探索勾股定理（知識(shí)梳理與考點(diǎn)分類講解）-2023-2024學(xué)年八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)基礎(chǔ)知識(shí)專項(xiàng)突破講與練（北師大版）

第第頁(yè)專題1.1探索勾股定理（知識(shí)梳理與考點(diǎn)分類講解）【知識(shí)點(diǎn)1】勾股定理定理直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方，如果有a,b和c分別表示直角三角形的兩直角邊和斜邊，則有變形公式有：；解題的基本思想方法：勾股定理把“形”與“數(shù)”有機(jī)結(jié)合起來(lái)，就是把直角三角形中的這個(gè)圖形的“形”與三邊關(guān)系這個(gè)“數(shù)（量）”結(jié)合起來(lái)，這就是數(shù)形結(jié)合【知識(shí)點(diǎn)2】勾股定理的證明常用的驗(yàn)證法：驗(yàn)證方法很多，有測(cè)量法、幾何證明法，但最常用的是通過(guò)拼圖，構(gòu)造特殊圖形，利用面積等關(guān)系進(jìn)行證明。經(jīng)典的勾股定理證明方法：方法一：將四個(gè)全等的直角三角形拼成如圖（1）所示的正方形.圖（1）中，所以.方法二：將四個(gè)全等的直角三角形拼成如圖（2）所示的正方形.圖（2）中，所以.方法三：如圖（3）所示，將兩個(gè)直角三角形拼成直角梯形.，所以.【考點(diǎn)一】勾股定理??求線段長(zhǎng)【例1】如圖，嘉嘉在蕩秋千時(shí)發(fā)現(xiàn)，秋千在靜止位置時(shí)，下端離地面米，蕩秋千到位置時(shí)，下端距靜止位置的水平距離等于米，距地面米，求秋千的長(zhǎng)．

【答案】米【分析】根據(jù)題意，設(shè)為米，在中，根據(jù)勾股定理即可求解．解：如圖所示，

根據(jù)題意可知：，設(shè)為米，∴，∴，∵，∴，在中，∴，∴，∴，∴秋千的長(zhǎng)為米．【點(diǎn)撥】本題主要考查直角三角形的勾股定理，掌握勾股定理的計(jì)算方法是解題的關(guān)鍵．【舉一反三】【變式1】如圖，在中，，，，求BC邊上的高AD的長(zhǎng)．

【答案】12【分析】為高，那么題中有兩個(gè)直角三角形．在這兩個(gè)直角三角形中，設(shè)為未知數(shù)，可利用勾股定理都表示出長(zhǎng)．求得長(zhǎng)，再根據(jù)勾股定理求得長(zhǎng)即可．解：設(shè)，則，在中，，在中，，∴，，解得，．【點(diǎn)撥】本題考查了勾股定理，解決本題的關(guān)鍵在于利用兩個(gè)直角三角形的公共邊找到突破點(diǎn)．主要利用了勾股定理進(jìn)行解答．【變式2】如圖，在中，，，，于．求：(1)的長(zhǎng)和的面積；(2)的長(zhǎng)．【答案】(1)，；(2)【分析】（1）根據(jù)勾股定理求得的長(zhǎng)；利用三角形的面積公式可求出的面積；（2）再根據(jù)三角形的面積公式是一定值求得即可．（1）解：在中，，，，∴，∴．（2）解：，，．【點(diǎn)撥】此題考查的是勾股定理，熟知在任何一個(gè)直角三角形中，兩條直角邊長(zhǎng)的平方之和一定等于斜邊長(zhǎng)的平方是解題的關(guān)鍵．【考點(diǎn)二】勾股定理??求面積【例2】如圖，在△ABC中，，于點(diǎn)D，，，．請(qǐng)求出△ABC的面積和CD的長(zhǎng)．【答案】△ABC的面積為，CD的長(zhǎng)為cm【分析】根據(jù)直角三角形面積公式即可求解三角形的面積，再根據(jù)直角三角形面積的兩種計(jì)算方法求出斜邊上的高．解：∵∠ACB=90∴∵∴∴答：△ABC的面積為，CD的長(zhǎng)為cm．【點(diǎn)撥】本題考查直角三角形的性質(zhì)及其面積公式，解題的關(guān)鍵是熟知三角形面積不變．【舉一反三】【變式1】計(jì)算圖中四邊形ABCD的面積.【答案】246【分析】根據(jù)觀察圖形可以看出四邊形ABCD的面積為△ABD和△BCD的面積之和，根據(jù)AD，AB可以計(jì)算△ABD的面積和BD的長(zhǎng)，根據(jù)CD，BD可以計(jì)算△BCD的面積，即可解題．解：在Rt△ABD中，BD為斜邊，AD=12，AB=16，，故四邊形ABCD的面積為S△ABD+S△BCD=×12×16+×15×20=96+150=246．答：四邊形ABCD的面積為246．【點(diǎn)撥】本題考查了勾股定理在直角三角形中的運(yùn)用，考查了直角三角形面積計(jì)算方法，本題中正確的計(jì)算△ABD和△BCD的面積是解題的關(guān)鍵．【變式2】已知：在中，，、、所對(duì)的邊分別記作a、b、c．如圖1，分別以的三條邊為邊長(zhǎng)向外作正方形，其正方形的面積由小到大分別記作、、，則有，如圖2，分別以的三條邊為直徑向外作半圓，其半圓的面積由小到大分、、，請(qǐng)問(wèn)與有怎樣的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；分別以直角三角形的三條邊為直徑作半圓，如圖3所示，其面積由小到大分別記作S1、S2Sa，根據(jù)（2）中的探索，直接回答與有怎樣的數(shù)量關(guān)系；若中，，，求出圖4中陰影部分的面積．【答案】(1)，證明見分析；(2)；(3)24【分析】（1）由扇形的面積公式可知，，，在Rt△ABC中，由勾股定理得AC2＋BC2＝AB2，即S1＋S2＝S3；（2）根據(jù)（1）中的求解即可得出答案；（3）利用（2）中的結(jié)論進(jìn)行求解．（1）解：①，根據(jù)勾股定理可知：，；（2）解：由（1）知，同理根據(jù)根據(jù)勾股定理：，從而可得；（3）解：由（2）知．【點(diǎn)撥】本題考查勾股定理的應(yīng)用，解題關(guān)鍵是對(duì)勾股定理的熟練掌握及靈活運(yùn)用．【考點(diǎn)三】勾股定理??求兩條線段的平方和【例3】已知將邊長(zhǎng)分別為a和2b（a＞b）的長(zhǎng)方形分割成四個(gè)全等的直角三角形，如圖1，再用這四個(gè)三角形拼成如圖2所示的正方形，中間形成一個(gè)正方形的空洞．經(jīng)測(cè)量得長(zhǎng)方形的面積為24，正方形的邊長(zhǎng)為5．試通過(guò)你獲取的信息，求a2+b2和a2﹣b2的值．【答案】a2+b2＝25，a2﹣b2＝7．【分析】根據(jù)勾股定理，長(zhǎng)方形的面積為24，正方形的面積計(jì)算方法，列出關(guān)于a、b方程組，然后求解．解：根據(jù)題意得a2+b2＝52＝25，a?2b＝24，∴a2+b2+2ab=49，∴a+b＝7，由圖2得（a-b）2=52-24=1，∵a＞b，∴a-b=1，∴a2﹣b2=（a+b）（a-b）=7×1=7，∴a2+b2＝25，a2﹣b2＝7．【點(diǎn)撥】本題考查勾股定理、正方形的性質(zhì)及直角三角形．解題的關(guān)鍵是根據(jù)圖示找出大正方形、四個(gè)直角三角形、小正方形間的數(shù)量關(guān)系．【舉一反三】【變式】如圖，在△ABC中，CE平分∠ACB，CF平分∠ACD，且EF∥BC交AC于M，若EF＝10，求CE2＋CF2的值．【答案】100【分析】根據(jù)角平分線的定義推知∠ECF=90°，然后在直角三角形ECF中利用勾股定理求CE2+CF2的值即可．解：∵B、C、D三點(diǎn)在一條直線上，CE平分∠ACB，CF平分∠ACD，∴∠ECF＝∠ECA＋∠FCA＝∠ACB＋∠ACD＝×180°＝90°.∴CE2＋CF2＝EF2.∵EF＝10，∴CE2＋CF2＝102＝100.【點(diǎn)撥】本題考查勾股定理,角平分線線的性質(zhì).【考點(diǎn)四】勾股定理??折疊問(wèn)題【例4】如圖，在中，，D為上的一點(diǎn)，將沿折疊，點(diǎn)C恰好落在邊上的點(diǎn)E處，若，，求的長(zhǎng)．

【答案】【分析】根據(jù)折疊的性質(zhì)可得，，，設(shè)，則，在中，，列方程求解即可．解：在中，，，∴AB=10由折疊性質(zhì)可知，，，，∴，設(shè)，則，在中，，∴，解得，∴．【點(diǎn)撥】本題考查了折疊問(wèn)題以及勾股定理，運(yùn)用折疊的性質(zhì)以及勾股定理列方程求解是本題的關(guān)鍵．【舉一反三】【變式1】如圖，直角三角形紙片的兩直角邊，．現(xiàn)將直角邊沿折疊，使它落在斜邊上，點(diǎn)C點(diǎn)E重合．求的長(zhǎng)．【答案】CD的長(zhǎng)為．【分析】根據(jù)勾股定理求得的長(zhǎng)，再根據(jù)折疊的性質(zhì)求得的長(zhǎng)，從而利用勾股定理可求得的長(zhǎng)．解：∵，，，由折疊的性質(zhì)得，，∴，設(shè)，則在中，，∴．答：的長(zhǎng)為．【點(diǎn)撥】本題考查了折疊的性質(zhì)以及利用勾股定理解直角三角形的能力，即：直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方．【變式2】（1）如圖①，的斜邊比直角邊長(zhǎng)2cm，另一直角邊長(zhǎng)為6cm，求的長(zhǎng)．（2）拓展：如圖②，在圖①的的邊上取一點(diǎn)D，連接，將沿翻折，使點(diǎn)B的對(duì)稱點(diǎn)E落在邊上．①求的長(zhǎng)．②求的長(zhǎng)．【答案】（1）10cm；（2）①4cm；②3cm【分析】（1）利用勾股定理，進(jìn)行求解即可；（2）①根據(jù)翻折得到，利用求出的長(zhǎng)即可；②在中，利用勾股定理進(jìn)行求解即可．解：（1）設(shè)，則，在中：，即：，解得：；∴；（2）①∵將沿翻折，使點(diǎn)B的對(duì)稱點(diǎn)E落在邊上，∴，∴；②∵將沿翻折，使點(diǎn)B的對(duì)稱點(diǎn)E落在邊上，∴，設(shè)，則，在中：，即：，解得：；即：．【點(diǎn)撥】本題考查勾股定理與折疊問(wèn)題．熟練掌握折疊的性質(zhì)，對(duì)應(yīng)邊相等，對(duì)應(yīng)角相等，以及勾股定理，是解題的關(guān)鍵．【考點(diǎn)四】勾股定理??動(dòng)點(diǎn)與折疊問(wèn)題【例5】【變式3】如圖，長(zhǎng)方形ABCD中，∠DAB＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，AD＝BC＝9，AB＝CD＝15．點(diǎn)E為射線DC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，△ADE與△AD′E關(guān)于直線AE對(duì)稱，當(dāng)△AD′B為直角三角形時(shí)，求DE的長(zhǎng)度【答案】DE＝3或27．【分析】分兩種情況：點(diǎn)E在DC線段上，點(diǎn)E為DC延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，進(jìn)一步分析探討得出答案即可．解：如圖1，∵折疊，∴△AD′E≌△ADE，∴∠AD′E＝∠D＝90°，AD′＝AD，∵∠AD′B＝90°，∴B、D′、E三點(diǎn)共線，∵∠ABD′=∠BEC，∠AD′B=∠C＝90°，AD′＝BC，∴ABD′≌△BEC，∴BE＝AB＝15，∴DE＝D′E＝15﹣12＝3；如圖2，∵∠ABD″+∠CBE＝∠ABD″+∠BAD″＝90°，∴∠CBE＝∠BAD″，在△ABD″和△BEC中，，∴△ABD″≌△BEC，∴BE＝AB＝15，∴DE＝D″E＝15+12＝27．綜上所知，DE＝3或27．【點(diǎn)撥】此題考查翻折的性質(zhì)，三角形全等的判定與性質(zhì)，勾股定理，掌握翻折的性質(zhì)，分類探討的思想方法是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．【舉一反三】【變式1】如圖①，在長(zhǎng)方形ABCD中，已知AB=13，AD=5，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)D出發(fā)，以每秒1個(gè)單位的速度沿線段DC向終點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，連接AP，把△ADP沿著AP翻折得到△AEP．（注：長(zhǎng)方形的對(duì)邊平行且相等，四個(gè)角都是直角）(1)如圖②，射線PE恰好經(jīng)過(guò)點(diǎn)B，求出此時(shí)t的值；(2)當(dāng)射線PE與邊AB交于點(diǎn)F時(shí)，是否存在這樣的t的值，使得FE=FB？若存在，請(qǐng)求出所有符合題意的t的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；(3)在動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)D到點(diǎn)C的整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，若點(diǎn)E到直線AB的距離等于3，則此時(shí)t=___________．【答案】(1)1；(2)或13；(3)或10【分析】（1）由長(zhǎng)方形性質(zhì)得知，，，，再證，則，然后由勾股定理得，則，由此得出結(jié)論．（2）分兩種情況：E在矩形內(nèi)部和外部?jī)煞N情況，分別根據(jù)等量關(guān)系列出方程即可解答．（3）分兩種情況：E在AB上方和下方兩種情況，由折疊性質(zhì)與勾股定理即可解答．解：（1）四邊形ABCD是長(zhǎng)方形，，，，，，由翻折性質(zhì)可知：，，在中，由勾股定理得：，，．（2）存在，分兩種情況：如圖③，當(dāng)點(diǎn)E在長(zhǎng)方形內(nèi)部時(shí)：作于G，設(shè)，則由翻折可知，，在中，由勾股定理可得：，即，解得：，即，在與中：，解得：．如圖④，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)至與點(diǎn)C重合時(shí)，在與中：，．綜上，當(dāng)或時(shí)，有．（3）過(guò)點(diǎn)E作交AB于點(diǎn)M，交CD于點(diǎn)N．如圖⑤，點(diǎn)E在長(zhǎng)方形內(nèi)部：則，在中，由勾股定理得：在中，由勾股定理得：，即解得：如圖⑥，點(diǎn)E在長(zhǎng)方形外部：則，在中，由勾股定理得：在中，由勾股定理得：，即解得：綜上，若點(diǎn)E到直線AB的距離等于3，或．【點(diǎn)撥】本題是幾何綜合題目，考查了軸對(duì)稱的性質(zhì)、勾股定理、等腰三角形的判定等知識(shí)，綜合性強(qiáng)，熟練掌握軸對(duì)稱的性質(zhì)及勾股定理，進(jìn)行分類討論解題是本題的解題關(guān)鍵．【變式2】在矩形ABCD中，AB=6，BC=8，點(diǎn)E是射線BC上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接AE并延長(zhǎng)交射線DC于點(diǎn)F，將△ABE沿直線AE翻折到△AB'E，延長(zhǎng)AB'與直線CD交于點(diǎn)M．求證：AM=MF；當(dāng)點(diǎn)E是邊BC的中點(diǎn)時(shí)，求CM的長(zhǎng)；當(dāng)CF=4時(shí)，求CM的長(zhǎng)．【答案】(1)見分析；(2)；(3)或21【分析】（1）由折疊的性質(zhì)及等腰三角形的判定可得出答案；（2）利用矩形的性質(zhì)證得，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到，設(shè)，則由（1）知，，，在中利用勾股定理即可求解；（3）當(dāng)時(shí)，設(shè)，應(yīng)分兩種情況：第一種情況，點(diǎn)在線段上，如圖所示，則，；第二種情況，點(diǎn)在線段上，如圖所示，則，在中，利用勾股定理即可求解．解：（1）證明：∵四邊形ABCD為矩形，∴ABCD，∴∠F＝∠BAF，由折疊可知：∠BAF＝∠M