2023屆新高考大一輪復(fù)習(xí)真題源解析幾何3

第3課：直線與圓的位置關(guān)系及判定

學(xué)習(xí)目標(biāo)

1.能通過比較圓心到直線的距離和半徑之間~的大小關(guān)系判斷直線和圓的位置關(guān)系.；

2.理解直線和圓的三種位置關(guān)系與相應(yīng)的直線和圓的方程所組成的二元二次方程組的解的

對應(yīng)關(guān)系；

3.會求圓的切線方程.

二.知識梳理.

直線/：Ax+By+C=O；圓*一。）2+4->）2=/判定方法：

方法1：.幾何法.利用圓心到直線的距.離d與半徑r.的大小關(guān)系判斷:

d>r=>；d=n/；.d<Q.

方法2：代數(shù)法.利用直線與圓的公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)進(jìn)行判斷：

Ax+By+C=0

設(shè)方程組《的解的個(gè)數(shù)為n,則有

(x-a)?+(y-/7)2=

△Onn=n相交:△Onn=n相切:△Onn==＞相離.

三.典例分析

例1.討論直線x+y=a和圓/+/=i的位置關(guān)系.

例2.已知過點(diǎn)4-1,4）的直線/與圓（x—2尸+（y-3尸=2相切，求切線/的方程.

例3.已知圓C的方程為V+y2=/，當(dāng)p（%,為）在圓C上時(shí)，求.過點(diǎn)P的圓的切線.

例4.圓/+：/-4%-4,-10=0上的點(diǎn)到直線工+F-14=0的最大距離與最小距離的差

是（）

A.36B.18C.60D.572

例5.已知圓。：/+/一6》+8=0,由直線y=x-l上一點(diǎn)向圓引切線，則切線長的最小

值為（）

A.1B.2C.72D.百

四.練習(xí)題.

1.已知圓C:f+y2=4,直線/:y-l=A（x+l）,則直線/與圓C的位置關(guān)系（）

A.相離B.相切C.相交D.以上皆有可能

2.若直線萬一丁-2=0與圓（x—a）2+y2=2相切，則。等于（）

A.0或4B.0或-4C.1或3D.-1或3

3.設(shè)點(diǎn)P是函數(shù)y=_j4-（x-l）2圖象士的任意一點(diǎn),點(diǎn)。（乂?。M足工一2y一6=0,

則|PQ|的最小值為（）

A.5V2-4B.V5-2C.亞D.石一4

4.已知圓的方程為x2+y2—6x—8y=0,設(shè)該圓過點(diǎn)P（3,5）的最長弦和最短弦分別為AC

和BO,則四邊形ABCO的面積為（）

A.1076B.2076C.20sD.4076

5.已知圓的方程為（x—iy+y2=i,求：

⑴?斜率為3且與圓相切的直線方程；（2）.過定點(diǎn)（2,-3）且與圓相切的直線方程.

6.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知圓c經(jīng)過點(diǎn)A(l,3),3(4,2),且圓心在直線

Z:x-y-l=O.

⑴求圓C的方程；

(2)設(shè)「是圓。：V+y+8%一2y+16=0上任意一點(diǎn),過點(diǎn)一作圓C的兩條切線

PM,PN,M,N為切點(diǎn),試求四邊形PMCN面積S的最小值.

7.如果實(shí)數(shù)X,y滿足(x—3)2+(y—3)2=6,求：

(1)工的最大值與最小值；

X

(2)x+y的最大值與最小值；

(3)),2的最大值和最小值.

8.已知圓C:/+(y+l)2=4,過點(diǎn)P(0,2)的直線/與圓相交于不同的兩點(diǎn)

(D.判斷PZP%是否為定值.若是，求出這個(gè)定值；若不是，請說明理由.

(2).若求直線/的方程.

第4課：圓的弦長計(jì)算

學(xué)習(xí)目標(biāo)

二.知識梳理

1.如下圖所示，涉及直線與圓相交及弦長的題，都在R/AAOB中，利用勾股定理，得半徑

弦長及弦心距之間的關(guān)系式.

2.弦長的計(jì)算：設(shè)圓的半徑為R,圓心到直線的距離為d,則弦長/=2匹二產(chǎn).

三.典例分析

例L已知圓。：X2+/一2%一4y—20=0

(1)過點(diǎn)P(4,-4)的直線/被圓。截得的弦長為8,求直線/的方程；

(2)當(dāng)左取何值時(shí)，直線依-y+3Z+l=0與圓。相交的弦長最短，并求出最短弦長.

例2.直線y="+3與圓。：■?+卜2=1相交于4，B兩點(diǎn)，則△。鉆面積的最大值為

()

IV2

A.1B.一rD.昱

244

四.練習(xí)題

1.“％=0”是直線％—@-1=0與圓@一2)2+(丁一1)2=1相切的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要

條件

2.點(diǎn)P在直線y=x上，過點(diǎn)P作圓C：/+丁―6x+8=0的切線上4和PB，切點(diǎn)分別

為A，B,則四邊形2409面積的最小值為()

A.叵B.亞C.逑D.3五

22

3.直線丁=履+3被圓(%-2)2+(;；-3)2=4截得的弦長為2石，則直線的斜率為()

A.73B.±6C.BD.土且

33

4.若直線y=x+3與曲線y=3-j4x—x2有公共點(diǎn),則。的取值范圍是()

A.[1-2V2,1+2V2]B.[3/+2揚(yáng)

C.[-1,1+272]D.[1-272,3]

5.直線y=kx+3與圓(％-3)2+(＞一2)2=4相交于M,N兩點(diǎn)，若|MN|N2jL則%的

取值范圍為________.

6.已知圓C以點(diǎn)(2,0)為圓心，且被直線％-有y+2=0截得的弦長為2右.

(1)求圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)若直線/經(jīng)過點(diǎn)例(5,5),且與圓C相切，求直線/的方程.

7.已知圓C的方程為/+丁=4.

(1)求過點(diǎn)尸(2,1)且與圓C相切的直線/的方程；

(2)直線/過點(diǎn)尸(2,1),且與圓C交于A、8兩點(diǎn)，若|AB|=2jL求直線/的方程；

8.已知圓-3『=1,直線/過點(diǎn)(3,1)

3

(1)若直線/的斜率為-二，證明：/與圓M相切；

4

(2)若直線/與圓A7交于P,。兩點(diǎn)，且|尸。|=百，求直線/的斜率.

9.已知直線/：(2777+l)x+(m4-l)y-7/n-4=0(m€/?),圓C：

x~+y~—2x—4y—200.

(1)求證：不論根取什么實(shí)數(shù)，直線/與圓C恒相交于兩點(diǎn)；

(2)當(dāng)直線/被圓C截得的線段最短時(shí)，求