矩陣的特征值、特征向量

第一節(jié)

矩陣的特征值和特征向量相似矩陣及二次型一、特征值和特征向量的概念二、特征值和特征向量的性質(zhì)三、小結(jié)

思考題第一頁(yè)，共三十九頁(yè)。返回

上頁(yè)下頁(yè)—、特征值和特征向量的概念和非零向量x,定義

1

設(shè)A

是n

階矩陣，如果存在數(shù)使得則稱：

是矩陣A

的特征值；x

是A

的對(duì)應(yīng)于(或?qū)儆?特征值

的特征向量.第二頁(yè)，共三十九頁(yè)。返回

上頁(yè)

下頁(yè)(2)由于亦可寫(xiě)成齊次線性方程組說(shuō)明(1)特征向量xO；特征值問(wèn)題是對(duì)方陣而言的；因此，使得陣A

的特征值.即，使得有非零解的

值都是矩的

值都是矩陣A

的特征值.第三頁(yè)，共三十九頁(yè)。返回

上頁(yè)

下頁(yè)定義

2

設(shè)n

階矩陣，記則，稱為A

的特征矩陣.稱為A

的特征多項(xiàng)式；稱為A

的特征方程；第四頁(yè)，共三十九頁(yè)。返回

上頁(yè)

下頁(yè)說(shuō)明(n

階矩陣A

的特征多項(xiàng)式)(1)是

的n

次多項(xiàng)式，若設(shè)其一般形式為；則，

的系數(shù)的系數(shù)；常數(shù)項(xiàng).第五頁(yè)，共三十九頁(yè)。返回上頁(yè)下頁(yè)(2)求特征值，就是求特征方程

的根；(3)有n

個(gè)根(其中有些根可能相同)，其中的k

重根也稱為k

重特征值.(4)需要注意，即使是n

階實(shí)矩陣，但其特征方程可能有復(fù)數(shù)根，相應(yīng)的，特征向量也可能是復(fù)向量.(

是全體n

維復(fù)向量構(gòu)成的向量空間)即，一般而言，特征值特征向量(復(fù)數(shù)域)第六頁(yè)，共三十九頁(yè)。返回

上頁(yè)下頁(yè)例1

求矩陣的特征值和特征向量.解

A

的特征多項(xiàng)式為令，得A

的3個(gè)特征值：(單重特征值)(二重特征值)第七頁(yè)，共三十九頁(yè)。返回

上頁(yè)

下頁(yè)②

當(dāng)時(shí)，解方程組.得基礎(chǔ)解系于是，對(duì)應(yīng)于的全部特征向量為第九頁(yè)，共三十九頁(yè)。如果A

是n

階對(duì)角陣或上(下)三角陣，返回

上頁(yè)下頁(yè)，證

設(shè)對(duì)角矩陣

A

的主對(duì)角元為則，特征多項(xiàng)式為那么，A

的特征值就是其n

個(gè)主對(duì)角元.令

，可得對(duì)角陣的特征值就是其主對(duì)角元.上式亦為上(下)三角陣的特征多項(xiàng)式，故有同樣結(jié)論.第十頁(yè)，共三十九頁(yè)。返回

上頁(yè)

下頁(yè)中，；；的系數(shù)的系數(shù)常數(shù)項(xiàng).二、特征值和特征向量的性質(zhì)n

階矩陣A

的主對(duì)角元之和，稱為A

的跡[記作tr(A)].證

前面指出，在特征多項(xiàng)式的n

個(gè)特征值為,定理

1

設(shè)n

階矩陣則，①②第十一頁(yè)，共三十九頁(yè)。返回

上頁(yè)

下頁(yè)是特征方程的根，的系數(shù)和常證畢另外，即，的系數(shù)；常數(shù)項(xiàng)

.的系數(shù)和特征多項(xiàng)式相同，因此數(shù)項(xiàng)也與特征多項(xiàng)式必相同，即第十二頁(yè)，共三十九頁(yè)。返回

上頁(yè)

下頁(yè)說(shuō)明，故，若，則A

的特征值全為非零數(shù)；若，則A

至少有一個(gè)特征值等于零.第十三頁(yè)，共三十九頁(yè)。返回

上頁(yè)

下頁(yè)例

2

已知，求(1)x,y；(2)的2

個(gè)特征值為；(3) 的秩.解

(1)(2)2是一個(gè)特征值，故(3)3不是特征值，即故是，滿秩矩陣，.第十四頁(yè)，共三十九頁(yè)。返回

上頁(yè)

下頁(yè)證定理

2

設(shè)則都是A

的屬于特征值也是A

的屬于特征值的特征向量，的特征向量.(其中k1,k2

為任意常數(shù)，但)說(shuō)明

A

的屬于特征值0

的全體特征向量是：的解集中除零向量外的全體解向量.由于的解，都是因此，也是的解.時(shí)，是A

的屬于特征值

的故，當(dāng)特征向量.證畢第十五頁(yè)，共三十九頁(yè)。返回

上頁(yè)

下頁(yè)例3

求矩陣的特征值和特征向量.解

A

的特征多項(xiàng)式為令，得A

的3個(gè)特征值：(單重根)(二重根)第十六頁(yè)，共三十九頁(yè)。返回

上頁(yè)

下頁(yè)將特征值分別代入，求出特征向量：①

當(dāng)

時(shí)，解方程組.得基礎(chǔ)解系則，對(duì)應(yīng)于的全部特征向量為.第十七頁(yè)，共三十九頁(yè)。返回

上頁(yè)

下頁(yè)②

當(dāng)時(shí)，解方程組.得基礎(chǔ)解系則，對(duì)應(yīng)于的全部特征向量為第十八頁(yè)，共三十九頁(yè)。返回

上頁(yè)

下頁(yè)性質(zhì)

1

設(shè)0

是矩陣A

的特征值，是A

的屬于0

的特征向量，則①k

0

是kA

的特征值(k

是任意常數(shù))；②

是的特征值(m

是正整數(shù))；③設(shè)一個(gè)k

次多項(xiàng)式則，是矩陣A

的k

次多項(xiàng)式，的特征值；④若A

可逆，則是

的特征值；并且，

仍然是以上①②③④中這些矩陣的分別屬于特征值

的特征向量.第十九頁(yè)，共三十九頁(yè)。因此，

是

的特征值

，是

的對(duì)應(yīng)于特征值的特征向量.證畢返回

上頁(yè)

下頁(yè)證

這里只證明性質(zhì)②，其余留作練習(xí).兩端同時(shí)左乘A兩端同時(shí)左乘A繼續(xù)進(jìn)行以上步驟m－3次，得第二十頁(yè)，共三十九頁(yè)。返回上頁(yè)

下頁(yè)例4

設(shè)是可逆矩陣A

的一個(gè)特征值，求的一個(gè)特征值.解

根據(jù)特征值的性質(zhì)，的特征值是

;的特征值是

;的特征值是;的特征值是第二十二頁(yè)，共三十九頁(yè)。返回

上頁(yè)

下頁(yè)性質(zhì)2

A

和AT

的特征值相同

(即特征多項(xiàng)式相同).證因此，A

和AT

有完全相同的特征多項(xiàng)式.證畢，說(shuō)明

A

和AT

的特征向量不一定相同.例如，

皆有二重特征值但它們相應(yīng)的特征向量分別為第二十三頁(yè)，共三十九頁(yè)。返回

上頁(yè)

下頁(yè)定理

3

矩陣A

屬于不同特征值的特征向量是線性無(wú)關(guān)的.證設(shè)是A

的m

個(gè)互異的特征值，是屬于各特征值的特征向量.令下面將證明：只有當(dāng)線性組合系數(shù)ki

全部為零時(shí)才線性無(wú)關(guān).能使上式成立，即，若記上式變?yōu)榈诙捻?yè)，共三十九頁(yè)。的特征向量(如果))零向量(如果屬于特征值不論哪種情況，皆有…

…

①其中的

有兩種可能性：對(duì)①式兩端同時(shí)左乘A，得A

AA即

…

…

②對(duì)②再左乘A，如此重復(fù)下去，共m－1次，最后有返回

上頁(yè)

下頁(yè)第二十五頁(yè)，共三十九頁(yè)。返回

上頁(yè)

下頁(yè)…

…

…

…

…

…以上m

個(gè)等式可合寫(xiě)成矩陣等式：第二十六頁(yè)，共三十九頁(yè)。返回

上頁(yè)

下頁(yè)因此，是可逆矩陣.行列式（范德蒙行列式的轉(zhuǎn)置)由于特征值

各不相同，所以行列式的值不等于零.第二十七頁(yè)，共三十九頁(yè)。返回

上頁(yè)

下頁(yè)(可逆矩陣)兩端右乘該可逆矩陣，所以必有..成立，線性組即，其中特征向量因此，若合系數(shù)必全為零(即線性無(wú)關(guān)).證畢第二十八頁(yè)，共三十九頁(yè)。返回

上頁(yè)

下頁(yè)定理

5*

設(shè)

A

有

m

個(gè)不同的特征值:于

的線性無(wú)關(guān)的特征向量有

ri

個(gè)，屬.個(gè))構(gòu)成的向量那么，所有這些向量(共組是線性無(wú)關(guān)的.定理

4*

矩陣A

的屬于k

重特征值的線性無(wú)關(guān)的特征向量的最大個(gè)數(shù)不超過(guò)

k

.證明參見(jiàn)即，如果是矩陣

A

的一個(gè)

k

重特征值，屬于

的線性無(wú)關(guān)的特征向量的最大個(gè)數(shù)為

l，則

l

k

.證明參見(jiàn)

附錄

1附錄2第二十九頁(yè)，共三十九頁(yè)。返回

上頁(yè)

下頁(yè)設(shè)A

為4

階矩陣，已知：思考題求：A

的伴隨矩陣A*

的一個(gè)特征值.第三十一頁(yè)，共三十九頁(yè)。返回

上頁(yè)

下頁(yè)思考題解答由于，因此

A

是可逆矩陣.于是，如果A

的一個(gè)特征值為，根據(jù)特征值的性質(zhì)，A*

的一個(gè)特征值為.故，A*

的一個(gè)特征值為第三十二頁(yè)，共三十九頁(yè)。返回

上頁(yè)

下頁(yè)新增的一般不是A

的特征向量，但A

j

(是n

維向量)可以用上述的這組基線性表示：…

…

②l+1n將擴(kuò)充為n

維復(fù)向量空間Kn

的一組基：第三十四頁(yè)，共三十九頁(yè)。返回

上頁(yè)

下頁(yè))將矩陣等式③記作

AP=PK，其中，P=(是③式右端的分塊矩陣P

的列向量組是一組基，故P

可逆，于是0El

是主對(duì)角元為子塊

0的

l

階數(shù)量矩陣.第三十六頁(yè)，共三十九頁(yè)。返回

上頁(yè)

下頁(yè)表明A

和K

有相同的特征多項(xiàng)式.由于因此，A

的特征多項(xiàng)式(即K

的特征多項(xiàng)式)為上式表明，

至少是A

的l

重特征值(

l

>

k

).此結(jié)果與

是k

重特征值矛盾，所以

lk.證畢第三十七頁(yè)，共三十九頁(yè)。，屬于.個(gè))構(gòu)成的向量組是定理

設(shè)

A

有m

個(gè)不同的特征值：的線性無(wú)關(guān)的特征向量有ri

個(gè)那么，所有這些向量(共線性無(wú)關(guān)的.返回