第3講12.3 角的平分線的性質(zhì)（原卷版）

12.3角平分線的性質(zhì)（原卷版）一、學(xué)習(xí)目標(biāo)1.掌握角平分線的尺規(guī)作圖的方法，知道作法的理論依據(jù)。能理解角平分線與三角形的角平分線的區(qū)別與聯(lián)系2.探索并證明角平分線的性質(zhì)與判定定理（高頻考點(diǎn)，難點(diǎn)）3.能用角平分線的性質(zhì)與判定定理解決問題（高頻考點(diǎn)，難點(diǎn)）4.通過三角形的角平分線，了解三角形中三條角平分線交于一點(diǎn)的事實(shí)（高頻考點(diǎn)，難點(diǎn)）5.掌握命題的一般步驟二、新知解讀知識(shí)點(diǎn)1角平分線的尺規(guī)作圖典例1在平行四邊形ABCD中，用尺規(guī)作圖畫∠BAD的角平分線（不用寫過程，留下作圖痕跡），交DC于點(diǎn)H，若BC＝6，DH＝2HC，求平行四邊形ABCD的周長(zhǎng)．知識(shí)點(diǎn)2角平分線的性質(zhì)典例2如圖，在△ABC中，C＝90°，AD是∠BAC的平分線，若CD＝3，AB＝10，則S△ABD＝．知識(shí)點(diǎn)3命題的證明典例3-1已知：如圖，在△ABC中，AB＝AC，BD、CE分別是AC、AB邊上的高．求證：BD＝CE．典例3-2投影屏上是對(duì)“定理：角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等”的證明．已知：如圖，OC是∠AOB的平分線，點(diǎn)P是OC上任意一點(diǎn)，PE⊥OA，PF⊥OB，垂足分別為E、F．求證：PE＝PF．證明：∵OC是∠AOB的平分線，∴∠POE＝∠POF，∵PE⊥OA，PF⊥OB，∴∠PEO＝∠PFO，∴△POE≌△POF，∴PE＝PF．小明為了保證以上證明過程更加嚴(yán)謹(jǐn)，想在投影屏上“∴∠PEO＝∠PFO”和“∴△POE≌△POF”之間作補(bǔ)充，下列正確的是（）A．投影屏上推理嚴(yán)謹(jǐn)，不必補(bǔ)充 B．應(yīng)補(bǔ)充：“又∵∠OPE＝∠OPF” C．應(yīng)補(bǔ)充：“又OE＝OF，OP＝OP” D．應(yīng)補(bǔ)充：“又OP＝OP”知識(shí)點(diǎn)4角平分線的判定典例4如圖，△ABC中，∠C＝90°，DE⊥AB于E，F(xiàn)在AC上，且BE＝FC，BD＝FD，求證：AD是∠BAC的平分線．三、易錯(cuò)預(yù)警易錯(cuò)點(diǎn)：在應(yīng)用角平分線的性質(zhì)時(shí)由于漏掉條件而出錯(cuò)。易錯(cuò)題如圖，OP平分∠AOB，PE⊥OA于E，點(diǎn)F是射線OB上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，若PE＝2，則PF的最小值為（）A．1 B．2 C．3 D．4四、題型梳理題型1角平分線性質(zhì)的一般應(yīng)用方法點(diǎn)撥：點(diǎn)在角平分線上，得垂線段相等，從而求線段的和差、周長(zhǎng)、面積，以及作為證明全等的條件典例1如圖，已知∠1＝∠2，P為BN上一點(diǎn)，且PD⊥BC于D，AB+BC＝2BD，求證：∠BAP+∠BCP＝180°．針對(duì)訓(xùn)練1．如圖所示，已知△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AD平分∠CAB，交BC于點(diǎn)D，DE⊥AB于點(diǎn)E，且AB＝6cm，則△DEB的周長(zhǎng)為（）A．5cm B．6cm C．9cm D．不能確定2．如圖所示，已知點(diǎn)P是△ABC三條角平分線的交點(diǎn)，PD⊥AB，若PD＝5，△ABC的周長(zhǎng)為50，求△ABC的面積．題型2角平分線性質(zhì)的實(shí)際應(yīng)用方法點(diǎn)撥：利用角平分線的性質(zhì)去確定符合條件的點(diǎn)的位置典例2為了加快災(zāi)后重建的步伐，我市某鎮(zhèn)要在三條公路圍成的一塊平地上修建一個(gè)砂石場(chǎng)，如圖，要使這個(gè)砂石場(chǎng)到三條公路的距離相等，則可供選擇的地址（）A．僅有一處 B．有四處 C．有七處 D．有無數(shù)處針對(duì)訓(xùn)練1．如圖所示，有一塊三角形的空地，其三邊長(zhǎng)分別為20m、30m、40m，現(xiàn)在要把它分成面積比為2：3：4的三部分，分別種植不同的花．請(qǐng)你設(shè)計(jì)出一個(gè)方案，并說明你的理由．題型3角平分線判定定理的應(yīng)用方法點(diǎn)撥：做垂直，證相等，根據(jù)角平分線的判定定理得角平分線典例3如圖，在△ABC中，∠C＝90°，DE⊥AB．若CD＝3，AB＝10，△ABD的面積為15，AD是∠BAC的角平分線嗎？請(qǐng)說明理由．針對(duì)訓(xùn)練1．已知，如圖，點(diǎn)B、C分別在射線OA、OD上，AB＝CD，△PAB的面積等于△PCD的面積求證：OP平分∠AOD．題型四角平分線的性質(zhì)與判定的綜合運(yùn)用方法點(diǎn)撥：利用角平分線的性質(zhì)和判定定理去解決線段相等或角相等的問題，不必再去證明兩個(gè)三角形全等，有時(shí)需要添加輔助線，過角平分線上的點(diǎn)向角的兩邊作垂線段，將符合性質(zhì)定理的基本圖形構(gòu)造出來。典例4如圖，BP，CP都是△ABC的外角平分線，PM⊥AB于點(diǎn)M，PN⊥AC于點(diǎn)N．求證：AP平分∠MAN．針對(duì)訓(xùn)練1．已知：如圖，△ABC的角平分線BE、CF相交于點(diǎn)P．求證：點(diǎn)P在∠A的平分線上．題型5角平分線在探究題中的應(yīng)用此類題靈活性較強(qiáng)，一般是將角平分線的性質(zhì)定理和三角形全等綜合使用，用于探究線段間的數(shù)量關(guān)系或者等積變形等問題典例5在△ABC中，AD、CE分別是∠BAC、∠BCA的平分線，AD、CE相交于點(diǎn)F．（1）①如圖（1），當(dāng)∠B＝60°，∠ACB＝90°，則∠AFC＝；②如圖（2），如果∠ACB不是直角，∠B＝60°時(shí)，請(qǐng)問在①中所得的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請(qǐng)證明；若不成立，請(qǐng)說明理由．（2）如圖（3），在②的條件下，請(qǐng)猜想EF與DF的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想．針對(duì)訓(xùn)練1．如圖，∠AOB＝90°，OM平分∠AOB，將直角三角板的頂點(diǎn)P在射線OM上移動(dòng)，兩直角邊分別與OA、OB相交于點(diǎn)C、D，問PC與PD相等嗎？試說明理由．2．如圖，∠B＝∠C＝90°，M是BC上一點(diǎn)，且DM平分∠ADC，AM平分∠DAB，求證：AD＝CD+AB．五、重點(diǎn)題型重點(diǎn)題型——利用角平分線的性質(zhì)解決面積問題方法點(diǎn)撥：1.三角形三條角分線的交點(diǎn)到三邊的距離相等，鏈接這個(gè)交點(diǎn)與各個(gè)頂點(diǎn)，講角平分線的交點(diǎn)到三邊的距離轉(zhuǎn)化為三個(gè)小三角形的高2.登高三角形的面積等于底邊長(zhǎng)的比典例角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等．這一性質(zhì)在解決圖形面積問題時(shí)有何妙用呢？閱讀材料：已知，如圖（1），在面積為S的△ABC中，BC＝a，AC＝b，AB＝c，三條角平分線的交點(diǎn)O到三邊的距離為r．連接OA、OB、OC，△ABC被劃分為三個(gè)小三角形．∵S＝S△OBC+S△OAC+S△OAB＝BC?r+AC?r+AB?r＝（a+b+c）?r，∴r＝（1）類比推理：若面積為S的四邊形ABCD的四條角平分線交于O點(diǎn)，如圖（2），各邊長(zhǎng)分別為AB＝a，BC＝b，CD＝c，AD＝d，求點(diǎn)O到四邊的距離r；（2）理解應(yīng)用：如圖（3），在四邊形ABCD中，AB∥DC，AB＝21，CD＝11，AD＝BC＝13，對(duì)角線BD＝20，點(diǎn)O1與O2分別為△ABD與△BCD的三條角平分線的交點(diǎn)，設(shè)它們到各自三角形三邊的距離為r1和r2，求的值．針對(duì)訓(xùn)練1．在△ABC中，D是BC邊上的點(diǎn)（不與點(diǎn)B、C重合），連接AD．（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)D是BC邊上的中點(diǎn)時(shí)，S△ABD：S△ACD＝；（2）如圖2，當(dāng)AD是∠BAC的平分線時(shí)，若AB＝m，AC＝n，求S△ABD：S△ACD的值（用含m，n的代數(shù)式表示）；（3）如圖3，AD平分∠BAC，延長(zhǎng)AD到E，使得AD＝DE，連接BE，如果AC＝2，AB＝4，S△BDE＝6，那么S△ABC＝．六、考向預(yù)測(cè)考點(diǎn)1角平分線的性質(zhì)考情分析：與教材第56頁第12題考點(diǎn)相同，中考中考查利用角平分線的性質(zhì)證明或計(jì)算，題型以選擇題、填空題為主，難度中等。典例1如圖，在△ABC中，AD平分∠BAC交BC于點(diǎn)D，DE⊥AB于點(diǎn)E，AC＝2，DE＝1，則△ACD的面積為（）A．2 B．1 C．4 D．3考點(diǎn)2角平分線的判定考情分析：和教材第55頁第5題考點(diǎn)相同，中考中考查通過角平分線的判定方法進(jìn)行判定，進(jìn)而計(jì)算角度。題型以選擇題、填空題為主，難度中等典例2如圖所示，點(diǎn)O在一塊直角三角板ABC上（其中∠ABC＝30°），OM⊥AB于點(diǎn)M，ON⊥BC于點(diǎn)N，若OM＝ON，則∠ABO＝度．最新考法——三角形的面積與周長(zhǎng)的關(guān)系方法點(diǎn)撥：角平分線的性質(zhì)與垂直相關(guān)，進(jìn)而聯(lián)想到三角形的邊長(zhǎng)那個(gè)、高于面積或周長(zhǎng)之間的關(guān)系。預(yù)測(cè)題如圖，△ABC的兩條內(nèi)角平分線相交于點(diǎn)D，過點(diǎn)D作一條平分△ABC面積的直線，那么這條直線分成的兩個(gè)圖形的周長(zhǎng)比是（）A．2：1 B．1：1 C．2：3 D．3：1七、提優(yōu)訓(xùn)練（一）夯實(shí)雙基1．如圖，△ABC中，AB＝5，AC＝4，以點(diǎn)A為圓心，任意長(zhǎng)為半徑作弧，分別交AB、AC于D和E，再分別以點(diǎn)D、E為圓心，大于二分之一DE為半徑作弧，兩弧交于點(diǎn)F，連接AF并延長(zhǎng)交BC于點(diǎn)G，GH⊥AC于H，GH＝2，則△ABG的面積為．2．如圖，已知△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，且CD：BD＝3：4．若BC＝21，則點(diǎn)D到AB邊的距離為（）A．7 B．9 C．11 D．143．如圖，已知△ABC中，∠C＝90°，∠BAC＝2∠B，D是BC上一點(diǎn)，DE⊥AB于E，DE＝DC．求證：AD＝BD．4．命題：有兩個(gè)內(nèi)角相等的三角形必有兩條高線相等，寫出它的逆命題，并判斷逆命題的真假，若是真命題，給出證明；若是假命題，請(qǐng)舉反例，（二）提高能力5．如圖，BD是∠ABC的平分線，DE⊥AB于E，S△ABC＝90，AB＝18，BC＝12，求DE的長(zhǎng)．6．如圖，已知在△ABC中，∠ABC＝60°，∠ACB＝40°，BD平分∠ABC，CD平分∠ACB．（1）如圖1，求∠BDC的度數(shù)；（2）如圖2，連接AD，作DE⊥AB，DE＝2，AC＝4，求△ADC的面積．7．如圖，△ABC中，點(diǎn)D在BC邊上，∠BAD＝100°，∠ABC的平分線交AC于點(diǎn)E，過點(diǎn)E作EF⊥AB，垂足為F，且∠AEF＝50°，連接DE．（1）求∠CAD的度數(shù)；（2）求證：DE平分∠ADC；（3）若AB＝7，AD＝4，CD＝8，且S△ACD＝15，則△ABE的面積＝（直接寫出結(jié)果，不需要過程