè)計(jì)截面(Determinetheallowableload)3.求許可載荷解：（1）鍵的受力分析如圖

例題11齒輪與軸由平鍵連接,已知軸的直徑d=70mm,

鍵的尺寸為b×h×L=20×12×100mm,傳遞的扭轉(zhuǎn)力偶矩Me=2kN·m,鍵的許用切應(yīng)力為[

]=60MPa,許用擠壓應(yīng)力為[

bs]=100MPa.試校核鍵的強(qiáng)度.bhlMedFMeh綜上，鍵滿足強(qiáng)度要求.（2）校核剪切強(qiáng)度（3）校核擠壓強(qiáng)度MedFbhlA例題12一銷(xiāo)釘連接如圖所示，已知外力

F=18kN,被連接的構(gòu)件A和B的厚度分別為d=8mm和d1=5mm,銷(xiāo)釘直徑d=15mm,銷(xiāo)釘材料的許用切應(yīng)力為[

]=60MPa,許用擠壓應(yīng)力為[

bs]=200MPa.試校核銷(xiāo)釘?shù)膹?qiáng)度.d1FFAdd1Bdd1FFAdd1Bd解:（1）銷(xiāo)釘受力如圖b所示dF剪切面擠壓面dF擠壓面FFSFS（2）校核剪切強(qiáng)度由截面法得兩個(gè)面上的剪力剪切面積為（3）擠壓強(qiáng)度校核

這兩部分的擠壓力相等，故應(yīng)取長(zhǎng)度為d的中間段進(jìn)行擠壓強(qiáng)度校核.故銷(xiāo)釘是安全的.剪切面DdhF（1）銷(xiāo)釘?shù)募羟忻婷娣eA（2）銷(xiāo)釘?shù)臄D壓面面積Abs

思考題擠壓面DdhF擠壓面剪切面hd

例題13一鉚釘接頭用四個(gè)鉚釘連接兩塊鋼板.鋼板與鉚釘材料相同.鉚釘直徑d=16mm,鋼板的尺寸為b=100mm,d=10mm,F=90kN,鉚釘?shù)脑S用應(yīng)力是[

]=120MPa,[

bs]=120MPa,鋼板的許用拉應(yīng)力[

]=160MPa.試校核鉚釘接頭的強(qiáng)度.FFddFFbFFdd解：（1）校核鉚釘?shù)募羟袕?qiáng)度每個(gè)鉚釘受力為F/4每個(gè)鉚釘受剪面上的剪力為FFbF/4F/4剪切面（2）校核鉚釘?shù)臄D壓強(qiáng)度每個(gè)鉚釘受擠壓力為F/4F/4F/4剪切面擠壓面（3）校核鋼板的拉伸強(qiáng)度FF/4F/4F/4F/4+F3F/4F/4整個(gè)接頭是安全的FF/4F/4F/4F/41122

壓桿穩(wěn)定

第二章中，軸向拉、壓桿的強(qiáng)度條件為

例如:一長(zhǎng)為300mm的鋼板尺,橫截面尺寸為20mm

1mm.鋼的許用應(yīng)力為[

]=196MPa.按強(qiáng)度條件計(jì)算得鋼板尺所能承受的軸向壓力為[F]=A[

]=3.92kN§9–1

壓桿穩(wěn)定的概念

(Thebasicconceptsofcolumns)

實(shí)際上,其承載能力并不取決于軸向壓縮的抗壓強(qiáng)度,而是與受壓時(shí)變彎有關(guān).當(dāng)加的軸向壓力達(dá)到40N時(shí),鋼板尺就突然發(fā)明顯的彎曲變形,喪失了承載能力.一、引言(Introduction)

工程中有些構(gòu)件具有足夠的強(qiáng)度、剛度,卻不一定能安全可靠地工作.構(gòu)件的承載能力①?gòu)?qiáng)度②剛度③穩(wěn)定性二、工程實(shí)例（Exampleproblem）案例120世紀(jì)初，享有盛譽(yù)的美國(guó)橋梁學(xué)家?guī)彀兀═heodoreCooper）在圣勞倫斯河上建造魁比克大橋(QuebecBridge)1907年8月29日，發(fā)生穩(wěn)定性破壞，85位工人死亡，成為上世紀(jì)十大工程慘劇之一.三、失穩(wěn)破壞案例(Buckingexamples)案例21995年6月29日下午，韓國(guó)漢城三豐百貨大樓，由于盲目擴(kuò)建，加層，致使大樓四五層立柱不堪重負(fù)而產(chǎn)生失穩(wěn)破壞使大樓倒塌，死502人，傷930人，失蹤113人.案例32000年10月25日上午10時(shí)南京電視臺(tái)演播中心由于腳手架失穩(wěn)造成屋頂模板倒塌，死6人，傷34人.研究壓桿穩(wěn)定性問(wèn)題尤為重要1.平衡的穩(wěn)定性（Stabilityofequilibrium

）

四、壓桿穩(wěn)定的基本概念(Thebasicconceptsofcolumns)隨遇平衡2.彈性壓桿的穩(wěn)定性(StabilityofEquilibriumappliestoelasticcompressivemembers)—穩(wěn)定平衡狀態(tài)

—臨界平衡狀態(tài)

—不穩(wěn)定平衡狀態(tài)

關(guān)鍵確定壓桿的臨界力

Fcr穩(wěn)定平衡不穩(wěn)定平衡臨界狀態(tài)臨界壓力:Fcr過(guò)度對(duì)應(yīng)的壓力abc五、穩(wěn)定問(wèn)題與強(qiáng)度問(wèn)題的區(qū)別(Distinguishbetweenstableproblemandstrengthproblem)平衡狀態(tài)應(yīng)力平衡方程極限承載能力直線平衡狀態(tài)不變平衡形式發(fā)生變化小于限值

s,

b小于限值s<scr變形前的形狀、尺寸變形后的形狀、尺寸實(shí)驗(yàn)確定理論分析計(jì)算強(qiáng)度問(wèn)題穩(wěn)定問(wèn)題壓桿什么時(shí)候發(fā)生穩(wěn)定性問(wèn)題，什么時(shí)候產(chǎn)生強(qiáng)度問(wèn)題呢？壓桿§9-2

兩端絞支細(xì)長(zhǎng)壓桿的臨界壓力(TheCriticalLoadforastraight,uniform,axiallyloaded,pin-endedcolumns)mmFM(x)=-FwxyBmxmwBxylF該截面的彎矩桿的撓曲線近似微分方程壓桿任一x截面沿y

方向的位移（a)令

(b)式的通解為（A、B為積分常數(shù)）(b)得

mmxyBFM(x)=-Fw邊界條件

由公式(c)討論：

若

mxmwBxylF則必須

這就是兩端鉸支等截面細(xì)長(zhǎng)受壓直桿臨界力的計(jì)算公式（歐拉公式）.令n=1,得mxmwBxylF§9-3

其它支座條件下細(xì)長(zhǎng)壓桿的臨界壓力(Euler’sFormulaforotherendconditions)1.細(xì)長(zhǎng)壓桿的形式（Differentendconditionsofastraightcolumns)

兩端鉸支一端自由一端固定一端固定一端鉸支兩端固定2.其它支座條件下的歐拉公式(Euler’sFormulaforOtherEndConditions)lFcr2lFcrl0.3l0.7lFcrl—長(zhǎng)度因數(shù)—相當(dāng)長(zhǎng)度歐拉公式lFcrl/4l/4l/2l兩端鉸支一端固定，另一端鉸支兩端固定一端固定，另一端自由表9-1各種支承約束條件下等截面細(xì)長(zhǎng)壓桿臨界力的歐拉公式

支承情況臨界力的歐拉公式長(zhǎng)度因數(shù)

=1

=0.7

=0.5

=2歐拉公式的統(tǒng)一形式(GeneralEulerBucklingLoadFormula)（

為壓桿的長(zhǎng)度因數(shù)）5.討論（Discussion)

為長(zhǎng)度因數(shù)

l

為相當(dāng)長(zhǎng)度（1）相當(dāng)長(zhǎng)度

l

的物理意義

壓桿失穩(wěn)時(shí)，撓曲線上兩拐點(diǎn)間的長(zhǎng)度就是壓桿的相當(dāng)長(zhǎng)度

l.

zyx取Iy，Iz中小的一個(gè)計(jì)算臨界力.

若桿端在各個(gè)方向的約束情況不同（如柱形鉸），應(yīng)分別計(jì)算桿在不同方向失穩(wěn)時(shí)的臨界壓力.I為其相應(yīng)中性軸的慣性矩.

即分別用Iy，Iz

計(jì)算出兩個(gè)臨界壓力.然后取小的一個(gè)作為壓桿的臨界壓力.（2）橫截面對(duì)某一形心主慣性軸的慣性矩I

若桿端在各個(gè)方向的約束情況相同（如球形鉸等），則I應(yīng)取最小的形心主慣性矩.例題1已知一內(nèi)燃機(jī)、空氣壓縮機(jī)的連桿為細(xì)長(zhǎng)壓桿.截面形狀為工字鋼形，慣性矩Iz=6.5×10

4

mm4,Iy=3.8×10

4

mm4，彈性模量E=2.1×10

5MPa.試計(jì)算臨界力Fcr.x8801000yzyxz880FF