余弦定理正弦定理第2課時(shí)（教學(xué)設(shè)計(jì)）

§6.4.3余弦定理、正弦定理(第2課時(shí)）一、內(nèi)容和內(nèi)容解析內(nèi)容：正弦定理．內(nèi)容解析：本節(jié)是高中數(shù)學(xué)人教A版必修2第六章第4節(jié)的內(nèi)容．本節(jié)課主要學(xué)習(xí)正弦定理，用正弦定理來解三角形.《正弦定理》是三角形理論中的一個(gè)重要內(nèi)容,與初中學(xué)習(xí)的三角形的邊和角的基本關(guān)系有密切的聯(lián)系.在此之前,學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)過了正弦函數(shù)和余弦函數(shù)、余弦定理,知識(shí)儲(chǔ)備已足夠.它是后續(xù)課程中解三角形的理論依據(jù),也是解決實(shí)際生活中許多測(cè)量問題的工具.因此熟練掌握正弦定理能為接下來學(xué)習(xí)解三角形打下堅(jiān)實(shí)基礎(chǔ),并能在實(shí)際應(yīng)用中靈活變通.二、目標(biāo)和目標(biāo)解析目標(biāo)：（1）能借助向量的運(yùn)算，探索三角形邊長(zhǎng)與角度的關(guān)系并掌握正弦定理，培養(yǎng)數(shù)學(xué)抽象的核心素養(yǎng)．（2）能運(yùn)用正弦定理與三角形內(nèi)角和定理解決簡(jiǎn)單的解三角形問題，培養(yǎng)邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng)．目標(biāo)解析：（1）用向量的方法證明正弦定理，或者其他方法證明，在證明中培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力，特別是外接圓法和分類討論的方法，推導(dǎo)出比值為外接圓直徑和三角形的面積公式．（2）結(jié)合正弦定理的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)可以發(fā)現(xiàn)正弦定理的變形形式比較多，拆分式、連比式、分體式，每種形式都有著廣泛的應(yīng)用，這也為學(xué)生選擇合適的形式解決問題增加了難度．（3）數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)是數(shù)學(xué)教學(xué)的重要目標(biāo)，但數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)需要在每一堂課中尋找機(jī)會(huì)去落實(shí)．在正弦定理的教學(xué)中，從特殊的三角形的邊角特點(diǎn)即勾股定理歸納概括一般三角形的特點(diǎn)是進(jìn)行數(shù)學(xué)抽象教學(xué)的很好機(jī)會(huì)．基于上述分析，本節(jié)課的教學(xué)重點(diǎn)定為：能運(yùn)用正弦定理與三角形內(nèi)角和定理解決簡(jiǎn)單的解三角形問題．三、教學(xué)問題診斷分析1．教學(xué)問題一：怎樣證明正弦定理是本節(jié)課的第一個(gè)教學(xué)問題．是本節(jié)課的重點(diǎn)．解決方案：利用向量法證明，體現(xiàn)向量的工具作用，關(guān)鍵在于闡明“過點(diǎn)A作與垂直的單位向量j”的思維過程．2．教學(xué)問題二：利用正弦定理解決解三角形的問題是本節(jié)的第二個(gè)教學(xué)問題．．解決方案：類比全等三角形的證明條件，說明方程解得個(gè)數(shù)，根據(jù)大邊對(duì)大角或內(nèi)角和為π進(jìn)行解得個(gè)數(shù)的取舍，從而解決問題．基于上述情況，本節(jié)課的教學(xué)難點(diǎn)定為：通過對(duì)任意三角形邊長(zhǎng)和角度關(guān)系的探索，掌握正弦定理的內(nèi)容及其證明．四、教學(xué)策略分析本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)與教學(xué)問題為我們選擇教學(xué)策略提供了啟示．為了讓學(xué)生通過觀察、歸納得到正弦定理，應(yīng)該為學(xué)生創(chuàng)造積極探究的平臺(tái)．因此，在教學(xué)過程中通過學(xué)生分組探究，合作交流的教學(xué)方式，可以讓學(xué)生從被動(dòng)學(xué)習(xí)狀態(tài)轉(zhuǎn)到主動(dòng)學(xué)習(xí)狀態(tài)中來．在教學(xué)設(shè)計(jì)中，采取問題引導(dǎo)方式來組織課堂教學(xué)．問題的設(shè)置給學(xué)生留有充分的思考空間，讓學(xué)生圍繞問題主線，通過自主探究達(dá)到突出教學(xué)重點(diǎn)，突破教學(xué)難點(diǎn)．在教學(xué)過程中，重視正弦定理的發(fā)現(xiàn)與證明，讓學(xué)生體會(huì)到從特殊到一般是數(shù)學(xué)抽象的基本過程，同時(shí)，定理的證明與定理的應(yīng)用其實(shí)就是數(shù)學(xué)模型的建立與應(yīng)用的典范．因此，本節(jié)課的教學(xué)是實(shí)施數(shù)學(xué)具體內(nèi)容的教學(xué)與核心素養(yǎng)教學(xué)有機(jī)結(jié)合的嘗試．五、教學(xué)過程與設(shè)計(jì)教學(xué)環(huán)節(jié)問題或任務(wù)師生活動(dòng)設(shè)計(jì)意圖創(chuàng)設(shè)情境生成問題古埃及時(shí)代，尼羅河經(jīng)常泛濫，古埃及人為了研究尼羅河水運(yùn)行的規(guī)律，準(zhǔn)備測(cè)量各種數(shù)據(jù).當(dāng)尼羅河漲水時(shí)，古埃及人想測(cè)量某處河面的寬度(如圖)，如果古埃及人通過測(cè)量得到了AB的長(zhǎng)度，∠BAC，∠ABC的大小，那么就可以求解出河面的寬度CD.古埃及人是如何利用這些數(shù)據(jù)計(jì)算的呢？通過實(shí)際問題，激發(fā)學(xué)生的研究興趣探索交流獲得結(jié)論[問題1]如圖，在Rt△ABC中，eq\f(a,sinA)，eq\f(b,sinB)，eq\f(c,sinC)各自等于什么？[問題2]對(duì)于一般的三角形，仍然成立嗎？[問題3]這個(gè)比值是多少？如何求解？[問題4]利用正弦定理可以解決一些怎么樣的解三角形問題呢？[問題5]在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，那么a∶b∶c＝A∶B∶C對(duì)嗎？教師1：提出問題1．學(xué)生1：eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)＝c．教師2：提出問題2．學(xué)生2：分銳角三角形、鈍角三角形證明.（1）在銳角三角形中.過點(diǎn)A作單位向量垂直于.由，兩邊同乘以單位向量得，，則，所以整理得同理，過點(diǎn)C作與垂直的單位向量，可得所以.（2）在鈍角三角形中，不妨設(shè)A為鈍角，如圖.過點(diǎn)A作與垂直的單位向量.同理可得.教師3：總結(jié)正弦定理．(1)文字語(yǔ)言：在一個(gè)三角形中，各邊和它所對(duì)角的正弦的比相等，（2）符號(hào)語(yǔ)言：eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC).教師4：提出問題3.學(xué)生3：該比值為該三角形外接圓的直徑.作銳角三角形ABC的外接圓直徑CD，連結(jié)DB．根據(jù)同弧所對(duì)的圓周角相等及直徑所對(duì)的圓周角是直角得，∠A=∠D,∠DBC=90°,（為⊿ABC的外接圓半徑）．所以，所以．同理．因此．師生共同總結(jié)：正弦定理的變形形式設(shè)三角形的三邊長(zhǎng)分別為a，b，c，外接圓半徑為R，正弦定理有如下變形：(1)a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC.(2)sinA＝eq\f(a,2R)，sinB＝eq\f(b,2R)，sinC＝eq\f(c,2R).(3)a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinC.(4)eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)＝eq\f(a＋b＋c,sinA＋sinB＋sinC).教師5：提出問題4．學(xué)生4：正弦定理可用于兩類：（1）已知三角形的任意兩個(gè)角與一邊，求其他兩邊與另一角；（2）已知三角形的任意兩邊與其中一邊的對(duì)角，計(jì)算其他的角與邊.教師6：提出問題5．學(xué)生5：不對(duì).根據(jù)正弦定理，a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC.所以a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinC.通過探究，由直角三角形得一結(jié)論，提高學(xué)生的解決問題、分析問題的能力.通過思考，分析在銳角三角形、鈍角三角形該式子成立，得正弦定理.提高學(xué)生分析問題、概括能力.通過思考，進(jìn)一步理解正弦定理的運(yùn)用，提高學(xué)生分析問題的能力.典例分析鞏固落實(shí)例1.已知在△ABC中，c＝10，A＝45°，C＝30°，求a，b和B.例2.在△ABC中，已知a＝eq\r(3)，b＝eq\r(2)，B＝45°，求A，C和c.例3.已知在△ABC中，bsinB＝csinC，且sin2A＝sin2B＋sin2C，試判斷△ABC的形狀．[課堂練習(xí)]1.已知在△ABC中，A＝45°，c＝eq\r(6)，a＝2，解此三角形.2.(1)若acosB＝bcosA，則△ABC是________三角形；(2)若acosA＝bcosB，則△ABC是________三角形.教師7：完成例1.學(xué)生6：根據(jù)正弦定理，得a＝eq\f(csinA,sinC)＝eq\f(10×sin45°,sin30°)＝10eq\r(2).又B＝180°－(A＋C)＝180°－(45°＋30°)＝105°.所以b＝eq\f(csinB,sinC)＝eq\f(10×sin105°,sin30°)＝20sin75°＝20×eq\f(\r(6)＋\r(2),4)＝5(eq\r(6)＋eq\r(2)).教師8：完成例2．學(xué)生7：由正弦定理eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)，知sinA＝eq\f(asinB,b)＝eq\f(\r(3),2)，∵b<a，∴A＝60°或A＝120°.當(dāng)A＝60°時(shí)，C＝180°－A－B＝75°，∴c＝eq\f(bsinC,sinB)＝eq\f(\r(2)sin75°,sin45°)＝eq\f(\r(6)＋\r(2),2)；當(dāng)A＝120°時(shí)，C＝180°－A－B＝15°，∴c＝eq\f(bsinC,sinB)＝eq\f(\r(2)sin15°,sin45°)＝eq\f(\r(6)－\r(2),2).故當(dāng)A＝60°時(shí)，C＝75°，c＝eq\f(\r(6)＋\r(2),2)；當(dāng)A＝120°時(shí)，C＝15°，c＝eq\f(\r(6)－\r(2),2).教師9：完成例3．學(xué)生8：由正弦定理eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)＝2R得sinA＝eq\f(a,2R)，sinB＝eq\f(b,2R)，sinC＝eq\f(c,2R).∵bsinB＝csinC，∴b·eq\f(b,2R)＝c·eq\f(c,2R)，∴b2＝c2，∴b＝c.∵sin2A＝sin2B＋sin2C，∴(eq\f(a,2R))2＝(eq\f(b,2R))2＋(eq\f(c,2R))2，∴a2＝b2＋c2，∴∠A＝90°，∴△ABC為等腰直角三角形．教師10：布置課堂練習(xí)1、2．學(xué)生9：完成課堂練習(xí)，并核對(duì)答案．通過例題的講解，讓學(xué)生進(jìn)一步理解正弦定理，提高學(xué)生解決與分析問題的能力.課堂小結(jié)升華認(rèn)知[問題6]通過這節(jié)課，你學(xué)到了什么知識(shí)？在解決問題時(shí)，用到了哪些數(shù)學(xué)思想？[課后練習(xí)]△ABC中，a＝3，b＝5，sinA＝eq\f(1,3)，則sinB＝()A.eq\f(1,5)B.eq\f(5,9)C.eq\f(\r(5),3)△ABC中，若A＝60°，B＝45°，BC＝3eq\r(2)，則AC＝()eq\r(3)eq\r(3)C.eq\r(3)D.eq\f(\r(3),2)△ABC中，sinA∶