第十三章軸對(duì)稱分類訓(xùn)練人教版八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)

第十三章軸對(duì)稱專題訓(xùn)練專題1利用“三線合一”作輔助線例.如圖，在△ABC中，∠A=90°,AB=AC,D為BC的中點(diǎn)，E,F分別是AB,AC上的點(diǎn)，且BE=AF,求證：(1)DE=DF;(2)DE⊥DF.1.如圖，在△ABC中，AB=AC,點(diǎn)D,E,F分別在BC,AB,AC上，且BD=CF,BE=CD,G是EF的中點(diǎn).求證：DG⊥EF.2.如圖，在△ABC,AB=AC,CD⊥AB于點(diǎn)D,試探究∠BAC與∠BCD之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由。3.如圖，在△ABC中，AB=AC,AD⊥BD于點(diǎn)D,且BC=2BD.若∠DAB=20°,求∠BAC的度數(shù).4.如圖，等腰△ABC中，∠ACB=90°,AC=BC,點(diǎn)D在AB上，AD=AC,BE⊥CD交CD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E.(1)求∠BCD的度數(shù)；(2)求證：CD=2BE.專題2角平分線模型例1.如圖，在△ABC中，D為BC的中點(diǎn)，DE⊥BC交∠BAC的平分線AE于點(diǎn)E,EF⊥AB于點(diǎn)F,EG⊥AC交AC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G,求證：(1)BF=CG(2)AB+AC=2AF1.如圖，在△ABC中，AB=AC,D是AC的延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，連接BD,點(diǎn)E在線段DB上，且∠BAC=∠CED,連接AE,判斷∠AEB與∠AEC的關(guān)系，并證明.2.(1)如圖1,在△ABC中，∠C=90°,AD平分∠CAB,BC=6,BD=4,那么點(diǎn)D到AB的距離是______,：AP平分∠BAC.例2.如圖，在△ABC中，∠A=90°,AB=AC,BD平分∠ABC,CE⊥BD,乘足為E.求證：BD=2CE,1.如圖，在△ABC中，∠BAC=90°,AB=AC,BD平分∠ABC,過點(diǎn)A作AF⊥BD于點(diǎn)F,在BD的延長(zhǎng)線上取一點(diǎn)E,使∠ACE=∠FAD.求證：BD=2CE.2.如圖，OA為第一象限的角平分線，點(diǎn)E在y軸上，∠OEF=∠AOF,FE⊥OF交OA于點(diǎn)M.求證：EM=2OF.3.如圖1,在△ABC中，AB=AC,∠BAC=90°,點(diǎn)D是線段BC上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)F在線段AB上，且∠FDB=12∠ACB.BE⊥DF,垂足E在DF的延長(zhǎng)線上.(1)如圖2,當(dāng)點(diǎn)D與點(diǎn)C重合時(shí)，試探究線段BE和FD的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；(2)若點(diǎn)D不與點(diǎn)B,C重合，試探究線段BE和FD的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論.4.在△ABC中，AB=AC,∠BAC=90°。(1)如圖1,BD平分∠ABC交AC于點(diǎn)D,F為BC上一點(diǎn)，連接AF交BD于點(diǎn)E.若AF⊥BD,求證：AD=CF;(2)如圖2,BD平分∠ABC交AC于點(diǎn)D,CE⊥BD交BD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E.探究線段CE和BD的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；(3)如圖3,F為BC上一點(diǎn)，∠EFC=12例3.如圖，在四邊形ABCD中，BC>BA,AD=DC,BD平分∠ABC.求證：∠BAD+∠C=180°.1.如圖，在△ABC中，∠A=2∠B,CD平分∠ACB,且AC=6,AD=2.求BC的長(zhǎng).2.如圖，在△ABC中，CD平分∠ACB交AB于點(diǎn)D,點(diǎn)E在線段CD上，且∠EAC=2∠EBC.求證：AE+AC=BC.3.如圖，在△ABC中，AD是△BAC的外角平分線，P是AD上異于點(diǎn)A的任意一點(diǎn)，試比較PB+PC與AB+AC的大小，并說明理由.4.如圖，在△ABC中，AB=AC,點(diǎn)D在AB上，AD=CD=CB.(1)求證：CD平分∠ACB;(2)點(diǎn)E在AC上，EF⊥CD交BC于點(diǎn)F.求證：AE=DB+BF.5.在四邊形ABCD中，AE平分∠BAD,E為BC的中點(diǎn)，∠AED=a.(1)如圖1,當(dāng)α=90°時(shí)，求證：AD=AB+CD;(2)如圖2,當(dāng)α=120°,且DE平分∠ADC時(shí)，探究線段AB,BC,CD,AD之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由.專題3等腰直角三角形與全等例.在△ABC中，AB=BC,∠ABC=90°,E為直線BC上一點(diǎn)，EF⊥AE且EF=AE,連接CF.(1)如圖1,若點(diǎn)E在線段BC上，點(diǎn)F在直線BC的上方，求∠FCE的度數(shù)；(2)如圖2,若點(diǎn)E在CB的延長(zhǎng)線上，點(diǎn)F在直線BC的下方，求∠FCE的度數(shù)；(3)如圖3,若點(diǎn)E在BC的延長(zhǎng)線上，點(diǎn)F在直線BC的上方，完成作圖，并求∠FCE的度數(shù).1.如圖1,△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°,過點(diǎn)C在△ABC外作直線MN,且AM⊥MN于點(diǎn)M,BN⊥MN于點(diǎn)N.(1)求證：MN=AM+BN;(2)如圖2,過點(diǎn)C在△ABC內(nèi)作直線MN,且AM⊥MN于點(diǎn)M.BN⊥MN于點(diǎn)N.猜想AM,BN與MN之間的數(shù)量關(guān)系，并證明.2.(1)如圖1,△ABC為等腰直角三角形，AC=BC,AC⊥BC,點(diǎn)A(0,3),C(1,0),求點(diǎn)B的坐標(biāo)；(2)如圖2,△ABC為等腰直角三角形，AC=BC.AC⊥BC,點(diǎn)A(1,0),C(1,3),求點(diǎn)B的坐標(biāo)；(3)如圖3,△ABC為等腰直角三角形，AC=AB,AC⊥AB,點(diǎn)B(2,2),C(4,2),求點(diǎn)A的坐標(biāo).3.如圖1,OA=2,OB=4,以點(diǎn)A為頂點(diǎn)、AB為腰在第三象限作等腰Rt△ABC.(1)求點(diǎn)C的坐標(biāo)；(2)如圖2,OA=2,P為y軸的負(fù)半軸上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)P在y軸的負(fù)半軸上沿負(fù)方向運(yùn)動(dòng)時(shí)，以點(diǎn)P為頂點(diǎn)，PA為腰作等腰Rt△APD,過點(diǎn)D作DE⊥x軸于點(diǎn)E,求OPDE的值；(3)如圖3,已知點(diǎn)F的坐標(biāo)為(2,2),當(dāng)點(diǎn)G在y軸的負(fù)半軸上沿負(fù)方向運(yùn)動(dòng)時(shí)，作等腰Rt△FGH,始終保持∠GFH=90°,FG與y軸的負(fù)半軸相交于點(diǎn)G(0,m),FH與x軸的正半軸相交于點(diǎn)H(n,0).以下兩個(gè)結(jié)論：①mn為定值；②m+n為定值.其中只有一個(gè)結(jié)論是正確的，請(qǐng)找出正確的結(jié)論，并求出其值.4.如圖，在△ABC中，AB=AC,∠BAC=90°,D為BC上一點(diǎn)，過點(diǎn)D作DE⊥AD,且DE=AD,連接BE,求∠DBE的度數(shù).5.我們知道，如果兩個(gè)三角形全等，則它們的面積相等，而兩個(gè)不全等的三角形，在某些情況下，可通過證明等底等高來說明它們的面積相等.已知△ABC與△DEC都是等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°,連接AD,BE.(1)如圖1,當(dāng)∠BCE=90°時(shí)，求證：S△ACD(2)如圖2,當(dāng)0°<∠BCE<90°時(shí)，上述結(jié)論是否仍然成立?請(qǐng)說明理由；(3)如圖3,在(2)的基礎(chǔ)上，如果G為AD的中點(diǎn)，連接CG,延長(zhǎng)GC交BE于點(diǎn)F,試猜想GF與BE的位置關(guān)系，并說明理由.專題4等邊三角形與全等例.如圖，△ABC為等邊三角形，AE=CD,AD,BE相交于點(diǎn)P,BQ⊥AD于點(diǎn)Q,PQ=4,PE=1.求AD的長(zhǎng).1.如圖，△ABC為等邊三角形，點(diǎn)M,N分別為邊AC,BC上的點(diǎn).若AM=CN,連接AN,BM相交于點(diǎn)P.求證：(1)△ABM≌△CAN;(2)∠BPN=60°.2.如圖，在等邊△ABC中，點(diǎn)E,F分別在CB,BA的延長(zhǎng)線上，BE=AF.(1)△ACE與△CBF是否全等?請(qǐng)說明理由；(2)延長(zhǎng)EA交FC于點(diǎn)P,求∠EPC的度數(shù).3.如圖，△ABC是等邊三角形，點(diǎn)D在邊BC上，點(diǎn)E在AC的延長(zhǎng)線上，EB交AD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F,FB=AB,BD=4,CE=1,求BE的長(zhǎng).4.如圖1,在等邊△ABC中，點(diǎn)D在AB的延長(zhǎng)線上，點(diǎn)E在CD上，∠BCD=2∠DAE,AE,BC相交于點(diǎn)F,BF=1,DE=2.(1)在圖1中找出與∠AEC相等的角并證明；(2)求線段BD的長(zhǎng)度；(3)如圖2,連接BE,求∠BEA的度數(shù).5.如圖1,在等邊△ABC中，AC,BC上分別有點(diǎn)E,F,且AE=CF,連接BE,AF交于點(diǎn)D.(1)求證：∠BDF=60°;(2)如圖2,連接CD,若∠BDC=90°,①求證：BD=2AD;②過點(diǎn)B作BG⊥AC,垂足為G,連接DG.求證：AD=2DG.專題5手拉手模型例.如圖1△ABD和△ACE均為等腰三角形，AD=AB,AC=AE,∠DAB=∠CAE=a.(1)連接DC與BE,G,F分別是DC,BE的中點(diǎn)，求∠AFG的度數(shù)；(2)如圖2,CD,BE相交于點(diǎn)M,連接AM,求∠AMC與α的數(shù)量關(guān)系.1.如圖，△OAB和△OCD都是等腰三角形，OA=OB,OC=OD,∠AOB=∠COD,即共頂點(diǎn)且頂角相等的兩個(gè)等腰三角形為手拉手模型.連接AC,BD相交于點(diǎn)P.求證：(1)△AOC≌△BOD,AC=BD;(2)∠APB=∠AOB;(3)PO平分∠APD.2.如圖1,在△ABC中，AE⊥BC于點(diǎn)E,AE=BE,D是AE上的一點(diǎn)，且DE=CE,連接BD,CD.(1)BD與AC的位置關(guān)系是_________,數(shù)量關(guān)系是__________;(2)如圖2,將△DCE繞點(diǎn)E旋轉(zhuǎn)一定的角度后，AC與BD相交于點(diǎn)F,試判斷BD與AC的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系是否發(fā)生變化，并說明理由；(3)如圖3,若將(2)中的等腰直角三角形都換成等邊三角形，其他條件不變.①BD與AC的數(shù)量關(guān)系為__________;②你能求出∠AFB的度數(shù)嗎?如果能，請(qǐng)直接寫出∠AFB的度數(shù)；如果不能，請(qǐng)說明理由.3.如圖，在△ABC中，AB=AC,∠CAB=a,分別以AB,BC為邊作等邊△ABD和等邊△BCE,連接AE,DC.(1)求∠ACE的度數(shù)；(用含a的式子表示)(2)求證：AE平分∠BAC;(3)作BF⊥CD,交DC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F,求BFBC4.已知△AOB是等邊三角形，以直線OA為x軸建立平面直角坐標(biāo)系，點(diǎn)B的坐標(biāo)為(a,b),且a,b滿足a+5+(b53)2=0.D為y軸上一動(dòng)點(diǎn)，以AD為邊作等邊△ADC,CB交y軸于點(diǎn)E.(1)如圖1,求點(diǎn)A的坐標(biāo)；(2)如圖2,點(diǎn)D在y軸的正半軸上，點(diǎn)C在第二象限，CB的延長(zhǎng)線交y軸于點(diǎn)E,交x軸于點(diǎn)M.當(dāng)點(diǎn)D在y軸的正半軸上運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)M的坐標(biāo)是否變化?若不變，請(qǐng)求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若變化，請(qǐng)說明理由.(3)如圖3,點(diǎn)D在y軸的負(fù)半軸上，點(diǎn)C在第四象限，CB交y軸于點(diǎn)E,連接AE.當(dāng)點(diǎn)D在y軸的負(fù)半軸上運(yùn)動(dòng)時(shí)，試判斷CE,OD,AE三者的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論.專題6一邊一角構(gòu)全等例1.如圖，在△ABC中，AB=AC,點(diǎn)D在BC上，點(diǎn)E,F分別在AD和AD的延長(zhǎng)線上，且∠AEC=∠BAC,BF//CE.(1)求證：∠AFB與∠BAC互補(bǔ)；(2)圖中是否存在與AF相等的線段?若存在，請(qǐng)找出，并加以證明；若不存在，請(qǐng)說明理由.1.如圖，在△ABC中，點(diǎn)D在AB上，AD=CD,點(diǎn)E在CD上，∠ABC+∠AEC=180°.圖中是否存在與AE相等的線段?若存在，請(qǐng)找出，并加以證明；若不存在，請(qǐng)說明理由.2.在△ABC中，∠ABC=∠ACB=60°,D是AB邊上任意一點(diǎn)，將射線DC繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°與過點(diǎn)A的直線相交于點(diǎn)E.求線段BD與AE之間的數(shù)量關(guān)系.3.如圖，在等邊△ABC中，點(diǎn)D在BC上，點(diǎn)E在CA的延長(zhǎng)線上，連接BE,AD,若∠ADB=2∠E,求證：AE+CD=AD.4.如圖，在△ABC中，AB=AC,CD是AB邊上的高，P是AC邊上任意一點(diǎn)(不與點(diǎn)A,C重合),過點(diǎn)P作PE⊥BC,垂足為E,交CD于點(diǎn)F.若AD=CD,探究線段PF,CE之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論.5.如圖，在△BEC中，CE=CB,EF⊥BC于點(diǎn)F,延長(zhǎng)BE至點(diǎn)A,使BE=AE,再延長(zhǎng)BC至點(diǎn)D,連接DE,AC,且∠B=∠A+∠D.求證：CD=2BF.6.閱讀下面材料：小明遇到這樣一個(gè)問題：如圖1,在△ABC中，點(diǎn)D,E分別在邊AC,AB上，BD,CE相交于點(diǎn)F,CE=BE,且∠BEC+∠BDC=180°,求證：BF=AC.小明經(jīng)探究發(fā)現(xiàn)，在AB上取一點(diǎn)G(不與點(diǎn)E重合),使CE=CG,連接CG(如圖2),從而可證△BEF≌△CGA,使問題得到解決.(1)請(qǐng)你按照小明的探究思路，完成他的證明過程；參考小明思考問題的方法，解決下面的問題：(2)如圖3,在等腰△ABC中，AB=AC,點(diǎn)D,F在直線BC上，DE=BF,連接AD,過點(diǎn)E作EG//AC交FG于點(diǎn)G,且∠DFG+∠D=∠BAC.請(qǐng)?jiān)趫D中找出一條和AD相等的線段，并證明.例2.在Rt△ABC中，AB=AC,∠BAC=90°,E是AC上一點(diǎn)，AD⊥BE于點(diǎn)D,CF⊥BE交BE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F.(1)如圖1,探究AD與DF的數(shù)量關(guān)系；(2)如圖2,若將(1)中“E是AC上一點(diǎn)”改為“E是AC的延長(zhǎng)線上一點(diǎn)”,其他條件不變，探究AD與DF的數(shù)量關(guān)系.1.如圖、在等腰直角△ABC中，∠C=90°.(1)D是BC上任意一點(diǎn)，連接AD.在射線AD上取一點(diǎn)E,連接CE,BE,若∠AEC=45°,判斷BE與AE的位置關(guān)系，并證明；(2)若D為CB的延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，其他條件都不變，畫出圖形，并判斷BE與AE的位置關(guān)系是否發(fā)生變化，請(qǐng)說明理由.2.如圖1,△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°,AC=BC.(1)若AD⊥BD,求∠CDA的度數(shù)；(2)若∠CDB=135°,求證：AD⊥BD;(3)如圖2,若AD⊥BD,求∠CDA的度數(shù).3.已知△AOB為等腰直角三角形，P為動(dòng)點(diǎn)，PA⊥PB.(1)如圖1,當(dāng)點(diǎn)P在第一象限時(shí)，求∠OPA的度數(shù)；(2)如圖2,當(dāng)點(diǎn)P在第四象限時(shí)，求∠OPA的度數(shù).4.在△ABC中，AB=AC,CD交AB于點(diǎn)E,∠BDC=∠BAC=a,連接AD.AD=BD=12CD;(1)如圖1,當(dāng)α=60°,CD⊥AB時(shí)，求證：(2)如圖2,當(dāng)α=60°,CD與AB不垂直時(shí)，請(qǐng)猜想線段AD,BD,CD之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由.例3:在等腰直角△ABC中，∠BAC=90°,點(diǎn)A,B分別是x軸，y軸上的動(dòng)點(diǎn)，直角邊AC交x軸于點(diǎn)D,斜邊BC交y軸于點(diǎn)E.(1)如圖1,若點(diǎn)A(0,1),B(2,0),求點(diǎn)C的坐標(biāo)；(2)如圖2,當(dāng)?shù)妊苯恰鰽BC運(yùn)動(dòng)到使點(diǎn)D恰為AC的中點(diǎn)時(shí)，連接DE.求證：∠ADB=∠CDE;(3)如圖3,在等腰直角△ABC不斷運(yùn)動(dòng)的過程中，若滿足BD始終是∠ABC的平分線，猜想線段OA,OD,BD三者之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由.1.如圖，在△ABC中，∠BAC=90°,AB=AC,點(diǎn)E在BC上，點(diǎn)D,F在AC上，連接BD,AE,EF,AE⊥BD于點(diǎn)G,AD=CF.求證：∠CEF=∠AEB.2.在等腰直角△ABC中，∠BAC=90°,AB=AC.(1)如圖1,D,E分別是AB,AC的中點(diǎn)，AF⊥BE于點(diǎn)G,交BC于點(diǎn)F,連接EF,CD交于點(diǎn)H.求證：EF⊥CD;(2)如圖2,AD=AE,AF⊥BE于點(diǎn)G,交BC于點(diǎn)F,過點(diǎn)F作PF⊥CD于點(diǎn)H,交BE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)P.試探究線段BP,FP,AF之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由.3.等腰直角△ABC在平面直角坐標(biāo)系中的位置如圖1,點(diǎn)A(O,a),B(b,0),點(diǎn)C在第四象限，且滿足a2+b24a+12b+40=0.(1)求點(diǎn)C的坐標(biāo);(2)如圖2,若AC交x軸于點(diǎn)M,BC交y軸于點(diǎn)D,E是AC上一點(diǎn)，且CE=AM,連接DE.求證：AD+DE=BM;(3)在y軸上取點(diǎn)F(0,6),H是y軸上點(diǎn)F的下方任意一點(diǎn)，作HG⊥BH交射線CF于點(diǎn)G,在點(diǎn)器H位置的變化過程中，BHGH專題7半角模型例.(1)如圖1,在正方形ABCD中，E,F分別是BC,CD上的點(diǎn)，且∠FAE=45°,試判斷BE,DF與EF三條線段之間的數(shù)量關(guān)系，并證明；(2)如圖2,若(1)中的點(diǎn)E,F分別為BC,CD延長(zhǎng)線上的點(diǎn)，其他條件不變，那么(1)的結(jié)論是否發(fā)生變化?若不變，請(qǐng)說明理由；若變化，請(qǐng)給出結(jié)論并予以證明.1.(1)探究問題：如圖1,在正方形ABCD中，AB=BC=CD=DA,∠DAB=∠ABC=∠C=∠D=90°,E,F分別為DC,BC邊上的點(diǎn)，且滿足∠EAF=45°,連接EF,則DE,BF,EF之間的數(shù)量關(guān)系為;(2)方法遷移：如圖2,將Rt△ABC沿斜邊翻折得到△ADC,E,F分別為DC,BC邊上的點(diǎn)，且∠EAF=12(3)問題拓展：如圖3,在四邊形ABCD中，AB=AD,E,F分別為DC,BC邊上的點(diǎn)，且滿足∠EAF=122.如圖1.△ABC是等邊三角形，△BDC是頂角∠BDC=120°的等腰三角形，以點(diǎn)D為頂點(diǎn)作60°的角，它的兩邊分別與AB,AC相交于點(diǎn)M,N,連接MN.(1)探究線段BM,MN,CN之間的數(shù)量關(guān)系，并證明；(2)若△AMN的周長(zhǎng)為Q,等邊△ABC的周長(zhǎng)為L(zhǎng),求QL(3)若點(diǎn)M,N分別在射線AB,CA上，其他條件不變，在圖2中畫出相應(yīng)的圖形，求線段BM,NM,NC之間的數(shù)量關(guān)系.3.已知在等邊△ABC中，O是邊AC,BC的垂直平分線的交點(diǎn)，點(diǎn)M,N分別在直線AC,BC上，且∠MON=60°.(1)如圖1,當(dāng)點(diǎn)M,N分別在邊AC,BC上時(shí)，判斷線段AM,CN,MN三者之間的數(shù)量關(guān)系，并證明；(2)如圖2,當(dāng)點(diǎn)M在邊AC上，點(diǎn)N在邊BC的延長(zhǎng)線上，其他條件不變時(shí)，判斷線段AM,CN,MN三者之間的數(shù)量關(guān)系，并證明.4.(1)如圖1,在四邊形ABCD中，AB=AD,∠B+∠D=180°,E,F分別是邊BC,CD上的點(diǎn)，且∠EAF=12(2)在(1)中，若將△AEF繞點(diǎn)A逆時(shí)針施轉(zhuǎn)，當(dāng)點(diǎn)E,F分別運(yùn)動(dòng)到BC,CD的延長(zhǎng)線上時(shí)，如圖2所示，其他條件不變，則(1)中的結(jié)論是否發(fā)生變化?若不變，請(qǐng)說明理由；若變化，請(qǐng)給出結(jié)論并予以證明，專題8最值問題例.如圖，∠AOB=a,P為∠AOB內(nèi)部一定點(diǎn)，OP=m,點(diǎn)E與點(diǎn)F分別為OA,OB上任意兩點(diǎn)，連接PE,PF,EF.若△PEF的周長(zhǎng)最小值為m,則a=.1.如圖，正方形ABCD的周長(zhǎng)為12,△ABE是等邊三角形，點(diǎn)E在正方形ABCD內(nèi)，在對(duì)角線AC上有一點(diǎn)P,使PD+PE的和最小，則這個(gè)最小值為()36D.62.如圖，等邊△